第06讲实际问题与一元二次方程（7种题型）（原卷版）

第06讲实际问题与一元二次方程（7种题型）1.能运用一元二次方程解决实际问题.（重点）2.正确分析问题中的数量关系并建立一元二次方程模型.（难点）知识点1：列一元二次方程解应用题1.利用方程解决实际问题的关键是寻找等量关系.

2.解决应用题的一般步骤：

审(审题目，分清已知量、未知量、等量关系等)；

设(设未知数，有时会用未知数表示相关的量)；

列(根据题目中的等量关系，列出方程)；

解(解方程，注意分式方程需检验，将所求量表示清晰)；验（检验方程的解能否保证实际问题有意义）

答(写出答案，切忌答非所问).

要点诠释：列方程解实际问题的三个重要环节：

一是整体地、系统地审题；

二是把握问题中的等量关系；

三是正确求解方程并检验解的合理性.知识点2：常见相关问题的数量关系及表示方法题型1：增长率问题列一元二次方程解决增长(降低)率问题时，要理清原来数、后来数、增长率或降低率，以及增长或降低的次数之间的数量关系.如果列出的方程是一元二次方程，那么应在原数的基础上增长或降低两次.

(1)增长率问题：

平均增长率公式为(a为原来数，x为平均增长率，n为增长次数，b为增长后的量.)

(2)降低率问题：

平均降低率公式为(a为原来数，x为平均降低率，n为降低次数，b为降低后的量.)题型2：面积问题此类问题属于几何图形的应用问题，解决问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，根据图形的面积或体积公式，找出未知量与已知量的内在关系并列出方程.题型3：比赛统计问题比赛问题：解决此类问题的关键是分清单循环和双循环

．题型4：传播问题传播问题：，a表示传染前的人数，x表示每轮每人传染的人数，n表示传染的轮数或天数，A表示最终的人数．题型5：销售利润问题利息问题

(1)概念：

本金：顾客存入银行的钱叫本金.

利息：银行付给顾客的酬金叫利息.

本息和：本金和利息的和叫本息和.

期数：存入银行的时间叫期数.

利率：每个期数内的利息与本金的比叫利率.

(2)公式:

利息=本金×利率×期数

利息税=利息×税率

本金×(1+利率×期数)=本息和

本金×[1+利率×期数×(1税率)]=本息和(收利息税时)

利润(销售)问题

利润(销售)问题中常用的等量关系：

利润=售价进价(成本)

总利润=每件的利润×总件数

题型1：增长率问题例1．（2022•南通）李师傅家的超市今年1月盈利3000元，3月盈利3630元．若从1月到3月，每月盈利的平均增长率都相同，则这个平均增长率是（）A．10.5% B．10% C．20% D．21%例2．（2021•盐城）劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为x，则可列方程为．题型2：面积问题例3．（2020•南通）1275年，我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步．问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．若设长为x步，则可列方程为．例4．（2022秋·江苏无锡·九年级无锡市东林中学校考期中）如图，长方形花圃面积为，它的一边利用已有的围墙（围墙足够长），另外三边所围的栅栏的总长度是．处开一门，宽度为．设的长度是，根据题意，下面所列方程正确的是（

）A． B． C． D．例5．（2022•泰州）如图，在长为50m、宽为38m的矩形地面内的四周修筑同样宽的道路，余下的铺上草坪．要使草坪的面积为1260m2，道路的宽应为多少？题型3：比赛统计问题例6．（2021秋·江苏无锡·九年级宜兴市树人中学校联考阶段练习）一次足球联赛实行单循环比赛（每两支球队之间都比赛一场），计划安排15场比赛，设应邀请了x支球队参加联赛，则下列方程中符合题意的是（）A． B．C． D．例7．（2023秋·江苏盐城·九年级统考期末）为了迎接第二十二届世界杯足球赛，卡塔尔某地区举行了足球邀请赛，规定参赛的每两个队之间比赛一场，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者邀请了个队参赛，则下列方程正确的是（

）A． B． C． D．例8．（2023·江苏泰州·九年级校考期末）九年级举行班级足球赛，先把所有班通过抽签平均分成A，B两组，在每一组中进行单循环的小组赛（每两个班之间比赛一场），再从每组的前4名选出进行比赛，最后进行决赛得出名次；若A组共进行了21场小组赛，则九年级共有______个班．题型4：传播问题例9．（2022秋·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）美国有一人感染新冠肺炎，经过两轮传染后共有100个人感染，那么每轮传染中，平均一个人感染x人，可列方程为____________________．例10．（2022秋·江苏连云港·九年级阶段练习）新冠肺炎传染性很强，曾有2人同时患上新冠肺炎，并且每人每天平均传染x人，若经过两天传染后就有128人患上了新冠肺炎，则x的值为___________．题型5：销售利润问题例11．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）某工厂生产的某种零件按供需要求分为8个档次．若生产第一档次（最低档次）的产品，一天可生产件，每件的利润为元，每提高一个档次，每件的利润增加3元，每天的产量将减少2件．请解答下列问题，设产品的档次（每天只生产一个档次的产品）为x，若该产品一天的总利润为元，求这天生产产品的档次x的值．例12．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考期中）某商场“国庆”期间销售一批衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场采取了降价措施，假设在一定范围内，衬衫的单价每降1元，商场平均每天可多售出2件．(1)如果衬衫的单价降了15元，求降价后商场销售这批衬衫每天盈利多少元；(2)如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利1200元，那么衬衫的单价降了多少元？例13．（2022秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）今年超市以每件25元的进价购进一批商品，当商品售价为40元时，三月份销售256件，四、五月该商品十分畅销，销售量持续上涨，在售价不变的基础上，五月份的销售量达到400件．(1)求四、五这两个月销售量的月平均增长百分率．(2)经市场预测，六月份的销售量将与五月份持平，现商场为了减少库存，采用降价促销方式，经调查发现，该商品每降价1元，月销量增加5件，当商品降价多少元时，商场六月份可获利4250元？题型6：图表信息题例14．（2022秋·广东阳江·九年级统考期末）乌克兰危机发生之后，外交战线按照党中央的部署紧急行动，在战火粉飞中已将5200多名同胞安全从乌克兰撤离，电影《万里归途》正是“外交为民”的真实写照，如表是该影片票房的部分数据，（注：票房是指截止发布日期的所有售票累计收入）影片《万里归途》的部分统计数据发布日期10月8日10月11日10月12日发布次数第1次第2次第3次票房10亿元12.1亿元(1)平均每次累计票房增长的百分率是多少？(2)在（1）的条件下，若票价每张40元，求10月11日卖出多少张电影票例15．（江苏南京·九年级阶段练习）某商店购进800个旅游纪念品，进价为每个50元，第一周以每个80元的价格售出200个，第二周若按每个80元的价格销售仍可售出200个，但商店为了适当增加销量，决定降价销售（根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10个，但售价不得低于进价），单价降低x元销售销售一周后，商店对剩余旅游纪念品以及清仓处理，以每个40元的价格全部售出，如果这批旅游纪念品共获利9000元．（1）填表（结果需化简）

时间

第一周

第二周

清仓时单价（元）

80

40销售量（件）

200（2）求第二周每个旅游纪念品的销售价格为多少元？题型7：动点问题例16．（2022秋·江苏泰州·九年级统考期中）如图，在矩形中，cm，cm，点从点出发沿以cm/s的速度向点运动，当时，点运动的时间为（）A．s B．2s C．10s D．10s或2s例17．（2022秋·江苏常州·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，过原点O及点、作矩形OABC，的平分线交AB于点D，点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒，求当t为多少秒时，为直角三角形．一、单选题1．（2023春·江苏淮安·八年级校考期中）如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为，若设道路的宽为，则所列的方程为（

）A． B．C． D．2．（2023秋·江苏常州·九年级统考期末）如图，在一块相邻两边长分别为、的矩形绿地内，开辟一个矩形的花圃，使四周的绿地等宽，且花圃的面积与四周绿地的面积相等．设四周绿地的宽是，根据题意，可列出方程（）A． B．C． D．3．（2023秋·江苏无锡·九年级校联考期末）某网络学习平台年的新注册用户数为万，年的新注册用户数为万，设新注册用户数的年平均增长率为x（），根据题意所列方程正确的是（

）A． B． C． D．4．（2023·江苏南京·统考一模）如图，用长为的栅栏围成一个面积为的矩形花圃．为方便进出，在边上留有一个宽的小门．设的长为，根据题意可得方程（

）A． B．C． D．二、填空题5．（2022秋·江苏镇江·九年级统考期中）为建设美丽句容，改造老旧小区，我市年投入资金万元，年投入资金万元，现假定每年投入资金的增长率相同．求我市改造老旧小区投入资金的年平均增长率____．6．（2023秋·江苏徐州·九年级统考期末）《田亩比类乘除捷法》中记载了一道题：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．”译文：一个矩形的面积为864平方步，宽比长少12步，问宽和长各多少步?设矩形的宽为步，由题意，可列方程为____________．7．（2021秋·江苏常州·九年级统考期中）已知一个数的平方减去30的差等于这个数本身，则这个数为___．8．（2021秋·江苏苏州·九年级校联考期中）某商品进货价为每件10元，售价每件30元时平均每天可以售出20件，经调查发现，如果每件降低2元，那么平均每天多售出4件，若想每天盈利450元，设每件应降价x元，可列出方程为__________________．三、解答题9．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期末）某商品每件进价为30元，当销售单价为50元时，每天可以销售60件．市场调查发现：销售单价每提高1元，日销售量将会减少2件，物价部门规定该商品销售单价不能高于65元，设该商品的销售单价为（元），日销售量为（件）．(1)与的函数关系式为________；(2)要使日销售利润为800元，销售单价应定为多少元？10．（2023·江苏徐州·校考一模）“民以食为天，食以粮为先”，粮食安全事关国计民生．为了确保粮食安全，优选品种，某农业科技公司对原有小麦进行改良种植研究，在保持种植面积不变的情况下，今年小麦平均亩产量在去年的基础上增加了，每千克售价也在去年的基础上上涨了，全部售出后总收入将增加．(1)求a的值；(2)如果明年的种植面积仍然不变，预计明年小麦平均亩产量将在今年的基础上增加，每千克售价将在今年的基础上上涨，求全部售出后明年的总收入将在今年的基础上增加的百分数．11．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）2022年北京冬奥会吉祥物“冰墩墩”寓意敦厚、健康、活泼、可爱，象征着冬奥会运动员强壮的身体、坚韧的意志和鼓舞人心的奥林匹克精神．为满足市场需求，某超市购进一批吉祥物“冰墩墩”，进价为每个15元，第一天以每个25元的价格售出30个，为了让更多的消费者拥有“冰墩墩”，从第二天起降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出3个．设销售单价定为x元．(1)超市从第二天起日销售量增加个，每个“冰墩墩”盈利元（用含x的代数式表示）；(2)针对这种“冰墩墩”的销售情况，该商店要保证每天盈利273元，同时又要使顾客得到实惠，那么“冰墩墩”的销售单价应定为多少元？12．（2023·江苏南京·校联考模拟预测）某商店销售甲、乙两种商品，甲的成本为5元，乙的成本为7元．甲现在的售价为10元，每天卖出30个；售价每提高1元，每天少卖出2个．乙现在的售价为14元，每天卖出6个；售价每降低1元，每天多卖出4个．假定甲、乙两种商品每天卖出的数量和不变（和为36袋），且售价均为整数．(1)当甲的售价提高x元，乙的售价为元；（用含x的代数式表示）(2)当甲的售价提高多少元时，销售这两种商品当天的总利润是268元？13．（2021秋·江苏扬州·九年级校考期中）如图，在中，，点P从点A开始沿边向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以的速度移动．(1)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于？(2)在（1）中，面积能否等于？请说明理由．14．（2022秋·江苏无锡·九年级统考期末）某校为表彰“学生节”中表现优异的学生，计划购买古典诗词和散文两类图书作为奖品．已知古典诗词类图书每本60元，散文类图书每本40元．为弘扬中国传统文化，商家决定对古典诗词类图书推出销售优惠活动，但是散文类图书售价不变．若购买古典诗词类图书不超过40本时，均按每本60元价格销售；超过40本时，每增加2本，单价降低1元．(1)如果购买古典诗词类图书46本，则每本古典诗词类图书的单价是______元；(2)如果该校共购进图书100本，用去购书款4750元．求该校购进古典诗词类图书多少本？一、单选题1．（2022秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）某农机厂四月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂第二季度平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是（）A． B．C． D．2．（2022秋·江苏苏州·九年级校考阶段练习）铜罗中学组织一次乒乓球赛，比赛采用单循环制，要求每两队之间赛一场．若整个比赛一共赛了45场，则有几个球队参赛？设有x个球队参赛，则下列方程中正确的是（）A．x（x+1）=45 B． C．x（x﹣1）=45 D．二、填空题3．（2022秋·江苏泰州·九年级校联考阶段练习）美国有一人感染新冠肺炎，经过两轮传染后共有100个人感染，那么每轮传染中，平均一个人感染x人，可列方程为____________________．4．（2023·江苏扬州·九年级专题练习）如图，在一块长、宽的矩形荒地上，要建造一个矩形花园，图中阴影部分是花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，花园外部四周修建宽度相同的小路，求图中的小路的宽是多少米？设小路的宽度为，所列方程式是______．5．（2022秋·江苏·七年级专题练习）小明在计算某数的平方时，将这个数的平方误看成它的2倍，使答案少了35，则这个数为_________．6．（2022秋·江苏·九年级专题练习）某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，由于疫情，为了扩大销售量，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件．若商场平均每天销售这种衬衫的盈利要达到1200元，则每件衬衫应降价多少元？设每件衬衫降价x元，由题意列得方程______．7．（2022秋·江苏常州·九年级常州市第二十四中学校考阶段练习）如图，在中，，点、同时由、两点出发，点在上沿方向以的速度移动，点在上沿方向以的速度移动，则________秒钟后，的面积为？三、解答题8．（2023春·江苏盐城·九年级校联考阶段练习）2023年3月12日，大丰区飞达路初级中学开展“为校园增添一点绿色”为主题的植树活动，组织七年级、八年级、九年级分别在12日、13日、14日进行植树活动，七年级学生在12日种植了25棵树苗，学生们在种植的过程中听老师讲解植树绿化的意义，热情高涨，每天的植树增长率相同，九年级学生在14日种植了49棵树苗．(1)求平均每天植树的增长率？(2)求此次活动三个年级种植树苗的总棵数？9．（江苏苏州·九年级统考期中）某旅行社一则旅游消息如下：旅游人数收费标准不超过人人均收费元超过人每增加一人，人均收费减少元，但人均收费不低于元(1)甲公司员工分两批参加该项旅游，分别支付给旅行社元和元，甲公司员工有__________人．(2)乙公司员工一起参加该项旅游，支付给旅行社元，乙公司员工多少人？10．（2022春·江苏苏州·八年级校考期末）疫情期间，“大白”成了身穿防护服的人员的代称．开学以来，我校很多