14.2.1 平方差公式 人教版数学八年级上册学案

第十四章整式的乘法与因式分解14．2乘法公式14．2．1平方差公式学习目标：1．经历平方差公式的探索及推导过程，掌握平方差公式的结构特征．2．灵活应用平方差公式进行计算和解决实际问题．重点：掌握平方差公式的结构特征．难点：应用平方差公式进行计算和解决实际问题．自主学习教学备注：学生在课前完成自主学习部分一、知识链接1．多项式乘多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项_________另一个多项式的每一项，再把所得的积_______．2．计算：（1）(x＋1)(x＋3)＝_________________；（2）(x＋3)(x－3)＝________________；（3）(m＋n)(m－n)＝________________．课堂探究要点探究探究点：平方差公式算一算：计算下列多项式的积，你能发现什么规律？①(x＋1)(x－1)=_______________；②(m＋2)(m－2)=_______________；③(2m＋1)(2m－1)=_______________；④(5y＋z)(5y－z)=_______________．想一想：这些计算结果有什么特点？要点归纳：平方差公式：(a+b)(a−b)=_________，即两数和与这两数差的积，等于这两数的__________．公式变形：1．(a-b)(a+b)=a2-b22．(b+a)(-b+a)=a2-b2填一填：(a-b)(a+b)aba2-b2(1+x)(1-x)(-3+a)(-3-a)(1+a)(-1+a)(0．3x-1)(1+0．3x)练一练：口答下列各题：（1）(-a+b)(a+b)=_________． （2）(a-b)(b+a)=__________．（3）(-a-b)(-a+b)=． （4）(a-b)(-a-b)=．典例精析例1：计算：（1）(3x＋2)(3x－2)； （2）（-x+2y)(-x-2y)．方法总结：应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题：（1）左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数；（2）右边是相同项的平方减去相反项的平方；（3）公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式．针对训练利用平方差公式计算：（1）(3x－5)(3x＋5)； （2）(－2a－b)(b－2a)； （3）(－7m＋8n)(－8n－7m)．例2：计算：（1）102×98； （2）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)．针对训练计算：（1）51×49； （2）(3x+4)(3x-4)-(2x+3)(3x-2)．例3：先化简，再求值：(2x－y)(y＋2x)－(2y＋x)(2y－x)，其中x＝1，y＝2．例4：对于任意的正整数n，整式(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值一定是10的整数倍吗？方法总结：对于平方差中的a和b可以是具体的数，也可以是单项式或多项式，在探究整除性或倍数问题时，一般先将整式化为最简，然后根据结果的特征，判断其是否具有整除性或倍数关系．例5：王大伯家把一块边长为a米的正方形土地租给了邻居李大妈．今年王大伯对李大妈说：“我把这块地一边减少4米，另外一边增加4米，继续租给你，你看如何？”李大妈一听，就答应了．你认为李大妈吃亏了吗？为什么？方法总结：解决实际问题的关键是根据题意列出算式，然后根据公式化简算式，解决问题．二、课堂小结((a+b)(a-b)=a2-b2相同为a互为相反数的为b，-b当堂检测1．下列运算中，可用平方差公式计算的是()A．(x＋y)(x＋y) B．(－x＋y)(x－y)C．(－x－y)(y－x) D．(x＋y)(－x－y)2．计算（2x+1）（2x-1）等于（）A．4x2-1 B．2x2-1 C．4x-1 D．4x2+13．两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．4．利用平方差公式计算：（1）(a+3b)(a-3b)；（2）(3+2a)(－3+2a)；（3）(－2x2－y)(－2x2+y)．5．计算：20202－2019×2021．6．利用平方差公式计算：（1）(a-2)(a+2)(a2+4)； （2）(x-y)(x+y)(x2+y2)(x4+y4)．7．先化简，再求值：(x＋1)(x－1)＋x2(1－x)＋x3，其中x＝2．拓展提升8．已知x≠1，计算：(1＋x)(1－x)＝1－x2，(1－x)(1＋x＋x2)＝1－x3，(1－x)(1＋x＋x2＋x3)＝1－x4，……（1）观察以上各式并猜想：(1－x)(1＋x＋x2＋…＋xn)＝________(n为正整数)；（2）根据你的猜想计算：①(1－2)(1＋2＋22＋23＋24＋25)＝________；②2＋22＋23＋…＋2n＝________(n为正整数)；③(x－1)(x99＋x98＋x97＋…＋x2＋x＋1)＝________；（3）通过以上规律请你进行下面的探索：①(a－b)(a＋b)＝________；②(a－b)(a2＋ab＋b2)＝________；③(a－b)(a3＋a2b＋ab2＋b3)＝________．

参考答案自主学习一、知识链接1．乘相加2．（1）x2+4x+3（2）x2-9（3）m2-n2课堂探究要点探究探究点：平方差公式算一算①x2-12②m2-22③(2m)2-12④(5y)2-z2要点归纳a2-b2平方差填一填：(a-b)(a+b)aba2-b2(1+x)(1-x)1x12-x2(-3+a)(-3-a)-3a(-3)2-a2(1+a)(-1+a)a1a2-12(0.3x-1)(1+0.3x)0．3x1(0.3x)2-12练一练（1）b2-a2（2）a2-b2（3）a2-b2（4）b2-a2典例精析例1解：（1）原式=(3x)2－22=9x2－4；（2）原式＝(-x)2-(2y)2＝x2-4y2．针对训练解：（1）原式=(3x)2－52＝9x2－25；（2）原式=(－2a)2－b2＝4a2－b2；（3）原式=(－7m)2－(8n)2＝49m2－64n2．例2解：（1）102×98=(100＋2)(100－2)=1002-22=10000–4=9996；（2）(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=y2-22-(y2+4y-5)=y2-4-y2-4y+5=-4y+1．针对训练解：（1）原式=(50＋1)(50－1)=502-12=2500–1=2499；（2）原式=(3x)2-42-(6x2+5x-6)=9x2-16-6x2-5x+6=3x2-5x-10．例3解：原式＝4x2－y2－(4y2－x2)＝4x2－y2－4y2＋x2＝5x2－5y2．当x＝1，y＝2时，原式＝5×12－5×22＝－15．例4解：原式＝9n2－1－(9－n2)＝10n2－10．∵(10n2－10)÷10=n2-1，n为正整数，∴n2-1为整数，即(3n＋1)(3n－1)－(3－n)(3＋n)的值是10的倍数．例5解：李大妈吃亏了．理由如下：原正方形的面积为a2，改变边长后面积为(a＋4)(a－4)＝a2－16．∵a2＞a2－16，∴李大妈吃亏了．当堂检测1．C2．A3．104．解：（1）原式=a2－(3b)2=a2－9b2；（2）原式=(2a+3)(2a-3)=(2a)2－32=4a2－9；（3）原式=(-2x2)2－y2=4x4－y2．5．解：原式=20202－(2020－1)(2020+1)=20202－(20202－12)=20202－20202+12=1．6．解：（1）原式=(a2-4)(a2+4)=a