14.3.2 第2课时运用完全平方公式分解因式 人教版数学八年级上册同步课堂教案

第十四章整式的乘法与因式分解14.3因式分解14.3.2公式法第1课时运用平方差公式分解因式一、教学目标1.探索并运用完全平方公式进行因式分解，体会转化思想．2.能灵活运用各种方法进行因式分解．二、教学重难点重点：运用完全平方公式进行因式分解.难点：运用各种方法进行因式分解.三、教学过程【新课导入】[复习导入]我们已经学过的因式分解的方法有哪些？①提公因式法分解因式；②运用平方差公式分解因式：a2-b2=(a+b)(a-b)学生积极思考，教师带领复习提公因式法和平方差公式的相关知识.之后教师利用多媒体展示如下“练一练”，学生积极举手回答：【新知探究】知识点1因式分解的定义及其意义[提出问题]（1）我们学过的乘法公式有：平方差公式和完全平方公式.学生会齐声回答“完全平方公式”，教师紧接着提问：完全平方公式怎样用符号表达？[学生回答]教师点名，学生回答：(a+b)2=a2+2ab+b2；(a-b)2=a2-2ab+b2.[提出问题]运用完全平方公式填空:（1）(x+4)2=x2-2∙x∙4+42=x2+8x+16;（2）(2a-3b)2=(2a)2-2∙2a∙3b+(3b)2=4a2-12ab+9b2.学生积极举手回答.把上边的两个式子反过来：（1）x2+8x+16=x2-2∙x∙4+42=(x+4)2;（2）4a2-12ab+9b2=(2a)2-2∙2a∙3b+(3b)2=(2a-3b)2.学生能很快得到答案.教师引导学生观察等式两边的式子，引出这样的过程就是因式分解.[学生思考]（1）你能将a2+2ab+b2和a2-2ab+b2分解因式吗？（2）多项式a2+2ab+b2和a2-2ab+b2有什么特点？[小组讨论]对于(1)问题，教师提示可利用整式乘法与因式分解是方向相反的变形来将a2+2ab+b2和a2-2ab+b2分解因式;对于(2)问题，教师让学生从以下三方面回答：①每个多项式有几项？②每个多项式的第一项和第三项有什么特征？③中间项和第一项，第三项有什么关系？小组之间进行讨论，之后代表回答，对学生的每一种回答都给予鼓励.[归纳总结](1)a2+2ab+b2=(a+b)2，a2-2ab+b2=(a-b)2.两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.（2）我们把像a2+2ab+b2和a2-2ab+b2这样的式子叫做完全平方式(3)完全平方式的特点：1.必须是三项式（或可以看成三项的）；2.有两项可写成两个数（或式）的平方，且这两项的符号相同；3.另一项是这两个数（或式）之积的±2倍.[课件展示]教师利用多媒体展示以下例题：例1下列多项式中，是完全平方式的有①③⑤.不是的请说明原因.①a2-4a+4；②1+4a²；③-4b2-4b-1；④a2+ab+b2；⑤x2+x+0.25.②不是完全平方式，因为只有两项；④不是完全平方式，因为ab不是a与b的积的2倍.例2分解因式：（1）16x2+24x+9；（2）-x2+4xy-4y2.分析：(1)中，16x2=(4x)2,9=3²,24x=2·4x·3,所以16x2+24x+9是一个完全平方式，即16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32.(2)中首项有负号，一般先利用添括号法则，将其变形为-(x2-4xy+4y2),然后再利用公式分解因式.解：(1)16x2+24x+9=(4x)2+2·4x·3+32=(4x+3)2；(2)-x2+4xy-4y2=-(x2-4xy+4y2)=-[x2-2·x·2y+(2y)2]=-(x-2y)2.例3分解因式：（1）3ax2+6axy+3ay2；（2）(a+b)2-12(a+b)+36.分析：(1)中有公因式3a,应先提出公因式，再进一步分解；(2)中，将a+b看作一个整体，设a+b=m,则原式化为完全平方式m2-12m+36.解:(1)3ax2+6axy+3ay2=3a（x2+2xy+y2）=3a（x+y）2；(2)(a+b)2-12(a+b)+36=(a+b)2-2·(a+b)·6+62=(a+b-6)2.[归纳总结](1)可以看出，如果把乘法公式的等号两边互换位置，就可以得到用于分解因式的公式，用来把某些具有特殊形式的多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做公式法.(2)至此，我们学习过的分解因式的方法可总结如下：(3)因式分解的一般步骤：①当多项式的各项有公因式时，应先提取公因式；当多项式的各项没有公因式时（或提取公因式后），若符合平方差公式或完全平方公式，就利用公式法分解因式；②当不能直接提取公因式或用公式法分解因式时，可根据多项式的特点，把其变形为能提取公因式或能用公式法的形式，再分解因式；③当乘积中的每一个因式都不能再分解时，因式分解就结束了.[课件展示]跟踪训练1.将下列多项式因式分解，结果中不含因式x-1的是（D）A．x（x-3）+（3-x） B．x2-1C．x2-2x+1 D．x2+2x+1【解析】A选项，原式=x（x-3）-（x-3）=（x-3）（x-1）；B选项，原式=（x+1）（x-1）；C选项，原式=（x-1）2；D选项，原式=（x+1）2；故选D．2.（2021•贺州）多项式2x3-4x2+2x因式分解为（A）A．2x（x-1）2 B．2x（x+1）2 C．x（2x-1）2 D．x（2x+1）2【课堂小结】【课堂训练】1.下列因式分解正确的是（D）A．2x2-2=2（x2-1） B．-x2-y2=-（x+y）（x-y）C．x2-2xy+4y2=（x-2y）2 D．-x2-2xy-y2=-（x+y）22.因式分解：(1)（2021•苏州）x2-2x+1=（x-1）2;(2)（2021•连云港）9x2+6x+1=（3x+1）2;(3)（2021•淄博）3a2+12a+12=3（a+2）2;(4)（2021•包头）=.3．在横线上填入适当的数或单项式：（1）9a2–6ab+b2=(3a–b)2;（2）x4+4x2+4=(x+2)2;（3）p2-3p+=(p-)2;（4）25a2+40a+16=(5a+4)2.4.(1）若多项式x2+x+n是完全平方公式，则常数n是;（2）若4x2-kx+9是完全平方式，则实数k的值为±12.5.（2021•十堰）已知xy=2，x-3y=3，则2x3y-12x2y2+18xy3=36.6.计算：1.22+2×1.2×6.7+6.72-2.12.解：原式=（1.22+2×1.2×6.7+6.72）-2.12=（1.2+6.7）2-2.12=7.92-2.12=（7.9+2.1）（7.9-2.1）=10×5.8=58．7.分解因式：(1)-m2-m-;(2)x2+2x(x+y)+(x+y)2;(3)(a-1)+a2(1-a);(4)(a2+4)2-16a2.解：(1)原式=-（m2+m+）=-（m+）2;原式=（x+x+y）2=（2x+y）2;原式=(a-1)-a2(a-1)=(a-1)(1-a2)=(a-1)(1-a)(1+a)=-(a-1)2(a+1)；(4)原式=(a2+4)2-(4a)2=(a2+4+4a)(a2+4-4a)=(a+2)2(a-2)2．8.已知a，b，c分别是△ABC三边的长，且a2+2b2+c2-2b(a+c)=0，请判断△ABC的形状，并说明理由．解：a2+2b2+c2-2b(a+c)=0，a2+b2+b2+c2-2ab-2bc=0，（a2-2ab+b2）+（b2-2bc+c2）=0，(a-b)2+(b-c)2=0，∴a-b=0，b-c=0，∴a=b=c，∴△ABC是等边三角形．【教学反思】这节课学习的主要内容是运用完全平方公式进行因式分解.同样采用了与上节课一样的逆向思维的方法来学习这节课的内容：首先让学生回忆完全平方公式，接着就让学生利用完全平方公式做两道整式乘法的运算，然后将刚才用完全平方公式计算得出的两个多项式作为因式分解的题目请学生尝试，之后就顺利地和学生们一起分析了因式分解中的完全平方公式，讨论了“怎样的多项式能用完全平方公式因式分解?”这样就顺利的引出了“完全平方式”之一概念.在学习了“运用完全平方公式分解因式”后，总结了所学的两种因式分解的方法：提公因式法和公式法（平方差公式和完全平方公式），运用这两种方法分解因式的