江苏省苏州市常熟市2025届高三数学下学期3月“线上教育”学习情况调查试题含解析VIP

PAGE22-江苏省苏州市常熟市2025届高三数学下学期3月“线上教化”学习状况调查试题（含解析）留意事项：1．本试卷共160分，考试时间120分钟；2．答题前，请务必将自己的姓名、学校、考试号写在答卷纸的规定区域内；3．答题时必需运用0．5毫米黑色签字笔书写，作图可用2B铅笔．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．把答案填写在答题卷相应位置上．1.已知集合，则_______．【答案】【解析】【分析】求出集合，，依据集合的基本运算即可得到结论.【详解】解：，又，则.故答案为：.【点睛】本题主要考查集合的基本运算，确定集合元素是解决本题的关键.2.某校高一、高二、高三学生数之比为2∶3∶4，现用分层抽样方法抽取位同学参与志愿服务，其中高三年级抽取了12位同学，则________．【答案】【解析】【分析】依据比例关系列方程，解出即可.【详解】解：由已知得，解得：.故答案为：.【点睛】本题考查分层抽样的基本计算，是基础题.3.有4件产品，其中1件是次品，其余为正品，从中选取两件检测，两件产品均为正品的概率是_______．【答案】【解析】【分析】先列举选取两件的基本领件个数，再列举两件产品均为正品的基本领件数，最终用古典概型公式求解概率即可.【详解】解：设1件是次品为，正品为从4件产品中选取两件，有共6个基本领件，检测的两件产品均为正品，有共3种基本领件，则两件产品均为正品的概率是.故答案为：.【点睛】本题考查古典概型概率计算，是基础题.4.若执行下面程序框图，则输出的值是________．【答案】4【解析】【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算的值并输出相应变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的改变状况，可得答案.【详解】解：模拟程序的运行，可得

＝3，＝0

不满意条件为偶数，＝10，＝1

不满意条件＝8，执行循环体，满意条件为偶数，＝5，＝2

不满意条件＝8，执行循环体，不满意条件为偶数，＝16，＝3

不满意条件＝8，执行循环体，满意条件为偶数，＝8，＝4

此时，满意条件＝8，退出循环，输出的值为4.

故答案为：4.【点睛】本题主要考查循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的，的值是解题的关键，属于基础题.5.复数（其中是虚数单位）的虚部是___________．【答案】-1【解析】【分析】干脆利用复数代数形式的乘除运算化简得答案.【详解】解：，则，虚部为.故答案为：【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的基本概念，是基础题.6.已知，且，则________．【答案】【解析】【分析】利用诱导公式化为同一个角的计算问题即可.【详解】解：由已知，得，又，.故答案为：.【点睛】本题考查利用诱导公式化简和求值，是基础题.7.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层灯数为_____________【答案】3【解析】分析：设塔顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，利用等比数列前n项和公式能求出结果．详解:设塔的顶层共有a1盏灯，则数列{an}公比为2的等比数列，∴S7==381，解得a1=3．故答案为3.点睛：本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理实力与计算实力.8.双曲线的渐近线与抛物线的两个交点(原点除外)连线恰好经过抛物线的焦点，则双曲线的离心率为__________．【答案】【解析】【分析】先求出双曲线的渐近线与抛物线的一个交点，再利用交点在渐近线上可得，进而依据可得结果.【详解】解：对于抛物线，当时，则双曲线的渐近线与抛物线的一个交点为，则双曲线的渐近线的斜率，则离心率.故答案为：.【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，关键是要通过条件找到的关系式，是基础题.9.四棱锥中，平面，底面是边长为2的正方形，，则四棱锥的侧面积是_________．【答案】【解析】【分析】首先证明平面，得到是直角三角形，进而四棱锥每个侧面都是直角三角形，用三角形的面积公式求解即可.【详解】解：如图：由已知平面，又平面，则，又，且，所以平面，又平面，所以，即是直角三角形，同理也是直角三角形，且和的面积相同，四棱锥的侧面积：.故答案为：.【点睛】本题考查四棱锥侧面积的计算，关键是得到侧面都是直角三角形，是基础题.10.已知正项数列的前项和为，且，，则_______．【答案】4041【解析】【分析】由，可得时，，相减可得：，利用等差数列的通项公式即可得出.【详解】解：∵，∴时，，相减可得：.

，又

.由，当时，，得，，则.故答案为：.【点睛】本题考查了法求数列通向公式，考查了等差数列的通项公式，考查了学生计算实力，属于中档题.11.已知函数，若，则___________．【答案】3【解析】【分析】分类探讨，分别令，，求得后，接着将作为函数值求自变量.【详解】由题意，当时，，当时，，又，则，可得，再令，得，符合；故答案为：.【点睛】本题考查已知分段函数函数值求自变量，考查分类探讨的思想，是基础题.12.若对于给定的正实数，函数的图象上总存在点，使得以为圆心，1为半径的圆上有两个不同的点到原点的距离为2，则的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】依据题意得：以为圆心，1为半径的圆与原点为圆心，2为半径的圆有两个交点，即到原点距离小于3，即的图象上离原点最近的点到原点的距离小于3，设出坐标，利用两点间的距离公式表示出到原点的距离，利用基本不等式求出距离的最小值，让最小值小于3列出关于的不等式，求出不等式的解集即可得到的范围.【详解】解：依据题意得：，

设，

，

，即

则的范围为.

故答案为：.【点睛】此题考查圆与圆位置关系的判定，基本不等式的运用，以及两点间的距离公式，解题的关键是依据题意得出以为圆心，1为半径的圆与原点为圆心，2为半径的圆有两个交点，即到原点距离小于3.13.已知平面四边形中，，则________．【答案】4【解析】【分析】依据平面对量的线性运算与数量积运算，用，和表示和，计算即可.【详解】解：平面四边形中，则即，

解得，即；

所以.

故答案为：4.【点睛】本题考查了平面对量的线性表示与数量积运算问题，也考查了运算求解实力，是难题.14.设函数的两个极值点分别为，若恒成立，则实数的取值范围是_______．【答案】【解析】【分析】由函数有两个极值点分别为，可知不单调，利用导数求得的范围，运用韦达定理可得，作差，再由条件，结合恒成立思想，运用函数的单调性，构造函数，通过求导，推断单调性可得，即可得到的范围.【详解】解：∵函数有两个极值点分别为，

的定义域为，，

令，其判别式.

当时，在上单调递减，不合题意.

当时，的两根都小于零，在上，，则在上单调递减，不合题意.

当时，，设的两个根都大于零，

令，

当时，，当时，，当时，，

故分别在上单调递减，在上单调递增，

∴的取值范围是.

则，

，

.

若恒成立，则，

，

不妨设，则.

又，

①恒成立.

记，

记，

在上单调递增，在上单调递减，

且易知.又，

∴当时，；当时，.

故由①式可得，，代入方程，

得，（在上递增）.

又，∴的取值范围是.

故答案为：.【点睛】本题考查利用导数求单调区间、极值，主要考查极值的运用，运用分类探讨的思想方法是解题的关键，同时考查函数的单调性的运用和基本不等式的运用，考查运算实力，属于难题.二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.已知直三棱柱中，为等腰直角三角形，，且，点分别为中点．（1）求证：平面；（2）求证：平面．【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析【解析】【分析】（1）连结，推导出是中点，从而，由此能证明平面；

（2）推导出，，，从而平面，进而，从而四边形是矩形，推导出，从而，由此能证明平面.【详解】（1）连,三棱柱中，侧面是平行四边形，因平行四边形对角线相互平分，是中点，是中点，又是中点，平面平面，平面；（2）为等腰直角三角形，，，又是中点，,由直三棱柱知平面，平面，，又平面，平面，又平面，，又由为等腰直角三角形，，且,可知，又是中点，是中点，易证,得,又,，又平面平面.【点睛】本题考查线面平行、线面垂直的证明，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础学问，考查推理实力与计算实力，属于中档题.16.在中，角、、的对边分别为，已知，．（1）若的面积为，求，；（2）若，求的面积．【答案】（1）；（2）或【解析】分析】（1）由已知利用三角形的面积公式可求，利用余弦定理可得，联立方程即可得解，的值.

（2）由已知可求得，或，分类探讨，当时，可得，求得，利用三角形的面积公式即可求解；当时，由正弦定理可得，进而依据余弦定理，三角形的面积公式即可求解.【详解】解：（1），

，

∵由，

，

∴解得；

（2），即，

，可得，或，

当时，由于，可得，

又.可得，；

当时，由正弦定理可得，

又，可得，

.

∴三角形的面积为或.【点睛】本题主要考查了三角形的面积公式，余弦定理，正弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算实力和分类探讨思想，属于中档题.17.江南某湿地公园内有一个以为圆心，半径为20米的圆形湖心洲．该湖心洲的所对两岸近似两条平行线，且两平行线之间的距离为70米．公园管理方拟修建一条木栈道,其路途为(如图，在右侧）．其中，与圆相切于点，米．设，满意．（1）试将木栈道的总长表示成关于的函数，并指出其定义域；（2）求木栈道总长的最短长度．【答案】（1），定义域为，其中；（2）【解析】【分析】（1）试将木栈道的总长表示成关于的函数，由且求三角不等式得函数定义域；

（2）利用导数求木栈道总长的最短长度.【详解】解：（1）过分别向和作垂线，垂足为，

由题意可得，，

则.

在直角三角形中，.

.

又，

且，令，则.

∴定义域为，；

（2）由，得.

令，得，

，∴当时，.

故木栈道总长的最短长度为米.【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系的推断，依据直线和圆相切的等价条件，利用导数求函数的最值是解决本题的关键，是中档题.18.已知椭圆上一点与椭圆右焦点的连线垂直于轴，过椭圆上一点的直线与椭圆交于两点（均不在坐标轴上），设为坐标原点，过的射线与椭圆交于点．（1）若，求实数的值；（2）当为时，若四边形的面积为12，试求直线的方程．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由题意可知且，从而求出椭圆的方程，再把点再把代入椭圆方程，即可求出的值；

（2）设，由直线过点知

①，分别联立直线与椭圆和椭圆的方程，利用韦达定理得到所以，化简得

②，由①②即可解得和的值，从而求出直线的方程.【详解】解：（1）椭圆的右焦点坐标为（1，0），且，

又，解得：，

所以椭圆的方程为：，

设，则，

由得：，又，故；

（2）设，

由直线过点知

①，

由得，，

有，且，

由得，，

因为，所以，

所以，

化简得，得

②，

由①②解得：，

所以直线的方程为：.【点睛】本题主要考查了直线与椭圆的综合，考查了韦达定理的应用及面积的计算，考查了学生计算实力与分析实力，是一道中档题.19.构造数组，规则如下：第一组是两个1，即，其次组是，第三组是，在每一组的相邻两个数之间插入这两个数的和的倍得到下一组，其中．设第组中有个数，且这个数的和为．（1）干脆写出与的关系式，并求和；（2）已知，，是数列的前项和，是数列的前项和．若对随意，，求全部满意条件的正整数的值．【答案】（1），，；（2）【解析】【分析】（1），化为：，数列为等比数列，可得：，，可得：，利用通项公式可得；

（2），可得，可得，可得，依据对随意，即可得出.【详解】解：（1），化为：，

∴数列为等比数列，可得，可得：，

，可得：.

，解得：.

（2），.

.

.

∵对随意，

，

解得.

∴正整数.【点睛】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式与求和公式、不等式的解法、分类探讨方法，考查了推理实力与计算实力，属于中档题.20.已知函数．（1）设,①当时，求曲线在点处的切线方程；②当时，求证：对随意恒成立．（2）探讨的极值点个数．【答案】（1）①；②证明见解析；（2）当时，有且仅有一个极值点；当时，有三个极值点【解析】【分析】（1）①将代入，求出切点及斜率，利用点斜式即可得切线方程；②只需证时，对随意都成立，利用导数求其最值即可得证；

（2）只有一个极值点或三个极值点，令，当只有一个极值点时，的图象必穿过轴且只穿过一次，即为单调减函数或者极值同号，分类探讨即可得解，同理可求当有三个极值点时的状况.【详解】解：（1），

①当时，，

∴切线方程为；

②证明：要证对随意，，只需证时，对随意都成立，

，令得，