广东省2024高考数学学业水平合格考试总复习学业达标集训平面向量含解析

PAGE平面对量一、选择题1．已知向量eq\o(AB,\s\up6(→))＝a＋3b，eq\o(BC,\s\up6(→))＝5a＋3b，eq\o(CD,\s\up6(→))＝－3a＋3b，则()A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线B[因为eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(BC,\s\up6(→))＋eq\o(CD,\s\up6(→))＝2a＋6b＝2(a＋3b)＝2eq\o(AB,\s\up6(→))，所以eq\o(BD,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))共线，又有公共点B，所以A，B，D三点共线．故选B．]2．已知向量a＝(2,1)，b＝(3，λ)且a⊥b，则λ的值为()A．－6 B．6C．eq\f(3,2) D．－eq\f(3,2)A[由向量垂直的充要条件可得：2×3＋1×λ＝0，解得λ＝－6，即λ的值为－6.]3．设向量a＝(2,0)，b＝(1,1)，则下列结论中正确的是()A．|a|＝|b| B．a·b＝0C．a∥b D．(a－b)⊥bD[a－b＝(1，－1)，所以(a－b)·b＝1－1＝0，所以(a－b)⊥b.]4．已知向量a＝(0，－2eq\r(3))，b＝(1，eq\r(3))，则向量a在b方向上的投影为()A．eq\r(3) B．3C．－eq\r(3) D．－3D[向量a在b方向上的投影为eq\f(a·b,|b|)＝eq\f(－6,2)＝－3.]5．已知向量a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若2a－b与b垂直，则|a|等于()A．1 B．eq\r(2)C．2 D．4C[∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0，∴n2＝3，∴|a|＝eq\r(12＋n2)＝2.]6．在△ABC中，C＝90°，且CA＝CB＝3，点M满意eq\o(BM,\s\up6(→))＝2eq\o(MA,\s\up6(→))，则eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))等于()A．2B．3C．4 D．6B[由题意得AB＝3eq\r(2)，△ABC是等腰直角三角形，eq\o(CM,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\o(CA,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AB,\s\up6(→))))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝eq\o(CA,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(CB,\s\up6(→))＝0＋eq\f(1,3)|eq\o(AB,\s\up6(→))|·|eq\o(CB,\s\up6(→))|cos45°＝eq\f(1,3)×3eq\r(2)×3×eq\f(\r(2),2)＝3，故选B．]7.如图，在△ABC中，已知eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\o(DC,\s\up6(→))，则eq\o(AD,\s\up6(→))＝()A．－eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up6(→))B．eq\f(1,2)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(3,2)eq\o(AC,\s\up6(→))C．eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))D．eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→))C[eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(BD,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)·(eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\f(1,3)eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AC,\s\up6(→)).]8．已知向量a，b的夹角为60°，且|a|＝1，|b|＝2，则|2a－bA．1 B．eq\r(2)C．eq\r(3) D．2D[∵向量a，b的夹角为60°，且|a|＝1，|b|＝2，∴a·b＝1×2×cos60°＝1，∴|2a－b|＝eq\r(4|a|2＋b2－4a·b)＝eq\r(4＋4－4)＝2，故选D．]9．已知向量a＝(1,2)，b＝(2，－3)．若向量c满意(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，则c等于()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,9)，\f(7,3))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,3)，－\f(7,9)))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(7,3)，\f(7,9))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(7,9)，－\f(7,3)))D[设c＝(x，y)，则c＋a＝(x＋1，y＋2)．又(c＋a)∥b，∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.①又c⊥(a＋b)，∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.②由①②解得x＝－eq\f(7,9)，y＝－eq\f(7,3)，故选D．]10．已知a＝(1,1)，b＝(0，－2)，且ka－b与a＋b的夹角为120°，则k等于()A．－1＋eq\r(3) B．－2C．－1±eq\r(3) D．1C[∵|ka－b|＝eq\r(k2＋k＋22)，|a＋b|＝eq\r(12＋－12)＝eq\r(2)，∴(ka－b)·(a＋b)＝(k，k＋2)·(1，－1)＝k－k－2＝－2，又ka－b与a＋b的夹角为120°，∴cos120°＝eq\f(ka－b·a＋b,|ka－b||a＋b|)，即－eq\f(1,2)＝eq\f(－2,\r(2)×\r(k2＋k＋22))，化简并整理，得k2＋2k－2＝0，解得k＝－1±eq\r(3).]11．在四边形ABCD中，eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))，且eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0，则四边形ABCD是()A．矩形 B．菱形C．直角梯形 D．等腰梯形B[由eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))知四边形ABCD是平行四边形，由eq\o(AC,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))＝0知AC⊥BD，即对角线垂直，所以四边形ABCD是菱形．]12.如图，已知AD，BE分别为△ABC的边BC，AC上的中线，设eq\o(AD,\s\up6(→))＝a，eq\o(BE,\s\up6(→))＝b，则eq\o(BC,\s\up6(→))等于()A．eq\f(4,3)a＋eq\f(2,3)bB．eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)bC．eq\f(2,3)a－eq\f(4,3)bD．－eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)bB[eq\o(BC,\s\up6(→))＝2eq\o(BD,\s\up6(→))＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)\o(BE,\s\up6(→))＋\f(1,3)\o(AD,\s\up6(→))))＝eq\f(4,3)eq\o(BE,\s\up6(→))＋eq\f(2,3)eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(2,3)a＋eq\f(4,3)b.]13．若非零向量a，b满意|a|＝|b|，(2a＋b)·b＝0，则a与b的夹角为()A．30° B．60°C．120° D．150°C[由题知，(2a＋b)·b＝2a·b＋b2＝2|a|2cos〈a，b〉＋a2＝0，∴cos〈a，b〉＝－eq\f(1,2)，又∵〈a，b〉∈[0°，180°]，∴a，b的夹角为120°.]14．已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝(－2,1)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(0,2)且eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(OB,\s\up6(→))，eq\o(BC,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，则点C的坐标是()A．(2,6) B．(－2，－6)C．(2，－6) D．(－2,6)D[设C(x，y)，则eq\o(AC,\s\up6(→))＝(x＋2，y－1)，eq\o(BC,\s\up6(→))＝(x，y－2)，eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,1)，∵eq\o(AC,\s\up6(→))∥eq\o(OB,\s\up6(→))，∴2(x＋2)＝0，①∵eq\o(BC,\s\up6(→))⊥eq\o(AB,\s\up6(→))，∴2x＋y－2＝0，②由①②可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－2，,y＝6))，∴C(－2,6)．]15．若|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝5，|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝8，则|eq\o(BC,\s\up6(→))|的取值范围是()A．[3,8] B．(3,8)C．[3,13] D．(3,13)C[∵|eq\o(BC,\s\up6(→))|＝|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|，且||eq\o(AC,\s\up6(→))|－|eq\o(AB,\s\up6(→))||≤|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|≤|eq\o(AC,\s\up6(→))|＋|eq\o(AB,\s\up6(→))|.∴3≤|eq\o(AC,\s\up6(→))－eq\o(AB,\s\up6(→))|≤13.∴3≤|eq\o(BC,\s\up6(→))|≤13.]二、填空题16．已知向量a＝(eq\r(3)，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，eq\r(3))．若a－2b与c共线，则k＝.1[a－2b＝(eq\r(3)，3)．∵a－2b与c共线，∴eq\r(3)×eq\r(3)＝3k，解得k＝1.]17．等边三角形ABC的边长为1，eq\o(BC,\s\up6(→))＝a，eq\o(CA,\s\up6(→))＝b，eq\o(AB,\s\up6(→))＝c，那么ab＋bc＋ca等于．－eq\f(3,2)[∵等边三角形ABC的边长为1，∴a·b＝1×1×cos120°＝－eq\f(1,2)，b·c＝1×1×cos120°＝－eq\f(1,2)，c·a＝1×1×cos120°＝－eq\f(1,2)，∴ab＋bc＋ca＝－eq\f(3,2).]18．已知平面对量a＝(2,4)，b＝(1，－2)，若c＝a－(a·b)b，则|c|＝.8eq\r(2)[由题意可得a·b＝2×1＋4×(－2)＝－6，∴c＝a－(a·b)b＝a＋6b＝(2,4)＋6(1，－2)＝(8，－8)，∴|c|＝eq\r(82＋－82)＝8eq\r(2).]19．已知向量a，b满意(a＋2b)·(5a－4b)＝0，且|a|＝|b|＝1，则a与b的夹角θ为．eq\f(π,3)[因为(a＋2b)·(5a－4b)＝0，|a|＝|b|＝1，所以6a·b－8＋5＝0，即a·b＝eq\f(1,2).又a·b＝|a||b|cosθ＝cosθ，所以cosθ＝eq\f(1,2)，因为θ∈[0，π]，所以θ＝eq\f(π,3).]三、解答题20．已知a，b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2.求：(1)(a－2b)(a＋b)；(2)|3a－4b[解]a，b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，∴ab＝|a||b|cos120°＝4×2×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝－4，(1)(a－2b)(a＋b)＝|a|2－2ab＋ab－2|b|2＝16＋4－2×4＝12.(2)|3a－4b|2＝9|a|2－24ab＋16|b|2＝9×42－24(－4)＋16×22＝16×19，∴|3a－4b|＝4eq\r(19).21．已知a，b，c是同一平面内的三个向量，其中a＝(1,2)．(1)若|c|＝2eq\r(5)，且c与a方向相反，求c的坐标；(2)若|b|＝eq\f(\r(5),2)，且a＋2b与2a－b垂直，求a与b的夹角θ.[解](1)设c＝(x，y)，由c∥a及|c|＝2eq\r(5)，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co