广东省汕头市潮阳区2024-2025学年高二数学上学期期末考试试题

PAGE2广东省汕头市潮阳区2024-2025学年高二数学上学期期末考试试题本试题满分150分，考试用时120分钟留意事项：1．答卷前，务必用黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校、姓名和考生号。2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案不能答在试卷上。不按要求填涂的，答案无效。3．非选择题必需黑色字迹的签字笔作答，答案必需写在答题卡各题目指定区域内相应位置上，请留意每题答题空间，预先合理支配；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准运用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。一、单选题：（本题共8小题，每小题5分，共40分，每小题四个选项中，只有一个是正确的，请将正确的选项填在答题卷上）1．已知集合，则等于（）A．B． C．D．2．依据下表样本数据x6891012y65432用最小二乘法求得线性回来方程为，则的值为（）A．10.2 B．10.3 C．10.4 D．10.53．“”是“椭圆焦距为4”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件4.已知等差数列的前n项和为，，若，且，则m的值为（）A．7B．8C．14D．165.若，则（）A． B． C． D．6.已知，，，则的大小关系为（）A. B. C.D.7．已知圆锥的底面半径为R，高为4R，在它的全部内接圆柱中，表面积的最大值是（）A． B．C．D．8.蹴鞠，又名“蹴球”“蹴圆”等，“蹴”有用脚蹴、踢的含义，蹴最早系外包皮革、内饰米糠的球。因而“蹴鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动，类似今日的足球。2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院批准列入第一批国家级非物质文化遗产名录.已知某“鞠”的表面上有四个点A，B，C，D满意，，，则该“鞠”的表面积为（）cm2A．B．C．D．二、多选题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分。）9．已知曲线（）A．若，，则是两条直线B．若，则是圆，其半径为C．若，则是椭圆，其焦点在轴上D．若，则是双曲线，其渐近线方程为10.已知是两个不重合的平面，是两条不重合的直线，则下列命题正确的是（）A．若，，，则B．若，则 C．若，，，，则D．若，则与所成的角和与所成的角相等11．已知函数，则下列结论正确的是（）A．的最小正周期为2B．在单调递增C．的图象关于对称D．的最小值为12．已知三棱锥中，为中点，平面，，，则下列说法中正确的是（）A．若为的外心，则B．若为等边三角形，则C．当时，与平面所成角的范围为D．当时，为平面内动点，若平面，则在三角形内的轨迹长度为三、填空题：（本大题共4小题，每题5分，共20分）13．若，且，则实数______________。14.已知函数是奇函数，且满意，若当时，，则。15．已知抛物线：的焦点为，准线为，点在上，过点作的垂线交于点，且，，则抛物线的方程为。16.设双曲线的左右两个焦点分别为、，是双曲线上随意一点，过的直线与的平分线垂直，垂足为，则点的轨迹曲线的方程________；在曲线上，点，，则的最小值________。（第一空2分，其次空3分）四、17.（10分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知向量，，且满意。(1)求角A的大小；(2)若，且的面积为，求△ABC的周长。18.（12分）在数列中，为的前项和，若在①；②，这两个条件中任选一个填入上面的横线上并解答。注：若选择条件①和条件②分别解答，按第一个解答计分。（1）证明为等比数列；（2）设，且，证明。19．（12分）已知半径为2的圆与直线：相切，且圆心在轴非负半轴上。（1）求圆的方程；（2）直线：与圆交于，两点，分别过，作直线的垂线与轴分别交于，两点，求。20.（12分）如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1，平面AA1C1C⊥平面ABC，∠ABC=90°，∠BAC=30°，A1A=A1C=AC，E，F分别是AC，A1B1的中点。（1）证明：；（2）求直线与平面所成角的正弦值。21．（12分）某化工厂从今年一月起，若不改善生产环境，按生产现状，每月收入为80万元，同时将受到环保部门的惩罚，第一个月罚4万元，以后每月增加2万元。假如从今年一月起投资500万元添加回收净化设备(改造设备时间不计)，一方面可以改善环境，另一方面可以大大降低原料成本，据测算，添加回收净化设备并投产后的前4个月中的累计生产净收入g(n)是生产时间个月的二次函数g(n)=n2+kn(k是常数，且前3个月的累计生产净收入可达309万元，从第5个月起先，每个月的生产净收入都与第4个月相同，同时，该厂不但不受惩罚，而且还将得到环保部门的一次性嘉奖120万元。(1)求前6个月的累计生产净收入g(6)的值；(2)问经过多少个月，投资起先见效，即投资改造后的纯收入多于不改造的纯收入。22.（12分）已知椭圆过点，、分别为椭圆C的左、右焦点，且。（1）求椭圆C的方程；（2）若直线平行于OP（O为原点），且与椭圆C交于A、B两点，与直线交于点M（M介于A、B两点之间）。（i）当面积最大时，求的方程；（ii）求证：。

潮阳区2024-2025学年上学期高二级期末教学质量监测试卷数学答案一、单选题：1-8CBABDCCA二、多选题：9.AD10.ACD11.CD12.ACD三、填空题：13.14.-115.16.8.将四面体放入长方体中，四面体各边可看作长方体各面的对角线，则“鞠”的表面积为四面体外接球的表面积，即为长方体外接球的表面积，设长方体棱长为，，，则有，，，设长方体外接球半径为,则有，解得，所以外接球的表面积为：。12.依题意，画图如下：若为QUOTE的外心，则，平面，可得，，故，A正确；QUOTE若为等边三角形，，又，BC与PB相交于平面内，可得平面，即，由，，可得，故，冲突，B错误;若，设与平面所成角为，由A正确，知，设到平面的距离为由可得即有QUOTE当且仅当取等号。可得的最大值为，QUOTE，即的范围为，C正确；取中点，的中点，连接，由中位线定理可得，，OK∥PA，则平面平面，由平面，可得在线段上，即轨迹，可得D正确；故选：ACD16.如图所示：延长与的延长线交于点H，则OQ=QUOTEHF2=QUOTE(PH-PF2)=QUOTElPF1-PF2l=a=4,故轨迹方程为H取点，则，△MOC∽△MOA，故MC=QUOTE，H，当共线时等号成立.故答案为：；四、解答题：17.1分2分3分4分5分且6分，又7分由余弦定理得：8分即9分△ABC的周长为：10分18．证明：（1）选条件①，在，中，令，得1分当时，4分符合上式，所以5分所以，数列是以3为首项，3为公比的等比数列6分选条件②，在，中，令，得即1分当时，由，得到则4分又，所以，5分数列是以3为首项，3为公比的等比数列6分(2)8分11分∴12分19．（1）设圆心，（mQUOTE1分因为圆与直线相切，则圆心到的距离，3分解得，所以，4分圆的方程为5分（2）如图，过作的平行线与交于点，所以，因为直线的斜率为，所以其倾斜角为，即，6分所以，即，7分设圆圆心到直线：的距离为，则，9分所以，11分即12分20.方法一：证明：（1）连接A1E，∵A1A＝A1C，E是AC的中点，∴A1E⊥AC，...1分又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，∴A1E⊥平面ABC，...2分∴A1E⊥BC，...3分∵A1F∥AB，∠ABC＝90°，∴BC⊥A1F，...4分∵A1F∩A1E＝A1，∴BC⊥平面A1EF，...5分∴EF⊥BC．...6分解：（2）取BC中点G，连接EG、GF，则EGFA1是平行四边形，由于A1E⊥平面ABC，故A1E⊥EG，∴平行四边形EGFA1是矩形，由（1）得BC⊥平面EGFA1，则平面A1BC⊥平面EGFA1，∴EF在平面A1BC上的射影在直线A1G上，连接A1G，交EF于O，则∠EOG是直线EF与平面A1BC所成角（或其补角），...9分不妨设AC＝4，则在Rt△A1EG中，A1E＝2，EG＝，∵O是A1G的中点，故EO＝OG＝＝，∴cos∠EOG＝＝，∴直线EF与平面A1BC所成角的正弦值为QUOTE．...12分方法二：证明：（1）连接A1E，∵A1A＝A1C，E是AC的中点，∴A1E⊥AC，又平面A1ACC1⊥平面ABC，A1E⊂平面A1ACC1，平面A1ACC1∩平面ABC＝AC，∴A1E⊥平面ABC，...2分如图，以E为原点，在平面ABC中，过E作AC的垂线为x轴，EC，EA1所在直线分别为y，z轴，建立空间直角坐标系，...3分设AC＝4，则A1（0，0，2），B（），B1（），F（），C（0，2，0），...4分EF＝（），BC＝（﹣），由EF.BC＝0，得EF⊥BC．...6分解：（2）设直线EF与平面A1BC所成角为θ，由（1）得＝（﹣），＝（0，2，﹣2），设平面A1BC的法向量＝（x，y，z），则，取x＝1，得＝（1，），...9分...11分∴sinθ＝，∴直线EF与平面A1BC所成角的正弦值为．...12分21．（1）据题意，解得...2分第4个月的净收入为万元3分万元4分（2）即...6分要想投资起先见效，必需且只需，...7分即，...8分①