2-7-无穷小量的比较

课前练习安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics安徽财经大学AnhuiUniversityofFinance&Economics1959ContinuityofFunction二、等价无穷小在求极限中的应用一、无穷小量的比较§2.7无穷小量的比较一、无穷小量的比较1.1、问题的提出无穷小的和、差、积仍为无穷小.无穷小的商是什么？引例:趋向于零的“快慢”程度不同.结论:x10.50.10.010.001…→02x210.20.020.002…→0x210.250.010.00010.000001…→01.2、两个无穷小的关系:一、无穷小量的比较定义：1.2、两个无穷小的关系:一、无穷小量的比较引例中：一、无穷小量的比较例1解：1）高阶同阶但不等价例2解：一、无穷小量的比较一、无穷小量的比较例2解：证注意：若未定式的分子或分母为若干个因子的乘积，则可对其中的任意一个或几个无穷小因子作等价无穷小代换，而不会改变原式的极限．2.1、等价无穷小因子替换法二、等价无穷小在求极限中的应用替换方法：要么替换整个分子（分母），要么替换分子（分母）中的因子．二、等价无穷小在求极限中的应用证:常用的几个等价无穷小:二、等价无穷小在求极限中的应用注意：等价无穷小中，可以对相应的变量进行置换二、等价无穷小在求极限中的应用如：一般地，有：如果又如：例1解:二、等价无穷小在求极限中的应用例2解:例3解：二、等价无穷小在求极限中的应用例4解:此题用倒代换也可二、等价无穷小在求极限中的应用例5解：例6解：此题用倒代换也可二、等价无穷小在求极限中的应用例7解:二、等价无穷小在求极限中的应用例8解:由题意知例9解1：二、等价无穷小在求极限中的应用注：有些问题先恒等变形创造条件，再替换。例9解2：原极限=二、等价无穷小在求极限中的应用例10解：方法1二、等价无穷小在求极限中的应用方法2对数恒等式？？一、无穷小量的比较例11解：由题意知：而注意：不能滥用等价无穷小代换.无穷小代换原则：乘除可以替换，加减不能单项替换，只能总体代换!!二、等价无穷小在求极限中的应用反例：解错解不能．例当时都是无穷小量但不存在且不为无穷大故当时,思考题比较：反映同过程,两无穷小趋于零的速度快慢,但并不是所有的无穷小都可进行比较.思考题任何两个无穷小都可以比较阶的高低吗？第二章总结一、基本概念：什么时候解题要分别考虑单侧极限？

（1）指数函数，绝对值函数以及偶次根式函数通常要分别考虑两个单侧极限是否存在；（2）如果是分段函数的分界点，而且在分界点的两侧函数表达式不同，则要分别考虑左极限与右极限。例如第二章总结4、无穷小量与无穷大量的概念与性质5、连续函数的概念第二章总结7、函数有界,极限存在和连续的关系6、间断点的概念与分类第二章总结二、极限的计算方法1、确定型极限的计算方法：⑴利用极限四则运算法；⑵无穷小与有界变量的积仍为无穷小；⑶无穷大与无穷小的关系。2、未定型极限的计算方法：将未定型的极限转化为确定型的极限;或者利用两个重要极限.第二章总结罗比塔法则（第四章）三、闭区间上连续函数的性质第二章总结四、关于求极限的几个要注意的问题第二章总结1.先判断极限类型，根据不同类型采取不同的方法；2.求极限之前，要尽可能简化极限表达式。常用方法有：(1)先“替换”等价无穷小的因子；(2)对极限为非零常数的因子，可以用其极限值进行“置换”。例如：注意:第二章总结不是因子（如加减的情形），不能“置换”!!例如：第二章总结例1解：第二章总结例2解：第二章总结例3解：五、含参变量极限表示的函数第二章总结参变量：参与某种运算的一个变量，简称参量。且当参