【易错专训】12 三角形相似的性质（解析版）

【突破易错·冲刺满分】2021-2022学年九年级数学上册期末突破易错挑战满分（北师大版）易错12三角形相似的性质【易错1例题】三角形相似的性质1-1．（2021·上海交通大学附属第二中学九年级月考）已知两个相似三角形的面积之比是1：16，那么这两个三角形的周长之比是______．【答案】1：4【分析】由两个相似三角形的面积比是1：16，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方，相似三角形的周长比等于相似比，即可求得答案．【详解】两个相似三角形的面积比是1：16，这两个三角形的相似比是1：4，这两个三角形的周长之比是1：4，故答案为：1：4【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键．1-2．（2021·沈阳市第七中学九年级月考）如图，已知△ADE和△ABC的相似比是1：2，且△ADE的面积是1，则四边形DBCE的面积是___．【答案】3【分析】根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，求出△ADE与△ABC的面积比，计算得到答案．【详解】解：∵△ADE与△ABC的相似比为1：2，∴△ADE与△ABC的面积比为1：4．∴△ADE与四边形DBCE的面积比为1：3．∵△ADE的面积是1，∴四边形DBCE的面积是3．故答案为：3．【点睛】本题考查的是相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．1-3．（2021·福建永春·九年级学业考试）如图，在平行四边形中，的平分线交AC于点E，交AD于点F，交CD的延长线于点G，若，则的值为____．【答案】【分析】由，可以假设，则，，证明，，再利用相似三角形的性质即可解决问题．【详解】解：设，∵，∴，，∵四边形是平行四边形，∴，，，∴，，∵平分，∴，∴，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定与性质．【易错2例题】三角形相似测高2．（2021·陕西碑林·交大附中分校九年级模拟预测）已知不等臂跷跷板AB长为3米，当AB的一端点A碰到地面时，（如图1）点B离地高1.5米；当AB的另一端点B碰到地面时，（如图2）点A离地高1米，求跷跷板AB的支撑点O到地面的距离为多少米？【答案】跷跷板AB的支撑点O到地面的距离为0.6米．【分析】过点B作BN⊥AH于点N，AM⊥BH于点M，直接利用相似三角形的判定与性质分别得出，，即可得出答案．【详解】解：如图所示：过点B作BN⊥AH于点N，AM⊥BH于点M，可得HO∥BN，则△AOH∽△ABN，故，∵AB长为3米，BN长为1.5米，∴，∴同理可得：△BOH∽△BAM，则，∵AB长为3米，AM长为1米，∴，即∴OH＝0.6，答：跷跷板AB的支撑点O到地面的距离为0.6米．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，正确得出比例式，建立方程是解题关键．【专题训练】选择题1．（2021·郑州中原一中实验学校九年级月考）已知△ABC和△DEF满足==，且∠A=70°，∠B=60°，则∠F=（）A．60° B．50° C．70° D．60或50°【答案】B【分析】先利用三角形内角和定理求得的大小，根据题意==，可得△ABC△DEF，进而可得，即可求得的大小．【详解】∠A=70°，∠B=60°，，==，△ABC△DEF，故选B．【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，三角形内角和定理，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．2．（2021·上海市金山初级中学九年级月考）已知两个相似三角形的相似比为1：4，则它们的对应高的比为（）A．1：2 B．1：4 C．1：8 D．1：16【答案】B【分析】直接利用相似三角形的性质求解．【详解】解：因为两个相似三角形的相似比为，所以则这两个三角形的对应高的比为．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．相似三角形的面积的比等于相似比的平方．3．（2021·上海市金山初级中学九年级月考）已知小丽同学身高1.5米，经太阳光照射，在地面的影长为2米，她此时测得一建筑物在同一地面的影长为40米，那么这个建筑物的高为（）A．30米 B．40米 C．50米 D．60米【答案】A【分析】在同一时刻物高和影长成正比，即在同一时刻的两个物体，影子，经过物体顶部的太阳光线三者构成的两个直角三角形相似．【详解】解：根据相同时刻的物高与影长成比例，设建筑物的高度为米，则可列比例为：，解得：，故选：A．【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，利用同一时刻物高和影长成正比得出是解题关键．4．（2021·大连市第三十四中学九年级月考）如图，在平行四边形中，点在边上，，交于点，若，则（）．A． B． C． D．【答案】D【分析】通过平行四边形的性质可以得到且，进而得到，再通过，得到，最后由相似三角形的面积比等于相似比的平方得出答案．【详解】解：∵四边形ABCD为平行四边形，∴且，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，故选D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的性质，解题的关键是熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方．5．（2021·山东省济南第二十中学九年级月考）如图，在△ABC中，BC＝120，高AD＝60，正方形EFGH一边在BC上，点E，F分别在AB，AC上，AD交EF于点N，则AN的长为（）A．15 B．20 C．25 D．30【答案】B【分析】设正方形EFGH的边长EF=EH=x，证明四边形EHDN是矩形，则DN=x，根据正方形的性质得出EFBC，推出△AEF∽△ABC，根据相似三角形的性质计算即可得解．【详解】解：设正方形EFGH的边长EF=EH=x，∵四边EFGH是正方形，∴∠HEF=∠EHG=90°，EFBC，∴△AEF∽△ABC，∵AD是△ABC的高，∴∠HDN=90°，∴四边形EHDN是矩形，∴DN=EH=x，∵△AEF∽△ABC，∴，∵BC=120，AD=60，∴AN=60-x，∴，解得：x=40，∴AN=60-x=60-40=20．故选：B．【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，正方形的性质，掌握相似三角形的判定和性质，矩形的判定和性质是解题的关键．二、填空题6．（2021·上海市金山初级中学九年级月考）如图，在△ABC中，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，DE∥BC，AD＝5，DB＝4，则DE：BC＝___．【答案】5：9【分析】首先根据DE∥BC，得出△ADE∽△ABC，即可得出，进而得即可求解．【详解】解：∵DE∥BC，

∴△ADE∽△ABC，∴∵AD＝5，DB＝4，∴则DE：BC＝5：9．故答案为：5：9．【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，根据已知得出△ADE∽△ABC是解题关键．7．（2021·江苏江阴·南闸实验学校九年级月考）若三角形三边之比为3：6：7，与它相似的三角形的最长边为14cm，则此三角形周长为____．【答案】32cm【分析】根据相似三角形的性质，依题意设这个三角形三边为3x，6x，7x，可求其他两边分别是6cm，12cm，可求与它相似的三角形周长．【详解】解：∵三角形三边之比为3：6：7，∴与他相似的三角形的三边之比也为3：6：7，设这个三角形三边为3x，6x，7x，∵与它相似的三角形的最长边为14cm，∴7x=14，则x=2，与它相似的三角形最长边为14cm，那么其他两边分别是6cm，12cm，那么与它相似的三角形周长为6+12+14=32cm,故此三角形周长为32cm．故答案为：32cm．【点睛】本题考查相似三角形的性质，关键是设出与它相似的三角形的三边，利用最长边构造方程．8．（2021·全国九年级单元测试）如图，与相交于点，点在上，且，若，，则的长为________.【答案】【分析】证明、，得到，代入计算得到答案．【详解】解：，，，，，，，，解得，，故答案为：6．【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相似三角形的判定定理和性质定理．9．（2021·上海市金山初级中学九年级月考）如图，在平行四边形ABCD中，点E是DC中点，BE与AC相交于点O，如果△EOC的面积是2cm2，那么△ABC的面积是___cm2．【答案】12【分析】首先证明，，利用等高模型解决问题即可．【详解】解：四边形是平行四边形，，，，∴，，，，的面积是2，的面积为4，的面积为8，的面积为．故答案为12．【点睛】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10．（2021·温州市实验中学九年级月考）如图，在△ABC中，中线AD，BE相交于点F．EG∥BC交AD于点G，若△BDF的面积为2，则△AGE的面积为____________．【答案】1.5．【分析】根据中线，相交于点，可得，，再根据，得，，，可得，即有，，再根据的面积为2，可知的面积为4，即有的面积为6，根据，得，计算即可得到结果．【详解】解：中线，相交于点，∴，，∵∴，，，，∴，∴，即有，∴∵的面积为2，∴的面积为4，∴的面积为6，即有的面积为6，∵∴∴故答案：1.5．【点睛】本题考查了三角形中位线定理、相似三角形的判定与性质以及三角形面积关系等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．三、解答题11．（2021·江苏宜兴·九年级月考）如图，△ADE∽△ABC，AD＝3cm，AE＝2cm，CE＝4cm，BC＝9cm(1)求BD、DE的长；(2)求△ADE与△ABC的周长比．【答案】（1）BD=6，DE=3；（2）．【分析】（1）根据相似三角形的性质得出，然后代入求解即可；（2）根据相似三角形周长比等于相似比求解即可．【详解】解：（1）∵AE＝2cm，CE＝4cm，∴AC=AE+CE=2+4=6cm，∵△ADE∽△ABC，∴，即，解得：AB=9，DE=3，∴BD=AB-AD=9-3=6；（2）∵△ADE∽△ABC，相似比=，∴△ADE与△ABC的周长比为．【点睛】此题考查了相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．相似三角形对应边成比例，相似三角形的周长比等于相似比．12．（2021·陕西新城·西安市西光中学九年级月考）晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯D的高度．如图，当李明走到点A处时，张龙测得李明直立时身高AM与其影子长AE正好相等；接着李明沿AC方向继续向前走，走到点B处时，李明直立时身高BN的影子恰好是线段AB，并测得．已知李明直立时的身高为，求路灯的高CD的长．【答案】6.4m，过程见解析【分析】根据AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC得到MA∥CD∥BN，从而得到△ABN∽△ACD，根据EA=MA得到∠E=45°，进而得到△ECD为等腰直角三角形，得到EC=CD，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可．【详解】解：设CD长为x米，∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA=MA，∴MA∥CD∥BN，且△AME为等腰直角三角形，∴∠E=45°，∴△ECD为等腰直角三角形，∴EC=CD=x米，AC=EC-AE=EC-AM=x-1.6，∵BN∥CD，∴∠ANB=∠ADC，∠ABN=∠ACD=90°，∴△ABN∽△ACD，∴，代入数据：，解得：，答：路灯的高CD的长为6.4m．【点睛】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是根据已知条件得到平行线，从而得到△ABN∽△ACD，同时根据EA=MA得到∠E=45°，进而得到EC=CD．13．（2021·郑州中原一中实验学校九年级月考）已知在△ABC中，D是边AC上一点，∠CBD的角平分线交AC于点E，且AE=AB．（1）求证：△ABD∽△ACB；（2）若AD=6，CD=4，求DE的长．【答案】（1）见解析；（2）DE=【分析】（1）根据角平分线的性质和外角等于不相邻两内角和即可求得∠ABD＝∠C，可证明△ABD∽△ABC，即可得证；（2）根据（1）的结论，列出比例式代值求解即可．【详解】（1）证明：是∠CBD的角平分线∵AE=AB，∴∠ABE=∠AEB，∵∠ABE=∠ABD+∠DBE，∠AEB=∠C+∠CBE，∴∠ABD=∠C，∵∠ABD=∠C，∠A=∠A，∴△ABD∽△ACB；，（2）△ABD∽△ACB；，，AD=6，CD=4，解得（负值舍去）【点睛】本题考查了相似三角形的性质与判定，掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．14．（2021·安庆市石化第一中学九年级月考）如图，AC、BD交于点E，BC＝CD，且BD平分∠ABC．（1）求证：△AEB∽△CED；（2）若BC＝6，EC＝3，AE＝2，求AB的长．【答案】（1）见解析；（2）4．【分析】（1）证得∠D＝∠DBA，则结论得证；（2）由（1）可得，则AB的长可求出．【详解】（1）证明：∵BC＝CD，∴∠DBC＝∠D，∵BD平分∠ABC，∴∠DBC＝∠DBA，∴∠D＝∠DBA，又∵∠AEB＝∠CED，∴△AEB∽△CED；（2）解：∵△AEB∽△CED，∴，又∵BC＝CD＝6，EC＝3，AE＝2，∴，∴AB＝4．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．15．（2021·上海市实验学校西校九年级月考）已知：如图，点D、F在ABC的边AB上，点E在边AC上，且DEBC．（1）若AB＝6，BC＝4，BD＝2，求DE的长；（2）若，求证：EFDC．【答案】（1）；（2）见解析【分析】（1）根据，可得，根据比例式代入求值，进而可得；（2）根据（1）的结论可得，结合已知条件即可证明，进而可得，进而判断．【详解】，，，，即，解得；（2），，，，又，，，．【