2024届天津市滨海新区高三第三次模拟考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1天津市滨海新区2024届高三第三次模拟考试数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，∴，又，∴.故选：B.2.已知，，则“”是“”的（）A.充要条件 B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件 D.必要不充分条件〖答案〗D〖解析〗若，，，则，则，∴“”是“”的不充分条件；若，∵，∴，即，∴“”是“”的必要条件；综上，“”是“”必要不充分条件．故选：D．3.已知函数的图象如图所示，则函数的〖解析〗式可能为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗根据题意，由函数的图象，的定义域为，其图象关于原点对称，为奇函数；在上，函数图象与轴存在交点.由此分析选项：对于A，，其定义域为，有，为偶函数，不符合题意；对于B，，其定义域为，有，为奇函数，其图象关于原点对称；当时，，函数图象与轴存在交点，符合题意；对于C，，当时，，故恒成立，所以该函数图象在上与轴不存在交点，不符合题意；对于D，，其定义域为，有为偶函数，不符合题意.综上所述，只有选项B的函数满足，故选：B．4.已知，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，则,故.故选：C.5.已知数列为各项不为零的等差数列，为数列的前项和，，则的值为（）A.4 B.8 C.12 D.16〖答案〗D〖解析〗设等差数列公差为，∵，∴当时，，解得，∴，当时，，∴，∴．故选：D．6.下列说法中正确的是（）A.一组数据3，4，2，8，1，5，8，6，9，9，的第60百分位数为6B.将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差变大C.若甲、乙两组数据的相关系数分别为和，则甲组数据的线性相关程度更强D.在一个列联表中，由计算得的值，则的值越接近1，判断两个变量有关的把握越大〖答案〗C〖解析〗对于A：将数据从小到大排列为：1，2，3，4，5，6，8，8，9，9，又，所以第百分位数为，故A错误；对于B：将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差不变，故B错误；对于C：具有线性相关关系的两个变量的相关系数为，则越接近与，则和的线性相关程度越强，因为，所以甲组数据的线性相关程度更强，故C正确；对于D：在列联表中，由计算得的值，的值越大，则两个变量有关的把握越大，故D错误；故选：C.7.已知函数，关于该函数有下列四个说法：（1）函数的图象关于点中心对称；（2）函数的图象关于直线对称；（3）函数在区间内有4个零点；（4）函数在区间上单调递增.以上四个说法中，正确的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗A〖解析〗对于（1），由，所以不是函数的图象的对称中心，所以（1）错误；对于（2）中，由，所以不是函数的图象的对称轴，所以（2）错误；对于（3）中，令，可得，当时，可得；当时，可得；当时，可得；当时，可得，所以在内，函数有4个零点，所以（3）正确；对于（4）中，由，可得，此时函数不是单调函数，所以（4）错误.故选：A.8.我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2.已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4，体积之比为3:1，且该几何体的顶点在球的表面上，则球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗正四棱柱和正四棱锥的体积之比为，且共一个底面，正四棱柱和正四棱锥的高相等，设正四棱柱和正四棱锥的高为，该几何体外接球的半径为，易知球O是正四棱柱的外接球，也是正四棱锥的外接球，，解得，∴球O的表面积为．故选：A．9.已知双曲线的焦点在，过点的直线与两条渐近线的交点分别为M､N两点(点位于点M与点N之间)，且，又过点作于P(点O为坐标原点)，且，则双曲线E的离心率（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意，可得如下示意图：其中，知：，又，，即且，∴中，有，得，∴在中，，若与x轴夹角为，即，∴，由，即可得.故选：C.二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．10.若复数z满足（为虚数单位），则z的虚部为__________.〖答案〗2〖解析〗由题意，复数满足，即，所以复数的虚部为．11.在二项式展开式中的系数为______．〖答案〗〖解析〗展开式的通项公式为令，解得，则的系数为12.已知圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与相交于两点，且，则圆的标准方程为________．〖答案〗〖解析〗依题意可知抛物线的焦点为，圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，∴圆心坐标为，设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则，又∵，∴则圆的标准方程为．13.随着我国经济发展越来越好，外出旅游的人越来越多，现有两位游客慕名来天津旅游，他们分别从天津之眼摩天轮、五大道风景区、古文化街、意式风情街、海河观光游船、盘山风景区，这6个随机选择1个景点游玩，两位游客都选择天津之眼摩天轮的概率为________．这两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮的条件下，他们选择的景点不相同的概率________．〖答案〗〖解析〗设事件表示“两位游客都选择天津之眼摩天轮”，则；设事件表示“两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮”，事件表示“他们选择的景点不相同”，则，，∴．14.在平行四边形中，，，点在边上，满足，则向量在向量上的投影向量为________（请用表示）；若，点，分别为线段，上的动点，满足，则的最小值为________．〖答案〗〖解析〗作EF于F．∵，且四边形为平行四边形，故，则，那么，，∴，又，故，∴，故，∴，即，则在向量上的投影向量为；，，如图以A为原点建立平面直角坐标系，作轴于Q，则，则，则．设，则，又，∴，，，∴．作轴于P，则，，则．故，故，令，∵在单调递减，在单调递增，故，即的最小值为．15.已知函数若函数（）（为自然对数的底数）恰有4个零点，则的取值范围是________．〖答案〗〖解析〗时，，单调递增，的图象：令，函数恰有4个零点等价于函数与函数的图象恰好有4个交点．①当k＝0时，，如图，显然，函数与函数的图象不可能有4个交点，不符题意；②当k＜0时，如图，要使函数与函数的图象恰好有4个交点，则，则；③当k＞0时，如图，要使函数与函数的图象恰好有4个交点，则与在时有两个交点，即有两个正实数根，即有两个正实数根，令，则与在时图象有两个交点，，令，，则，∴在时单调递增，∵，，，∴当时，单调递减；当时，单调递增．∴，∴如图：∴．综上所述，．三、解答题：本大题5小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．16.在中，内角所对的边分别为，，，．（1）求角的大小：（2）求的值；（3）求的值．解：（1）在中，由正弦定理，可得，又由，得即，∴，∴，∴．又因为，可得；（2）在中，由余弦定理及，，，有，故；（3）由，可得，因为，所以，故为锐角，故，因此，．所以，．17.如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，A1A＝A1B1＝2，侧棱A1A⊥平面ABC，点D是棱CC1的中点.（1）证明：BB1⊥平面AB1C；（2）求点B1到平面ABD的距离；（3）求平面BCD与平面ABD的夹角的余弦值.（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得，，，，，，则，，，设平面的一个法向量为，则，取，则，所以.（2）由（1）知，，设平面的一个法向量为，则，取，所以点B1到平面ABD的距离为；（3）由（1）知，，，设平面的一个法向量为，则，取，设平面BCD与平面ABD的夹角为，则.18.已知椭圆：（）的离心率为，分别为椭圆的左顶点和上顶点，为左焦点，且的面积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的右顶点为，是椭圆上不与顶点重合的动点．①若点（），点在椭圆上且位于轴下方，设和的面积分别为，．若，求点的坐标；②若直线与直线交于点，直线交轴于点，设直线和直线的斜率为，，求证：为定值，并求出此定值．解：（1）由题意得，又，解得，椭圆的标准方程为．（2）①由（1）可得，点（）在椭圆上，代入椭圆方程得，连接，∵，，，∴，∴直线的方程为，联立，解得或（舍去），．②设直线的斜率为，则直线的方程为：，又，，直线的方程为，由，解得，∴，由，得，，则，∴，则，，依题意、不重合，∴，即，∴，直线的方程为，令，即，解得，，，为定值．19.已知等差数列的前项和为，，，数列是公比大于1的等比数列，且，．（1）求，的通项公式；（2）数列，的所有项按照“当为奇数时，放在的前面；当为偶数时，放在的前面”的要求进行“交叉排列”，得到一个新数列：，，，，，，，…，求数列的前7项和及前项和；（3）是否存在数列，满足等式成立，若存在，求出数列的通项公式，若不存在，请说明理由．解：（1）设等差数列的公差为，，，可知，所以．又，所以数列公差，所以，设等比数列的公比为，，．所以，．得到，联立得解得或（舍去），代入中，解得得数列的通项公式为．（2）由题意，.（3）由已知，得①当时，②，①②两式相减得：，当时，也符合③所以，对于都成立．又当时④成立③④两式相减得：，经检验也符合故存在．20.已知函数，其中为实数．（1）当时，①求函数的图象在（为自然对数的底数）处的切线方程；②若对任意的，均有，则称为在区间上的下界函数，为在区间上的上界函数．若，且为在上的下界函数，求实数的取值范围．（2）当时，若，，且，设，．证明：．（1）解：①当时，，所以，所以函数的图像在处的切线斜率．又因为，所以函数的图象在处的切线方程为，②因为函数为在上的下界函数，所以，即．因为，所以，故．令，，则．设，，则，所以当时，，从而函数在上单调递增，所以，故在上恒成立，所以函数在上单调递增，从而．因为在上恒成立，所以在上恒成立，故，即实数的取值范围为．（2）证明：当时，，，，要证，即证，因为，所以只要证，即证，因为，，即证，令，即证，因为，即证（*），令，则．构造函数：则，令,则，因为，，，所以．所以在单调递增．得到，可知在单调递减，．所以（*）成立，原命题成立．天津市滨海新区2024届高三第三次模拟考试数学试卷一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知集合，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗，∴，又，∴.故选：B.2.已知，，则“”是“”的（）A.充要条件 B.既不充分也不必要条件C.充分不必要条件 D.必要不充分条件〖答案〗D〖解析〗若，，，则，则，∴“”是“”的不充分条件；若，∵，∴，即，∴“”是“”的必要条件；综上，“”是“”必要不充分条件．故选：D．3.已知函数的图象如图所示，则函数的〖解析〗式可能为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗根据题意，由函数的图象，的定义域为，其图象关于原点对称，为奇函数；在上，函数图象与轴存在交点.由此分析选项：对于A，，其定义域为，有，为偶函数，不符合题意；对于B，，其定义域为，有，为奇函数，其图象关于原点对称；当时，，函数图象与轴存在交点，符合题意；对于C，，当时，，故恒成立，所以该函数图象在上与轴不存在交点，不符合题意；对于D，，其定义域为，有为偶函数，不符合题意.综上所述，只有选项B的函数满足，故选：B．4.已知，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，，，则,故.故选：C.5.已知数列为各项不为零的等差数列，为数列的前项和，，则的值为（）A.4 B.8 C.12 D.16〖答案〗D〖解析〗设等差数列公差为，∵，∴当时，，解得，∴，当时，，∴，∴．故选：D．6.下列说法中正确的是（）A.一组数据3，4，2，8，1，5，8，6，9，9，的第60百分位数为6B.将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差变大C.若甲、乙两组数据的相关系数分别为和，则甲组数据的线性相关程度更强D.在一个列联表中，由计算得的值，则的值越接近1，判断两个变量有关的把握越大〖答案〗C〖解析〗对于A：将数据从小到大排列为：1，2，3，4，5，6，8，8，9，9，又，所以第百分位数为，故A错误；对于B：将一组数据中的每一个数据加上同一个正数后，方差不变，故B错误；对于C：具有线性相关关系的两个变量的相关系数为，则越接近与，则和的线性相关程度越强，因为，所以甲组数据的线性相关程度更强，故C正确；对于D：在列联表中，由计算得的值，的值越大，则两个变量有关的把握越大，故D错误；故选：C.7.已知函数，关于该函数有下列四个说法：（1）函数的图象关于点中心对称；（2）函数的图象关于直线对称；（3）函数在区间内有4个零点；（4）函数在区间上单调递增.以上四个说法中，正确的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4〖答案〗A〖解析〗对于（1），由，所以不是函数的图象的对称中心，所以（1）错误；对于（2）中，由，所以不是函数的图象的对称轴，所以（2）错误；对于（3）中，令，可得，当时，可得；当时，可得；当时，可得；当时，可得，所以在内，函数有4个零点，所以（3）正确；对于（4）中，由，可得，此时函数不是单调函数，所以（4）错误.故选：A.8.我国有着丰富悠久的“印章文化”，古时候的印章一般用贵重的金属或玉石制成，本是官员或私人签署文件时代表身份的信物，后因其独特的文化内涵，也被作为装饰物来使用．图1是明清时期的一个金属印章摆件，除去顶部的环可以看作是一个正四棱柱和一个正四棱锥组成的几何体，如图2.已知正四棱柱和正四棱锥的底面边长为4，体积之比为3:1，且该几何体的顶点在球的表面上，则球的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗正四棱柱和正四棱锥的体积之比为，且共一个底面，正四棱柱和正四棱锥的高相等，设正四棱柱和正四棱锥的高为，该几何体外接球的半径为，易知球O是正四棱柱的外接球，也是正四棱锥的外接球，，解得，∴球O的表面积为．故选：A．9.已知双曲线的焦点在，过点的直线与两条渐近线的交点分别为M､N两点(点位于点M与点N之间)，且，又过点作于P(点O为坐标原点)，且，则双曲线E的离心率（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由题意，可得如下示意图：其中，知：，又，，即且，∴中，有，得，∴在中，，若与x轴夹角为，即，∴，由，即可得.故选：C.二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，共30分．10.若复数z满足（为虚数单位），则z的虚部为__________.〖答案〗2〖解析〗由题意，复数满足，即，所以复数的虚部为．11.在二项式展开式中的系数为______．〖答案〗〖解析〗展开式的通项公式为令，解得，则的系数为12.已知圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，直线与相交于两点，且，则圆的标准方程为________．〖答案〗〖解析〗依题意可知抛物线的焦点为，圆的圆心与抛物线的焦点关于直线对称，∴圆心坐标为，设圆的半径为r，圆心到直线的距离为d，则，又∵，∴则圆的标准方程为．13.随着我国经济发展越来越好，外出旅游的人越来越多，现有两位游客慕名来天津旅游，他们分别从天津之眼摩天轮、五大道风景区、古文化街、意式风情街、海河观光游船、盘山风景区，这6个随机选择1个景点游玩，两位游客都选择天津之眼摩天轮的概率为________．这两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮的条件下，他们选择的景点不相同的概率________．〖答案〗〖解析〗设事件表示“两位游客都选择天津之眼摩天轮”，则；设事件表示“两位游客中至少有一人选择天津之眼摩天轮”，事件表示“他们选择的景点不相同”，则，，∴．14.在平行四边形中，，，点在边上，满足，则向量在向量上的投影向量为________（请用表示）；若，点，分别为线段，上的动点，满足，则的最小值为________．〖答案〗〖解析〗作EF于F．∵，且四边形为平行四边形，故，则，那么，，∴，又，故，∴，故，∴，即，则在向量上的投影向量为；，，如图以A为原点建立平面直角坐标系，作轴于Q，则，则，则．设，则，又，∴，，，∴．作轴于P，则，，则．故，故，令，∵在单调递减，在单调递增，故，即的最小值为．15.已知函数若函数（）（为自然对数的底数）恰有4个零点，则的取值范围是________．〖答案〗〖解析〗时，，单调递增，的图象：令，函数恰有4个零点等价于函数与函数的图象恰好有4个交点．①当k＝0时，，如图，显然，函数与函数的图象不可能有4个交点，不符题意；②当k＜0时，如图，要使函数与函数的图象恰好有4个交点，则，则；③当k＞0时，如图，要使函数与函数的图象恰好有4个交点，则与在时有两个交点，即有两个正实数根，即有两个正实数根，令，则与在时图象有两个交点，，令，，则，∴在时单调递增，∵，，，∴当时，单调递减；当时，单调递增．∴，∴如图：∴．综上所述，．三、解答题：本大题5小题，共75分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤．16.在中，内角所对的边分别为，，，．（1）求角的大小：（2）求的值；（3）求的值．解：（1）在中，由正弦定理，可得，又由，得即，∴，∴，∴．又因为，可得；（2）在中，由余弦定理及，，，有，故；（3）由，可得，因为，所以，故为锐角，故，因此，．所以，．17.如图，在三棱台ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，A1A＝A1B1＝2，侧棱A1A⊥平面ABC，点D是棱CC1的中点.（1）证明：BB1⊥平面AB1C；（2）求点B1到平面ABD的距离；（3）求平面BCD与平面ABD的夹角的余弦值.（1）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，由题意可得，，，，，，则，，，设平面的一个法向量为，则，取，则，所以.（2）由（1）知，，设平面的一个法向量为，则，取，所以点B1到平面ABD的距离为；（3）由（1）知，，，设平面的一个法向量为，则，取，设平面BCD与平面ABD的夹角为，则.18.已知椭圆：（）的离心率为，分别为椭圆的左顶点和上顶点，为左焦点，且的面积为．（1）求椭圆的标准方程；（2）设椭圆的右顶点为，是椭圆上不与顶点重合的动点．①若点（），点在椭圆上且位于轴下方，设和的面积分别为，．若，求点的坐标；②若直线与直线交于点，直线交轴于点，设直线和直线的斜率为，，求证：为定值