2023-2024学年湖北省襄阳市高一下学期期末考试数学试卷（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1湖北省襄阳市2023-2024学年高一下学期期末考试试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，故，故.故选：C.2.已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为（）A.-2或-1 B.-2或1 C.-1或2 D.1或2〖答案〗B〖解析〗若向量与共线，则存在实数，使得，又因为向量，不共线，所以，解得或.故选：B.3.利用简单随机抽样，从个个体中抽取一个容量为10的样本.若抽完第一个个体后，余下的每个个体被抽到的机会为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的机会为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可得，故，所以每个个体被抽到的机会为.故选：D.4.《九章算术》问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈．高五丈．问积几何（今译：已知正四棱台体建筑物（方亭）如图，下底边长丈，上底边长丈．高丈．问它的体积是多少立方丈？（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B.5.甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗6元分成整数元有3份，可能性有(1，1，4)，(1，2，3)，(2，2，2)，第一个分法有3种，第二个分法有6种，第三个分法有1种，其中符合“最佳手气”的有4种，故概率为．故选：D.6.水平放置的，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的，其中，则绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根据“斜二测画法”可得，，，绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体，它的表面积为.故选：B.7.已知，则的取值范围是（）A.[0，1] B. C.[1，2] D.[0，2]〖答案〗D〖解析〗设，则，，所以，∴，，又，所以，又，则[0，2].故选：D.8.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，若球的表面积为，则三棱锥的侧面积的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设球O得半径为R，AB=x，AC=y，由4πR2=29π，得4R2=29．又x2+y2+22=（2R）2，得x2+y2=25，三棱锥A-BCD的侧面积：S=S△ABD+S△ACD+S△ABC=，由x2+y2≥2xy，得xy≤，当且仅当x=y=时取等号，由（x+y）2=x2+2xy+y2≤2（x2+y2），得x+y≤5，当且仅当x=y=时取等号，∴S≤5+=，当且仅当x=y=时取等号，∴三棱锥A-BCD的侧面积的最大值为.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.用一个平面去截一个几何体，所得截面的形状是正方形，则原来的几何体可能是（）A.长方体 B.圆台 C.四棱台 D.正四面体〖答案〗ACD〖解析〗对于A：若长方体的底面为正方形，则用平行于底面的平面去截几何体，所得截面的形状是正方形，故A正确；对于B：圆台的截面均不可能是正方形，故B错误；对于C：若四棱台的底面是正方形，则用平行于底面的平面去截几何体，所得截面的形状是正方形，故C正确；对于D：如图所示正四面体，将其放到正方体中，取的中点，的中点，取的中点，的中点，依次连接、、、，由正方体的性质可知截面为正方形，故D正确.故选：ACD.10.疫情带来生活方式和习惯的转变，短视频成为观众空闲时娱乐活动的首选．某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效样本份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则（）A.图中B.在份有效样本中，短视频观众年龄在岁的有人C.估计短视频观众的平均年龄为岁D.估计短视频观众年龄的分位数为岁〖答案〗BCD〖解析〗对于A，，，A错误；对于B，由频率分布直方图知：短视频观众年龄在岁的人对应频率为，短视频观众年龄在岁的有人，B正确；对于C，平均年龄，C正确；对于D，设分位数为，则，解得：，D正确.故选：BCD.11.已知是等腰直角三角形，，用斜二测画法画出它的直观图，则的长可能是（）A. B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗以BC为轴，画出直观图，如图2，此时，A正确；以BC为轴，则此时，则的长度范围是，若以AB或AC为x轴，画出直观图，如图1，以AB为轴，则，此时过点作⊥于点D，则，则，，由勾股定理得：，C正确；故选：AC.12.如图，已知均为等边三角形，分别为的中点，为内一点(含边界)．，下列说法正确的是（）A.延长交于，则B.若，则为的重心C.若，则点的轨迹是一条线段D.的最小值是〖答案〗ABC〖解析〗A选项，因为已知均为等边三角形，分别为的中点，连接CD，AE，BF，延长BE交AC于点M，则，所以，则，，A正确；以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB为y轴建立平面直角坐标系，延长AD交BC于点G，延长CF交AB于点N，由A选项可知：，设边长为1，则，则直线，直线BM：，联立直线CN与BM，求得：，所以，直线AG：，联立直线AG与BM，求得：，所以，联立直线AG与CN，求得：，所以，因为，则为的重心，则，即，而的重心为，即，故为的重心，B正确；设，，结合B选项中建立的坐标系，可知：，即，解得：，若，则，整理得：，因为为内一点(含边界)，所以点的轨迹是一条线段，C正确；结合C选项，可知，其中，当时，取得最小值，最小值为，故D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.直播带货已成为一种新的消费方式，据某平台统计，在直播带货销量中，服装鞋帽类占，食品饮料类占，家居生活类占19%，美妆护肤类占，其他占．为了解直播带货各品类的质量情况，现按分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本．已知在抽取的样本中，服装鞋帽类有560件，则家居生活类有_____________件.〖答案〗380〖解析〗，故家具生活类件数为.故〖答案〗为：380.14.如图，在四面体中，，，、分别为、的中点，，则异面直线与所成的角是_____________．〖答案〗〖解析〗取的中点，连接，，因为为的中点，为的中点，所以且，且，所以即为异面直线与所成的角或其补角，又，，，所以，，所以，所以，所以为等腰直角三角形，所以.故〖答案〗为：.15.如图，在Rt中，点是斜边的中点，点在边上，且，则___________．〖答案〗〖解析〗设，则，由题意得，即，解得，此时，得.故〖答案〗为：.16.已知，且，实数满足，且，则的最小值是___________．〖答案〗〖解析〗在平面直角坐标系中，令，设，则，，解得，则，依题意，不妨令，，而，则，有，当且仅当，即时取“=”，而，则，当且仅当时取“=”，因此，，当且仅当且，即且时取“=”，所以当，，时，取得最小值.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知向量满足．（1）若，求||的值；（2）若，求的值．解：（1）∵，∴，∴，即.（2），∴，即，．18.如图，已知在正三棱柱中，D为棱AC的中点，．（1）求正三棱柱的表面积；（2）求证：直线//平面．解：（1）．（2）取和交点M，连DM，∵D，M分别为AC，中点，故．平面，DM平面．∴//平面．19.如图，四棱锥的底面四边形为正方形，顶点在底面的射影为线段的中点是的中点，（1）求证：平面；（2）求过点的平面截该棱锥得到两部分的体积之比．解：（1）由题，如图，取PC中点F，连接EF、DF，则EF为的中位线，故，，故四边形ODEF为平行四边形，故，又平面PCD，平面PCD，故平面.（2）由（1）得，过点的截面为平面ADEF，截出的两部分可看作四棱锥与三棱锥组合，以及三棱锥与三棱锥组合；由是的中点，易得，；由是的中点，易得；故过点的平面截该棱锥得到两部分的体积之比为.20.在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并求解．问题：如图，在中，角所对的边分别为是边上一点，，，若_________，（1）求角A的值；（2）求的值．解：（1）选①：由题知；选②：，因为，，所以；选③：由正弦定理边化角可得：，同②可得；因为，所以.（2）因为，，所以由，解得，所以，所以，记，则，即，因为，所以，所以，得，所以，因为，所以，所以.21.如图，在正六边形中，，为上一点，且交于点（1）当时，试用表示；（2）求的取值范围．解：（1）由正六边形性质可知，，因为，所以，所以.（2）记，，则，…①，将代入①整理得，因为F、G、H共线，所以，即，又，，，所以，将代入上式整理可得，令，则，由对勾函数可知，当在区间上单调递减，所以当时，取得最大值6；当时，取得最小值4，所以的取值范围为.22.某校有高中生2000人，其中男女生比例约为，为了获得该校全体高中生的身高信息，采取了以下两种方案：方案一：采用比例分配的分层随机抽样方法，抽收了样本容量为的样本，得到频数分布表和频率分布直方图.方案二：采用分层随机抽样方法，抽取了男、女生样本量均为25的样本，计算得到男生样本的均值为170，方差为16，女生样本的均值为160，方差为20.身高（单位：）频数64（1）根据图表信息，求，并补充完整频率分布直方图，估计该校高中生的身高均值；（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值为代表）（2）计算方案二中总样本的均值及方差；（3）计算两种方案总样本均值的差，并说明用方案二总样本的均值作为总体均值的估计合适吗？为什么？解：（1）因为身高在区间的频率为，频数为，所以样本容量为，，，，所以身高在的频率为，小矩形的高为，所以身高在的频率为，小矩形的高为，由此补全频率分布直方图：由频率分布直方图可知：样本的身高均值为：，所以由样本估计总体可知，估计该校高中生身高均值为.（2）把男生样本记为：，其均值为，方差为，把女生样本记为：，其均值为，方差为，总体样本均值记为，方差记为，所以，又因为，所以，同理可得：，所以.（3）两种方案总样本均值的差为，所以用方案二总体样本均值作为总体均值的估计不合适，原因是没有进行等比例的分层抽样，每个个体被抽到的可能性不同，因此代表性较差.湖北省襄阳市2023-2024学年高一下学期期末考试试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗因为，故，故.故选：C.2.已知向量，不共线，且向量与共线，则实数的值为（）A.-2或-1 B.-2或1 C.-1或2 D.1或2〖答案〗B〖解析〗若向量与共线，则存在实数，使得，又因为向量，不共线，所以，解得或.故选：B.3.利用简单随机抽样，从个个体中抽取一个容量为10的样本.若抽完第一个个体后，余下的每个个体被抽到的机会为，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的机会为（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由题意可得，故，所以每个个体被抽到的机会为.故选：D.4.《九章算术》问题十：今有方亭，下方五丈，上方四丈．高五丈．问积几何（今译：已知正四棱台体建筑物（方亭）如图，下底边长丈，上底边长丈．高丈．问它的体积是多少立方丈？（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗.故选：B.5.甲在微信群中发布6元“拼手气”红包一个，被乙、丙、丁三人抢完．若三人均领到整数元，且每人至少领到1元，则乙获得“最佳手气”(即乙领取的钱数不少于其他任何人)的概率是（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗6元分成整数元有3份，可能性有(1，1，4)，(1，2，3)，(2，2，2)，第一个分法有3种，第二个分法有6种，第三个分法有1种，其中符合“最佳手气”的有4种，故概率为．故选：D.6.水平放置的，用斜二测画法作出的直观图是如图所示的，其中，则绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体的表面积为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根据“斜二测画法”可得，，，绕AB所在直线旋转一周后形成的几何体是两个相同圆锥的组合体，它的表面积为.故选：B.7.已知，则的取值范围是（）A.[0，1] B. C.[1，2] D.[0，2]〖答案〗D〖解析〗设，则，，所以，∴，，又，所以，又，则[0，2].故选：D.8.已知三棱锥的所有顶点都在球的球面上，平面，，，若球的表面积为，则三棱锥的侧面积的最大值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设球O得半径为R，AB=x，AC=y，由4πR2=29π，得4R2=29．又x2+y2+22=（2R）2，得x2+y2=25，三棱锥A-BCD的侧面积：S=S△ABD+S△ACD+S△ABC=，由x2+y2≥2xy，得xy≤，当且仅当x=y=时取等号，由（x+y）2=x2+2xy+y2≤2（x2+y2），得x+y≤5，当且仅当x=y=时取等号，∴S≤5+=，当且仅当x=y=时取等号，∴三棱锥A-BCD的侧面积的最大值为.故选：A.二、多项选择题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.用一个平面去截一个几何体，所得截面的形状是正方形，则原来的几何体可能是（）A.长方体 B.圆台 C.四棱台 D.正四面体〖答案〗ACD〖解析〗对于A：若长方体的底面为正方形，则用平行于底面的平面去截几何体，所得截面的形状是正方形，故A正确；对于B：圆台的截面均不可能是正方形，故B错误；对于C：若四棱台的底面是正方形，则用平行于底面的平面去截几何体，所得截面的形状是正方形，故C正确；对于D：如图所示正四面体，将其放到正方体中，取的中点，的中点，取的中点，的中点，依次连接、、、，由正方体的性质可知截面为正方形，故D正确.故选：ACD.10.疫情带来生活方式和习惯的转变，短视频成为观众空闲时娱乐活动的首选．某电影艺术中心为了解短视频平台的观众年龄分布情况，向各大短视频平台的观众发放了线上调查问卷，共回收有效样本份，根据所得信息制作了如图所示的频率分布直方图，则（）A.图中B.在份有效样本中，短视频观众年龄在岁的有人C.估计短视频观众的平均年龄为岁D.估计短视频观众年龄的分位数为岁〖答案〗BCD〖解析〗对于A，，，A错误；对于B，由频率分布直方图知：短视频观众年龄在岁的人对应频率为，短视频观众年龄在岁的有人，B正确；对于C，平均年龄，C正确；对于D，设分位数为，则，解得：，D正确.故选：BCD.11.已知是等腰直角三角形，，用斜二测画法画出它的直观图，则的长可能是（）A. B. C. D.〖答案〗AC〖解析〗以BC为轴，画出直观图，如图2，此时，A正确；以BC为轴，则此时，则的长度范围是，若以AB或AC为x轴，画出直观图，如图1，以AB为轴，则，此时过点作⊥于点D，则，则，，由勾股定理得：，C正确；故选：AC.12.如图，已知均为等边三角形，分别为的中点，为内一点(含边界)．，下列说法正确的是（）A.延长交于，则B.若，则为的重心C.若，则点的轨迹是一条线段D.的最小值是〖答案〗ABC〖解析〗A选项，因为已知均为等边三角形，分别为的中点，连接CD，AE，BF，延长BE交AC于点M，则，所以，则，，A正确；以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴，垂直AB为y轴建立平面直角坐标系，延长AD交BC于点G，延长CF交AB于点N，由A选项可知：，设边长为1，则，则直线，直线BM：，联立直线CN与BM，求得：，所以，直线AG：，联立直线AG与BM，求得：，所以，联立直线AG与CN，求得：，所以，因为，则为的重心，则，即，而的重心为，即，故为的重心，B正确；设，，结合B选项中建立的坐标系，可知：，即，解得：，若，则，整理得：，因为为内一点(含边界)，所以点的轨迹是一条线段，C正确；结合C选项，可知，其中，当时，取得最小值，最小值为，故D错误.故选：ABC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.直播带货已成为一种新的消费方式，据某平台统计，在直播带货销量中，服装鞋帽类占，食品饮料类占，家居生活类占19%，美妆护肤类占，其他占．为了解直播带货各品类的质量情况，现按分层随机抽样的方法抽取一个容量为的样本．已知在抽取的样本中，服装鞋帽类有560件，则家居生活类有_____________件.〖答案〗380〖解析〗，故家具生活类件数为.故〖答案〗为：380.14.如图，在四面体中，，，、分别为、的中点，，则异面直线与所成的角是_____________．〖答案〗〖解析〗取的中点，连接，，因为为的中点，为的中点，所以且，且，所以即为异面直线与所成的角或其补角，又，，，所以，，所以，所以，所以为等腰直角三角形，所以.故〖答案〗为：.15.如图，在Rt中，点是斜边的中点，点在边上，且，则___________．〖答案〗〖解析〗设，则，由题意得，即，解得，此时，得.故〖答案〗为：.16.已知，且，实数满足，且，则的最小值是___________．〖答案〗〖解析〗在平面直角坐标系中，令，设，则，，解得，则，依题意，不妨令，，而，则，有，当且仅当，即时取“=”，而，则，当且仅当时取“=”，因此，，当且仅当且，即且时取“=”，所以当，，时，取得最小值.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知向量满足．（1）若，求||的值；（2）若，求的值．解：（1）∵，∴，∴，即.（2），∴，即，．18.如图，已知在正三棱柱中，D为棱AC的中点，．（1）求正三棱柱的表面积；（2）求证：直线//平面．解：（1）．（2）取和交点M，连DM，∵D，M分别为AC，中点，故．平面，DM平面．∴//平面．19.如图，四棱锥的底面四边形为正方形，顶点在底面的射影为线段的中点是的中点，（1）求证：平面；（2）求过点的平面截该棱锥得到两部分的体积之比．解：（1）由题，如图，取PC中点F，连接EF、DF，则EF为的中位线，故，，故四边形ODEF为平行四边形，故，又平面PCD，平面PCD，故平面.（2）由（1）得，过点的截面为平面ADEF，截出的两部分可看作四棱锥与三棱锥组合，以及三棱锥与三棱锥组合；由是的中点，易得，；由是的中点，易得；故过点的平面截该棱锥得到两部分的体积之比为.20.在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并求解．问题：如图，在中，角所对的边分别为是边上一点