2025届上海市华东师大三附中数学高二上期末统考试题含解析

2025届上海市华东师大三附中数学高二上期末统考试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．某海关缉私艇在执行巡逻任务时，发现其所在位置正西方向20nmile处有一走私船只，正以30nmile/h的速度向北偏东30°的方向逃窜，若缉私艇突然发生机械故障，20min后才以的速度开始追赶，则在走私船只不改变航向和速度的情况下，缉私艇追上走私船只的最短时间为（）A.1h B.C. D.2．已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，若该棱锥的体积为，，，，则此球的表面积等于（）A. B.C. D.3．数列满足，，则（）A. B.C. D.24．程大位是明代著名数学家，他的《新编直指算法统宗》是中国历史上一部影响巨大的著作.它问世后不久便风行宇内，成为明清之际研习数学者必读的教材，而且传到朝鲜、日本及东南亚地区，对推动汉字文化圈的数学发展起了重要的作用.卷八中第33问是：“今有三角果一垛，底阔每面七个.问该若干？”如图是解决该问题的程序框图.执行该程序框图，求得该垛果子的总数为（）A.120 B.84C.56 D.285．某中学的校友会为感谢学校的教育之恩，准备在学校修建一座四角攒尖的思源亭如图它的上半部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥，已知此正四棱锥的侧面与底面所成的二面角为30°，侧棱长为米，则以下说法不正确（）A.底面边长为6米 B.体积为立方米C.侧面积为平方米 D.侧棱与底面所成角的正弦值为6．已知，为双曲线的左，右顶点，点P在双曲线C上，为等腰三角形，且顶角为，则双曲线C的离心率为（）A. B.C.2 D.7．直线恒过定点（）A. B.C. D.8．已知椭圆与直线交于A，B两点，点为线段的中点，则a的值为（）A. B.3C. D.9．如图，把椭圆的长轴分成6等份，过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于点，F是椭圆C的右焦点，则（）A.20 B.C.36 D.3010．若，则x的值为（）A.4 B.6C.4或6 D.811．若双曲线的两个焦点为，点是上的一点，且，则双曲线的渐近线与轴的夹角的取值范围是（）A. B.C. D.12．已知椭圆的长轴长，短轴长，焦距长成等比数列，则椭圆离心率为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层，上层的中心是一块天心石，围绕它的第一圈有9块石板，从第二圈开始，每一圈比前一圈多9块．已知每层圈数相同，共有9圈，则下层比上层多______块石板14．如图所示，在直二面角D－AB－E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，△AEB是等腰直角三角形，其中，则点D到平面ACE的距离为________15．某次实验得到如下7组数据，通过判断知道与具有线性相关性，其线性回归方程为，则______.（参考公式：）12345676.06.26.36.46.46.76.816．抛物线的焦点坐标是______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知圆心为的圆过原点，且直线与圆相切于点.（1）求圆的方程；（2）已知过点的直线的斜率为，且直线与圆相交于两点.①若，求弦的长；②若圆上存在点，使得成立，求直线的斜率.18．（12分）某校高二年级全体学生参加了一次数学测试，学校利用简单随机抽样方法从甲班、乙班各抽取五名同学的数学测试成绩（单位：分）得到如下茎叶图，若甲、乙两班数据的中位数相等且平均数也相等.（1）求出茎叶图中m和n的值：（2）若从86分以上（不含86分）的同学中随机抽出两名，求此两人都来自甲班的概率.19．（12分）已知数列为各项均为正数的等比数列，若（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和20．（12分）已知椭圆焦距为，点在椭圆C上（1）求椭圆C的方程；（2）过点的直线与C交于M，N两点，点R是直线上任意一点，设直线的斜率分别为，若，求的方程21．（12分）设数列是公比为q的等比数列，其前n项和为（1）若，，求数列的前n项和；（2）若，，成等差数列，求q的值并证明：存在互不相同的正整数m，n，p，使得，，成等差数列；（3）若存在正整数，使得数列，，…，在删去以后按原来的顺序所得到的数列是等差数列，求所有数对所构成的集合，22．（10分）如图，已知在四棱锥中，平面，四边形为直角梯形，，，.（1）求直线与平面所成角的正弦值；（2）在线段上是否存在点，使得二面角的余弦值？若存在，指出点的位置；若不存在，说明理由.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】设小时后，相遇地点为，在三角形中根据题目条件得出，再在三角形中，由勾股定理即可求出.【详解】以缉私艇为原点，建立如下图所示的直角坐标系.图中走私船所在位置为，设缉私艇追上走私船的最短时间为，相遇地点为.则，走私船以的速度向北偏东30°的方向逃窜，60°.因为20min后缉私艇才以的速度开始追赶走私船，所以20min走私船行走了，到达.在三角形中，由余弦定理知：，则，所以.在三角形中，，，有：，化简得：，则.缉私艇追上走私船只的最短时间为1h.故选：A.点睛】2、D【解析】由条件确定三棱锥的外接球的球心位置及球的半径，再利用球的表面积公式求外接球的表面积.【详解】由已知，，，可得三棱锥的底面是直角三角形，，由平面可得就是三棱锥外接球的直径，，，即，则，故三棱锥外接球的半径为，所以三棱锥外接球的表面积为故选：D.【点睛】与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接．解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.3、C【解析】根据已知分析数列周期性，可得答案【详解】解：∵数列满足，，∴，，，，故数列以4为周期呈现周期性变化，由，故，故选C【点睛】本题考查的知识点是数列的递推公式，数列的周期性，难度中档4、B【解析】按照框图中程序，逐步执行循环，即可求得答案.【详解】第一次循环：，，第二次循环：，，第三次循环：，，第四次循环：，，第五次循环：，，第六次循环：，，第七次循环：，，退出循环，输出.故选：B5、D【解析】连接底面正方形的对角线交于点，连接，则为该正四棱锥的高，即平面，取的中点，连接，则的大小为侧面与底面所成，设正方形的边长为，求出该正四棱锥的底面边长，斜高和高，然后对选项进行逐一判断即可.【详解】连接底面正方形的对角线交于点，连接则为该正四棱锥的高，即平面取的中点，连接，由正四棱锥的性质，可得由分别为的中点，所以，则所以为二面角的平面角，由条件可得设正方形的边长为，则,又则,解得故选项A正确.所以,则该正四棱锥的体积为，故选项B正确.该正四棱锥的侧面积为，故选项C正确.由题意为侧棱与底面所成角，则，故选项D不正确.故选：D6、A【解析】根据给定条件求出点P的坐标，再代入双曲线方程计算作答.【详解】由双曲线对称性不妨令点P在第一象限，过P作轴于B，如图，因为等腰三角形，且顶角为，则有，，有，于是得，即点，因此，，解得，所以双曲线C的离心率为.故选：A7、A【解析】将直线方程变形得，再根据方程即可得答案.【详解】解：由得到：，∴直线恒过定点故选：A8、A【解析】先联立直线和椭圆的方程，结合中点公式及点可求a的值.【详解】设，联立，得，，因为点为线段的中点，所以，即，解得，因为，所以.故选：A.9、D【解析】由椭圆的对称性可知，，代入计算可得答案.【详解】设椭圆左焦点为，连接由椭圆的对称性可知，，所以.故选：D.10、C【解析】根据组合数的性质可求解.【详解】,或，即或.故选：C11、B【解析】由条件结合双曲线的定义可得，然后可得，然后可求出的范围即可.【详解】由双曲线的定义可得，结合可得当点不为双曲线的顶点时，可得，即当点为双曲线的顶点时，可得，即所以，所以，所以所以双曲线的渐近线与轴的夹角的取值范围是故选：B12、A【解析】由题意，，结合，求解即可【详解】∵椭圆的长轴长，短轴长，焦距长成等比数列∴∴又∵∴∴，即∴e=又在椭圆e＞0∴e=故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1458【解析】首先由条件可得第圈的石板为，且为等差数列，利用基本量求和，即可求解.【详解】设第圈的石板为，由条件可知数列是等差数列，且上层的第一圈为，且，所以，上层的石板数为，下层的石板数为.所以下层比上层多块石板.故答案为：145814、【解析】建立合适空间直角坐标系，分别表示出点的坐标，然后求解出平面的一个法向量，利用公式求解出点到平面的距离.【详解】以AB的中点O为坐标原点，分别以OE，OB所在的直线为x轴、y轴，过垂直于平面的方向为轴，建立如下图所示的空间直角坐标系，则，，设平面ACE的法向量，则，即，令，∴故点D到平面ACE的距离.故答案：.15、9##【解析】求得样本中心点的坐标，代入回归直线，即可求得.详解】根据表格数据可得：故，解得.故答案为：.16、【解析】将抛物线的方程化为标准形式，即可求解出焦点坐标.【详解】因为抛物线方程，焦点坐标为，且，所以焦点坐标为，故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）①，②.【解析】（1）圆心在线段的垂直平分线上，圆心也在过点且与垂直的直线上，联立求圆心，进而得半径即可；（2）①垂径定理即可求弦长；②圆上存在点，使得成立，即四边形是平行四边形，又，有都是等边三角形，进而得圆心到直线的距离为，列方程求解即可.试题解析：（1）由已知得，圆心在线段的垂直平分线上，圆心也在过点且与垂直的直线上，由得圆心，所以半径，所以圆的方程为；（2）①由题意知，直线的方程为，即，∴圆心到直线的距离为，∴；②∵圆上存在点，使得成立，∴四边形是平行四边形，又，∴都是等边三角形，∴圆心到直线的距离为，又直线的方程为，即，∴，解得.18、（1），（2）【解析】（1）根据茎叶图得甲班中位数为，由此能求出，根据由，且，能求出.（2）甲班86分以上有2人，乙班86分以有2人，从86分以上(不含86分)的同学中随机抽出两名，用列举法写出基本事件总数，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.【小问1详解】根据茎叶图可知1班中位数为86，则，又∵，且故【小问2详解】由（1）可知，甲班86分以上有2人，乙班86以上有2人设甲班86分以上2人为，，乙班86分以上2人为，，从中任取两名同学共有，，，，,共有6组基本事件，且每组出现都是等可能的记：“从86分以上（不含86分）的同学中随机抽出两名，两人都来自甲班”为事件M，事件M包括：共1个基本事件，由古典概型的计算概率的公式知∴所以两人都来自甲班的概率为19、（1）（2）【解析】（1）利用等比数列通项公式列出方程组，可求解，，从而写出；（2）化简数列，裂项相消法求和即可.【小问1详解】设数列的公比为，∵，∴，即①∵，∴②②÷①，解得∴∴【小问2详解】∵，∴∴∴20、（1）；（2）.【解析】（1）由焦距为解出，再把点代入椭圆方程中，即可解出答案.（2）根据题意求出当直线与轴重合时，由求出值，即求出的方程为.故只需证：当直线与轴不重合时，上任意一点均使，设出直线方程与椭圆进行联立，化简得证，即可得到答案.【小问1详解】.由于点在椭圆C上，则故椭圆C的方程为.【小问2详解】当直线与轴重合时，是椭圆的左右顶点，不妨设，设，则是上的任意一点，即方程对任意实数都成立，此时的方程为.故只需证：当直线与轴不重合时，上任意一点均使即可，设直线的方程为，，设则由y得证.故的方程为.21、（1）（2）,证明见解析.（3）不存在，【解析】（1）数列为首项为公差为的等差数列，利用等差数列的求和公式即可得出结果；（2），，成等差数列，则+=2，根据等比数列求和公式计算可解得，进而计算可得，即可判断结果；（3）由题意列出，，…，,,,,,…，在删去以后,按原来的顺序所得到的数列是等差数列,则，解方程组可得无解，则所有数对所构成的集合为.【小问1详解】，，数列是公比为q的等比数列，，数列为，数列为首项为公差为的等差数列，数列的前n项和.【小问2详解】，，成等差数列，+