2025届天津市十二重点中学数学高一上期末学业质量监测试题含解析

2025届天津市十二重点中学数学高一上期末学业质量监测试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．若向量，则下列结论正确的是A. B.．C. D.2．函数的零点所在的区间是A.(0，1) B.(1，2)C.(2，3) D.(3，4)3．已知集合，，则（）A. B.C. D.4．过点且与直线平行的直线方程是（）A. B.C. D.5．设且，若对恒成立，则a的取值范围是（）A. B.C. D.6．已知函数的图象上关于轴对称的点至少有3对，则实数的取值范围是A. B.C. D.7．设是两个不同的平面，是直线且，，若使成立，则需增加条件（）A.是直线且， B.是异面直线，C.是相交直线且， D.是平行直线且，8．满足的集合的个数为（）A. B.C. D.9．设θ为锐角，，则cosθ=（）A. B.C. D.10．设，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面，给出下列命题：①若，，，则；②若，，则；③若，，，则；④若，，则其中正确命题的序号是A.①③ B.①④C.②③ D.②④二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．计算_________.12．已知定义在上的奇函数，当时，，当时，________13．已知A，B，C为的内角.（1）若，求的取值范围；（2）求证：；（3）设，且，，，求证：14．以边长为2的正三角形的一条高所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，所得几何体的表面积为__________15．设，用表示不超过的最大整数.则称为高斯函数.例如：，，已知函数，则的值域为___________.16．当时，使成立的x的取值范围为______三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．已知集合，.（1）若，求；（2）在①，②，③，这三个条件中任选一个作为条件，求实数的取值范围.（注意：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分）18．为适应新冠肺炎疫情长期存在的新形势，打好疫情防控的主动仗，某学校大力普及科学防疫知识，现需要在2名女生、3名男生中任选2人担任防疫宣讲主持人，每位同学当选的机会是相同的.（1）写出试验的样本空间，并求当选的2名同学中恰有1名女生的概率；（2）求当选的2名同学中至少有1名男生的概率.19．已知函数.（I）求函数的最小正周期及在区间上的最大值和最小值；（II）若,求的值.20．已知集合，（1）当时，求；（2）若，求a的取值范围21．已知函数在区间上的最大值为5，最小值为1（1）求，的值；（2）若正实数，满足，求的最小值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、C【解析】本题考查向量的坐标运算解答：选项A、选项B、选项C、，正确选项D、因为所以两向量不平行2、B【解析】因为函数为上的增函数，故利用零点存在定理可判断零点所在的区间.【详解】因为为上的增函数，为上的增函数，故为上的增函数.又，，由零点存在定理可知在存在零点，故选B.【点睛】函数的零点问题有两种类型，（1）计算函数的零点，比如二次函数的零点等，有时我们可以根据解析式猜出函数的零点，再结合单调性得到函数的零点，比如；（2）估算函数的零点，如等，我们无法计算此类函数的零点，只能借助零点存在定理和函数的单调性估计零点所在的范围.3、B【解析】直接利用交集运算法则得到答案.【详解】，，则故选：【点睛】本题考查了交集的运算，属于简单题.4、D【解析】先由题意设所求直线为：，再由直线过点，即可求出结果.【详解】因为所求直线与直线平行，因此，可设所求直线为：，又所求直线过点，所以，解得，所求直线方程为：.故选D【点睛】本题主要考查求直线的方程，熟记直线方程的常见形式即可，属于基础题型.5、C【解析】分，，作与的图象分析可得.【详解】当时，由函数与的图象可知不满足题意；当时，函数单调递减，由图知，要使对恒成立，只需满足，得.故选：C注意事项：

用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.

本卷共9题，共60分.6、D【解析】本题首先可以求出函数关于轴对称的函数的解析式，然后根据题意得出函数与函数的图像至少有3个交点，最后根据图像计算得出结果【详解】若，则，因为时，，所以，所以若关于轴对称，则有，即，设，画出函数的图像，结合函数的单调性和函数图像的凹凸性可知对数函数与三角函数在点处相交为临界情况，即要使与的图像至少有3个交点，需要且满足，即，解得，故选D【点睛】本题考查的是函数的对称性、对数函数以及三角函数的相关性质，主要考查如何根据函数对称性来求出函数解析式，考查学生对对数函数以及三角函数的图像的理解，考查推理能力，考查数形结合思想，是难题7、C【解析】要使成立，需要其中一个面的两条相交直线与另一个面平行，是相交直线且，，，，由平面和平面平行的判定定理可得.故选C.8、B【解析】列举出符合条件的集合，即可得出答案.【详解】满足的集合有：、、.因此，满足的集合的个数为.故选：B.【点睛】本题考查符合条件的集合个数的计算，只需列举出符合条件的集合即可，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.9、D【解析】为锐角，故选10、C【解析】由空间中直线与平面的位置关系逐项分析即可【详解】当时，可能平行，也可能相交或异面，所以①不正确；当时，可以平行，也可以相交，所以④不正确；若，，则；若，则，故正确命题的序号是②③.【点睛】本题考查空间中平面与直线的位置关系，属于一般题二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、1【解析】，故答案为112、【解析】设，则，代入解析式得；再由定义在上的奇函数，即可求得答案.【详解】不妨设，则，所以，又因为定义在上的奇函数，所以，所以，即.故答案为：.13、（1）（2）证明见解析（3）证明见解析【解析】（1）根据两角和的正切公式及均值不等式求解；（2）先证明，再由不等式证明即可；（3）找出不等式的等价条件，换元后再根据函数的单调性构造不等式，利用不等式性质即可得证.【小问1详解】,为锐角，，，解得，当且仅当时，等号成立，即.【小问2详解】在中，，,,.【小问3详解】由（2）知，令，原不等式等价为，在上为增函数，，，同理可得，，，，故不等式成立，问题得证.【点睛】本题第3问的证明需要用到，换元后转换为，再构造不等式是证明的关键，本题的难点就在利用函数单调性构造出不等式.14、【解析】以边长为2的正三角形的一条高所在直线为旋转轴，将该三角形旋转一周，所得几何体为圆锥，圆锥的底面半径，母线长，该几何体的表面积为：.故答案为15、【解析】对进行分类讨论，结合高斯函数的知识求得的值域.【详解】当为整数时，，当不是整数，且时，，当不是整数，且时，，所以的值域为.故答案为：16、【解析】根据正切函数的图象，进行求解即可【详解】由正切函数的图象知，当时，若，则，即实数x的取值范围是，故答案为【点睛】本题主要考查正切函数的应用，利用正切函数的性质结合函数的单调性是解决本题的关键三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）根据并集的概念和运算，求得.（2）三个条件都是表示，由此列不等式组，解不等式组求得的取值范围.【详解】（1）当时，，所以.（2）三个条件、、都表示，所以，解得，所以实数的取值范围为【点睛】本小题主要考查集合并集的概念和运算，考查根据集合的包含关系求参数的取值范围，属于基础题.18、（1）样本空间答案见解析，概率是（2）【解析】（1）将2名女生，3名男生分别用a，b；c，d，e表示，即可列出样本空间，再根据古典概型的概率公式计算可得；（2）设事件“当选的2名同学中至少有1名男生”，事件“当选的2名同学中全部都是女生”，事件B，C为对立事件，利用古典概型的概率公式求出，最后根据对立事件的概率公式计算可得；【小问1详解】解：将2名女生，3名男生分别用a，b；c，d，e表示，则从5名同学中任选2名同学试验的样本空间为，共有10个样本点，设事件“当选的2名同学中恰有1名女生”，则，样本点有6个，∴.即当选的2名同学中恰有1名女生的概率是【小问2详解】解：设事件“当选的2名同学中至少有1名男生”，事件“当选的2名同学中全部都是女生”，事件B，C为对立事件，因为，∴，∴.即当达的2名同学中至少有1名男生的概率是.19、（1）周期为，最大值为2，最小值为-1（2）【解析】（1）将函数利用倍角公式和辅助角公式化简为,再利用周期可得最小正周期,由找出对应范围,利用正弦函数图像可得值域;（2）先利用求出,再由角的关系展开后代入可得值.试题解析:（1）所以又所以由函数图像知.（2）解：由题意而所以所以所以=.考点：三角函数性质;同角间基本关系式;两角和的余弦公式20、（1）（2）【解析】（1）解一元二次不等式求得集