辽宁省锦州市联合校2025届数学高二上期末检测模拟试题含解析

辽宁省锦州市联合校2025届数学高二上期末检测模拟试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数在上单调递增，则k的取值范围是（）A B.C. D.2．设,则是的A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3．若，（），则，的大小关系是A. B.C. D.，的大小由的取值确定4．若圆与圆有且仅有一条公切线，则（）A.－23 B.－3C.－12 D.－135．已知等差数列的前n项和为，且，，则为（）A. B.C. D.6．如图，两个半径为R的相交大圆，分别内含一个半径为r的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切.已知时，在两相交大圆的区域内随机取一点，则该点取自两大圆公共部分的概率为（）A. B.C. D.7．命题“，”的否定形式是（）A.， B.，C.， D.，8．设变量满足约束条件：，则的最小值（）A. B.C. D.9．已知随机变量X服从二项分布X~B(4，)，（）A. B.C. D.10．设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件11．设，若函数，有大于零的极值点，则A. B.C. D.12．已知函数，的导函数，的图象如图所示，则的极值情况为（）A.2个极大值，1个极小值 B.1个极大值，1个极小值C.1个极大值，2个极小值 D.1个极大值，无极小值二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知正方体的棱长为为的中点，为面内一点．若点到面的距离与到直线的距离相等，则三棱锥体积的最小值为__________14．已知为抛物线上任意一点，为抛物线的焦点，为平面内一定点，则的最小值为__________.15．已知为坐标原点，等轴双曲线的右焦点为，点在双曲线上，由向双曲线的渐近线作垂线，垂足分别为、，则四边形的面积为______.16．九连环是中国的一种古老智力游对，它用九个圆环相连成串，环环相扣，以解开为胜，趣味无穷.中国的末代皇帝溥仪（1906-1967）也曾有一个精美的由九个翡翠缳相连的银制的九连环（如图）.现假设有个圆环，用表示按照某种规则解下个圆环所需的银和翠玉制九连环最少移动次数，且数列满足，，则___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）椭圆C：的左右焦点分别为，，P为椭圆C上一点.（1）当P为椭圆C的上顶点时，求的余弦值；（2）直线与椭圆C交于A，B，若，求k18．（12分）如图，已知圆C与y轴相切于点，且被x轴正半轴分成的两段圆弧长之比为1∶2（1）求圆C的方程；（2）已知点，是否存在弦被点P平分？若存在，求直线的方程；若不存在，请说明理由19．（12分）已知数列是首项为1，公差不为0的等差数列，且成等比数列.数列的前项的和为，且满足.（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.20．（12分）如图，菱形的边长为4，，矩形的面积为8，且平面平面（1）证明：；（2）求C到平面的距离.21．（12分）如图，正方体的棱长为，分别是的中点，点在棱上，（）.（Ⅰ）三棱锥的体积分别为，当为何值时，最大？最大值为多少？（Ⅱ）若平面，证明：平面平面.22．（10分）为增强市民的环境保护意识，某市面向全市征召若干名宣传志愿者，成立环境保护宣传小组，现把该小组的成员按年龄分成、、、、这组，得到的频率分布直方图如图所示，已知年龄在内的人数为.（1）若用分层抽样的方法从年龄在、、内的志愿者中抽取名参加某社区的宣传活动，再从这名志愿者中随机抽取名志愿者做环境保护知识宣讲，求这名环境保护知识宣讲志愿者中至少有名年龄在内的概率；（2）在（1）的条件下，记抽取的名志愿者分别为甲、乙，该社区为了感谢甲、乙作为环境保护知识宣讲的志愿者，给甲、乙各随机派发价值元、元、元的纪念品一件，求甲的纪念品不比乙的纪念品价值高的概率.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】对函数求导，由于函数在给定区间上单调递增，故恒成立.【详解】由题意可得，，，，.故选：A2、B【解析】,，所以是必要不充分条件，故选B.考点：1.指、对数函数的性质；2.充分条件与必要条件.3、A【解析】∵且，∴，又，∴，故选A.4、A【解析】根据两圆有且仅有一条公切线，得到两圆内切，从而可求出结果.【详解】因为圆，圆心为，半径为；圆可化为，圆心为，半径，又圆与圆有且仅有一条公切线，所以两圆内切，因此，即，解得.故选：A.5、C【解析】直接由等差数列求和公式结合，求出，再由求和公式求出即可.【详解】由题意知：，解得，则.故选：C.6、C【解析】设D为线段AB的中点，求得,在中，可得.进而求得两大圆公共部分的面积为：,利用几何概型计算即可得出结果.【详解】如图，设D为线段AB的中点，,在中，.两大圆公共部分的面积为：,则该点取自两大圆公共部分的概率为.故选：C.7、A【解析】特称命题的否定是全称命题【详解】的否定形式是故选：A8、D【解析】如图作出可行域，知可行域的顶点是A（－2，2）、B()及C(－2，－2)，平移，当经过A时，的最小值为-8，故选D.9、D【解析】利用二项分布概率计算公式，计算出正确选项.【详解】∵随机变量X服从二项分布X~B(4，)，∴.故选：D.10、B【解析】，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.11、B【解析】设，则，若函数在x∈R上有大于零的极值点即有正根，当有成立时，显然有，此时．由，得参数a的范围为．故选B考点：利用导数研究函数的极值12、B【解析】根据图象判断的正负，再根据极值的定义分析判断即可【详解】由，得，令，由图可知的三个根即为与的交点的横坐标，当时，，当时，，即，所以为的极大值点，为的极大值，当时，，即，所以为的极小值点，为的极小值，故选：B二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、##【解析】由题意可知，点在平面内的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，如图在底面建立平面直角坐标系，求出抛物线方程，直线的方程，将直线向抛物线平移，恰好与抛物线相切时，切点为点，此时的面积最小，则三棱锥体积的最小【详解】因为为面内一点，且点到面的距离与到直线的距离相等，所以点在平面内的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，如图在底面，以所在的直线为轴，以的中垂线为轴建立平面直角坐标系，则,设抛物线方程为，则，得，所以抛物线方程为，，直线的方程为，即，设与直线平行且与抛物线相切的直线方程为，由，得，由，得，所以与抛物线相切的直线为，此时切点为，且的面积最小，因为点到直线的距离为，所以的面积的最小值为，所以三棱锥体积的最小值为，故答案为：14、3【解析】利用抛物线的定义，再结合图形即求.【详解】由题可得抛物线的准线为，设点在准线上的射影为，则根据抛物线的定义可知，∴要求取得最小值，即求取得最小，当三点共线时最小，为.故答案为：3.15、##【解析】求出双曲线的方程，可求得双曲线的两条渐近线方程，分析可知四边形为矩形，然后利用点到直线的距离公式以及矩形的面积公式可求得结果.【详解】因为双曲线为等轴双曲线，则，，可得，所以，双曲线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则双曲线的两条渐近线互相垂直，则，，，所以，四边形为矩形，设点，则，不妨设点为直线上的点，则，，所以，.故答案为：.16、684【解析】利用累加法可求得的值.【详解】当且时，，所以，.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）利用余弦定理可求顶角的余弦值.（2）联立直线方程和椭圆方程，消元后利用韦达定理结合弦长公式可求的值.【小问1详解】当为椭圆的上顶点时，，在中，由余弦定理知.【小问2详解】设，，将直线与椭圆:联立得：，因为直线过焦点，故恒成立，又，由弦长公式得，化简整理得：，解得.18、（1）.（2）.【解析】（1）由已知得圆心C在直线上，设圆C与x轴的交点分别为E、F，则有，，圆心C的坐标为(2,1)，由此求得圆C的标准方程；（2）假设存在弦被点P平分，有，由此求得直线AB的斜率可得其方程再检验，直线AB与圆C是否相交即可.小问1详解】解：因为圆C与y轴相切于点，所以圆心C在直线上，设圆C与x轴的交点分别为E、F，由圆C被x轴分成的两段弧长之比为2∶1，得，所以，圆心C的坐标为(2,1)，所以圆C的方程为；【小问2详解】解：因为点，有，所以点P在圆C的内部，假设存在弦被点P平分，则，又，所以，所以直线AB的方程为，即，检验，圆心C到直线AB的距离为，所以直线AB与圆C相交，所以存在弦被点P平分，此时直线的方程为.19、（1），（2）【解析】（1）设数列公差为，由成等比数列求得，可得.利用求得；（2）利用错位相减求和即可.【小问1详解】设数列公差为，由成等比数列有：，解得：，所以，数列，当即，，解得：，当时，有，所以，得：.又，所以数列为以为首项，公比为的等比数列，所以数列的通项公式为：.【小问2详解】，，，得，，化简得：.20、（1）证明见解析.（2）【解析】（1）利用线面垂直的性质证明出；（2）利用等体积转换法，先求出O到平面AEF的距离，再求C到平面的距离.【小问1详解】在矩形中，.因为平面平面，平面平面,所以平面，所以.【小问2详解】设AC与BD的交点为O,则C到平面AEF的距离为O到平面AEF的距离的2倍.因为菱形ABCD的边长为4且，所以.因为矩形BDFE的面积为8，所以BE=2.,,则三棱锥的体积.在△AEF中,,所以.记O到平面AEF的距离为d.由得：,解得：，所以C到平面AEF的距离为.21、（Ⅰ）,.（Ⅱ）见解析.【解析】（Ⅰ）由题可知，，由和，结合基本不等式可求最值；（Ⅱ）连接交于点，则为的中点，可得为中点，易证得，得平面，所以，进而可证得，，所以平面EFM,因为平面，从而得证.【详解】（Ⅰ）由题可知，，.所以（当且仅当，即时等号成立）所以当时，最大，最大值为.（Ⅱ）连接交于点，则为的中点，因为平面，平面平面，所以，所以为中点.连接，因为为中点，所以，因为，所以.因为平面，平面，所以，因为，所以平面，又平面，所以.同理，因为，所以平面EFM,因为平面，所以平面平面B1D1M.22、（1）；（2）.【解析】（1）将名志愿者进行编号，列举出所有的基本事件，并确定所求事件所包含的基本事件数，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）列举出甲、乙获得纪念品价值的所有情况，并确定所求事件所包含的情况，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【小问1详解】解：因为志愿者年龄在