第三章矩阵的初等变换练习题参考答案_第1页
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线性代数练习题fengyuan@PAGEPAGE2第三章矩阵的初等变换练习题参考答案一、判断题（）1．设A是n阶可逆方阵，则齐次线性方程组只有零解。（）2．若n阶矩阵A可逆，则。（×）3．n元非齐次线性方程组有解的充分必要条件。（）4.两个n阶矩阵A，B行等价的充要条件是存在n阶可逆矩阵P使得。（×）5.任何矩阵都可以经过有限次初等行变换化为行阶梯形矩阵，并且化为的行阶梯形矩阵是唯一确定的。（×）6.若n阶矩阵A的秩为，则A的所有阶子式均不为零。（）7.可逆矩阵总可以只经过有限次初等行变换化为单位矩阵。（）8.设矩阵的秩为，则中所有阶子式必为零。（×）9.设为矩阵，则有无穷多解。（×）10.只有行等价的矩阵才具有相同的秩，列等价的矩阵不具有相同的秩.二、填空题1.矩阵的行最简形矩阵为。2.设是5阶方阵，且满足，则5。3．非齐次线性方程组的增广矩阵为B=，则当时方程组无解；当时方程组有无穷解。4．设线性方程组的增广矩阵为，则该方程组有解的充要条件是。5.设矩阵A经初等行变换可化为行阶梯形矩阵B。若A的秩为3，则B中非零行的行数为3。6.设矩阵，当____9___时，。三、简单计算题1.设矩阵A和B满足关系式，其中，求矩阵B。解：由得，即。所以。2.设矩阵A和B满足关系，其中。（1）试判定是否可逆，说明理由。（2）求矩阵B。解：（1）由于，所以，从而可逆。（2）由得，即。利用初等变换法可求得B：，所以。说明：此题目中证明矩阵可逆，可以直接由与单位矩阵行等价得到结论。四、综合计算题设，，且矩阵A满足，其中E是4阶单位矩阵，是C的逆矩阵，是C的转置矩阵。求矩阵A。答案：（方法并不唯一）先化简关系式得到。所以。又由于，利用初等变换法可得，所以。2.已知矩阵，若，试至少用两种方法证明：矩阵的秩.证法一：（利用矩阵的秩的概念证明）由于，所以矩阵有1阶子式。又矩阵中任意两行元素都成比例，所以，且矩阵的任意一个2阶子式也为零。从而矩阵的最高阶非零子式的阶数为1，即。证法二：（利用初等行变换化行阶梯形矩阵证明）由于，所以，从而对矩阵进行初等行变换可得:。由于，所以矩阵的第一行为非零行，所以。证法三：（利用矩阵的秩的概念和矩阵的秩的性质（教材70页性质⑦）证明）显然，，则由矩阵的秩的性质

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