2024-2025学年辽宁省沈阳市和平区南昌中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）

第1页（共1页）2024-2025学年辽宁省沈阳市和平区南昌中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0 B．x2＝0 C． D．（x﹣1）2+1＝x22．（3分）下列四组图形中，不是相似图形的是（）A． B． C． D．3．（3分）下表是求代数式ax2﹣bx的值的情况，根据表格中的数据可知，关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2＝0的根是（）x…﹣2﹣10123…ax2﹣bx…620026…A．x＝1 B．x1＝0，x2＝1 C．x＝2 D．x1＝﹣1，x2＝24．（3分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0，若方程有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．25．（3分）菱形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AC＝10，BD＝24（）A．60 B．120 C．240 D．4806．（3分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给朋友小亮（邮票背面完全相同），让小亮从中随机抽取两张，则小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是（）A． B． C． D．7．（3分）如图，在小正方形的边长为1的网格中，三角形的顶点都在格点上（）A． B． C． D．8．（3分）某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（）A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30 B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30 C．30x+2×20x＝×20×30 D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×309．（3分）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+n＝0的两个根，则n的值为（）A．8 B．10 C．8或10 D．8或910．（3分）如图，矩形ABCD中，BD＝2，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交x轴的正半轴于M（）A．（2+，0） B．（2+1，0） C．（2﹣1，0） D．（2，0）二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）方程x2＝3x的解是．12．（3分）为了估计暗箱里白球的数量（箱内只有白球），将6个红球放进去，这些球除颜色外都相同，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，那么可以估计暗箱里白球的个数约为．13．（3分）如图，点D为AB上靠近点B的三等分点，DE∥BC交AC于点E，连接AF交DE于点G，点H为AF的中点，则＝．14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E为边AD的黄金分割点，则＝．15．（3分）如图，正方形ABCD和AEFG中，AB＝13，（0°＜α＜90°），即∠BAE＝α．连接BE、CE、CF，当△CEF为直角三角形时．三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16．（10分）计算：（1）x2+12x+28＝0；（2）2x2﹣9x+8＝0．17．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程的一个实数根是3，求a的值及另一个实数根．18．（8分）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？19．（10分）某校课后延时兴趣小组尝试用尺规来“作一条线段的三等分点”，请认真阅读下面的操作过程并完成相应的学习任务．如图1，①分别以点A，B为圆心AB的长为半径在AB两侧画弧，四段弧分别交于点C；②连接AC，BC，作射线BD；③以D为圆心，交射线BD于点E；④连接CE（即AF＝AB）．学习任务：（1）填空：四边形ADBC的形状是，你的依据是；（2）证明：AF＝AB；（3）如图2，若CE交AD于点H，∠CAD＝60°，将CH绕着点C旋转，当点H的对应点H′落在直线FD上时20．（8分）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8cm，动点P从点B出发，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）（如图2）连接AQ，CP，求t的值．21．（10分）某美食店的A、B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元时，总利润为280元．（1）该店每天卖出这两种菜品共多少份？（2）该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，那么当A种菜品降价多少元时，两种菜品的利润总和为300元？22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，若平行四边形ABCD的对角线交点在原点上，并且其中一条对角线在坐标轴上，其中要求平行四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D按顺时针方向排列．（1）如图，点A（4，5），①若点B（3，0），在图中画出平行四边形ABCD，并直接写出平行四边形ABCD的面积；②若“中心平行四边形”ABCD是矩形，则矩形ABCD的面积是；（2）如图，点M（1，6），N（5，3），点A在线段MN上，直接写出“中心平行四边形”ABCD对角线BD的取值范围是．23．（13分）如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD边上一动点，将△CDE沿CE折叠，点D的对应点为F．（1）如图1，若∠A＝90°，且EF的延长线恰好经过点B．求证：BE＝AD；（2）如图2，若∠A＝90°，延长EF、CF分别与边BC、AD相交于H、G，DE＝3，求的值；（3）如图3，若AB＝AD，∠BAD＝120°，EF、CF所在直线分别与直线BC、直线AD相交于H、G．作CP⊥AD于点P，若PE＝2的值．

2024-2025学年辽宁省沈阳市和平区南昌中学九年级（上）月考数学试卷（10月份）参考答案与试题解析一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．（3分）下列方程是一元二次方程的是（）A．ax2+bx+c＝0 B．x2＝0 C． D．（x﹣1）2+1＝x2【解答】解：A、当a＝0时，该选项不合题意；B、方程x2＝6是一元二次方程，该选项符合题意；C、方程，方程不是一元二次方程；D、方程（x﹣1）2+8＝x2整理为﹣2x+7＝0，是一元一次方程；故选：B．2．（3分）下列四组图形中，不是相似图形的是（）A． B． C． D．【解答】解：A、形状相同，符合相似形的定义；B、形状相同，符合相似形的定义；C、形状相同，符合相似形的定义；D、形状不相同，故符合题意；故选：D．3．（3分）下表是求代数式ax2﹣bx的值的情况，根据表格中的数据可知，关于x的一元二次方程ax2﹣bx﹣2＝0的根是（）x…﹣2﹣10123…ax2﹣bx…620026…A．x＝1 B．x1＝0，x2＝1 C．x＝2 D．x1＝﹣1，x2＝2【解答】解：∵ax2﹣bx﹣2＝4，∴ax2﹣bx＝2，由表知当x＝﹣7和x＝2时，ax2﹣bx＝4，∴ax2﹣bx＝2的解为x4＝﹣1，x2＝3，故选：D．4．（3分）已知关于x的一元二次方程kx2﹣2x﹣1＝0，若方程有两个不相等的实数根，则k的最小整数值为（）A．0 B．﹣1 C．1 D．2【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2+2x﹣6＝0有两个不相等的实数根，∴，解得k＞﹣5且k≠0，∴最小的整数值为1，故选：C．5．（3分）菱形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点O，AC＝10，BD＝24（）A．60 B．120 C．240 D．480【解答】解：∵菱形对角线相互垂直，∴菱形面积是S＝AC×BD＝．故选：B．6．（3分）“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小明购买了“二十四节气”主题邮票，他要将“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票中的两张送给朋友小亮（邮票背面完全相同），让小亮从中随机抽取两张，则小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是（）A． B． C． D．【解答】解：把“立春”“立夏”“秋分”“大寒”四张邮票分别记为A、B、C、D，画树状图如下，由树状图知，共有12种等可能的结果，∴小亮抽到的两张邮票恰好是“秋分”和“大寒”的概率是＝，故选：B．7．（3分）如图，在小正方形的边长为1的网格中，三角形的顶点都在格点上（）A． B． C． D．【解答】解：显然△ABC中，∠ABC＝90°，又BC＝＝＝2．A、三角形是钝角三角形；B、直角三角形的两直角边的比是6：3；C、直角三角形的两直角边的比是1：2．D、如图2＝13+22＝3，EF2＝28+32＝13，DE5＝42＝16，DF2+EF2≠DE2，因此△DEF不是直角三角形，故D不符合题意．故选：C．8．（3分）某中学有一块长30m，宽20m的矩形空地，该中学计划在这块空地上划出三分之二的区域种花，求花带的宽度．设花带的宽度为xm，则可列方程为（）A．（30﹣x）（20﹣x）＝×20×30 B．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30 C．30x+2×20x＝×20×30 D．（30﹣2x）（20﹣x）＝×20×30【解答】解：设花带的宽度为xm，则可列方程为（30﹣2x）（20﹣x）＝，故选：B．9．（3分）若等腰三角形的一边长是4，另两边的长是关于x的方程x2﹣6x+n＝0的两个根，则n的值为（）A．8 B．10 C．8或10 D．8或9【解答】解：当4为腰长时，将x＝4代入x4﹣6x+n＝0，得：62﹣6×8+n＝0，解得：n＝8，当n＝3时，原方程为x2﹣6x+4＝0，解得：x1＝2，x2＝4，∵5+4＞4，∴n＝7符合题意；当4为底边长时，关于x的方程x2﹣3x+n＝0有两个相等的实数根，∴Δ＝（﹣6）3﹣4×1×n＝2，解得：n＝9，当n＝9时，原方程为x7﹣6x+9＝4，解得：x1＝x2＝4，∵3+3＝5＞4，∴n＝9符合题意．∴n的值为3或9．故选：D．10．（3分）如图，矩形ABCD中，BD＝2，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交x轴的正半轴于M（）A．（2+，0） B．（2+1，0） C．（2﹣1，0） D．（2，0）【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴BD＝AC＝2，由题意可知：AM＝AC＝6，∵OA＝|﹣1|＝8，∴OM＝AM﹣OA＝2﹣5，∴点M的坐标为（2﹣2，故选：C．二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）11．（3分）方程x2＝3x的解是x1＝0，x2＝3．【解答】解：x2＝3x，x8﹣3x＝0，x（x﹣2）＝0，∴x＝0或x﹣3＝0，∴x1＝2，x2＝3．故答案为：x3＝0，x2＝2．12．（3分）为了估计暗箱里白球的数量（箱内只有白球），将6个红球放进去，这些球除颜色外都相同，记下颜色后放回，搅匀后再摸出一个球记下颜色，那么可以估计暗箱里白球的个数约为4．【解答】解：由于多次重复后发现白球出现的频率稳定在0.4附近，因此红球约占总数的8﹣0.4＝7.6，即，所以箱子里的球的总数为6÷＝10（个），因此箱子的白球约为10﹣6＝4（个），故答案为：8．13．（3分）如图，点D为AB上靠近点B的三等分点，DE∥BC交AC于点E，连接AF交DE于点G，点H为AF的中点，则＝．【解答】解：∵D为AB上靠近点B的三等分点，∴AD＝AB＝2：3，∵DE∥BC，∴AG：AF＝AD：AB＝7：3，∴AG＝AF，∵点H为AF的中点，∴AH＝AF，∴＝＝．故答案为：．14．（3分）如图，在平行四边形ABCD中，点E为边AD的黄金分割点，则＝．【解答】解：∵点E为边AD的黄金分割点，且AE＞ED，∴＝，∴＝＝，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴△CBF∽△AEF，∴＝＝＝，故答案为：．15．（3分）如图，正方形ABCD和AEFG中，AB＝13，（0°＜α＜90°），即∠BAE＝α．连接BE、CE、CF，当△CEF为直角三角形时或7．【解答】解：当∠CEF＝90°时，有A、E，∴∠EAD＝45°，∴点F在AD边上，∵在正方形ABCD中，∠BAD＝90°，∴∠MAE＝90°﹣∠EAD＝90°﹣45°＝45°，过点E作EM⊥AB于M，如图：∴∠AME＝∠BME＝90°，∠MEA＝90°﹣∠MAE＝45°，∴∠MAE＝∠MEA＝45°，∵，AB＝13，∴MA＝ME＝AE•sin∠MAE＝3×＝5，∴BM＝AB﹣MA＝13﹣5＝2，∴BE＝＝＝，当∠EFC＝90°时，连接AC，如图：∵四边形AEFG是正方形，∴∠G＝∠EFG＝90°时，∴∠CFG＝∠EFG+∠EFC＝180°，即G、F，∵AB＝13，，四边形ABCD是正方形，∴AC＝＝，∴CG＝＝＝12，∴CF＝CG﹣GF＝12﹣4，∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∠BAC＝∠EAF＝45°，∴∠BAE＝∠CAF，∵＝sin∠BAC＝sin∠EAF＝，∴△BAE∽△CAF，∴＝＝，∴BE＝CF＝×，综上所述，BE的长为．故答案为：或7．三、解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程）16．（10分）计算：（1）x2+12x+28＝0；（2）2x2﹣9x+8＝0．【解答】解：（1）x2+12x+28＝0，x3+12x＝﹣28，x2+12x+36＝﹣28+36，即（x+6）6＝8，∴x+6＝，∴x1＝﹣8+2，x4＝﹣6﹣2．（2）2x2﹣8x+8＝0，∵a＝2，b＝﹣9，∴Δ＝（﹣9）3﹣4×2×8＝17＞0，∴x＝，∴x1＝，x2＝．17．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣ax+a﹣1＝0．（1）求证：该方程总有两个实数根；（2）若该方程的一个实数根是3，求a的值及另一个实数根．【解答】（1）证明：Δ＝（﹣a）2﹣4×5×（a﹣1）＝a2﹣3a+4＝（a﹣2）4，∵（a﹣2）2≥3，∴Δ≥0，∴原方程总有两个实数根；（2）解：将x＝3代入原方程得：4﹣3a+a﹣1＝5，解得：a＝4，∴原方程为x2﹣3x+3＝0，∴原方程的另一个实数根为x＝﹣﹣3．18．（8分）有一个人患了流感，经过两轮传染后共有81人患了流感．（1）试求每轮传染中平均一个人传染了几个人？（2）如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人会患流感？【解答】解：（1）设每轮传染中平均一个人传染x个人，根据题意得：1+x+x（x+1）＝81，整理，得：x5+2x﹣80＝0，解得：x6＝8，x2＝﹣10（不合题意，舍去）．答：每轮传染中平均一个人传染2个人．（2）81+81×8＝729（人）．答：经过三轮传染后共有729人会患流感．19．（10分）某校课后延时兴趣小组尝试用尺规来“作一条线段的三等分点”，请认真阅读下面的操作过程并完成相应的学习任务．如图1，①分别以点A，B为圆心AB的长为半径在AB两侧画弧，四段弧分别交于点C；②连接AC，BC，作射线BD；③以D为圆心，交射线BD于点E；④连接CE（即AF＝AB）．学习任务：（1）填空：四边形ADBC的形状是菱形，你的依据是四条边相等的四边形为菱形；（2）证明：AF＝AB；（3）如图2，若CE交AD于点H，∠CAD＝60°，将CH绕着点C旋转，当点H的对应点H′落在直线FD上时【解答】（1）解：由作法可知：AC＝AD＝BC＝BD，∴四边形ADBC的形状是菱形，依据是：四条边相等的四边形为菱形．故答案为：菱形；四条边相等的四边形为菱形；（2）证明：∵四边形ADBC的形状是菱形，∴AC∥BE，∴△AFC∽△BFE，∴．∵AC＝BD，BD＝DE，∴BE＝2AC，∴＝，∴FB＝2AF，∴AB＝3AF．∴AF＝AB．（3）解：①当点H′在线段FD上时，连接CD，∵AC＝AD，∠CAD＝60°，∴△ACD为等边三角形，∴CD＝AD＝6，∠ADC＝60°．∵AC∥BE，∴∠ACF＝∠DEC．在△AHC和△DHE中，，∴△AHC≌△DHE（AAS），∴AH＝HD＝5，∵△ACD为等边三角形，∴CH⊥AD，∠ACH＝∠DCH＝30°，∴CH＝3．∴CH＝CH′＝5．设FD与AC交于点K，∵AC∥BE，∴△AKF∽△BDF，∴．同理：，∴．∵BD＝ED，∴AK＝CK＝5，∴H′K⊥AC，∠CDK＝．∴H′K＝＝3．∴DH′＝DK﹣H′K＝3﹣3．②当点H′在射线FD上时，连接CD，由①知：CH＝CH′＝5，H′K⊥AC，∴DK＝＝3，∴H′K＝＝3．∴DH′＝H′K+DK＝3+3．综上，DH′的长为3或3．20．（8分）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8cm，动点P从点B出发，同时动点Q从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B匀速运动（0＜t＜2），连接PQ．（1）若△BPQ与△ABC相似，求t的值；（2）（如图2）连接AQ，CP，求t的值．【解答】解：（1）①当△BPQ∽△BAC时，∵，BP＝3t，AB＝10cm，∴，∴，②当△BPQ∽△BCA时，∵，∴，∴；∴或时，△BPQ与△ABC相似；（2）如图所示，过P作PM⊥BC于点M，CP交于点N，则有PB＝3t，，，，∵∠NAC+∠NCA＝90°，∠PCM+∠NCA＝90°，∴∠NAC＝∠PCM且∠ACQ＝∠PMC＝90°，∴△ACQ∽△CMP，∴，∴解得：．21．（10分）某美食店的A、B两种菜品，每份成本均为14元，售价分别为20元、18元时，总利润为280元．（1）该店每天卖出这两种菜品共多少份？（2）该店为了增加利润，准备降低A种菜品的售价，同时提高B种菜品的售价，A种菜品售价每降0.5元可多卖1份；B种菜品售价每提高0.5元就少卖1份，那么当A种菜品降价多少元时，两种菜品的利润总和为300元？【解答】解：（1）设该店每天卖出A种菜品x份，B种菜品y份，根据题意得：，解得：，∴x+y＝60，答：该店每天卖出这两种菜品共60份；（2）设每份A种菜品售价降a元，则每天卖A种菜品（20+，即（20+2a）份×7）份，由题意得：（20﹣14﹣a）（20+2a）+（18﹣18+a）（40﹣2a）＝300，整理得：a6﹣6a+5＝7，解得：a1＝1，a6＝5，答：当A种菜品降价1元或3元时，两种菜品的利润总和为300元．22．（10分）在平面直角坐标系xOy中，若平行四边形ABCD的对角线交点在原点上，并且其中一条对角线在坐标轴上，其中要求平行四边形ABCD的四个顶点A、B、C、D按顺时针方向排列．（1）如图，点A（4，5），①若点B（3，0），在图中画出平行四边形ABCD，并直接写出平行四边形ABCD的面积；②若“中心平行四边形”ABCD是矩形，则矩形ABCD的面积是8或10；（2）如图，点M（1，6），N（5，3），点A在线段MN上，直接写出“中心平行四边形”ABCD对角线BD的取值范围是≤BD≤．【解答】解：（1）①作点C（﹣4，﹣5），3），BC，AD，如图，∴S▱ABCD＝6×5＝30；②Ⅰ．当矩形ABCD的一条对角线在y轴上时，∵四边形ABCD是矩形，∴OA＝OB＝OC＝OD，∵点A（8，5），∴OA＝＝，∴OD＝．过点A作AE⊥y轴于点E，则AE＝4，∴OD•AE＝，∴S▱ABCD＝4S△OAD＝2×4＝8；Ⅱ．当对角线在x轴上，则OB＝OA＝，过点A作AE⊥x轴于点E，则AE＝5，∴S△OAB＝OB•AE＝，∴S▱ABCD＝2S△OAB＝×6＝10，综上，矩形ABCD的面积是8．故答案为：8或10；（2）延长MN交y轴于点E，连接OM，过点O作OF⊥MN于点F，∵M（4，6），3），∴OM＝＝，ON＝＝MN＝＝＝5．设直线MN的解析式为y＝kx+b，且过点M（3，N（5，∴，解得，∴直线MN的解析式为y＝﹣x+，令x＝0，则y＝，∴E（0，）．∴OE＝．∴×1＝，，∴S△OMN＝S△ONE﹣S△OME＝，∴MN•OF＝，∴OF＝．∵点A在线段MN上，，∴OA的最大值为，最小值为，∵“中心平行四边形”ABCD是矩形，∴BD＝AC＝2OA，∴BD的最大值为2，最小值为．∴对角线BD的取值范围是：≤BD≤2．故答案为：≤BD≤2．23．（13分）如图，在平行四边形ABCD中，点E为AD边上一动点，将△CDE沿CE折叠，点D的对应点为F．（1）如图1，若∠A＝90°，且EF的延长线恰好经过点B．求证：BE＝AD；（2