第18讲 利用导数研究函数双变量问题(提升训练)(解析版)-2022年新高考数学一轮基础考点专题训练

第18讲利用导数研究函数双变量问题

【提升训练】

一、单选题

i.在许多实际问题中，一个因变量往往与几个自变量有关，即因变量的值依赖于几个自变

量，这样的函数称为多元函数.例如，某种商品的市场需求量不仅仅与其市场价格有关，而

且与消费者的收入以及这种商品的其它代用品的价格等因素有关，即决定该商品需求量的因

素不止一个而是多个我们常常用偏导数来研究多元函数以下是计算二元函数

z=f(x,y)=2x2+y+3xy2在(1,2)处偏导数的全过程:

£(x,y)=4x+3y2/'(x,y)=l+6犯，所以

/；,，(l,2)=4xl+3x22=16,//(h2)=1+6x1x2=13.由上述过程，二元函数

z=f(x,y)=ln(x2+y2),则工'(1,2)+4'(1,2)=()

6

A.29B.-

5

21

C.—D.一

55

【答案】B

【分析】

根据题目给出的运算法则，计算得到答案.

【详解】

z=/(x,y)=ln(x2+/)

则£(》/)=-3^2)=|；=../'(1,2)=:

x-\-y5x+y5

£(1,2)+方(1,2)=4

故选B

【点睛】

本题考查了函数的新定义问题，意在考查学生的应用能力和计算能力.

3

2.定义在R上的函数y=/(x),满足/(3—x)=/(x),(x-1)/'(x)<0,若如气2,且

X|+X2>3,

则有

A./(%,)</(%2)B./(%1)>/(x2)C./(%!)=/(x2)D.不确定

【答案】B

【详解】

3

分析：/（3-x）=/（x）对称轴为X=5，若玉<吃且玉+/>3'离对称轴较远，

（x-m]f'（x）<0可知f'（x）<0在x>T，故单调递减.

详解：/（3-x）=.f（x）对称轴为x=5，若苞艮玉+W>3,4离对称轴较远，

、'1x<2时，f'（x）〉O,函数单调递增；当x>±时，f'（x）<0,函数单调递减.

故/（Xl）>/（%2）•选B.

点睛：利用函数的对称性，单调性判断函数值的大小，可以利用数形结合法.

3.若直线歹=^与曲线C：y=lnx相交于不同的两点工（看,必），8（X1,必），曲线

C:y=lnx在点A,8处的切线相交于点尸（%,%）,则（）

A.a<-B.exx=xC.k+k>2aD,k+k<2a

e}20APBPAPBP

【答案】C

【分析】

A选项根据图像可以得出结论；

B选项：设43,写出48点处的切线程联立并化简得（马―须）（叼/―x）=0,从而得

出结论；

,11In-Inx.

C选项：要证明G+L>2a即工+五>2下:'化简得

(\

三-2x强/n强-l>0,设/=—>1，可得/_2xf.ln/-l>0令

7

A（Z）=Z2-2x/.ln/-l,通过求导判断秋。的单调性，进一步得到阳。>0,从而得证;

D选项，根据C选项的结论得出结论.

【详解】

A选项：当时，直线丁=如与曲线C：y=lnx只有个交点，故A错误；

可得ox】=\nxx,ax2=lnx2,

LXiixx..xx

ln12.lnX[=---------lnx,,(7x=lnx

①一②得,将办]=22代入得cix2-ax1=---------

X}x2X]x2

化简（％2—石）（办】工2一工）=0，〈WM•*•办|工2-X

故。工1工2=工0，故B错误;

11cInX,—InX]L

C选项:要证明人在+^P>2a即一+—>2-=-------

4x2x2-玉

/\2/\

化简得寇-2x^.ln±-1>0,

玉

设£=寇>1,可得1>0

令h(t)-t2-2z-ln/-l

h'(t)=2t-2\nt-2

i(t)=h\t)=2t-2\nt-2

f(0=2--=2—,

tt

t-\

当"1,，⑺=2——>0,i(。在上单调递增,所以i(f)>i(l)=0,

t

所以〃”)>0,〃«)在(>1上单调递增,所以〃(。>〃(1)=0,

所以选-2x^ln包-1>0,即储户+左8户>2。，故C正确；

(xjx,(xj

D选项，根据C选项可得D选项错误.

故选：C.

【点睛】

X-,

导数中双变量问题，此时处理的方式是通过变形，把.看作一个未知数,从而把两个自变量转

芭

化为一个未知量，这是一种比较常见的解题方法.

4.若e*=lnx2，令，=X2一须，贝山的最小值属于()

【答案】C

【分析】

设。=e*'=lnx2，把参数f表示成”的函数即f=%-七=e"-Ina,构造函数，通过导数

研究函数最小值及最小值的取值范围.

【详解】

x,aa

设a=e=inx2,则玉=Ina,x2-e,/=x,-x,=e-Ina,

令〃(x)=e*-lnx,h\x)=ex,易知力'(=单增,

x

旦〃(_L)=G—2<0,〃'(l)=e-l〉0,则存在x°e(Ll),使l(Xo)=*-'=O,

22%

即X£(O,Xo),hr(x)<0,/i(x)单减；1£(Xo，+8),h\x)>0,7?(x)单增；

x<,

又“(Xo)=e%---=0=>e=—,lnx0=-x0,

X。x0

v<,

则h(x)>h(x0)=e-Inx0=x0+—,x0e(l,l)

/2

易知久x0)=%+:在X。e(1,1)单减，即A(l)=2<h(xn)<加;)=|

故选：c

【点睛】

方法点睛：把双变量转化为单变量，构造新函数，通过导数研究最值情况及参数取值范围.

X.InX.一x.InX.八

5.若对于任意的0<%<吃<〃，都有‘一'~!一->2,则。的最大值为（）

x]-x2

11

A.1B-eC.-D.—

e2

【答案】C

【分析】

问题转化为她二〈史%，构造函数/'（》）="a，易得"X）在定义域（0,4）上单调

X]x2X

递增，所以/'（x）20在（0,4）上恒成立，进而可求出。的最大值.

【详解】

解：,♦•0<再<工2<。，.二玉一/〈0，

/.x2lnx}-xjnx2<2（玉—x2）,

lnxlnx22

----l--------2<---------,

X,x2x2Xj

lnX[+2lnx+2

,•<2,

再X2

...函数〃刈=h丝ix+士2在定义域（0,0、上单调递增，

X

f（x）=1一（配：+2）=20在（0,0上恒成立，

XX

由—Inx—120,解得0<x<一,故。的最大值是一.

ee

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：本题的解题关键是将原式变形为"「也<如■必，从而构造函数

%x2

/nY4-2

/3）=丝=且/（》）在定义域（0,4上单调递增.

X

6.己知。>b>0,b\na=a\nb,有如下四个结论：

®b<e；®b>e；③全/满足</；®a-b>e1-

则正确结论的序号是（）

A.①③B.②③C.①④D.②④

【答案】C

【分析】

由由blna=alnb，则等=半，设〃x)=笥，利用函数/'(x)的单调性结合图象

\na\nb[Ina=ma

可判断①，②.设一=—=^>0,则<7…两式相减、相加，然后可得

ab[In/7=mb

\na+\nb=^~”出，设人(/)=(l+/)ln/-2。-1),利用单调性可得q/Aez得出

---1

b

答案.

【详解】

,,,,,,,,IntzIn65、Inx、1-lnx

由blna=aInb,则---=>设/(x)=---，则rnlfr(lxl)=；—

abxx

当0cx<e时，/'(x)>0,当x>e时，/<x)<0

所以/(x)在(0,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，

乂/(1)=0,当x〉l时，有/")〉0,则〃x)的图象如图.

所以a>e>6>0,所以①正确，②错

误;

,InaIn6InQ=ma

设n---=----=m>0,则<

ab\nb=mb

ln-

两式相减得lnQ-lnb=〃?(Q-b),得

m=———

a-h

(a+b)ln£

两式相加得lnQ+lnb=m(a+b)=

a-b

设f=/>1

b

A(z)=(l+z)ln/-2(r-l),则/a)=ln/+(-2=lnf+；-l

/?〃(f)=lnf+『_2=；一"=；(1_；)〉0

所以“(f)在(l,+¥)上单调递增，则力'(f)>'(1)=0

所以/?(7)在(1，+¥)上单调递增，/?(。>〃(1)=0,即(1+小11/>2«-1)

一(1+/)皿I"部吟

所以-7—->2,即In=Ina+Inb=---------->2

(I)£,1

b

所以a-b>e2,故④正确，③错误；

综上，正确的命题是①④，

故选：C.

【点睛】

关键点点睛：本题考查了构造函数利用函数的图性质判断数值大小的应用问题，解题的关键

是将条件变形为=纳，构造函数/'(x)=a±,利用其单调性来解决问题，然后设设

abx

\naln/)fIna=ma,、./、

---==加>0,则1，然后构造/(。zx=。z+。111，-2(，-1)来证明4.6>e2，

ab----------［Inn=mb

从而解决问题，考查了学生的运算求解能力，逻辑推理能力.属于中档题.

7.函数/(尤)和g(x)都是定义在(一8刁上的单调减函数，且/⑺=g(f)=河，若对于

任意左〉〃，存在玉，工2(玉〉》2)，使得/(而)=g(x2)=左成立，则称g(x)是/(X)在

(F,4上的“被追逐函数”，若〃X)=X2,则下列结论中正确的序号为()

①g(x)=-2x-l是/(X)在(-8,-1］上的“被追逐函数；

②若g(x)和函数〃(x)=2、-l关于y轴对称,则g(x)是/(X)在(-8,-1］上的“被追逐函

数”；

③若g(x)=In(-X)+“2是/(X)在(-8,T］上的“被追逐函数”，则加=1；

④存在加2/,使得g(x)=—+加是/(x)在(-oo,-l］上的“被追逐函数”.

A.①③B.②③C.②④D.①④

【答案】A

【分析】

先判断了(X)与g(X)是否单调递减，并求得最小值，再根据若g(X)是“X)在(-8旬上的

“被追逐函数=g(》2)=左，则占应可用人表示，利用演>x2，代入判断其是否恒成立,

即可判断是否满足“被追逐函数''，由此依次判断①②③④

【详解】

对于①J(x)=X2和g(x)=-2x-l在(一00,-1］上单调递减，且/(-1)=g(-l)=l,

若g(x)=-2x-l是〃x)=x?在(-00,-1］上的“被追逐函数”,

则对于任意左>1,存在花，々(玉>工2),使得/(%)=8(々)=左成立，

xi=一&

即X：=—2》2—1=左,所以《后+1，

I2

此时〃<—，即人<笥上，构造函数%(x)=x—咛1(x>l)，

y।1

则"(x)=1—5—<0，则h(x)在(1,-Ko)上单调递减，又力(1)=0,则/?(*)<0恒成立，

即x<(上1)..，故对任意左>1,存在x,,x2(x,>x2)，使得/(%)=g(w)=左成立,故①正

4

确；

对于②，依题意g(x)=(；)一1,则/(》)=%2和g(x)=(；J-1在上单调递减，

且〃T)=g(T)=l,

若g(X)=-1是〃X)=在(-8,-1］上的“被追逐函数”，

则对于任意k>1，存在玉，％2(玉>X2)，使得/(玉)=g(%2)=左成立，即X：=—1=左，

X］--y［k.,

所以.x,=log］(后+1),当％=100时,不存在修，々(%>々)，使得/(%)=8(々)=左成立,

.2

故②错误；

对于③，若g(x)=ln(-x)+m是/(x)=/在(—8,一1］上的“被追逐函数，，，此时必有

/'(-1)=8(-1)=1,解得心=1,

当加=1时,g(x)=In(-x)+1和/(x)=X2在(―吟-1]上单调递减，

若g(x)=ln(—x)+1是/(x)=x2在(-oo,-l)上的“被追逐函数”，

则对于任意%>1,存在为，X2(%>%2),使得/(芯)=8(%2)=左成立，

即X；=In(―5)+1=左，所以卜L一当即_〃>_小,则k<e2k-2,

乂=-e

构造函数/?(x)=x—e2z，则h'(x)=l-2e2x-2<0.则A(x)在(1,+s)上单调递减，又

〃⑴=0,则〃(x)<0恒成立，

2

即x<e?",故对任意k>1,存在再,x2(x,>x2)，使得/(xI)=g(x2)=A：成立，故③正确;

对于④，当xe时,g(x)='+加G[-1+m，机)，而当xe

时,/(x)=x2e[l,+oo),

由上的任意性，不存在mN/,使得g(x)=g+加是/(x)=x2在上的“被追逐函数”,

故④错误，

故选:A

【点睛】

本题考查利用导函数处理恒成立问题,考查运算能力.属于难题.

8.已知函数/(x)=-x2+a,g(x)=x2",若对任意的X2e[-1,1],存在唯一的王,

2],使得/(再)=8(々)，则实数a的取值范围是()

,111

A.(e,4]B.(eH—,4]C.(ze-l—,4)D.(z一,4]

444

【答案】B

【分析】

求得/(x)在(g,2]的值域A,以及函数y=g(x)的导数，判断单调性，求在「1,1]的值域B,

由题意可得B包含于A,可得。的不等式，解不等式可得所求范围.

【详解】

解：/(x)=--+a在[_g,2]的值域为[a-4，a],

但〃x)在(1,2］递减,此时/(力可4-4,a-1).

g(x)=x2/的导数为g,x)=2xe，+/e*=x(x+2)e*,

可得g(x)在［T,0］递减,(0,1］递增，

则g(x)在「川的最小值为g(0)=0,最大值为g(l)=e,即值域为［0,e］.

对任意的吃e［T，l］，存在唯一的王［一；，2］,使得/(xj=g(x2)，

可得［0,e］oa-4,a-；),

可得a-4W0Ve<a-L,

4

解得en—V。<4.

4

故选：B.

【点睛】

本题考查函数的单调性，最值问题，考查导数的应用转化思想，属于难题.

9.若方程x-2加x+a=0存在两个不相等的实数根xi和及，贝U()

【答案】B

【分析】

%,和4是方程x-2/〃x+a=0两个不相等的实数根，不妨设玉>々，代入方程消去。得到

x,1111

々，石关系，令马，石用f表示，进而将一+一用f表示，构造函数判断一+一

工2X］"2

与1的大小关系，即可求出结论.

【详解】

x\和X2是方程x-2lnx+a=0两个不相等的实数根,

不妨设%>x2>0,x]-2lnx1+a=Q,x2^2lnx2+a=0,

两式相减得演—W—2/=0,令，=~~>19X]=Z%2,

x2x2

2t\nt

/.x2(Z-l)=21n/,.\x2

—1I1=-t--\-1--/--l=-。---1)-«+-1)=-t-\

X,x22In/2/In/2/In/2tIn/

令g(。=J-1-2/Int.t>l,gV)=2/-2In/-2,

2

令夕(。=2/-2In£-2,9”)=2——,t>1,>0恒成立,

(p(t)在(L+8)是单调递增，(p(t)>(p(l)=0,・•.gr(t)>0恒成立,

・・・g(t)在(1,+8)是单调递增，.二g(0>g(l)=0/>1恒成立,

/2—1

.•.广9一1—2/In，>0,/7—1>2/In/>0,------->1»

2t\nt

—+—>1

*x2

故选:B.

【点睛】

本题考查导数综合应用，涉及到函数零点、单调性，构造函数是解题的关键，属于较难题.

10.已知函数/(工)二一工2一61一3,g(x)=2x3+3x2-12x+9,加<一2,若V玉£［加,一2),

3X2G(0,+OO),使得/(xJ=g(X2)成立，则〃?的最小值为

A.-5B.-4C.-2>j5D.-3

【答案】A

【分析】

g'(x)=6x2+6x-12=6(x+2)(x-1)，则当0<x<l时，g'(x)<0,当x〉1时，

g'(x)>0,.\g(x)mm=g⑴=2,/(x)=—(x+3)2+6K6.作函数y=/(x)的图像如图所

当/(x)=2时，方程两根分别为-5和—1,则加的最小值为-5.故选A

点晴:本题考查函数导数与单调性，任意性与存在性问题，可利用数形结合的办法解决，如果

函数较为复杂，可结合导数知识确定极值点和单调区间从而确定其大致图象.对于方程的有

解，恒成立问题以及可转化为有解、恒成立问题的问题，注意利用数形结合的数学思想方法.

设实数/1>0,若对任意xe(0,+co),不等式

11.T一In4x20恒成立，则4的取值范围

是()

A.0<2<-B.0<A<e-1C.0<2<eD.0<2<e2

e

【答案】C

【分析】

令/"(%)=J—ln4x，根据二阶导数的符号判断/(x)的单调性，由零点存在性定理易知

A

rx

3x0€(0,+8)使/(x0)=0,此时2=Xoe°,进而讨论f(x)的单调性可知/(x)>/(x0),

*

要使题没不等式恒成立，即/(%)=］：—In^—ln/NO成立，构造

g(Xo)=-—21nx0-Xo利用导数研究其单调性确定g(Xo)NO的区间，进而求九的范围.

【详解】

令/(x)=—-InAx，只需要X€(0,+8)上/(x)>0恒成立，

4

ex1

Vf(x)=------且；1〉0,

Ax

/〃(X)=£1+4>0,即/'(X)在X€(0,+8)上单调递增，

4X

•/limf\x)=-oo,limf\x)=+oo,

•x->o+XT+X

3x0e(0,+oo),使/'(%)=0,即4=/e与，

.•.”G(0,演)时，/'(乃<。f(x)单调递减;XG(/,E)时，八x)>0,f(x)单调递

增；

,X。px01

故只需/(x)Z/(x0)=——InAx0=——ln/1-lnx^O，令g(x(>)=——

AA%

1i

.•.g'(Xo)=-(—+l)-<0,故g(Xo)在/e(0,+8)上递减，而g(l)=o,

工0

x

玉)e(0,1］时，g(x0)>0恒成立，可知4=xoe°G(0,e］.

故选：C

【点睛】

关键点点睛：利用导数研究/(X)的单调性并确定极小值点范围，根据/'(%)=0有

%=/炉。，结合/（x）2/（X。）构造新函数，求/（演）20成立时X。的区间，进而求参数范

围.

12.己知大于1的正数。，6满足华,则正整数〃的最大值为（）

e

A.7B.8C.9D.11

【答案】C

【分析】

空等价于孕＜＜，令〃力=吟，g（x）=q，分别求了（X）,g（x）的

eacixx

导数，判断函数的单调性,可求得了（X）有最大值g（x）有最小值

,,

根据题意，即求/（HaWga）.，代入为六；，等价于

f21n；,令夕（x）==^-ln,即求夕（x）＞0的最大的正整数.对夕（x）求寻求单调

性，可知8（x）单调递减，代入数值计算即可求出结果.

【详解】

解：由题干条件可知：华＜贵等价于电2＜Q

a"b"a"

令/(》)=咤，(x>l)，则/(x)=""nW：—〃lnx)\nx(2-n\nx)

XX

/'(x)=。，—，

/2\

当/时,nXGe〃，+8

(x)>0XGl9e,当/(x)<0时,

\/I7

(2A（2、

所以/(x)在l,e"上单调递增，在G,+8上单调递减，则/（元）有最大值

\7/

7

令g(x)=q,(x〉l),则g'(x)="(2：：〃),当时，此题无解，所以2>1,

xx22

MMM

则g'(x)=°，x=5，当g'(x)>°，x>5，当g'(x)<0,1<x<5，

所以g(x)在1,］上单调递减，在后,+8上单调递增，则g(x)有最小值

g

22a

Inbe即e"+2叫J

右.-<--J-成立，只需fe-<g-

bna"I)⑴

n-I-7n

两边取对数可得：〃+2N(〃—2)ln-."=2时，等式成立，当〃23时，有——>ln-,

2〃一22

V*_1_2V*

令=,本题即求e(x)>0的最大的正整数.

-41

e'(x)=7―F一一<。恒成立，则9(尤)在［3,+oo)上单调递减，

(X—2)x

(p(8)=-5-ln4>0,^(9)=y1-1ln-»Q1.5714-1.51>0,(p(10)=13-ln5<0,

所以夕(x)>0的最大正整数为9.

故选：C.

【点睛】

本题考查构造函数法解决恒成立问题.

方法点睛：双变元的恒成立问题，经常采用构造成两个函数，转化为/(xJ<g(X2),若

/(Xjmax<g(x2%,，则复合恒成立的情况•

13.己知直线歹=-x+2分别与函数y=e*和y=lnx的图象交于点Z(x，yJ,B(x2,y2),

则下列结论错误的是()

B.e"+eX2>2eC.^+xlnx<0.vx,>—

A.%+%2=222D

玉122

【答案】D

【分析】

对A,分别作出函数y=-x+2,y=ex,y=lnx的图象，通过图象观察易得玉+々=2

成立；利用基本不等式可证B成立；构造函数/")=生'可证C成立；构造函数

g(x)=2-x-lnx可得1<X2<G，再利用函数歹=xlnx的单调性，可证得D不成立;

【详解】

对A,如图，作出函数y=eX、y=lnx和y=x的草图，因为4,8关于C对称,且0<x1l<X2,

因为C(1,1),所以玉+/=2,故A正确；

对B,由基本不等式，/'+*2=2e，因为项力工2，所以等号不成立，故B正

确；

对C,因为0<再彳2<(土产)=1.所以0<玉</-<1记〃力=皿

X

则/。)=匕"，故0<x<l时，/(x)〉0,所以((切=.在(0,1)上单调递增,

XX

In—

(1、^<—^-=-x,lnx,即上五+x,lnx,<0,故c正确;

所以/(再)</—,即2

\X27玉_L-/

X2

12

对D,记g(x)=2-x_lnx,则g(l)=l>0,g^4e^=2-4e--=--\[e<0,则

I<x2<4e又玉马二(2-、2)々=X2In%，易知V=xlnx在(l,e)上单调递增，故

x1x2=x2lnx2<4e\n>fe=当,故D错误.

故选：D.

【点睛】

本题考查利用导数研究不等式问题，考查函数与方程思想、转化与化归思想、数形结合思想,

考查逻辑推理能力、运算求解能力，求解时注意函数构造法的应用.

14.已知/(x)=xe-*(xeA),若须力4，且/(不)=/(马)，则占+马与2的关系为

A.x{+x2>2B.xl+x2>2C.xt+x2<2D.大小不确定

【答案】A

【分析】

先求导求出〃x)的极大值点为1,再比较/(1-幻和/(1+x)的大小得出

/(l+x)>/(l-x),再根据当X>1时，/'(x)<0,“X)单调递减可得须+々>2.

【详解】

由题，/'(x)=(l—x)e-J令/'(x)=o则有x=l,所以当x>l时,/'(x)<0

当x<l时，f\x)>0,所以，在x=l时，(x)取得极大值和最大值.

又当x趋近于正无穷时,/(x)正向趋近于0,且/(0尸0,所以，如果存在不工x2

使得/(/)=/(X2)，不失一般性令不<匕，则0<X]<1,々>1，

对于任意的xe(0,l),分别取两点l-x、1+X,

现在比较/(1-x)和/(I+x)的大小.

1+x1—x1+x—(1-x)e-“

/(1+x)-,/-(1-%)=

令分子部分为g(x)=l+x-(l-x)e2x,xe(0,1).

求导有g«)=l+(2x-l)e2，,xe(0,l)

当x=0时,g'(x)=0；当x>0时，又g"(x)=4xe2">0,g'(x)故单调递增且大于0.所以,

在(0,1)上g(x)是单调增函数，旦g(x)>g(0)=0,故/(I+x)-/(I-x)>0,即

/(l+x)>/(l-x),因为0<l—x<l，l+x>l,在[1,+8)上单调递减且

/(I+X)>/(1-X)，所以在1+X点的右侧必能找到一点X2，使得/(1-X)=/(X,)，且

x2>1+x,故1一%+X2>1-》+1+》=2,令1-x=X1,则有X]+々>2,故选A.

【点睛】

该题考查极值点偏移问题，可以求导求单调性，先画出/(x)=xer(xeR)的图像，直观上

观察出玉+々>2,再构造函数分析比较/(1-x)和/、(l+x)的大小，进而证明得出不等式.

二、多选题

2

15.关于函数/(x)=—+lnx,下列判断正确的是()

x

A.x=2是/(x)的极大值点

B.函数y=/(x)-x有且只有1个零点

C.存在正实数%,使得/(x)>Ax成立

D.对任意两个正实数玉，々，且芭>%2，若/(占)=/(々)，则玉+工2>4.

【答案】BD

【分析】

A选项借助导数研究函数的极值情况；BC选项，构造新函数研究函数的零点问题以及参数

取值范围；D选项根据新函数单调性比较函数值的大小，从而得到双变量的关系.

【详解】

对于A,函数的定义域为(0,+8),

...在(0,2)上，/(%)<0,函数单调递减,

(2,+oo)±,f(x)>0,函数单调递增，

，x=2是/(x)的极小值点，即A错误；

2

对于B,y=/(%)-%=—+Inx-x,

x

函数在(0,+00)上单调递减，

且/⑴—l=2+lnl—1=1>0,

/(2)-2=l+ln2-2=ln2-l<0,

二函数V=/(x)-x有且只有1个零点，即B正确；

对于C,若f(x)>kx,可得----,

XX

人/2Inx-4+x-xlnx

令g(X)---，贝！Jg，(X)=-------------，

XXX

令〃(x)=-4+x-xlnx,则〃'(x)=-lnx,

・•・在(0,1)上，函数力(%)单调递增，

工日(1,+00)上函数力(X)单调递减，

：.h(x)<A(1)<0,：.gf(x)<0,

；・g(x)=-7+工£在(0，+8)上函数单调递减，函数无最小值,

XX

...不存在正实数使得/(x)>h恒成立，即C不正确;

对于D,令te(0,2),则2-后(0,2),2+t>2,

22

令g(。=/(2+/)-/(2-Z)=-—+ln(2+0---—ln(2-)

2+£2.—t

4t2+r

F----Vin----

Z2-42-t

4«2_4)_8/2-t2-t+2+t

则g'(f)=

(产―4)2-^7；(2一)2

-4Z2-164-8/2-

=9+三~'亍*^0,

(Z2-4)24一产«2—4)2

：.g(?)在(0,2)上单调递减，

则g(r)<g(0)=0,令xi=2-z,

由/(Xl)—f(X2)»得X2>2+f,

则XI+X2>2-t+2+t=4,

当X2>4时，X|+X2>4显然成立，

对任意两个正实数Xl,X2)且X2>X1,

若/(Xl)=f(X2)1则Xl+X2>4,故D正确.

故选：BD.

【点睛】

思路点睛：借助导数研究函数的极值情况，构造新函数研究函数的零点问题以及参数取值范

围；可以将自变量的大小比较通过构造新函数，通过单调性转化为函数值的大小比较，从而

得到自变量间的关系.

16.己知函数/(x)=x(e“+1),g(x)=(x+l)lnx,则()

A.函数/(x)在R上无极值点

B.函数g(x)在(0,+8)上存在唯一极值点

C.若对任意x〉0,不等式/(6)2/(卜丁)恒成立，则实数a的最大值为:

In/1

D.若/(xJ=g(X2)=，0>。)，则*卜+1)的最大值为、

【答案】AD

【分析】

利用导数可求得f'(x"f'(-2)>0,得到在R上单调递增,知A正确；

利用导数可求得g'(x)2g'(l)>o,得到g(x)在(0,+力)上单调递增，知B错误;

由/.(X)在火上单调递增得到ax2Inf,利用分离变量的方法可得=y,利

2

用导数可求得g)mx=/可求得”的范围，知C错误；

易得6同=%2，一严ln［：(e+?］=丝,令加住)="，利用导数可求得

2x,(x2+l)x(e』+l)k')k

m(左)max=〃?(e)，可知D正确.

【详解】

对于A,/'(x)=(x+l)e*+1,/"(x)=(x+2)e”,

当x<-2时，/”(x)<0：当x>-2时，/ff(x)>0；

在(—8,—2)上单调递减，在(—2,+8)上单调递增，

.•./'(力2/'(-2)=-6-2+1〉0,，/(可在尺上单调递增，无极值点，A正确；

对于B,g,(x)=lnx+l+—■g"(x)=，--V=-

XXXX

当0<x<l时，g"(x)<0；当x〉l时，g"(x)〉O；

••・g'(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+8)上单调递增，.•.g'(x)»g'⑴=2〉0,

；.g(x)在(0,+向上单调递增，无极值点,B错误；

对于C,由A知：〃x)在R上单调递增，则由/(ax)Z/(lnx2)得：ax>inx^

*、八1、In/21nx

【x>0时，a>----=-----，

xx

人7/、21nx.I7〃\2-21nx2(l-lnx)

令//(x)=------,则/(x)=-----；—==~.

XXX

..・当0<x<e时，当x>e时，力'(％)<0：

22

.,・力(%)在(0,e)上单调递增，在(%+8)上单调递减，=〃(')=—，,。之一，

2

则。的最小值为一，无最大值，C错误；

e

对于D,玉(e、i+1)=(吃+1)出/=，，：/>0，；♦X］〉0，々>1，由A知=(x+1)ex

In?M

是增函数，所以e同=》2,

x,(%2+1)%(4+1)

/、In/In左

设《“S+i),则本同=下，

inA:e1-ln^

W=---，则〃？(％)=---1—,

kK

..・当0<左<e时，机'(左)>0；当k>e时，m'(k)<0；

.•.他(左)在(O,e)上单调递增，在(e,+8)上单调递减，

二加(左)max=〃?(e)=L此时e=Xj(e$+l)=(x2+l)lnx2,

In?1

/----n的最大值为一，D正确.

xG+l)e

故选：AD.

【点睛】

关键点点睛：本题考查导数在研究函数中的综合应用问题，选项D中，对于多个变量的式

子最值的求解关键是能够通过等价代换的方式，将所求式子化简为关于一个变量的函数的形

式，从而利用导数求得函数最值得到结果.

17.关于函数/(x)='+lnx,下列判断正确的是()

x

A.x=l是/(x)的极小值点

B.函数歹=/(x)—x有且只有1个零点

C.存在正实数左，使得y=/(x)>丘恒成立

D.对任意两个正实数X1,X2,且》2〉再，若/(须)=/(刀2)则X|+工2>2

【答案】ABD

【分析】

A：求函数的导数，结合函数极值的定义进行判断：

B：求函数的导数，结合函数单调性和零点个数进行判断即可：

C：利用参数分离法，构造函数g(x)=[+皿，求函数的导数，结合函数的单调性和极

XX

值进行判断即可；

D-.令g")=/(l+f)-/(l-/),求函数的导数，结合函数的单调性进行证明即可.

【详解】

A：函数f(x)的的定义域为(0,+力)，/V)=—r+-=^F->

XXX

当(0,1)时，ff(x)<0,/(X)单调递减,

当xw(l,+8)时，f\x)>0,/(X)单调递增，

・・.x=l是/(、)的极小值点，即4正确；

B：y=g(x)=f(x)-x=-4-lnx-x,

x

・••g，(x)=一厂+JT<0,函数g(x)在(0,+oo)上单调递减，且g(l)=O,

X

工函数y=/(x)-x.有且只有1个零点，即8正确；

C：若/(x)>左恒成立，即左<4+小恒成立.

XX

人/、1Inx，/、x-xlnx-2

令g(x)==+—，nWIJg(x)=-------i——，

XXX

令人(x)=x-xlnx-2,则〃(x)=—lnx,

当(0,1)时，h\x)>0,当x£(l,+8)时，h\x)<0,

・••在X£(0,l)上，函数〃(X)单调递增，X£(l,+8)上函数〃(X)单调递减，

/.h(x)<h(l)<0,gr(x)<0,

.•.g(x)=U+曲二在(o,+力)上函数单调递减，函数无最小值，

XX

当X->+8时，g(x)->0,

不存在正实数左，使得/(》)>履恒成立，即C不正确；

D由单调性可知，X,e(0,1),x2e(l,+00),

令fw(o,i),则i-tc(o,i),i+r>i,

令g(/)=/(l+，)_/(l_/)=±+ln(l+0_占_ln(l_/)=2+ln考，

，/、2(厂—1)—4厂\—t1—Z+1+Z—2/"—22—4/_.

则g⑺=,,—+-----------------=———-+——-=———-<0，

(t2-I)21+/(I-/)2(/-I)?I-/2(/2-1)2

g(0在(0,1)上单调递减，则g(o<g(0)=o,

.•"€(0,1)时，/(i-z)>/(1+r)

令X]=1—乙由/(X1)=/(X2)>/(1+Z),得》2>1+/，

则-f+l+f=2,故。一正确.

故选：ABD.

【点睛】

(I)已知函数极值点或极值求参数的2个要领

①列式：根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解.

②验证：因为某点处的导数值等于。不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求

解后必须验证根的合理性.

(2)判断函数零点个数的3种方法

直接法：令/(x)=0,则方程解的个数即为零点的个数

图像法：转化为两个易画出图象的函数，看其交点的个数即可

定理法：利用零点存在性定理判定，可结合最值、极值去解决

(3)利用分离参数法来确定不等式/(x,A)>O(xeD,2为实参数)恒成立问题中参数取值范围的

基本步骤：

①将参数与变量分离，化为力口)渺