第09讲 函数的概念及其表示-【暑假自学课】2023年新高一数学暑假课（人教A版2019必修第一册）（解析版）

第9讲函数的概念及其表示

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学习目标

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i.理解函数的概念，了解构成函数的三要素；

2.能正确使用区间表示数集，会求简单函数的定义域、函数值和值域;

3.掌握函数的三种表示法一解析法、图象法、列表法；

4.了解两个函数相等的意义，会判断给定两个函数是否为同一个函数:

5.会求函数的解析式，并正确画出函数的图象。

j隹J基础知识

“iMiiiiiiiiiniiiiaiiiiuiBiiiiuiiiiini・।

一、函数的定义及概念概念

1、函数的定义：设4,8是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数弟按照某种确定的对应关系

在集合5中都有唯一确定的数)，和它对应，称A-3为从集合4到集合5的一个函数，

记作：y=/(x),x^A

【注意】函数的本质含义：定义域内的任意一个x值，必须有且仅有唯一的y值与之对应。

(1)特殊性：定义的集合A,8必须是两个非空数集；

(2)任意性：4中任意一个数都要考虑到；

(3)唯一性：每一个自变量都在B中有唯一的值与之对应；

(4)方向性：Ai

2、函数的有关概念

(1)函数的定义域、值域；在函数)，=加)，KRA中，K叫做自变量，K的取值范围A叫做函数的定义域；

与X的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合伏工)|x£A｝叫做函数的值域.

(2)函数的三要素：定义域、对应关系和值域.

(3)函数的表示法：表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.

3、函数的三要素的理解

(1)定义域：使函数解析式有意义或使实际问题有意义的工的取值范围；

(2)时应关系：是函数关系的本质特征，是沟通定义域与值域的桥梁，在定义域确定的情况下，对应关系

控制着值域的形态，/可以看作是对“工”施加的某种运算或法则。

例如：f(x)=x2,/就是对自变量x求平方。

(3)，直域：对应关系了对自变量x在定义域内取值时相应的函数值的集合，其中，y=/(x)表示“y是x

的函数”，指的是y为x在对应关系/下的对应值。

4、同一个函数：两个函数定义域相同，并且对应关系完全一致，则称这两个函数为同一个函数。

二、区间及相关概念

1、一般区间的表示：设小〃是两个实数，而且我们规定：这里的实数。力叫做区间的端点.

在用区间表示连续的数集时，包含端点的那一端用中括号表示，不包含端点的那一端用小括号表示.

定义名称符号数轴表示

[x\a<x<b^闭区间[a,b]

ab

^x\a<x<b^j开区间（。,力——-------]A

Oh

—r_，.

^x\a<x<b]半开半团区间[a,b)

ab

^x\a<x<b\半开半闭区间(a,b]

ab

2、实数集R

可以用区间表示为（-8,4-oo）,“8”读作“无穷大”,

“一8”读作“负无穷大”，"+8”读作"正无穷大

3、特殊区间的表示

定义符号数轴表示

x>a(a,+oo)

a

x>a[圆xo)

-----------a------------------------------------►

x<b(-8力)

x<b(-8力

1---------------------------------------

三、求函数的定义域的依据

1、分式中分母不能为零：

2、偶次方根的被开方数的被开方数必须大于等于零，即祗（其中〃=中；

奇次方根的被开方数取全体实数，即五（其中〃=2々+1,4£"・）中，xeR；

3、零次鬲的底数不能为零，即中尢工0；

4、实际问题中函数定义域要考虑实际意义；

5、如果已知函数是由两个以上数学式子的和、差、积、商的形式构成，那么定义域是使各部分都有意义的

公共部分的集合。

四、函数的表示方法

1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系。

2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系。

3、图像法：用图象表示两个变量之间的对应关系。

五、分段函数

1、定义：在函数定义域内，对于自变量I的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数.

2、性质：分段函数是一个函数，其定义域、值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；

各段函数的定义域的交集是空集.

3、分段函数图象的画法

(1)作分段函数图象时，分别作出各段的图象，在作每一段图象时，先不管定义域的限制，作出其图象,

再保留定义域内的一段图象即可，作图时要特别注意接点处点的虚实，保证不重不漏；

(2)对含有绝对值的函数，要作出其图象，首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号，将函数转化为分段

函数，然后作出函数的图象。

六、函数解析式的求法

1、待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数等)，可用待定系数法.

(1)确定所有函数问题含待定系数的一般解析式；

(2)根据恒等条件，列出一组含有待定系数的方程；

(3)解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。

2、换元法：主要用于解决己知的解析式，求函数/(%)的解析式的问题

(1)先令g(x)=r,注意分析/的取值范围;

(2)反解出心即用含r的代数式表示x；

⑶将f(g(x))中的x度替换为，的表示，可求得/⑺的解析式，从而求得〃力

3、配凑法；由已知条件/(g(x))=F(x),可将F(x)改写成大于g(x)的表达式，

然后以x替代g(%),便得的解析式.

4、方程组法：主要解决已知"X)与"T)、/(口、……的方程，求〃元)解析式。

例如：若条件是关于“力与/(-力的条件(或者与/(1])的条件，

可把x代为-不(或者把“代为｝)得到第二个式子，与原式联立方程组，求出/(工)

Q考点剖析

考点一：对函数概念的理解

由例1.下列变量间为函数关系的是（）

A.W速行驶的客车在2小时内行驶的辟程

B.某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系

C.一只60瓦的白炽灯在7小时内的耗电量与时间/的关系

D.生活质量与人的身体状况间的关系

【答案】C

【解析】对选项A：匀速行驶的客车在2小时内行驶的路程是常量，不满足;

对选项B；某地蔬菜的价格与蔬菜的供应量的关系是依赖关系，不满足;

对选项C：耗电最与时间f的关系是y=6O”）KY7,是确定的函数关系;

对选项D：生活质量与人的身体状况间的关系是依赖关系，不满足.故选:C

【变式训练】下列图象中，表示函数关系y=的是

【答案】D

【解析】根据函数的定义知，一个工有唯一的y对应,

由图象可看出，只有选项D的图象满足.故选:D.

考点二:区间概念的理解

由例2.用区间表示集合｛XWR|2</K4｝

【答案】（2,4]

【解析】集合｛谷口2<X44｝用区间表示为（2,4].

故答案为：（2,4]

【变式训练】（多选）下列集合不能用区间形式表示的是（）

A.{1,234}B.{xeQ|x>l}C.{x\X<0n£x>3}D.{xeN|2<x<5}

【答案】ABD

【解析】区间形式可以表示连续数集，是无限集

A,D是自然数集的子集，都不能用区间形式表示，

B选项，Q是有理数，数轴上大于1的有理数不是连续的，

故只有C可以，区间形式为(-8,0]U[3,~F8),故选：ABD.

考点三：求具体函数的定义域

pCj例3.函数f(x)=?W的定义域是()

A.{xeRlx^-1)B.{xwRl-1}C.{xeRIX^±1)D.{xwRlxw-l或xwl}

【答案】A

r—1

【解析】”x)=y的自变量需满足x+iwo,

x+\

所以定义域为{xwRlxw-l),故选：A

【变式训练】函数y=^^+(2x-l)°的定义域为()

A.卜/B.紧)c.

【答案】C

【解析】要使函数y=/i+(2x-i)°有意义，

-x

3T>0]

则有、,八，解得x<3且

21一1002

所以其定义域为'巴£(电，3；故选：C.

考点囚：求抽象函数的定义域

由例

4.已知函数y=/(x)的定义域为11,2],求函数y=的定义域

【答案】[-夜，点]

【解析】•・•函数y=/(6的定义域为[―1，2]

.•.I-X2G[-1,2],解之得：相[-四，&]

故函数y=/(i—丁)的定义域为：卜拉,0]

3

【变式训练】已知/卜2-1)的定义域为-3,求/(X)的定义域.

【答案】2,8]

4

【解析】令"/一1,XG[|,3],

由二次函数的性质可得£€。网.

所以“X)的定义域为1,8].

考点五：判断两个函数是否相等

5.下列各函数中，与函数g(x)=G■表示同一函数的是()

A.f(x)=|x|B.f(x)=±\x\C./(x)=jD.f(x)=x°-\x\

【答案】A

【解析】g(x)=J7=N，故g(x)的定义域为R.

对于A,〃力的定义域为R,且解析式与g(x)相同，故为同一个函数，

对于Bj(x)wg(x),故不是同一个函数，

对于Cj(x)的定义域为｛x|xwO｝,而g(x)对定义域为R,定义域不同，不是同一个函数,

对于Dj(x)的定义域为卜,工。｝,而g(x)对定义域为R,定义域不同，不是同一个函数,

故选:A

【变式训练】(多选)下列各组函数不是同一个函数的是()

A.f(x)=^-^-^5(x)=x+lB./(x)=，一2一与g(x)=x•/方

X—1

C.F(x)=x+2与g(z)=次+2D./(%)=&-4与g(x)=Jx+2

【答案】ABD

【解析】对于A,“力的定义域是(YO,1)U(L”)，g(x)的定义域是R,定义域不同，

故不是同一函数，A错；

对于B,/(x)=-x・Q与g(i)的对应关系不同，故不是同•函数，B错：

对于C,经过化简可知两函数的解析式与定义域都一样，所以为同一函数，C对；

对于D,/("的定义域是(f，-2]u[2,y),g(x)的定义域是[2,故)，定义域不同，

故不是同••函数，D错.故选：ABD

考点六：画简单函数的图象

由例

6.作出下列函数的图象.

(1)y=x+2,|x|<3；

2

(2)y=x-2fxezK|x|<2.

【答案】(1)图象见解析；(2)图象见解析

【解析】(1)由题意，XG[-3,3],函数的图象如图所示:

【变式训练】作出函数/(x)=U+2|-|x-5|的图像.

【答案】答案见解析

-7,xe2]

【解析】因为/(切=卜—3,2目

7,X€(5,4-00)

所以函数/(x)=U+2|-|x-5|的图像如图所示:

y

考点七：求函数的解析式

[、]例7.已知一次函数“X)满足2/2+/(x+l)=9x+6,则f(4)=()

A.12B.13C.14D.15

【答案】B

【解析】设十〃(a^O),贝ij2/(人)+/(人+l)=2tu+2//十〃(人+1)十b=3tu+a十必，

因为2/(x)+/(x+l)=9x+6,

[3。=9

所以〃/解得。=3力=1,

[a+3h=6

所以〃x)=3x+l,44)=13.故选：B.

【变式训练】⑴已知/(x+l)=2x—3,求/(x)的解析式；

(2)已知/(X)+3/(T)=：+，-2X,求/(x)的解析式.

【答案】(1)/(x)=2x-5：(2)f(x)=~x3+^x2+x

【解析】(1)令f-x+1,则“T-1,故F(f)=2(f_3=2-5,

所以〃x)=2x-5；

(2)由题设/(-彳)+3/(幻=-/+/+2]①，结合f(x)+3f(-x)=d+Y-2x②,

3x①一②得：8/(X)=-4X3+2X2+8X,f(x)=~x3+^x2+x.

考点八：求分段函数的函数值

N列8・设小)=｛晨麒9,则/⑹=()

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

x-3,xN9?

【解析】由f（x）=・

〃x+5),x<9

可知〃6)=〃6+5)=f(11)=11-3=8.故选：C.

【变式训练】已知函数/(1)=2']一那么，(/(4))=

x+x-<1

【答案】1

【解析】V/x=,

[X+X-\yX<]

・•・/(4)=2-4=-2,

2

•V(/(4))=/(-2)=(-2)+(-2)-l=l.

故答案为：1.

考点九：求简单函数的值域

若函数的定义域是{布＞2},则它的值域.

【答案】（0,g）.

【解析】•・・函数此是反比例函数，则2时，且四,

所以值域为（0,；）.

故答案为：（。，5）.

【变式训练】已知函数/（加/-2小2,则/（X）的值域为（）

A.[T+oo）B.[l,+oo）C.[0,+oo）D.[0,4]

【答案】B

【解析】/（x）=x2-2|x|+2=|x|2-2|x|4-2=（|x|-l）2+i,可«0,y），

故=故函数值域为口，口）.故选：B

真题演练

1.下列各函数图象中，不可能是函数y=/（x）的图象的是（）

【答案】c

【解析】对于ABD选项，对于每个x都有唯一对应的y与之对应，

ABD选项中的图象均为函数的图象；

对于C选项，存在xwR,使得这个X有两个y与之对应，

C诜项中的图象不曷函数的图象故诜：C.

2.区间（0,1]等于（）

A.{0,1}B.{（0,1]}C.{JC|0<X<|）D.{x|0<x<l}

【答案】C

【解析】区间（0,1]表示由0</<1的实数先成的集合何0<%41}.故选：C

3.函数/（力=2^的定义域为（）

A.（5,+oo）B.[-1,5）J（5,+oo）C.[-1,5）D.[-1,+«））

【答案】B

./r4-1fx+1>0

【解析】由/（》）=卫工由意义可得，:八，

八'x-5|x-5w0

所以xN-l且工工5,

所以函数=Y亘的定义域为卜1,5）11（5,内），故选：B.

x—5

4.若函数“力的定义域为[0,4],则函数8（力=/（1+2）+717的定义域为（

A.（1,2）B.（1,4）C.（1,2]D.（1,4]

【答案】C

【解析】因为函数“X）的定义域为[0,4],

/\1[0<x+2<4

对于函数gx=f（x+2+-；『，贝IJ।八，解得1<X«2,

Vx-1x-1>0

即函数g(x)=/(x+2)+、^的定义域为(L2].故选：C

5.已知集合A8是实数集R的子集，定义A-B={x|xcAx史用，若集合

A={yly=/,"KxKl},B={y|y=x2-i,_i«xK2},则8-A=()

A.|x|-l<x<l}B.{x|-l<x<l}

C.{x|O<x<1}D.{x|0<JT<1}

【答案】B

【解析】由题知，y=：在卜上曼象随着x的增大，y减小，所以A={y[14y<3},

y=f_i的对称轴为y轴，因为TW2,所以B={)，|—lKy«3},

所以3—A=故选：B.

6.下列函数中，是同一函数的是()

2

A.yd）。与y=lB.y=x与丁=二

X

C.y=W与D.y与y=*_])2

【答案】C

【解析】选项A中，函数y=(x-l)°的定义域是{xlx工1},函数y=l的定义域是R,不是同一函数:

选项B中，函数丁二%的定义域是R,函数y=士的定义域是=,不是同一函数；

选项C中，两个函数定义域都是R,对应法则也相同，是同一函数；

选项D中，两者对应法则不相同，前者对应自变量直接平方，

后者对应自变量减去1后的平方，不是同函数.故选：C.

7.若函数=且/(m)=7,则实数机的值为()

A.五或一右B.-3或3C.逐D.3

【答案】B

【解析】令/=4+“(-8,-2]。[2,+8),贝1]/+!=(工+_!_)_2=/一2,

可得：/(，)=*-2,即/(X)=V2]D[2,+<X?),

Vf(iri)=m2-2=7,；.加=±3.故选：B.

8.已知函数f(x),g(x)的对应关系如下表，则/[g⑴]二()

X-10123

小）2130-2

g(x)32-1-20

A.0B.2C.-2D.1

【答案】B

【解析】g（D=-l，・••/［>⑴］=f（T）=2.故选：B.

9.（多选）下列对应关系中不是A到8的函数的是（）

A.AcR,ScR,x2+y2=1B.A={-l,0,l},8={l,2},y=|目+1

C.A=R,8=R,y=—5—D.4=N,B=Z,y=V2x-1

x-2

【答案】ACD

【解析】A,炉+产=］可化为y=±077,显然对任意xeA（x=±l除外），y值不唯一,

不符合函数的概念，故A满足题意；

B,符合函数的定义，故B不合题意；

C,2e在此时对应关系无意义，不符合函数的定义，故C满足题意；

D,2e/I,此时y=石更8,不符合函数的定义，故D满足题意.故选：ACD.

10.若〃力的定义域为［T3）,则f（2x-l）的定义域为.

【答案】［-1,2）

【解析】由〃力的定义域为［-3,3）,

令-3d<3,解得-1W2,

所以的定义域为

故答案为：［一1,2）.

II.函数尸寸筌苍.田目的值域为

【答案】［-L3］

【解析】因为二次函数y=f-2%的对称轴为x=l,

所以当x=l时为in=>2=—l

因为当x=0时y=（）,x=3时y=3,即）—=3,

所以值域为［-1,3］

故答案为：［-L3］

12.已知〃力=；/，求/(/(T))=______

'x+2,x<0

【答案】0

【解析】•/(-1)=-1+2=1,

・J(/(T))=〃1)=。

故答案为：0.

13.⑴已知/1(%)是一次函数，且满足3〃x+l)—〃x)=2x+9,求F(x)的解析式.

⑵若对任意实数x,均有〃x)-2f(r)=9x+2,求/(对的解析式.

【答案】⑴/(x)=x+3;(2)/(x)=3x-2.

【解析】(1)因为〃力是一次函数，所以设/(、)=履+6心0,

又因为3/(工+1)-〃力=2、+9,

所以3,(x+l)+吁(履+〃)=2x+9,整理得2区+32+»=2/+9,

“一，>=1

故，3二23,解得

b=3

所以〃x)=x+3.

(2)因为f(x)-2/(T)=9X+2①，

0fW/(-x)-2/(x)=-9x+2(2),

由①+2x②得：-3〃力=-9%+6,解得：f(x)=3x-2.

-丁+2x(04x42)

14.已知函数

X2+2X(-2<X<0)

2.

1■

(1)求(I),佃的值;

(2)作出函数的简图；

(3)由简图指出函数的值域；

【答案】⑴，„)《⑵函数的简图见解析；(3)[-1,1]

-X2+2X(0<X<2)

【解析】(1)由f(X)=

x2+2x(-2<x<0)

(2)简图如图所示:

(3)简图可知函数的值域为

营过关检测

।HlllllllllllllllllllllllltllllBIIIIIIMI—

1.下列各组函数表示相同函数的是()

A./(X)=A/?和g(x)=(4)B.y(x)=i和g(x)=d

C.f(x)中和g(x)=｛：：：0D.〃x)=x+l和g(%)=土二1

【答案】c

【解析】对于A中，函数/(x)=J7的定义域为R,函数g(x)=(4)2的定义域为［。,内)，

两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数；

对于B中，函数〃x)=l的定义域为R,函数以幻=丁的定义域为(70,。)11(0,+00),

两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数；

对于C中，函数/3)=国=1'-八与g(x)=〈’"八的定义域和对应法则都相同,

-<U—x,x<I)

所以表示相同的函数；

对于D中，函数/*)=x+l的定义域为R,函数g(x)=g二］■的定义域为｛xlxwl｝,

x-1

两个函数的定义域不同，所以表示不同的函数.故选：C

2.函数〃#=内］的定义域是()

A.RB.C.S，0)U(0,+oo)D.[-1,0)11(0,-K»)

【答案】D

[x+1>0,、

【解析】由题，to,解得x4r-l,0）U（0,田）.故选：D.

3.已知/卜2-1）的定义域为16,百],则/（X）的定义域为（）

A.[-2,2]B.[0,2]C.[-1,2]D.[-75,75]

【答案】C

【解析】因为/（/-1）的定义域为[-退,B]，所以-石4x4百，

所以-阳f-Y2,所以/⑴的定义域为故选：C

4.已知函数f（x）=|x|+l的定义域为{-1,0」},则其值域为（）

A.{1,2}B.[1,2]C.10,1}D.[1,+00）

【答案】A

【解析】当工=±1时，/（x）=l+l=2,当％=0时,/（%）=1,

故值域为故2}.故选:A

5.下列函数中，值域为（0,m）的是（）

二112

A.v=\/xB.y=~r=C.y=-D.y=x~+x+\

\Jxx

【答案】B

【解析】对于A,y=g。,则其值域为[0,”），A错误；

对于B，丁=5>0,则其值域为（°，”），B正确；

对于c,y=­。。，则其值域为（F，O）U（O,”），C错误；

对于D,J=则其值域为j+8）,D错误.故选：B.

x-2,x<2

6.函数/")={3，则/(〃3))等于()

---xN2

x9

A.]B.3C・—1D.-3

【答案】D

x-2,x<2

【解析】因为/(x)=3，则/⑶=4=7,

---yX223

.x

故/(/(3))=/(T)=_”2=_3.故选：D.

7.(多选)下列是函数图象的是()

【答案】ABD

【解析】根据函数的定义可知，定义域内的每一个x只有•个〉和它对应,

因此不能出现一对多的情况，所以C不是函数图象，ABD是函数图象.故选：ABD.

8.已知函数/(工)的定义域为[-1,3],则g(x)=/(x-2)+百二工的定义域为

【答案】U3

【解析】己知函数/(")的定义域为[7,3],所以2)中x-2e[」3].

-1Wx—2W3

综上g(x)定义域为：33。,取并集解得—W3；

故答案为：[1,3]

9.已知/(x)+2/(—为二/+工，贝ij/(x)=.

【答案】--X.

3

【解析】S^/(X)+2/(-X)=X2+X①，

把X换成T有：f(-x)+2f(x)=x2-x②，

联立①②式有：解得小尸上X.

[f(-x)+2f(x)=x--x3

故答案为：号一x.

3

w“、f2x2+1,x<0,..

10.己知函数/〃0八，则“4=____________.

/(x-3),x>0

【答案】9

【解