第23讲 直线和圆锥曲线的位置关系（解析版）-【同步题型讲义】2022-2023学年高一数学同步教学题型讲义（人教A版2019必修第一册）

第23讲直线和圆锥曲线的位置关系

【知识点梳理】

1.直线和曲线联立

22

(1)I陶圆二+二=1(〃>。>0)与直线/:丁=丘+加相交于A3两点，设A(%],M),B(X2,y2)

ah

'22

.2_-i

2222222222

<ab~»(b+ku)x+Icrkim+am-ab=0(正设)

y=kx+m

22

椭圆Fr+Z=l(a>0,b>0)与过定点O,0)的直线/相交于AB两点，设为％=(y+/n,如此消去x，保留y,

ab

但+匚1,

构造的方程如下：,//,(a2+t2b2)y2+2b2tmy+b2nr-crb2=0(反设)

x=ty+m

注意：

①如果直线没有过椭圆内部一定点，是不能直接说明直线与椭圆有两个交点的，一般都需要摆出△>(),

满足此条件，才可以得到韦达定理的关系.

②焦点在y轴上的椭圆与直线的关系，双曲线与直线的关系和上述形式类似，不在赘述.

(2)抛物线=2px(/?>0)与直线x=(y+m相交于A、B两点,设A(玉，y1),B(x2»乃)

联立可得y2=2p((y+m),△>()时，，[+必=2/”

[乂月=-2p〃？

12

特殊的，当直线反过焦点的时候，即,〃=£,y,=-2pm=-p,X]x2=^-.^-=-p,因为旗为通径

22P2P4

的时候也满足该式，根据此时A、B坐标来记忆.

抛物线炉=20，5>0)与直线>=自+机相交于C、。两点，设C(x-％),D(X2)%)

联立可得V=2p(依+M，△>()时，卜+%：2pk

[%/=-2Pm

注意：在直线与抛物线的问题中，设直线的时候选择形式多思考分析，往往可以降低计算量.开口向上选

择正设；开口向右，选择反设：注意不可完全生搬硬套，具体情况具体分析.

总结：韦达定理连接了题干条件与方程中的参数，所以我们在处理例如向量问题，面积问题，三点共线问

题，角度问题等常考内容的时候，要把题目中的核心信息，转化为坐标表达，转化为可以使用韦达定理的

形式，这也是目前考试最常考的方式.

2.根的判别式和韦达定理

22

二■+'=1(〃>匕>0)与y=辰+相联立，两边同时乘上a2b2即可得到(a?女2+b2)x2+2kmcrx+a2(ni2-Z?2)=0,

ab~

为了方便叙述，将上式简记为42+&+。=().该式可以看成一个关于工的一元二次方程，判别式为

232A22)2).

D=4/b+b2_机可简单记4a2/(4一加

22

22222222

同理0+2T=1（。＞人＞0）和联立（/+tb）y+2btmy+Z?/??-ab=0,为了方便叙述，将上式简记

a廿

为A/+By+C=0,D=4a2b2（a2+t2b2-nr），可简记4〃出（人一小）.

/与C相离趺＜0;/与C相切践=0；/与C相交蹊＞0.

注意：（1）由韦达定理写出入+々=-£,x1x2=-,注意隐含条件△＞（）.

AA

（2）求解时要注意题干所有的隐含条件，要符合所有的题意.

（3）如果是焦点在y轴上的椭圆，只需要把a:从互换位置即可.

（4）直线和双曲线联立结果类似，焦点在x轴的双曲线，只要把尸换成即可；

焦点在y轴的双曲线，把/换成-6?即可，〃换成a?即可.

（5）注意二次曲线方程和二次曲线方程往往不能通过联立消元，利用D判断根的关系，因为此情况下往往

会有增根，根据题干的隐含条件可以舍去增根（一般为交点横纵坐标的范围限制），所以在遇到两条二次曲

线交点问题的时候，使用画图的方式分析，或者解方程组，真正算出具体坐标.

【题型目录】

题型一：直线与椭圆位置关系

题型二：直线与双曲线位置关系

题型三：直线与抛物线位置关系

【典例例题】

题型一：直线与椭圆位置关系

[例1]（2023・全国•高三专题练习）直线y=2x-l与椭圆片+2=1的位置关系是（）

94

A.相交B.相切C.相离D.不确定

【答案】A

【分析】根据直线恒过（0,-1）,且（0,-1）在椭圆内可直接得到结论.

仆2I21

【详解】在椭圆内，

•••"2》-1恒过点（0,—1）,，直线y=2x-l与椭圆总+[=1相交.

故选：A.

【例2】（2022•全国•高二课时练习）若直线如+利=4与圆/+/2=4没有交点，则过点「（〃?,〃）的直线与椭

圆£+£=1的交点的个数为（）

94

A.0或1B.2C.1D.0

【答案】B

【分析】由直线与圆相离得到P点位置后判断

1-41

【详解】由题意,/,,>2,得病+川<4,故点尸(牡〃)在以原点为圆心，2为半径的圆内，即在椭圆

7m+n

内部，过P点的直线与该椭圆必有2个交点.

故选：B

【例3】(2022全国•高二专题练习)已知椭圆上+$=1,直线g+y+m-1=0,那么直线与椭圆位置关系

54

()

A.相交B.相离C.相切D.不确定

【答案】A

【分析】求得直线恒过点(-1,1),由点在椭圆内部，则直线与椭圆相交.

［详解］由mx+y+»7_l=0,则机(x+l)+y_］=0,

则直线g+y+相-1=0,恒过定点

由£空+眩=2<1,则点(T,l),在椭圆目+片=1内部，

542054

二直线与椭圆相交.

故选：A

【例4】(2022・江苏・高二)已知椭圆C的标准方程为［+?=1,若过点P(2,l)的直线/与椭圆C在第一象

限相切于点M,则点M的坐标为.

【答案】fl.|］##(l,1.5)

【分析】设切线的方程，与椭圆联立由判别式等于。可得参数的关系，再由切线过户点的坐标可得参数的关

系，进而求出参数的值，即求出切线的方程，及切点的坐标.

【详解】解：当切点在第一象限时，斜率存在且不为0,

设切线的方程为：y=kx+m,k<0,由于过P点可得：1=24+机，①

y=kx+m

联立直线/与椭圆的方程,整理可得:（3+4公）X2+Skmx+4/H2-12=0,

则△=（&〃次）2-4（3+4公）（4疗一12）=0,可得〃=3+4公②,

由①②可得：k―――,加=2,

所以切线方程为：y=-gx+2：

3

可得整理的方程为：x2-2x4-1=0,解得x=l,代入切线的方程可得y=],

即切点

所以直线/的方程为：y=-1x+2,切点M的坐标（1g）.

故答案为：[

【例5】（2021•云南省昆明市第十中学高二阶段练习（理））设P（x。,%）是圆C：x2+y2=，（r>o）上一点,

则圆C在P处的切线方程为与x+=/，由此类比可得到的正确结论是：设尸（厮,%）是椭圆C：

丫2v2

之+4=1（〃>。>0）上一点，则椭圆C在尸处的切线方程为.

a~b

【答案】坐+答=1

a'b'

【分析】根据题目要求，利用类比思想，观察原题中的字母变化，从而总结规律得出结论.

【详解】原题中要求利用类比得出结论，

22

注意观察V+尸=r（r>0）在P（x0,y0）处的切线方程为x/+yoy=r,

可以看出圆的方程中一个x换为％,一个V换为为,即可得到切线方程,

o2

所以二+4=1（">b>0）方程中一个X换为X。，一个）'换为％，可以得到切线方程为：华+皆=1（。>6>0）,

ahrcrb

故答案为：华+誉=1.

ab

[例6]（2022・河北•张家口市宣化第一中学高二期末）已知点P是椭圆C:]+y2=i上任意一点，则点尸到直

线/:x-y+2石=0距离的最小值为.

【答案】国

2

【分析】求椭圆上平行于/的直线方程，利用平行线的距离公式求椭圆上点到直线/的最小值.

【详解】设与椭圆C相切，旦平行于/的立线为尸x+加,

联立椭圆整理可得:3x2+4/nr+2"-2=0,则△=16m2—24（m2-1）=0,

，加=±G，又两平行线的距离d」〃L网,

V2

P到直线/:X-y+=0距离的最小值为d=\&乎'=显.

叵2

故答案为：如

2

【例7】（2022.广东.佛山市南海区桂城中学高二阶段练习）已知动点M到定点A（2,0）、B（3,0）的距离之比

为逅，动直线/与A"垂直，垂足为点

3

（1）求动点例的轨迹方程；

（2）是否存在中心在坐标原点，焦点在x轴的椭圆C使得它与直线/只有一个公共点？若存在，求出椭圆C的

方程，若不存在，说明理由.

【答案】⑴x?+y2=6

（2）存在，且椭圆C的方程为《+片=1

62

【分析】（1）设点M（x,y）,利用两点间的距离公式结合已知条件化简可得点M的轨迹方程；

（2）讨论当M为圆/+丁=6与x轴的交点以及轴时，可写出直线/的方程，可得出椭圆C的方程

为《+工=1，然后考虑当直线AM的斜率存在且不为零时，设点”（今,几），写出直线/的方程，将/的方

程与椭圆C的方程联立，由△=（）可得出结论.

,\\MA\J（x-2f+y2娓

（1）解：设点M（x,y）,由已知可得焉'=一,整理可得/+）产=6.

\MB\7（^-3）+/3

因此，点”的轨迹方程为/+丁=6.

2

（2）解：假设满足条件的椭圆C存在，设椭圆C的标准方程为%+方v=1（〃＞匕＞。），

①若点M为圆/+尸=6与x轴的交点，则直线/的方程为x=土#，则“=

x=2

②若AM_Lx轴时,联立可得即点M（2,士&）,

[x+y=6y=±y/2

此时直线/的方程为y=&或尸-应，则6=0.

所以，若椭圆C存在，则椭圆C的标准方程为上+上=1.

62

③当直线40的斜率存在且不为零时，设点"（知九），则x：+y；=6,

kAM=^4.则直线/的方程为-土吆（x-题），即丫=巴士^+"劣,

xo-2%%为

（2-%）*।6-2%

联立，%%可得（%-3）、2+6（/-2）（修-3）》+9（%-2）2=0,

x2+3y2=6

22

所以，△=36(/-2)2小-3)-36(%-2)2(xo-3)=0,

此时，直线/与椭圆C：W+《=1相切，合乎题意.

62

综上所述，存在椭圆C:t+f=l,使得直线/与椭圆C相切.

62

【点睛】关键点点睛：本题考查椭圆的存在性，可先通过点M的特殊位置求出椭圆C的方程，然后考虑当

点〃为一般点时，利用将直线方程与椭圆方程联立，结合判别式法加以判断即可.

【例8】(2022・江苏盐城•高二期末)平面直角坐标系xOy中，己知椭圆。:提+/1(4＞匕＞0)的左焦点为

F,点P为椭圆上的动点，OP的最小值为1,FP的最大值为1+五.

(1)求椭圆C的方程；

(2)直线/:x+Viy-3=0上是否存在点。，使得过点。能作椭圆C的两条互相垂直的切线？若存在，请求出

这样的点。；若不存在，请说明理由.

【答案】(1)、+V=1

⑵存在；00，血)

【分析】(1)根据椭圆的几何性质可知：a+c=l+&，b=\,即可求解a=&,6=l,c=1；

(2)联立切线方程与椭圆方程，得根与系数的关系，根据切线垂直可得斜率相乘等于-1,进而得点。在圆

X2+/=3h,又点。在/:x+0y-3=O,联立即可求解.

(1)

设点尸(马,%),则O产=*+y；=x：+/[1-今＞+b2,

当飞=0时，OP取得最小值为力=1,.

2

尸产=(%+c)2+y：=(%+4+/(1-鸟)=(£X+a)2,

aa

则当x°=a时，FP取得最大值a+c=l+0.

解得。=夜力="=1,则椭圆方程为,+y2=l.

(2)

设点Q(%,%)当天=0或=历时，易得过点Q作椭圆的两条切线并不垂直，

故可设过点。的椭圆的切线方程为＞=&+，〃,

\y=kx+mc、c

联立方程组1,c,c，消元可得（2/+1»2+4也a+2廿-2=0

[x+2y=2

22

由△=1642m2-4（2丁+1）（2川_2）=o可得2k+l=m,

又直线丫=履+加过点。（%,％）,则，"=%-何，，于是2犷+1=〃/=（%-3））2

化简可得（2-片）k2+2x°y（#+1-y：=0,

由两条切线互相垂直可知，该方程的两根之积人&=

2T

贝ljx：+y；=3,即点。在圆/+>2=3上,

>d0+->23=3=。解得|X=1

III1故存在点。（1，夜）满足题意,

J=0,

【题型专练】

1.（2022全国•高二课时练习）直线/：x+y-3=0,椭圆土+丁=1,则直线和椭圆的位置关系是

4

【答案】相离

【分析】将直线方程与椭圆方程联立，计算得到/<0,即可由方程组解与交点个数的关系得出结论.

【详解】解：直线/：x+y-3=0,椭圆工+丫2=1,联立可得5P24X+32=0，

4

.-.A=242-4X5X32=-64<0,方程组无实数解，即直线与椭圆无交点，故直线和椭圆相离.

故答案为：相离

2.（2022.重庆.西南大学附中高二阶段练习）直线/：kx-y-k=。与椭圆《+炉=1的位置关系是

43

【答案】相交

【分析】确定直线所过定点坐标，由定点与椭圆的位置关系得直线与椭圆的位置关系，

【详解】由已知直线依-y-左=0过定点4L0）,41,0）在椭圆内部（为椭圆的右焦点，椭圆中,="^=1）.

所以直线与椭圆相交.

故答案为：相交.

3.（2022•江苏・高二）若直线以+勿+4=0和圆Y+y2=4没有公共点，则过点尸（9）的直线与椭圆上+*=1

94

的公共点个数为（）

A.0B.1

C.2D.需根据〃，〃的取值来确定

【答案】c

【分析】根据题意，利用直线与圆的位置关系，得到/+/<4,进而结合圆V+y2=4和椭圆的位置关系,

即可求得答案.

【详解】因为直线办+勿+4=0和圆*2+y2=4没有公共点,

4

所以原点到直线3+制+4=0的距离d=>2,即22

yJa2+h2a+b<4>

所以点p（0g）是在以原点为圆心，2为半径的圆内的点,

乂因为椭圆《+±=1，可得"=3/'=2,

94

所以圆V+y2=4内切于椭圆，所以点尸（。,“在椭圆的内部,

所以过点尸（。，3的一条直线与椭圆的公共点的个数为2.

故选：C.

4.（2。22辽宁・高二阶段练习）已知直线京+尹「。，曲线C则直线/与曲线C的位置关

系是（）

A.相离B.相切C.相交D.无法确定

【答案】C

【分析】求出直线所过的定点，证明该定点在椭圆内部即可得出结论.

【详解】解：由直线/：丘+y+l=O,得直线/过定点

因为2+2<1，所以该点在曲线C片+*=1内部.

164164

所以直线/与曲线C相交.

故选：C

5.（2022.云南•罗平县第一中学高二开学考试）加斯帕尔•蒙日（如图甲）是18~19世纪法国著名的儿何学家,

他在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，其圆心是椭圆的中心,

22

这个圆被称为“蒙日圆'’（图乙），则椭圆C:三十二=1的蒙日圆的半径为（）

169

A.3B.4C.5D.6

【答案】c

【分析】由蒙日圆的定义，确定出圆上的一点即可求出圆的半径.

【详解】解：由蒙日圆的定义，可知椭圆C：（+M=1的两条切线x=4、y=3的交点（4,3）在圆上，

所以蒙日圆的半径R==

故选：C.

22

6.（2022•河北邯郸•模拟预测）已知直线/：'与椭圆C：工+二=1,则下列结论正确的是（）

62

A.若C与/至少有一个公共点，贝打”42a

B.若C与/有且仅有两个公共点，则同＜2夜

C.若根=3底，则C上到/的距离为5的点只有1个

D.若〃?=-0,则C上到/的距离为1的点只有3个

【答案】BCD

【分析】联立直线与椭圆方程，根据公共点个数判断△的符号求〃，的范围，利用直线到椭圆切线的距离判

断直线与椭圆的交点个数.

y=x+m

【详解】联立y2消去》得“+6尔+3/-6=0,则判别式△=12（8-，叫，

-----1-----=1

162

A：令A=12（8-M"0,则有帆42夜，错误；

B：令A=12（8—/）＞0,则有同＜2应，正确；

C：令直线/与椭圆C相切，则-=12（8-加2）=o,即一=±2&,

有线y=方+3应与y=x—2&的距离d=卜④（2夜》=5,正确；

及

D：如图，直线y=x-夜分别与y=x-2&和丫=》的距离均为1,因此，C上到/的距离为1的点只有3

个，正确.

故选：BCD

7.（2022辽宁•高二期中）在平面直角坐标系x。），中，已知点尸仇,%）和曲线C:f+m），=1,则对于直线

/:々“+机片＞=1下列说法正确的是（）

A.若x°=g,%=g,加=1,则直线/与曲线C没有交点

B.若不=；,y0=hm=-\,则直线/与曲线C有二个交点

C.若%=；，%=半，机=g，则直线/与曲线C有一个交点

D.直线/与曲线C的位置关系和尸在哪里无关

【答案】ABC

【分析】通过与、%、加的值，判断曲线与直线的位置关系，逐项检验，即可得到结果.

【详解】当%=g,%=g,加=1时，曲线C:/+y2=i,则对于直线/:x+y=2,圆的圆心（0,0）到直线

|-2|

/:x+y=2的距离为十=应r＞1,所以直线/与曲线C没有交点，故A正确；

22

当%=1，%=1，%=-1时，则曲线Cd-、』，直线/：x-2y=2,联立方程组*二’:，消去“可得

2[x-2y=2

即3/+8y+3=0,可知A=64—4x3x3=28＞0,所以直线/与曲线C有二个交点，故B正确；

当而=：,为=亚，加=:时，直线/:2x+#y=4与曲线C:x2+*=1,联立方程组「十万=,消去

2222唇+而丫=4

）可得：4X2-4X+1=0,解得x=g,所以直线/与曲线C有一个交点，所以C正确；

由B、C选项，可知直线/与曲线C的位置关系和P在哪里有关，所以D不正确.

故选：ABC.

8.（2022•广西•浦北中学高二期中（文））在直角坐标系中，椭圆C方程为二+丁=1,P为椭圆C上的

3

动点，直线的方程为：x+y=4,则点尸到直线的距离d的最小值为.

【答案】0

【分析】设椭圆切线x+y=Z,联立椭圆方程求出切线方程，利用平行线的距离判断椭圆上点到已知直线距

离的最值.

【详解】令>与椭圆、+/=1相切，消去x整理得：4y2-2⑥+〃一3=0,

所以&=必2-16(〃-3)=4(12-342)=0,可得女=±2,显然x+y=4与椭圆无交点,

当k=-2,切线为x+y=_2,与x+y=4版离为^=3夜；

2=及；

'4k=2,切线为x+y=2与x+y=4品巨离为正

所以点P到直线的距离d的最小值为四.

故答案为：血

22

9.(2022•江西・临川一中高三期中(文))已知椭圆C:£+£=l(a>b>0),四点

中恰有三点在椭圆C上.点尸为圆++b2上任意一点,

O为坐标原点.

(1)求椭圆C及圆M的标准方程；

(2)设直线/经过点P,且与椭圆C相切，与圆M相交于另一点A,点A关于原点的对称点为3,试判断直

线总与椭圆C的位置关系，并证明你的结论.

„2

【答案】⑴椭圆C方程为二+丁=1,圆例方程为M+y2=5

4

(2)相切，证明见解析

【分析】(1)由对称知：W都在椭圆c上，再分6,A，2在椭圆上和多三点在椭圆上分别求解即可.；

(2)由题意可得分直线网，x轴，当直线A4〃尤轴和直线R4与x轴既不平行也不垂直，设出直线P4

方程，直线依方程，联立方程可证明.

(1)

由对称知：6,弓都在椭圆C上，

'26,

~~---7=]

若在椭圆上，贝IJ；4；,显然方程组无解.

若三点在椭圆上，由2(0,1)在椭圆上则6=1,

13

代入点6得：方+[=1，则。=2

2

所以椭圆C方程为王+＞2=1,则圆M方程为X、y2=5.

4

⑵

直线PB与椭圆C相切.证明如下：

由题意可得，点8在圆M上，且线段A8为圆M的直径，所以「4,尸3,

当直线小_Lx轴时，此时直线过椭圆长轴的顶点，直线帖的方程为x=12,

则直线PB的方程为＞=±1,显然直线PB与椭圆C相切.

同理，当直线R4〃x轴时，直线尸8也与椭圆C相切.

当直线必与x轴既不平行也不垂直时，

设点尸（与，儿），直线抬的斜率为鼠则AHO,直线总的斜率为-：，

所以直线以方程为：、—%=%（%-不），直线尸B方程为：y-%=-J（x-Xo），

K,

由F消去y得：（1+诙2尸+8%（%-5）了+4（%-5）2-4=0.

因为直线外与椭圆C相切，

所以4=[8（%-线）打2-4（422+1）[4（%-京。）2-4]=0,

即4=16[（4-%*2+2y/+1-*]=。①.

同理，由直线PB与椭圆C的方程联立，＜）’一*=一70一看）

X2+4y2=4

消去y得：（1+\卜一8：10+，*0卜+4bo+：Xo）-4=0

即A?=16（4-x；）g-2x0%；+l-y；=。②

因为点P为圆M：/+丁=5上任意一点，

所以$+y=5,即y；=5-x；③.

将③代入①式，得（4一片袂2+2x（）y0k+片一4=0

将③代入②式，得&=16.却4-父）-2%%%+（1-y；）灯=0

=-贪（4-片）+2xoyok+（石-4）1=0所以此时直线PB与椭圆C相切，

K

综上所述，直线尸B与椭圆C相切.

10.(2022•四川•乐山市教育科学研究所二模(文))已知椭圆C1+与=l(a>6>0)的离心率为正，点

h2

,日)在椭圆C上.

⑴求椭圆c的方程；

(2)设夕(4,九)是椭圆C上第一象限的点，直线/过P且与椭圆C有且仅有一个公共点.

①求直线/的方程(用与，y°表示)；

②设。为坐标原点，直线/分别与x轴，y轴相交于点M,N,求△MON面积的最小值.

【答案】⑴++寸=1；(2)^r-+y0y=1；夜.

【分析】(I)根据椭圆离心率的概念和点在椭圆上列出关于小b、C的方程组，结合片=〃+C2解方程组即可；

(2)根据题意可得玉：+2婷-2=0,设直线/方程，联立椭圆方程，利用根的判别式等于0得出关于火的一元

二次方程，根据公式法解出3代入直线/方程即可；求出点M、N的坐标，根据2=x02+2y；和基本不等

式可得」夜,结合三角形面积公式化简计算即可.

(1)由题意知，椭圆的离心率为乎，且过点(1,*),

C_\[1

则/=/+/,解得/=2,廿=1,

I2F

「苏二1

2

所以椭圆的标准方程为三+丁=1;

2.

(2)①因为P(%,%)是椭圆在第一象限的点，

所以亨+姬=1，即X；+2%2-2=0(X°>0,%>0),

设直线/方程为

y-y0=k(x-x0)

则f,消去y,

—+y=1

整理得(2/+1)/+4封%-丘°)x+(2/一1)为2—45%=0,

贝ij△=[4左（为一云。）了一4（2/+1）[（2/一l）xj-4处，为]=0,

整理，得4%2&2+4/%%+%；=0,

即（2%4+X°）2=0,则2为A+X0=0,解得k=三，

所以直线/方程为y-%=-鲁（x-x°）,即¥+%〉=1；

”o2

_12

②令x=0,得了=一,令y=0,得工=一,

%与

21

即M（一,0）,N（0,一）,由与2+2升一2=（）（工0>0,y0>0）,

xo%

得2=/2+2%2220/％,当且仅当天=&%即/=1、%=也时等号成立,

所以2邛,得太S

所以工…；；/=」一之夜，此时尸（1,

X。%

故当点P的坐标为（1,孝），AMON的面积最小，最小值为五.

题型二：直线与双曲线的位置关系

【例1】（2022•全国•高二课时练习）己知直线/的方程为丫=履-1,双曲线C的方程为》2-丁=1若直线/

与双曲线C的右支相交于不同的两点，则实数k的取值范围是（）

A.（-V2,V2）B.[1,V2）C.[-夜，万|D.（1,72]

【答案】D

【分析】联立直线与双曲线方程，由根与系数的关系及根的分布得出关于k的不等式组，求解即可.

【详解】联立｛；二:二；整理得（1—公卜2+2"-2=0,因为直线'=丘一1与双曲线Y-y2=i的右支交于

不同的两点，

’1-八0

A=4Z:2+8（l-jt2）>0

-2k，解得l<k<6,所以实数A,的取值范围为。，&）.

所以，>0

1-k2

-2

>0

故选：D.

【例2】（2022•全国•高三专题练习）过P（O,2）且与双曲线2无2—V=i有且只有一个公共点的直线有（）

A.1条B.2条C.3条D.4条

【答案】D

【分析】设出直线的方程，与双曲线的方程联立，结合方程解的情况进行求解.

【详解】当斜率不存在时，过户的直线与双曲线没有公共点；

当斜率存在时，设直线为丫=履+2,联立［I；；：：［，得（2-公）f—46-5=0①.

当2—*=o,即人士友时，①式只有一个解；

当2—公与。时，贝|］八=16〃+20（2—/）=0,解得&=±而：

综上可知过P（0,2）且与双曲线2f-y2=］有且只有一个公共点的直线有4条

故选：D.

【例3】（2022•四川・宜宾市叙州区第二中学校三模（理））已知双曲线C|：£-1=1及双曲线C”

a-b~

/提=1（。＞0力＞0）,且C1的离心率为石，若直线y=妞仅＞0）与双曲线G都无交点，则欠的值是

（）

A.2B.TC.75D.1

【答案】B

【分析】过原点的直线与双曲线无交点，则考虑此直线与双曲线渐近线的位置关系.

【详解】：G的离心率为逐，•,•。=石"方=2",

...双曲线G，的渐近线方程为y=±gx，双曲线G的渐近线方程为了=±2x，

而直线y=H仅＞0）与双曲线C-G都无交点，则os］.

故选：B.

【例4】（2022.辽宁.沈阳二中模拟预测多选题）已知点M（-&,0）,N（&,o）,若某直线上存在点P,使得

\PM\-\PN\=2,则称该直线为“好直线”，下列直线是“好直线''的是（）

A.x+y=0B.x-y—3=0C.2x+y+3=0D.2x+y-3=0

【答案】BD

【分析】根据双曲线的定义可得点P在以M,N为焦点的双曲线的右支，求出其轨迹方程，则问题转化为

直线与双曲线（右支）的交点情况；

【详解】解：因为M卜血,0),/V(72,O).|PM|-|/W|=2<|A^|,所以点尸在以M,N为焦点的双曲线的

右支，

1L=2,c=V2，即a=1,c=>/2,

所以从=/—“2=1,

所以其标准方程为：x2-/=i(x>l),双曲线的渐近线为y=±^.

对于A,x+y=o即为双曲线的一条渐近线，故与双曲线没有交点，故不是“好直线”；

对于B,联立直线x-y—3=O与双曲线V-y2=l得X=(X-3)2=1,

解得X=g则>=—,即所以直线x-y-3=0是“好直线”；

芯+毛=—4

{2x+y4-3=0

,,\消去y整理得3X2+12X+1O=O,A=122-4X3X10>0,但是《10

x2-y2=l

x}x2

故直线与双曲线*2-/=1的左支有两个交点，与右支没有交点，故2x+y+3=0不是“好直线”；

%+勺=

时于D,消去)整理得3/_12》+10=0,A=(-12)2-4X3X10>0,且<10，

XjX2

故直线与双曲线f-9=1的右支有两个交点，故2x+y-3=0是“好直线”；

故选：BD.

【例5】(2022•全国•高二课时练习)直线y=2x与双曲线炉―无交点，则该双曲线离心率的最

大值为.

【答案】石

2

【分析】写出双曲线的渐近线，根据直线'=点和双曲线/-斗=1色>0)交点情况对应的参数关系，求。

的范围，进而确定双曲线离心率的范围.

【详解】由题设，双曲线的渐近线为y=±法目/>0,

所以，对于直线、="，当功时直线与双曲线有交点，当4或左2人时直线与双曲线无交点，

2

故要使直线y=2x与双曲线/-方=10>0)无交点，则万v2,

而l<e=Jl+b2故双曲线离心率的最大值为石.

故答案为：加

【例6】(2022•四川•内江市教育科学研究所三模(文))已知A(-2,0),8(2,0),若曲线

（；+刑:一=0（4>0]>0）上存在点产满足附-阀=2,则:的取值范围是.

【答案】（0,6）

【分析】曲线仁一£]=0（">0力>。）上存在点尸满足照一阀=2,等价于y=±'x与以4、B为

焦点的双曲线右支相交，根据双曲线渐近线性质即可求解.

【详解】若A（-2,0）,3（2,0）,且附-阀=2<|相=4,

则点P在以A、8为焦点的双曲线的右支上，且2〃=2,c=2,

；.a=l,匕="^=5二双曲线方程为/-匕=l（x>0）,

其渐近线方程为y=±Cr,

则曲线（>/；/=0（〃〉0,力〉0）上存在点尸满足第一陷二2,

等价于y=±2%与双曲线V-2_=1（X>o）相交，.・.。<2<6.

a4a

故答案为：（0,8）.

【题型专练】

1.（2022•全国•高三专题练习多选题）已知双曲线C:工-.=1的一条渐近线方程为4x-3y=o,过点（5,

t-1t

0）作直线/交该双曲线于A和8两点，则下列结论中正确的有（）

A.1=16或-9

B.该双曲线的离心率为|

C.满足|4叫=羊的直线/有且仅有一条

D.若A和8分别在双曲线左、右两支上，则直线/的斜率的取值范围是（-14《4）

【答案】BD

【分析】根据双曲线的渐近线方程可得一二=£,从而可判断A；求出双曲线方程，从而可得离心率，即

r-79

可判断B；分当AB两点都在双曲线的右支上和4,8冉双曲线的左右两支上两种情况讨论，即可判断C；求

出双曲线的渐近线方程，从而可判断D.

【详解】解：因为双曲线C：£-£=l的一条渐近线方程为4x-3y=0,

t-1t

所以一匚=二解得f=16,故A错误；

Z-79

双曲线方程为——=1»

916

故。=3,Z?=4,c=J9+16=5,

所以该双曲线的离心率6=生，故B正确；

点（5,0）为双曲线的右焦点，

当x=5时，y=±与，

当A3两点都在双曲线的卷支上时，|4却之牙，

因为|AB卜芳，所以这种情况的直线AB只有一条，且⑷?与工轴垂直,

当A8再双曲线的左右两支上时，

可得陷2勿=6,

而132>6,可得这样的直线有两条，

综上所述，满足|他|=3的直线/有3条，故C错误；

双曲线的渐近线方程为>=土;x,

要使A和B分别在双曲线左、右两支上，

则直线/的斜率的取值范围是（-：］）,故D正确.

故选：BD.

2.（202Z全国•高二专题练习）若过点P（0,l）的直线/与双曲线y2=l的右支相交于不同两点，则直线

/斜率的取值范围为（）

A.(bV2)B.[-V2,-1]C.[1.V2]D.(~y/2,-1)

【答案】D

【分析】由题意设直线/的方程，与双曲线方程联立消>得关于x的方程，根据条件得方程有两个不同的正

根，结合韦达定理列不等式组，从而可求出&的取值范围

【详解】由题意可得直线/斜率存在，设直线/的方程为y=H+i,

设交点yt),5(%2,%)，

联立可得(1一公卜2—2米一2=0,

1-公会0

A=442+8(l-F)>。

由题意可得占+%=3>0

1-l-k2

解得：—y/2<k<—1>

故选：D.

3.(2022•安徽•合肥市第八中学模拟预测(理))直线/：y=-x-D与双曲线。“2-丁=2没有公共点，则斜

率%的取值范围是()

A.(«,-四)U(0,+«))B.(-72,72)

C.(-00,-1)=(1,+00)D.(—1,1)

【答案】A

【分析】联立直线与双曲线方程，消元，分1-廿=0和1-二片。两种情况讨论，当i_42xo时只需/<(),

解得即可；

【详解】解：联立直线y=Z(x-l)和双曲线：f_y2=2,消去y得”严川+2&2X-&2_2=0,

当1-公=0,即z=±1时，此时方程为2x-3=o,解得X=],此时直线与双曲线有且只有一个交点；

当1一公二0,此时A=4/+4(1-Jfc2)(尸+2)=4(2-公)<0,

解得及或k<-应，所以左(血,+<»)时直线与双曲线无交点；

故选：A

4.(2022•全国•高三专题练习)若双曲线「■-£=l(a>0,b>0)的一个顶点为A,过点4的直线x-3y-3=0

与双曲线只有一个公共点，则该双曲线的焦距为（）

A.2夜B.4&