第19讲 函数的应用与反函数（巩固基础+能力提升练习）解析版-2021年新高一数学辅导讲义（沪教版2020）

第19讲函数的应用与反函数

(巩固基础+能力提升练习)

【巩固基础】

一、单选题

1.(2021•上海上外浦东附中高一期末)函数，(x)=lnx+2x—6的零点一定位于区间()

A.(1,2)B.(2,3)C.(3,4)D.(4,5)

【答案】B

【分析】函数£6)=111)<+2*-6在其定义域上连续，同时可判断f(2)<o,r(3)>o；

从而可得解.

【详解】函数f(x)=lnx+2x-6在其定义域上连续，

f(2)=]n2+2»2-6=ln2-2<0,

f(3)=ln3+2*3-6=ln3>0；

故函数f(x)=lnx+2x-6的零点在区间(2,3)上，

故选B.

【点睛】本题考查了函数的零点存在定理，对数函数的性质与计算，熟记定理，准确计算是

关键，属于基础题.

2.(2021•上海市西南位育中学高一期末)设函数y=/(x)和y=/(/(x))的定义域都是

R.对于下列四个命题：

(1)若函数y=/(x)是奇函数，则函数y=/(/(x))是奇函数：

(2)若函数y=是偶函数，则函数y=/(/(x))是偶函数；

(3)若函数y=/(x)是严格减函数，则函数y=/(/(x))是严格增函数；

(4)若函数y=/(x)存在反函数y=尸(%),且函数y=/(x)-/T(x)有零点，则函

数y=也有零点；

其中正确的命题有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】利用函数奇偶性的定义可判断(1)(2)的正误；利用函数单调性的定义可判断(3)

的正误；取函数〃x)=B(尤力±1)可判断(4)的正误.

【详解】对于(1),若函数y=/(x)是奇函数，则/(—£)=—"X)，

所以,/(/(—x))=/(—/(x))=—/(/(%)),所以,函数y=/(/(x))是奇函数,(1)

正确；

对于(2),若函数y="x)为偶函数,则〃-x)=〃x),

所以,/(/(-%))=/(/(%)).所以,函数y=/(/(x))是偶函数，⑵正确；

对于(3),任取X1、々eH且%>/，由于函数y=/(x)是严格减函数，则/(N)</(%)，

所以,/(/(x,))>/(/(x2)),所以，y=/(/(x))是严格增函数，(3)正确；

对于(4),函数/(x)=L(xw±l)的反函数是它本身，

X

此时函数y=.f(x)―尸(切有无数个零点，但函数y=f(x)-x无零点，⑷错误.

故选：C.

3.(2021•上海高一期末)已知函数y=2*+x,y=lnx+x,y=lgx+x的零点依次为

再、Z、X3,则X|、3、/的大小关系为()

A.xt<x2<x3B.x2<xx<x}C.x2<x3<xtD.%)<x,<

【答案】D

【分析】化函数的零点为方程的根，然后在同一坐标系中画出函数y=2",y=lnx,

y=lgx和函数丁=一次的图像，根据图象即可判断王、々、七的大小关系.

【详解】已知函数y=2*+x,y=lnx+x,y=lgx+x的零点依次为』、声、W，

即y=2f+%=0=>2*=—X],

y=Inx2+x2=0=>Inx2=-x2,

y=尼七+占=0=lg%3=一七，

在同一坐标系中画出函数y=2",y=lnx,y=lgx和函数丁=一次的图像,

由图可知：xl<x3<x2.

故选：D

4.(2021•上海高一期末)函数y=-3的零点所在区间为().

【答案】B

【分析】根据零点存在原理，结合指数函数、索函数的单调性逐一判断即可.

【详解】设y==—).易知该函数为减函数,

故选：B

5.(2020•上海市金山中学高一月考)已知函数/1)={1，则方程

O,x=O

"(x)f—2/(x)=0的不相等的实数根的个数为()

A.5B.6C.7D.8

【答案】A

【分析】方程"(x)f—2/(x)=0知：/(x)=O或/(x)=2,画出图像分别判断交点个

数，相加得到答案.

［详解）方程［/（X）］2-2/（%）=0可解出/（x）=0或f⑺=2

方程"（x）F-2/（x）=0的不相等的实根个数即两个函数=0或“X）=2的所有不

相等的根的个数的和，

方程的根的个数与两个函数y=0,y=2的图象与函数f（x）的图象的交点个数相同，

—8—6—4—202468x

如图：

y=2的图象与函数“X）的图象的交点个数有2个

y=0的图象与函数的图象的交点个数有3个，

故方程［/（X）］2-2/（%）=0有5个解，

故选：A

6.（2020•上海市大同中学高一月考）对于函数/（X）,若/（一2＞）（5）＜0,则（）

A.函数/（X）在区间（-2,5］上一定有零点

B.函数/（X）在区间（-2,5］上一定无零点

C.函数/（x）在区间（-2,5］上一定有两个零点

D.函数/（x）在区间（-2,5］上可能无零点

【答案】D

【分析】若函数八》）的图象不连续，则函数f（x）在区间（-2,5］上可能无零点，可选出答

案.

【详解】若函数/（力的图象不连续，则函数/（力在区间（-2,5］上可能无零点，

比如，当=L时，/（-2）-/（5）=-1xl＜0,该函数不存在零点.

x25

所以ABC都不正确，只有D正确.

故选：D.

【点睛】本题考查学生对零点存在性定理的理解，考查学生的推理能力，属于基础题.

7.(2020•上海普陀区•曹杨二中高一月考)已知函数=J尤，若方程

(X-1)2,X<2

/(x)=g有三个不同的实根，则实数4的取值范围是()

A.(1,2]B.[l,4w)C.[1,2)D.[2,-W)

【答案】B

r

_L=

【分析】先求得《2行两个根x=l±—^再利用2有解可得答案.

x<22亡、c

(1)」J2

【详解】因为一)2有两个根x=l士注，

x<22

所以，要使方程/(x)=；有三个不同的实根，

k_]_

只需«有解，

x>2

即女=工%在[2,+8)上有解，

2

因为在[2,+CQ)上

2

所以实数k的取值范围是[1,”)，

故选：B.

【点睛】本题主要考查分段函数的性质以及函数与方程思想的应用，属于基础题.

8.(2020•上海南汇中学高一期末)己知/是函数/•(x)=2'+」一的一个零点，若

1-X

%£(1,+00),则()

A./(尤])<B./(再)<

0,/(x2)<00,/(x2)>0

c./(x)>0，/(x2)<oD./(不)>0,/(x2)>0

【答案】B

［分析】转化X。是函数/（x）=T+」一的一个零点为X。是函数y=2、与y=」一的交用

l-xx-\

的横坐标，画出函数图像，利用图像判断即可

【详解】因为/是函数/（幻=2,+」一的一个零点，则%是函数"2'与＞=」一的交

1-xx-1

点的横坐标，画出函数图像，如图所示，

则当%e。,/）时，y=2;在＞=」■；•下方，即/（玉）＜0；

x-\

当看€（Xo，+oo）时，y=2*在y=」一上方，B|J/（x,）＞0,

x—\

故选：B

【点睛】本题考查函数的零点问题，考查数形结合思想与转化思想

9.（2021•上海上外浦东附中高一期末）已知函数/i（x）为函数/（幻的反函数，且函数

f（x-l）的图像经过点（1,1）,则函数/T（X）的图像一定经过点（）

A.（0,1）B.（1,0）C.（1,2）D.（2,1）

【答案】B

【分析】先求出函数/（X）的图像必经过点，然后即可求出函数/T（X）的图像一定经过点.

【详解】解：函数/。-1）的图像经过点（1」），则函数/（刈的图像经过点（0/），

则函数/-'（x）的图像一定经过点（1,0），

故选：B.

【点睛】本题主要考查互为反函数的两个函数图像之间的关系，属于基础题

二、填空题

10.(2021•上海高一期末)用“二分法”求函数/(x)=2x3-3f-18x+28在区间(1,2)

内的零点时，取(1,2)的中点王=1.5,则/(x)的下一个有零点的区间是.

【答案】(1.5,2)

【分析】计算出/(1)、/(2)、/(1.5),利用零点存在定理可得出结论.

【详解】•."(x)=2d—3f-i8x+28,⑴=9>0,〃2)=-4<0,/(1.5)=1>0,

因此，/(x)的卜一个有零点的区间是(1.5,2).

故答案为：(1.5,2).

11.(2021•上海高一期末)用“二分法”求方程d+x—4=0在区间。，2)内的实根，首

先取区间中点x=1.5进行判断，那么下一个取的点是x=.

【答案】1.25

【分析】分别代入x=l，x=L5计算得V+x—4<0和V+x—4>0,所以可得方程

炉+x—4=0在区间(LL5)内有实根，所以根据二分法，下一个取的点为1.25.

【详解】当x=l时，4=14-1-4=-2<O>x=1.5时，

33

X+A：-4=1.5+1.5-4=0.875>0.所以方程d+》一4=0在区间(LL5)内有实根，

所以卜一个取的点是1.25.

故答案为：1.25

12.(2020•上海高一单元测试)函数y=4*+2川-3的零点是

【答案】x=Q

【分析】直接令丫=4'+21-3=0,求解，即可得出结果.

【详解】由'=4'+27—3=0得(2，+3)(2'-1)=0,所以2*=1，解得x=0.

即函数丫=4*+2Z一3的零点是x=0.

故答案为：x=0

13.(2021•上海市第二中学高一期末)已知函数f(x)=炉+x-l的两个零点分别为七和马，

则x^x2+x,%2的值为.

【答案】1

【分析】根据函数零点的定义以及韦达定理可得结果.

【详解】因为函数/（》）=炉+尤-1的两个零点分别为西和々，

所以西和Z是尤2+》一1=0的两个实根，

所以％+々=一1,芯工2=-1，

所以+xixl=xlx2（xl+x2）=-lx（-l）=l.

故答案为：1

14.（2020•上海市三林中学高一月考）存在无数多个实数X,使得机2（1-x）=/nr+1成立，

则实数加=

【答案】-1

【分析】根据题中条件，得到〃22-1=（m2+m）》对任意工€1t恒成立，列出方程组求解,

即可得出结果.

【详解】由加“I—X）=〃2X+1得〃，-1=（>+根）X,

因为存在无数多个实数X，使得加2（1—》）=g+1成立，

即函数/（»=（>一1）一（“+加,有无数多个零点，

m2-1=0

所以只需｛2，解得机=—L

故答案为：-1.

【点睛】本题主要考查由方程根的个数求参数的问题，转化为由函数零点个数求采参数的问

题，属于基础题.

15.（2020•上海市嘉定区第二中学高一月考）关于x的一元二次方程/+8%+夕=0有两

个不相等的实数根，则夕的取值范围是.

【答案】"16

【分析】依据题意可得A〉。，进行计算即可.

【详解】由题可知：一元二次方程V+8x+g=0有两个不相等的实数根

所以△=82-4q>O=g<16

故答案为：4<16

【点睛】本题考查一元二次方程根的个数问题，属基础题.

16.(2021•上海黄浦区•格致中学高一期末)若指数函数y=/(x)的图象经过点［3,2),

则函数y=/(x)-2"x的零点为.

【答案】x=l

【分析】设/(x)="(a>0且awl)，山=2可求得a的值，然后解方程

/(同-2中=0即可得解.

【详解】设/(x)=a*(a>0且),则=a?=&=2,解得。=4,

.•./(X)=4"=22\

解方程/(%)-2向=0,即22'一2'+|=0,可得2x=x+l，解得x=l.

因此，函数y=/(x)-2"i的零点为x=L

故答案为：x=l.

［〉〉2

17.(2021•上海市行知中学高一期末)已知函数/(x)=Jx'，若y=/(x)一乙有

x2-3,x<2

三个不同的零点，则实数2的取值范围是.

【答案】(0,L)

2

【分析】根据y=/(x)-丘有三个不同的零点，可得丁=/(幻与丫="的图象有三个不同

的交点，画出图象，数形结合，即可得答案.

【详解】因为y=/(%)-kx有三个不同的零点，

所以f(x)一乙=0有三个不同的根，即y=/(x)与y=H的图象有三个不同的交点，

画出图象，如图所示

所以当Aw(0,；)时y=f(x)与y=区的图象有三个不同的交点，即若y=/(x)-kx仃-：

个不同的零点，

故答案为：(0,!)

2

18.(2021•上海曹杨二中高一期末)已知函数"X)与y=ln(x—1)是互为反函数，则

/(%)=------------

【答案】"+1，xeR

【分析】用〉表示x后可得/(x)的解析式.

【详解】由y=ln(x-l)可得％一1="即x=ev+l，故/'(%)=，+1,工€/?,

故答案为:ex+1,x€/?.

2

19.(2021•上海市第二中学高一期末)函数y=/(x)=——,则/[3)=_____________.

x-\

【答案】I

【分析】3在反函数的定义域中，它必在原函数的值域中，因为反函数与原函数的对应关系

2

相反，故由3=——解得工值为所求.

x-1

2S5

【详解】由3=——解得元=一，所以/-|(3)=—.

x-\33

故答案为：一

3

20.(2021•上海交大附中高一开学考试)若函数y=/+(a-4)x+3-a,xw[O,l]没有

反函数，则。的取值范围是

【答案】(2,4)

【分析】由已知可得函数在定义域内不单调，再根据二次函数的单调性建立不等式即可求解.

【详解】因为函数y=/+(a—4)x+3—a,xe[O,1]没有反函数，

则函数在定义域内不单调，又函数的对称轴为x=3二且，

2

所以0<4二乌<1,解得2<。<4,

2

故答案为：(2,4).

三、解答题

21.(2021•上海高一)某公司生产某种消防安全产品，年产量x台(O4x41OO,xeN)时，

销售收入函数H(X)=3OOOX—2OX2(单位：百元)，其成本函数满足C(x)=5OOx+b(单位：

百元).已知该公司不生产任何产品时，其成本为4000(百元).

(1)求利润函数P(x)；

(2)问该公司生产多少台产品时，利润最大，最大利润是多少？

(3)在经济学中，对于函数f(x),我们把函数/(x+l)--(x)称为函数/(x)的边际函数，

记作Mf(x).对于(1)求得的利润函数P(x),求边际函数MP(x)；并利用边际函数MP(x)

的性质解释公司生产利润情况.(本题所指的函数性质主要包括：函数的单调性、最值、零

点等)

【答案】(1)P(x)=—20/+500X—4000；0<x<100：(2)62或63台，74120百元；

(3)MP(x)=T0x+2480(0<x<99，xeN),答案见解析.

【分析】(1)先由％=0得b=4000,再由P(x)=R(x)-C(x)即可得函数；

(2)根据二次函数求最值即可；

(3)根据函数定义得MP(x)=-40X+2480,从而分析函数取值即可得解.

【详解】(1)由题意，x=O,2=4000,所以C(x)=5()0x+4()()。

P(x)=R(x)-C(x)=3000%-20x2-500x-4000=-20x2+2500%-4000,0<x<100

125

(2)P(x)=-20(x---)2+74125(0<X<100,xeN)

所以x=62或x=63

P(x)max=P(62)=尸63)=74120(百元)

(3)MP(x)=P(x+\)-P(x)=-40x+2480(0<x<99•XGN)

边际函数为减函数，说明随着产量的增加,每生产一台的利润与生产前一台利润相比在减少:

当x=0时，边际函数取得最大值为2480,说明生产第一台的利润差最大；

当％=62时，边际函数为零，说明生产62台时，利润达到最大.

22.(2021•上海市进才中学高一期末)某企业在现有设备下每日生产总成本了(单位：万

元)与日产量x(单位：吨)之间的函数关系式：y=2f+(i5—4QX+128攵+8,近年

来各部门都非常重视大气污染防治工作，为了配合环境卫生综合整治，该企业引进了除尘设

备，每吨产品的除尘费用为《万元，引进除尘设备后，当日产量x=l时，总成本为142.

(1)求I的值;

(2)若每吨产品出厂价为48万元，那么引进除尘设备后日产量为多少时，每吨产品的利润

最大，最大利润为多少？

【答案】(1)4=1;(2)元=8,每吨最大利润为4万元.

【分析】(D求出除尘后的函数解析式，利用当日产量产1时，

总成本产142,代入计算得心1.

(2)求出每吨产品的利润，利用基本不等式求解即可.

【详解】(1)由题意，除尘后

旷=2/+(15—4人)％+120左+8+依=2/+(15—3幻％+120左+8,

当日产量产1时，总成本尸142,代入计算得依1.

(2)由(1)y=2/+12x+128,

总利润L=48x-(2d+12X+128)=36X-2X2-128,(X>0),

/64I~64

每吨产品的利润为一=36—2(x+—)436—4jx•—=4,

xxVx

64

当且仅当％=——，即产8时取等号，

x

除尘后日产量为8吨时，每吨产品的利润最大，最大利润为4万元.

23.(2021•上海位育中学高一期末)某蔬菜种植基地共有甲、乙两个蔬菜大棚，其中甲大

棚种西红柿，乙大棚种黄瓜，根据以往的种菜经验，发现种西红柿的年收入P万元与甲大

棚的投入a万元满足P=80+4岳，种黄瓜的年收入Q万元与乙大棚的投入h万元满足

Q=—8+120,现该基地准备每年共投入200万元到甲、乙两个蔬菜大棚，每个大棚至少

4

要投入20万元，设甲大棚的投入为x万元，每年两个大棚的总收入为f(x)万元.

(1)求/(5O)的值；

(2)试问如何安排甲、乙两个蔬菜大棚的投入，才能使得总收入/(幻最大？

【答案】(1)7(50)=275.5：(2)甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收入

最大.

【分析】(1)分别算出甲大棚的投入为50万元，乙大棚投入150万元后所收入；

(2)写出利润函数f(x),研究函数的最值.

【详解】(1)甲大棚的投入为50万元，由尸=80+4疝=120万元，

乙大棚投入200-50-150万元，由。=1。+120=155.5万元;

4

故/(50)=120+155.5=275.5万元.

x>20

⑵依题意《=>xe[20,80],

200-x>20

“x)=P+Q=—++4岳+250,XG［20,180］

设/=岳，/€［2河,6加］,

MB=_［/+4f+250,fe［2厢,6厢］,

对称轴f=16,所以力⑺在区间［2函,16］上单调递增，在区间法［16,6瓦］上单调递

减，

当f=16时&⑺取最大值，所以“X)1rax="128)=282万元.

答：甲大棚投入128万元，乙大棚投入72万元时，总收入最大.

【能力提升】

一、单选题

1.(2021•上海市行知中学高一期末)对于函数，(%)=2凶--^—+a,有以下四个命题:

x+1

(1)对于任意实数。，〃幻为偶函数；

(2)存在实数。，使得/(x)有两个零点；

(3)f(x)的最小值为a；

(4)存在实数。，使得了。)在(-℃,-2)上是严格减函数.

其中正确的有()

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】D

【分析】利用函数得单调性和奇偶性对四个命题逐一判断正误即得结果.

【详解】(1)函数/(x)=2向一~」一+a,定义域总由

x+1

/(-X)=2H--+«=2W一一工■+a=/(x)知，/(X)为偶函数，该命题正确;

(-X)+1X+1

(2)x20时，f(x)=2'------Fa.

x+1

11

22

设0<%<当，则2z<2修，%14-1<%2+1即-5—>1—

Xj+1x2+1

故/(%)一/(尤2)=2"----+aj-2'2-----------

I4+1)IV+1

(11A

=(2为一2血)+―一—<0,即/(%)</*2)，在［0,a)上单调递增,

、।XI1J

由(1)知/'(X)为偶函数，故"X)在(fO,0)上单调递减，

故尤=0时，函数/(X)取得最小值/(0)=2°一一匚+a=a,

0+1

故存在a<0时/(x)有两个零点，该命题正确；

(3)由(2)知，最小值x=0时，函数/(©取得最小值/(0)=。，该命题正确；

(4)由⑵知，对任意实数a,/(x)在(—,0)上单调递减，在［0,+oo)匕单调递增.

故存在实数。，使得〃x)在(-8,-2)上是严格减函数，也是正确的.

故正确命题有4个.

故选：D.

【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法

(1)取值：设是该区间内的任意两个值，且玉<々；

(2)作差变形：即作差，即作差/(再)一/(%2)，并通过因式分解、配方、有理化等方法,

向有利于判断符号的方向变形;

(3)定号：确定差/(再)一/(%2)的符号;

(4)下结论：判断，根据定义作出结论.即取值--作差一一变形一一定号一一下结论.

2.(2021・上海华师大二附中高一期末)已知函数/(x)=<，则方程

j/(x-2),2<x<6

4(X)-1=0的解得个数是()

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】化简得出函数f(x)的表达式，方程犷(幻-1=0的解得个数，即方程f(x)=工的

X

实数根的个数，作出函数/(力和丫=’的图象，结合函数图象可得出答案.

X

3-x

/\11।21<x<2

【详解】当xW2时，/(》)=1一寸一x=:

''211+xx<l

r

x-\

/、142<x<3

当2<xW4时，f(x)=-f(x-2)=\

25-x3<x<4

~4~

x—3

/、184cx<5

当4<x46时，=-=<

27-x5<x<6

方程灯'(x)-l=0的解得个数，即方程/(x)=L的实数根的个数.

X

在同•坐标系中作出y=/(x)与y=:的图象，

由〃1)=1,/(2)=-，〃4)=“

如图：

函数>=/(%)的图象与的图象有7个交点.

所以函数g(x)=4(x)-1的零点个数是：7

故选：C

【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点个数，解答本题的关键是得出函数函数/(X)的

表达式，作出函数，(幻的图象，将问题转化为方程的实数根的个数，即函数

X

y=/(%)的图象与的图象的交点个数，数形结合可解.

3.(2021•上海高一期末)定义在上,+€。)上的函数/(x)、g(x)是严格增函数，

f(.t)=g(t)=M,若对任意k>M,存在X,<x2,使得/(内)=g(x2)=k成立,则称g(x)

是f(x)在在,+8)上的“追逐函数”,已知l(x)=d,下列四个函数：

①g(x)=x；②g(x)=lnx+l；③g(x)=2*-1；④g(x)=2

其中是了(外在口,+8)上的“追逐函数”的是()

A.①②④B.①②③C.①④D.①②

【答案】D

【分析】根据新定义进行判断，即判断g(x)在［1,中刃)上严格递增，f(D=g(l),且存在

X,<x2,使f(M)=g(X2)=Z.左>1且是任意的实数.可作出函数图象，作直线

>=女(攵>/(1))与它们相交，观察可得.

【详解】在口,口)上，f(x)与四个选项中的函数g(x)都是严格单调递增的，且

其中x>l时，g(x)=2—：<2,因此只要左N2则不存在％<X2,使得/a)=g(w)=Z

成立，④不是［1,+8)上的“追逐函数”，

对于函数g(x)=2—l,由于y=2"与y=,在x>0时有两个交点(2,在,(4,16),因此

y=2'的图象向下平行1个单位所得图象与y=V的图象仍然有两个交点，其中一个交点

为(1,1),另一交点横坐标设为％,显然%>1,但/'(%)=g(Xo)，取％=不，不存在％2，

使得/(毛)=g(W)，③不是［1,+8)上的“追逐函数”，

对〉=X和y=lnx+1,作出它们的图象，同时作出了(X)的图象，如图，再作直线y=k(k>l),

直线y=々与/(幻的交点横坐标为再，与>=》的交点的横坐标为马,满足玉<%，同样

直线y=左与y=lnx+l的交点的横坐标为马，也满足％<七，因此①②是［1,+8)上的“追

逐函数”，

故选:D.

【点睛】关键点点睛：本题考查函数新定义，解题关键是理解新定义，用已学函数知识解决

新定义问题.解题方法是根据新定义的理解判断，也可转化为直线与函数图象交点问题，利

用数形结合思想求解.

4.(2021・上海华师大二附中高一月考)若/(x)=2'的反函数为/T(x),且

f~'(a)+/t(%)=4,则1+1的最小值是()

ab

c111

A.2B.—C.-D.一

234

【答案】B

【分析】先求解出反函数并根据条件得到a,b的关系式，再结合基本不等式求解出工+■!■的

ab

最小值.

【详解】因为y=a*,y=log“x(a>0,a，l)是互为反函数，所以广(x)=log2x,

又因为尸(。)+广伍)=4,IUlog2a+log,b-log2(«Z>)=4,所以必=16且

a>(),b>0,

又J_+L=3=*>巫=L,取等号时a=b=4,

abah16162

所以L+L的最小值为

ab2

故选:B.

二、填空题

5.(2021•上海市南洋模范中学)已知占是函数/(©=xlog2X-3的一个零点，马是函数

g(x)=x・2”-3的一个零点，则%・%=.

【答案】3

33

【分析】由/(幻=。得log,x=一，同样由g(x)=。得2、=一，然后利用函数y=log,x

XX

3

和>=2晨》=三的图象关于直线丁=1对称，可得百的关系.

x

33

【详解】由题意得10g2"i=—，2出=—又y=log2%和y=2,图象关于y=x对称，且

%马

y=：图象也关于y=x对称，不妨设AQ,log2X1),B(X2,2*),所以AB也关于y=x对

,3

称，所以10g2玉=々，又1。82%=一,，%-々=3.

故答案为：3.

【点睛】关键点点睛：本题考查函数的零点问题，解题方法是数形结合思想，即把函数的零

点转化为方程的根，又转化为函数图象交点的横坐标，然后利用对称性得出结论.这是解决

方程根的分布和函数零点个数等问题中的常用方法.

6.（2021•上海闵行区•高一期末）若函数y=与y=2%g小7的图象恰有两个公共点，

则实数人的取值范围为

【答案】{4}

【分析】化简函数丁=2豌2（*+4的解析式，作出函数y=2现式X+4与函数丁=左国的图象，考

查射线y=—丘（x<o）与函数>的图象相切，求出人的值，然后分左=4、后>4、

0<A<4三种情况讨论，数形结合可得出实数k的取值范围.

【详解】函数y=2版（则的定义域为（T”），且尸2岷式“叫」三尸一1<“<°,

x+l,x>0

作出函数y=2>喝（则।与函数y=%W的图象如下图所示:

考虑射线旷=一日（x<0）与函数y=£的图象相切，

1化工0

由一日=一；，可得Ar+日+1=0，则〈人...八，解得左=4.

x+l[△=—2—4%=0

由图可知，当4=4时，函数y=2随式”句与函数y=%W的图象有且只有两个交点；

当人>4时，函数丁=2侬式则与函数y=%W的图象有三个交点，不合乎题意；

当0〈左<4时，函数y=2随式砌与函数y=^x|的图象至多一个交点，不合乎题意.

综上所述，实数％的取值范围是{4}.

故答案为：{4}.

【点睛】方法点睛：己知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：

（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；

（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决：

（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画

出函数的图象，利用数形结合的方法求解.

7.（2021•上海黄浦区•格致中学高一期末）已知函数/（x）=|2、-1],若函数

8。）=/2（乃+布'（幻+_1有4个零点，则实数卬的取值范围为.

4

【答案】（一：一1）

【分析】令r=/（x）,画出/（幻=|2'-1|的函数图象，可得0</<1,得出户+/川+；=0

在fe（O,l）有2个解，即可求出.

【详解】

令f=/(x),要使g(x)有4个零点，则/(x)=f有2个解,

画出/(x)=|2、一1|的函数图象，

则g(%)有4个零点等价于/+加+(=0在^(0,1)有2个解,

A=in2-4x—>0

4

02+0+->0

4

则《解得—<根<—1,

4

I2+/?!+—>0

4

m

0<——<1

2

所以0的取值范围为(一，一1)

【点睛】本题考查函数与方程的应用，解题的关键是利用〃x)的函数图象得出

*+,而+；=0在fw(O,l)有2个解.

8.(2021•上海黄浦区•格致中学高一期末)函数片Ax)(矛〈0)的反函数为y=/T(X),且

/(x)x<0

函数g(x)=1；/八c是奇函数，则不等式尸*)2-2的解集为____.

log2(x+l)x>0

【答案】［―log23,0)

【分析】由函数的奇偶性结合反函数的性质得出，T(X)=1-2一'，x<0,再解指数不等式

得出解集.

【详解】

当x<0时，则一x>0,g（-x）=log2（l-x）=-g（x）

即y=/（x）=g（x）=-log2（l-x），x<0

由x=-log2（l-y）,y<0,解得y=l—2-*,由1一2一*<0，解得x<0

即尸（幻=]_2一，x<0

不等式r'（x）>-2可化为l-2-x>-2'解得一log23Kx<0

故答案为：[―log23,0）

【点睛】关键点睛：本题关键是运用函数的奇偶性结合反函数的性质得出了（X）的反函数解

析式，最后解不等式得出解集.

三、解答题

9.（2021•上海市西南位育中学高一期末）经市场调查，某商品在过去的100天内销售量（单

位：件）和价格（单位：元）均为时间M单位：天）的函数，且销售量满足

60+tl<t<60

/«)=1(reN),价格满足g(r)=200-r(lwrwioo),teN).

150—/61<t<100

2

（1）求该种商品的日销售额〃（。与时间t的函数关系;

（2）若销售额超过16000元，商家认为该商品的收益达到理想程度，请判断该商品在哪几

天的收益达到理想程度？

-『+140f+12000,1<r<60,reTV

【答案】（1）K）=52-250/+30000,61</<100,ze/V(2)41<r<64,

【分析】（1）利用〃（/）—/（r>g（。，通过t的范围求出函数的解析式;

(2)令〃(。>16000解吐"的范围即可得出结论.

【详解】⑴由题意知，当lvt«60,teN时,/(r)-g(r)(60+r).(200-r)

-/+140,+12000，

当614此1()0/€义时，力(。/(r).g(r)^150-1t^(200-t)-250r+30000,

-t2+140/+12000,1</<60,

所求函数关系人(。=gf2-250f+30000,61«Y100,teN

(2)当lWf460,feN时，A(r)=-r2+140/+12000=-(/-70)2+16900,

函数力⑺在［1,60］上单调递增，71(60)=16800(元)，

1I9

当61WfW100,feN时，h(t)=-t2-250^+30000=-(r-250)^-1250,

.•.函数力«)在［61,100］上单调递减，.\/?(r)-/i(64)-16048(元).

若销售额超过16000元，当61100时，函数单调递减，故只有第61到64天满足条件.

当1W/W60时，经计算力(41)=16059满足条件，又函数在［1,60］上单调递增，.•.第

41,42,--60天，满足条件，即满足条件的天数为第41,42,…63,64天，共24天.

【点睛】易错点点晴：在实际问题中的综合应用，注意自变量在不同范围内对应的解析式.

10.(2021•上海闵行区•高一期末)由于人们响应了政府的防控号召，2020年的疫情得到

了有效的控制，生产生活基本恢复常态，某赏花园区投资了30万元种植鲜花供市民游赏，

据调查，花期为30天，园区从某月1号至30号开放，每天的旅游人数f(x)与第x天近似

Q

地满足/(x)=8+-(千人)，且游客人均消费g(x)近似地满足g(x)=143-|x-22似元),

x

1<x<30,xeN.

(1)求该园区第*天的旅游收入P(x)(单位：千元)的函数关系式；

(2)记(1)中p(x)的最小值为加，若以0.3加(千元)作为资金全部用于回收投资成本，

试问该园区能否收回投资成本？

8x+——+976l<x<22,xeN*

【答案】(1)pQ)={[；(2)相=爪30)=1116千

-8x+^^+131222<x<30,xeN*

元，能收回投资成本.

【分析】(1)旅游收入山旅游人数/(X)与游客人均消费g(x)的乘积求解.

(2)由(1)的结果，根据分段函数的性质，分lWx«22和22<xW30,利用基本不等

式和函数的单调性求解.

【详解】(1)p(x)=/(x)•g(x)=f8+1j(143-1x-221),

968cr/

o8x4----+9761<X<22,XGN"

x

-8元+”丝+1312

22<x<30,xeN

X

p(x)=8x+^^+976>2

(2)当lWx<22时,+976=1152,

当且仅当8x=%,即x=ll时取等号，此时p(x)最小值为1152,

入

1320

当22<xW30时，〃(x)=-8x+——+1312是减函数,

x

1320

当X=30时，〃(x)n)in=—8x30+上，+1312=1116,

30

所以1116<1152,

所以〃7=I116，

所以m=p(30)=1116千元，.•.0.3加=33.48万元＞30万元，能收回投资成本.

【点睛】思路点睛：(1)根据实际问题抽象出函数的解析式:

(2)设变量时•般要把求最大值或最小值的变量定义为函数;

(3)解应用题时，要注意变量的实际意义及其取值范围;

(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解.

11.(2021•上海闵行区•高一期末)已知/(x)=f-2ar+5,aeR.

(1)当a=3时，作出函数y=|/(x)|的图象，若关于x的方程|/(x)|=①有四个解，直接

写出加的取值范围;

(2)若y=/(x)的定义域和值域均为口,“】，求实数。的值；

(3)若丁=/(力是(一叱2]上的严格减函数，且对任意的西总

/(X2)|<4,求实数〃的取值范围.

【答案】(1)图象见解析，me(0,4)；(2)a=2；(3)2<a<3.

【分析】(1)根据函数解析式，直接作出函数图象，由图象，即可得出用的取值范围；

(2)根据二次函数的性质，求出y=/(x)在xe[l,a]的值域，由值域和定义域相同，列出

方程求解，即可得出结果；

(3)先由函数单调性，得