2021年中考数学 专题冲刺：正方形及四边形综合问题（含答案）

2021中考数学专题冲刺：正方形及四边形综合

问题

一、选择题

i.下列命题是假命题的是（）

A.平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形

B.同角（或等角）的余角相等

C.线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等

D.正方形的对角线相等，且互相垂直平分

2.小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了

（）

A.1次B.2次C.3次D.4次

3.如图，在四边形ABCO中，AB=CD,AC,8。是对角线，E,F,G,”分别

是AO,BD,BC,AC的中点，连接EFFG,GH,HE,则四边形EFGH的形

状是（）

A.平行四边形D.正方形

4.如图，在正方形A8CD中，AB=\,点E,尸分别在边和CO上，AE=AF,

ZEAF=60°,则CF的长是（）

5.如图，把正方形纸片ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN,

再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2,

则FM的长为（）

A.2B.小C.yflD.1

6.如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF〃AD,

与AC、DC分别交于点G、F,H为CG的中点，连接DE、EH、DH、FH.下列

结论：

AE2

①EG=DF；②NAEH+NADH=180°；©AEHF^ADHC；④若—Ab=不J，则3s

△EDH=13SADHC，其中结论正确的有（）

A.1个3.2个C3个D4个

D

7.（2020.东营）如图，在正方形ABCD中，点P是AB上一动点（不与A、B

重合），对角线AC、BD相交于点O,过点P分别作AC、BD的垂线，分别交

AC、BD于点E、F,交AD、BC于点M、N,下列结论：①△APEgAAME；

②PM+PN=AC；®PE2+PF2=PO2；④△POFSABNF；⑤点O在M、N两点

的连线上.其中正确的是（）

A.①②③④B.①②③⑤C.①②③④⑤

D.③④⑤

8.已知在平面直角坐标系中放置了5个如图X3—1—10所示的正方形（用阴影表

示），点31在y轴上，点Ci.Ei,&、。2、E3、&、J在x轴上.若正方形AiBCiOi

的边长为1,ZBiCiO=60°,8G〃&C2〃33c3,则点4到x轴的距离是（）

入^±1R®

18m18

C.呼D耳1

二、填空题

9.将边长为1的正方形ABC。绕点。按顺时针方向旋转到正方形FECG的位置

（如图），使得点。落在对角线CF上，所与相交于点H,则HD=.（结

果保留根号）

10.如图，四边形ACDF是正方形，ZCEA和NABF都是直角且E,A,B三点

共线，A8=4,则阴影部分的面积是.

11.以正方形ABCD的边AD为边作等边三角形ADE,则/BEC的度数

是.

12.如图，在正方形A8CO中，AC为对角线，点E在45边上，EFLAC于点、F,

连接EC,AF=3,若△EEC的周长为12,则EC的长为.

13.如图，E,尸是正方形A8CO的对角线AC上的两点，AC=8,AE=CF=2,则

四边形BEDE的周长是

14.0ABCD的对角线AC与BD相交于点0,且AC1BD,请添加一个条件:

，使得QABCD为正方形.

15.如图，在正方形ABCD中，点E,N,P,G分别在边AB,BC,CD,DA上,

S正方形MNPQ

点M,F,Q都在对角线BD上,且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则

S正方形AEFG

的值等于________

16.七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.由边长为4g的

正方形ABCD可以制作一副如图①所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形

EFG”内拼成如图②所示的“拼搏兔”造型（其中点。，火分别与图②中的点E,G

重合，点P在边EH上），则“拼搏兔”所在正方形EFG"的边长是.

三'解答题

17.如图，正方形ABCD的对角线AC,B。相交于点0,E是0C上一点，连接

ER过点A作垂足为M,AM与8。相交于点E

求证:0E=0E

18.如图，正方形ABCD,点E,F分别在AD,CD±,且DE=CF,AF与BE

相交于点G.

⑴求证:BE=AF；

⑵若AB=4,DE=1,求AG的长.

19.己知正方形ABCD中，BC=3,点E、F分别是CB、CD延长线上的点，DF

=BE,连接AE、AF,过点A作AHLED于H点.

(1)求证：△ADF^AABE；

⑵若BE=1,求S“NAED的值.

20.如图，已知正方形A8CO与正方形CEFG,M是A尸的中点，连接。M,EM.

(1)如图①，点E在CO上，点G在8C的延长线上，判断。M,EM的数量关系

与位置关系，请直接写出结论.

(2)如图②，点E在OC的延长线上，点G在3。上，(1)中结论是否仍然成立?请

证明你的结论.

①②

21.已知，在R3ABC中，ZACB=90°,BC=AC,AB=6,。是A3的中点，动

点E从点D出发，在AB边上向左或右运动，以CE为边向左侧作正方形CEFG,

直线BG,FE相交于点M点E向左运动时如图①，点E向右运动时如图②).

(1)在点E的运动过程中，直线BG与CD的位置关系为；

(2)设OE=x,NB=y,求y与x之间的函数关系式，并求出y的最大值；

(3)如图②，当。E的长度为小时，求NBEE的度数.

22.在矩形A8CD中，AO=4,M是AD的中点，点E是线段AB上一点，连接

EM并延长交线段CD的延长线于点F.

(1)如图①，求证：△4或乌△。尸M；

(2)如图②，若AB=2,过点M作MGLE/交线段BC于点G,求证：△GEF是

等腰直角三角形；

(3)如图③，若AB=2小,过点M作MGLEF交线段BC的延长线于点G,若

MG=nME,求〃的值.

F

2021中考数学专题冲刺：正方形及四边形综合

问题-答案

一、选择题

1.【答案】A

2.【答案】B

3.【答案】C［解析］•.•点E,F,G,H分别是四边形ABC。中AO,BD,BC,

CA的中点，：.EF=GH=-AB,EH=FG=-CD,'：AB^CD,：.EF=FG=GH=EH,

22

二四边形EFGH是菱形，故选C.

4.【答案】C［解析］连接ZEAF=60°,二△AEF为等边三角形，

.•.4七=£：£；四边形48。。为正方形，，/3=/。=/。=90。,48=4。，，1^48£

且R3AOF(HL),，BE=DF,；.EC=CF.设CF=x,则EC=x,

AE=EF=>JEC2+FC2=y［2x,BE=l-x.在RtAABE中，AB2+BE^=AE2,：.

l+(l-x)2=(、％)2,解得％=b-1(舍负).故选C.

5.【答案】B【解析】•.•AB=2,...B/=2,又由勾股定理得

FM=y/FB2-BM2=小.

6.【答案】D【解析】逐项分析如下表:

序号逐项分析正误

在正方形ABC。中，AB=BC=CD=DA,NDAB=NB=

ZBCD=ZCDA=90°,ZACB=ZACD=45°,'JEF//AD,

①，四边形ERDA、四边形EFCB是矩形，V

=90°,EF=DC,在RtaCG尸中，ZACD=45°,GF=

CF,：.EF-GF=CD-CF,即EG=OE

•••AGFC是等腰直角三角形，〃是CG的中点，,GH=FH,

NHGF=NGFH=45。,:./EGH=NDFH=135。,又由①

知EG=DF,：.4EGH迫ADFH(SAS),：./HEF=NFDH,

'：ZAEH=ZAEF+ZHEF=90°+NHEF,ZADH=ZADC

-ZFDH=90°-ZFDH,：.ZAEH+ZADH=180°

由②可知E”=。"，FH=CH,又•：EF=DC,:AEHFQ

③q

△DHC(SSS)

,:△EGH4ADFH,：.EH=DH,/EHG=/DHF,：.ZEHG

+ZAHD=ZDHF+ZAHD=90°,即ZEHD=ZAHF=

&p2

90。，.••△EHO为等腰直角三角形，•.、〃一],...设AE—2x,

/1£>J

AB=3x,则。E=d(2x)2+(3x)2=y[T3x,：.EH=DH

A/2/—A/261,113,13,*

—2Xv13x—2x,,，5a£D«—2^2-2X24%2,

V

]X

△DHC中，设CO边上的高为力，则人=2。广=2，贝USAOHC

13,

1__,1c尤32S八EDH4A13

—C£)-/z—x3xx—.%2,—2—B|J3S^EDH—13S

0Lo，o，4OADHC£23

△D/7C

7.【答案】B

【解析】本题考查了垂线、平行线和正方形的性质，全等三角形的判定与性质、

等腰直角三角形的判断和性质、相似三角形的判定和性质，是常见问题的综合，

灵活的运用所学知识是解答本题的关键.综合应用垂线、平行线和正方形的性质，

全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判断和性质、相似三角形的判定和

性质等知识，逐个判断5个结论的正确性，得出结论.

①：正方形ABC。，AZAPE=ZAME=45°,'：PM1AE,：.ZAEP=ZAEM=90°,

\'AE=AE,：.^APE^/\AME(ASA)；

②过点N作NQLAC于点Q,则四边形PNQE是矩形，.”2区2,•.•正方形ABC。，

：.ZPAE=ZMAE=45°,'：PM±AE,：.ZPEA=45°,：.ZPAE=AAPE,PE=NQ,

...△APE等腰直角三角形，...AFPE,同理得：△N。。等腰直角三角形，...

NQ=CQ,V^APE^/\AME,：.PE=ME,：.PE=ME=NQ=CQ,：.PM=AE+CQ,

：.PM+PN=AE+CQ+EQ=AC,EPPM+PN=AC成立;

③•.•正方形ABC。，.•.AC_LB。，...NEO/是直角，•.•过点P分别作AC、BO的

垂线，分别交AC、BD于点E、E...NPEO和NPF。是直角，.•.四边形PFOE

是矩形，：,PF=OE,在中，有PE2+OE2=PG,：.PE2+PF2=PO2,即

PE2+PF2=PO2成立;

④△加伊是等腰直角三角形，点P不在A3的中点时，^尸。尸不是等腰直角三

角形，所以△P。/7与△即";'不一定相似，即△POFs△即";'不一定成立；

⑤「△AMP是等腰直角三角形，△PMNs/\AMP,.•.△PMN是等腰直角三角形，

VZMPN=90°,：.PM=PN,'：AP=—PM,BP=—PN,：.AP=BP,.•.点P是

22

AB的中点，又;。为正方形的对称中点，...点O在M、N两点的连线上.综上,

①②③⑤成立，即正确的结论有4个，答案选B.

8.【答案】0)D解析：过小正方形的一个顶点。3作尸。_1_无轴于点Q,过点

4作A3F，尸。于点E

•.•正方形ABiGOi的边长为1，N3iGO=60。，3ci〃&。2〃83c3,

O

.".ZB3C3£4=60°,ZDICIEI=30°,Z£2B2C2=30,

:.D\E\=~jD\C\=］,:.D\E\=BIE2=g,

2

二・cos30o=0r，解得：B2c2=q.

0A2C2=万R2c2J

.&6=乎B3E4

cos30°=

83c3.

解得：53c3=g.

则03c3=g.

根据题意得出:

NZ)3GQ=3O°,/。3。3。=60°,N4O3尸=30°,

QQ=另J

股=0处皿30。=上用=坐

则点A3至Ijx轴的距离

FC=D3e+FD3=1+^=^^-.

二、填空题_

9.【答案】迎-1［解析］•..四边形A8CD为正方形，

：.CD=l,ZCDA=90°,

•••边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到正方形FECG的位置，

使得点D落在对角线CF±,

：.CF=^2,NBE=45。，OF”为等腰直角三角形，.•.OH=OF=CF-CD=a-1.

故答案为我-L

10.【答案】8［解析•四边形AC。尸是正方形，

：.AC=AF,NCAb=90°,AZCAE+ZBAF=9Q0,

又NCAE+N£C4=90。，

，NECA=NBAF,则在△ACE和4FAB中，

rZ.AEC=Z.ABF=90°,

V-^ECA=Z.BAF,

“=AF,

：.△ACE^AMB(AAS),：.AB=CE=4,

：.阴影部分的面积="8。石=84*4=8.

22

11.【答案】30。或150。［解析］如图①，•••△AOE是等边三角形,

：.DE=DA,ZDEA=Z1=6O°.

•••四边形ABC。是正方形，

：.DC=DA,Z2=90°.

：.ZCDE=150°,DE=DC,

.•.Z3=i(180O-150o)=15°.

同理可求得N4=15。.

二ZBEC=30°.

如图②，•••△AOE是等边三角形,

：.DE=DA,Nl=N2=60°,

•.•四边形ABC。是正方形，

：.DC=DA,ZCDA=90°.

：.DE=DC,Z3=3O°,

.,.Z4=i(180°-30°)=75°.

同理可求得N5=75。.

，ZBEC=360°—Z2—Z4—Z5=150°.

故答案为30。或150°.

12.【答案】5［解析•四边形A8CQ是正方形，AC为对角线,

AZMF=45°,XVEF1/4C,

/.ZAF£=90°,/.ZAEF=45°,

：.EF=AF=3,

EFC的周长为12,

：.FC=12-3-EC=9-EC,

在RtZkEFC中，EC2=EF2+FC2,

：.EC2=9+(9-EC)2,

解得£C=5.

13.【答案】8百［解析］如图，连接80交AC于点O,

・••四边形ABCO为正方形，：.BDLAC,OD=OB=OA=OC,

'：AE=CF=2,

：.OA-AE=OC-CF,BPOE=OF,

：.四边形BEDF为平行四边形，且BDLEF,

四边形BED尸为菱形，

:.DE=DF=BE=BF,

YAC=BO=8,OE=OF=—=2,，由勾股定理

2

得:。EK。。？+OE2=\'42+2?=2、弓

二四边形BEDF的周长=4OE=4x2行=8石，故答案为:8遍.

14.【答案】NBAD=90。（答案不唯一）【解析】..FABCD的对角线AC与BD

相交于点0,且AC±BD,."ABCD是菱形，当NBAD=90。时，菱形ABCD

为正方形.故可添加条件：ZBAD=90°.

o

15.【答案】5【解析】设BD=3a,NCDB=NCBD=45。，且四边形PQMN为

正方形，，DQ=PQ=QM=NM=MB,.•.正方形MNPQ的边长为a,正方形AEFG

131339

的对角线AF=]BD=]a,：正方形对角线互相垂直，；.S正方形AEFG=]X5ax]a=ga2,

.S正方心MNPQa?8

,,S正方形AEFG2,9-

16.【答案】4再[解析]如图，连接EG,作GMLEN交EN的延长线于M.

在Rt^EMG中，VGM=4,EM=2+2+4+4=12,

:,EG=7EM。+GM2K12?+42=4-\/'10>

：.EH=^：=4y/5.

三'解答题

17.【答案】

证明:在正方形ABC。中，AC.LBD,

：.ZAOF=ZBOE=90°.

'：AM±BE,：.ZAME=90°,

：.ZFAO+ZAEB=ZEBO+ZAEB=9Q°,

：.ZFAO=ZEBO.

在正方形ABC。中，

AC=BD,OA=-AC,OB=-BD,

22

：.OA=OB,

：.△AO金△80E(ASA),OE=OF.

18.【答案】

(I；•四边形ABCD是正方形，

.,.ZBAE=ZADF=90°,AB=AD=CD,

VDE=CF,.*.AE=DF,

AB=AD

在ABAE和AADF中，<NBAE=NADF,

AE=DF

：.ABAE^AADF(SAS),

；.BE=AF；

(2)解：由(1)得：△BAEgaADF,

ZEBA=ZFAD,

.,.ZGAE+ZAEG=90°,

AZAGE=90°,

VAB=4,DE=1,

AE=3,

BE=7AB2+AE2=V42+32=5，

在RtZ\ABE中，-ABXAE=-BEXAG,

22

19.【答案】

(I)证明：在AADF和^ABE中，

jAB=AD

<NABE=NADF=90。，

IEB=FD

.♦.△ADF丝△ABE(SAS).(3分)

(2)解：VAB=3,BE=1,

/.AE=ViO,EC=4,

.*.ED=^/CD2+EC2=5,(4分)

设AH=x,EH=y,

在/?/AAHE和^AAHD中，

x22

<+y'=10

M+(5—y)2=9，

解得，x=1.8,y=2.6,(6分)

.,—AHx1.89小八、

・・AED=FH=,=26=7^，8分)

20.【答案】

解:(1)结论:DM=EM.

［解析］延长EM交AD于H.

・••四边形A3CO是正方形，四边形EFGC是正方形,

NADE=NDEF=90。,

AD=CD,

J.AD//EF,

NMAH=/MFE,

'：AM=MF,ZAMH=ZFME,

:.AAMH名AFME,

：.MH=ME,AH=EF=EC,：.DH=DE,

'：NEDH=90。,

：.DMLEM,DM=ME.

(2)结论不变.OM,EM,DM=EM.

证明:延长EM交DA的延长线于H.

・•,四边形ABC。是正方形，四边形EFGC是正方形,

，NADE=NDEF=90。,

AD=CD,

J.AD//EF,

：.NMAH=NMFE,

'：AM=MF,ZAMH=ZFME,

：.△AMH^AFME,

：.MH=ME,AH=EF=EC,

：.DH=DE,

,/ZEDH=90°,

：.DM1EM,DM=ME.

21.【答案】

(\)BG//CD；

【解法提示】•.•四边形EEGC是正方形，：.CG=CE,/GCE=/GFE=NFEC

=90°,VZACB=ZGCE=90°,：.ZGCB=ZECA,♦:GC=CE,CB=CA,

：.△CAE^△CBG.X*/ZACB=90°,BC=AC,D是AB的中点，：.NCBG=

ZCAE=45°,ZBCD=45°,：.ZCBG=ZBCD,C.BG//CD.

(2)VCB=CA,CD!AB,NACB=90°,

：.CD=BD=AD=3,ZCBA=ZA=45°,

易得△CAEmACBG,

：.ZCBG=ZA=45°,

：.ZGBA=ZGBC+ZCBA=90°.

,/ZBEN+ZBNE=9Q°,ZBEN+ZCED=90°,

：.NBNE=ZCED,

■:NEBN=/CDE=90。,

:ANBEsAEDC,

.BNBE

,"E5=C5'

.y3—x

・“-3，

133

.•产一厂5)9+『

I33

•••一gvo,时，y的最大值为本

(3)如解图，作"LAB于点”...•CB=CA,BD=CD,ZBCA=90°,

：.CD1AB,CD=BD=AD=3,

/八「一匹_近

••tun—