第4章 指数与对数（重点突破）（解析版）-2022-2023学年高一数学上学期章节复习敲重点（苏教版2019必修第一册）

第4章指数与对数

重点一、指数运算

【自主梳理】

1.指数幕的概念

⑴根式

如果一个数的〃次方等于。(〃>1且〃0N)那么这个数叫做。的〃次实数方根.也就是，若非=4,则%叫

做，其中«>1且〃WN*.式子％叫做,这里n叫做，々叫做

⑵根式的性质

①当〃为奇数时，正数的〃次实数方根是一个正数，负数的〃次实数方根是一个负数，这时，。的〃次实数

方根用符号表示.

②当N为偶数时，正数的〃次实数方根有两个，它们互为相反数，这时，正数。的正的〃次实数方根用符

号表示，负的〃次实数方根用符号表示.正负两个〃次实数方根可以合写成3>0).

③(般片一.

/—[a,«>0,

④当”为偶数时，n超=同=八

⑤当7!为奇数时，加=____.

⑥负数没有偶次方根.

⑦零的任何次方根都是零.

2.有理指数累

(1)分数指数寤的表示

①正数的正分数指数鼎是

an=(a>0,m,n>l).

②正数的负分数指数塞是

_m

a"==(a>0,m,〃£N*,〃>1).

③0的正分数指数哥是一，0的负分数指数基无意义.

(2)有理指数累的运算性质

①""=(a>0,s,reQ).

②(a7=3>0,s,f£Q).

③(而)'=(a>0,b>0,/EQ).

【自主梳理参考答案】

1.(1)。的〃次实数方根根式根指数被开方数

⑵①缶②缶-缶±y[a③a⑤o2.⑴①缶^②-'"@0

a

⑵①炉"②炉'③a归

【自我检测】

1、下列结论中正确的有（填序号）.

3

①当。<0时，（a?）*=苏；

②纸二同：

③函数>=。一2户一（3工一7）°的定义域是（2,+助；

④若1（XT=5,1（？=2,则2a+6=l.

2、若心1,历>0,且$+。"=2啦，则不一4”的值为.

3--3--3--

3.已知a=（—）3,6=（一）4,c=（一）4,则a、b、c的大小关系为

442

4化简直号库.（心方>（））的结果为____________.

仇犍

5、N层右§+4、0-8・妤

【自我检测参考答案】

1.④

33

解析只有④正确.①中央0时，商户>o,a3<0,所以（。2户加3；②中，〃为奇数时且。<0时，加=

a；③中定义域为［2,令U3，4-00）.

2.2

解析（ab-a~b）2=（ab-^a~b）2—4=4,

'：a>\,b>0,：.d>-a~b=2.

3.c<b<a

311

解析•・•>=（»”单调递减，且一铲一了6,

31313

・•・（»-5>@一"（炭

艮1a>b>1,又0<c<1»c<b<a.

4、a

，原式=3.

课堂活动区突破考点研析热点

探究点一根式

例1.求下列各式的值：

⑴而于;(2账前7；⑶轲不(4)府访.

a-b(a>b)

【答案】-3；V10；4一3；p(a=b)

b-a(a<b)

【解析】熟练掌握基本根式的运算，特别注意运算结果的符号.

⑴^7=一3；

⑵y(_io)2=M；

：3).(3—万)4=|3—万|二万一3：

a-b(a>b)

[4)y[(a-b)2=\a-b\=^0(a=b)

b-a(a<b)

【变式迁移1】计算下列各式的值：

(1)⑵#(一9)2；(3)*"4)6；(4)痴_2)8.

⑷…心2)

【答案】(1)-2；(2)3；(3)4一4；

2-a(a<2)

例2.计算：(1))5+2遥+乃-48-^6-4&；

⑵

【答案】2夜;2夜.

【解析】对于(1)需把各项被开方数变为完全平方形式，然后再利用根式运算性质求解.对于(2),

则应分子、分母同乘以分母的有理化因式.

U)j5+26+j7-4G-j6-40

=J(6)2+2gx&+(a)2+,22-2x2百+(6)2-&2-2乂2&+(&)2

=J(百+应)2+J(2_>/5)2-J(2一应)2

=|>/3+>/2|+|2->/3|-|2-V2|

=V3+V2+2-V3-(2-V2)

=272

V2-1亚+1

=---------------+---------------

(a+1)(夜-1)(V2-1)(72+1)

=72-1+72+1

=20

【变式迁移I]化简：(I)5/3-25/2+^/(1-V2)3+V(l-V2)4;

：2)-2x+1—x]x~+6x+9(|x|<3)

—2.x—2(—3<x<1),

【答案】(1)V2-1；(2)

-4(l<x<3).

探究点一、指数运算、化简、求值

例3.用分数指数幕形式表示下列各式(式中a>0)：

(1)ci2,yfci；(2)a3-A/?；(3)；(4)］匕与,

51135

【答案】由；病：“

【解析】先将根式写成分数指数基的形式，再利用基的运算性质化简即可.

1埒5

⑴a2yfa=a2=a=a^\

I—23+211

：2)a3yja2=a3cP=a=«3；

-----i_323

：3)yjayIa=(aa^y=(a^)2=a^.

：4)解法一：从里向外化为分数指数昂

=J4

解法二：从外向里化为分数指数辱.

5

【变式迁移1】把下列根式用指数形式表示出来，并化简

[1)a--\p2a；厂x厂

yJX'\JX

132

【答案】（1）2历/：（2）x1.

【变式迁移2】把下列根式化成分数指数幕:

（1）我反⑵7^石伍＞0）;（3）及•诟；（4）

23H3

【答案】2法；/；/A；£3

【解析】（1）

_2H

(3)b3^=b3^=M

例4.计算下列各式:

27--49--2

(1)(―)3-(—)05+(0.008)3x—

8925

【解析】⑴原式=磷8尸-一等49尸-+(若1()00)-3乂42

/r/yO4J

32x1123x(—)3133

[2)原式二C|)2-4X(-A)+1-(^)3=|+1+1-|=|.

【变式迁移1】计算下列各式：

42

50256

1)(1)-X(-2)0+8-XV2+(V2XV3)；(2)2)一“%?+(>2秒

a3+2Vab+4b3"

【答案】112；a.

36623

【解析】⑴原式=8--X1+(2)4X2^+(23)X(32)=2+2^+2X3=112;

2111•

-miaa(a-8b)!a*§"a-8b)

⑵原式=———■..x~——r*/~=a.

(出)2+2g3b3+(2力3)2a3一处3⑷1_(七3)3

【变式迁移2】计算下列各式：

,3田▼15m

【答案】21+-----

4

【解析】原式=16+指+5+2>/6+-8=21+史区.

44

例5.计算:

m+m~1+2

⑵

m2+m2

(74^)3

T

o.r2(«V3)2

11A

[答案](1)—；(2)tn2+m2；(3)—

225

【解析】

tn2+m2

m+m-]+21)

'2)—I―F=--~~=m+tn2；

m2+ni2m2+m2

-2x(--)2x23_4

原式=22

102-25

10…(・2)./小

举一反三：

【变式迁移1】计算化简下列式子

(。＞0)

G.疗

【答案】疝或后

2_1_25_

【解析】原式23=。6或0/

注意：当n为偶数时，海=|。|=1"（"‘°）

-2-2_?-2

【变式迁移2】化简「2+）'2_2

x3+y3x3—y3

【答案】-2恒

孙

【解析】应注意到一与M之间的关系，对分子使用乘法公式进行因式分解,

2

原式=

十）一y

22222222

=(一)2--•y§+()，5)2一[*3)2+x3+(y3)2]

=-2(xyp=-2恒.

【变式迁移3】化简下列式子：

(1)—3+产(2)“正+22(3)7x2+2x+l+^/X3-3X2+3X-1

y/2-yl2-y/3

【答案】2x/2+>/6：V18+V2；|2x(x--1)

-2(x<-1)

【解析】⑴原式=%3+扬=虚”扬=&(3+户

2-V4-2V32-7(>^-1)2373

二行(3+6)2=6(12+65=20\R

一(3-6)(3+6)~6~

⑵•・•(晒+</2)2=(炳2+2炳.V2+而了

=718+2^18^2+V2=35/2+2^+V2=472+2^>0

・•・由平方根的定义得：j4&+2"=娴+板

(3),,,\/x3-3x2+3x-l=[(x-1)3=x-1

x+l(x>-l)

辰+2x+1=|x+11="

-x-l(x<-l)

_2x(x>-1)

yjx2+2x+1+Vx3-3x2+3x-1

一[-2(x<-1)

提升训练

33

1」Q+-_3

例6.已知12+工2=3,求X十X'的值.

X2+X~2-2

【答案】-

3

【解析】从已知条件中解出X的值，然后代入求值，这种方法是不可取的，而应设法从整体寻求结果

与条件/+x%=3的联系，进而整体代入求值.

2_2

•：x^+x^=3,；.x+2+x-1=9.x+x-1=7

x2+2+x-2=49,X2+X-2=47

3_32_1

./+--3_*+

*'X2+X-2-2-47-2

3x(7-l)-3151

=45-45-3

【变式迁移1】求值：

1-1fl

(1)已知+X2=5,求土二的值；

X

⑵已知a>0,b>0»且a。=btb=9a,求a的值.

【答案】23；出

【解析】熟练掌握累的运算是关键问题.

2

1-1x+i

(1)由/+为2=5,两边同时平方得x+2+x/=25,整理得：x+x'=23,则有------=23；

X

££a£

(2)a>0,b>0,又<ab=ba,・二(/)%=(6")"=>a=M=>〃=(9。)3

8

Z.二养=/=32=。=旨

重点二、对数运算

【自主梳理】

自主梳理

1.对数的定义

如果,那么数人叫做以〃为底N的对数，记作,其中—叫做对数的底数,

____叫做真数.

2.对数的性质与运算法则

⑴对数的性质(。>0且娇1)

①laog“N=___；②logj=；

③10&""=；®10gr^=.

(2)对数的重要公式

①换底公式：10gaN=(a,c均大于零且不等于1)；

②log力推广log油log/log<d=.

(3)对数的运算法则

如果。>0且存1,M>0,N>0,那么

①10彻(MN)=；

③lo&M'=(〃£R);

@logaM=log/M".

【自主梳理参考答案】

1.d=N(aX),且"1)b=log〃NaN2.⑴①N②0③N④1⑵@②logM⑶①log“M+

log/V②logaM—10g“N③川Og〃M

【自我检测】

1.21og510+log50.25的值为.

2.设2a=5b=m,且十+：=2,则m的值为.

1

3.设a=logj2,b=ln2,c=5‘，则a,b,c大小关系为

2

4.21g5+1lg8+lg5-lg20+lg22=.

5.(lg2)2+lg21g50+1g25.

【自我检测参考答案】

1.22Z\/T53.c<a<b

解析V^=log23>l,Iog2e>1,Iog23>log2e.

0<a<b<

:.-a>Tb>1,1.

•：a=Ioga2>log35=：•/.

b=ln2>ln#=W，**•^>2*

4g(2x5)=；lg10=1.

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探究点一对数的概念

例1.求下列各式中x的取值范围：

2

⑴log2(x-5)；(2)log(x_I)(x+2)；(3)log(r+I)(x-l).

【答案】(1)x>5；(2)x>l,Rrw2；(3)x>-l且

【解析】(1)由题意x-5>0,.•.x>5,即为所求.

x+2>0,

⑵由题意•

x-1>0,fix-1。1,

x>—2

81:x>l,且不工2.

1,HXW2,

一、出的*1aT)2>°，

、3)由题尽，

x+1>O,Mx+lw1,

解得x>-l且I.

【变式迁移1】函数y=log2.g(x+2)的定义域为__________.

【答案】｛x|x>g且XH1»

探究点二、指数式与对数式互化及其应用

例2.将下列指数式与对数式互化：

1(\\2

31

[1)log216=4；(2)log,27=-3；(3)log^x=3；(4)5=125；(5)2"=—；(6)—=9.

32\3>

【解析】运用对数的定义进行互化.

<]、-33।

4

U)2=16；(2)­=27；(3)(6)=x：(4)log5125=3；(5)log2-=-1；(6)log19=-2.

【变式迁移1】求下列各式中x的值：

1,

2

(1)logl6x=--(2)logv8=6(3)lglOOO=x(4)-2Ine=x

【答案】(1)-；(2)V2；(3)3；(4)-4.

4

【解析】将对数式化为指数式，再利用指数冢的运算性质求出X.

———―2'(——).]

⑴x=(16)2=(42)2=42=4'*=-.

4

1।1

：2)X6=8,所以x=C?)Z=(8心=(23"=2务=应；

C3)10x=1000=103,于是x=3；

⑷由一21ne2=x,得一色二lne2,即e-/所以工=-4.

2

【变式迁移2】计算：log24;log28;log232^l：LK.

2

【解析】log24=log22=2;

3

log28=log22=3;

5

log232=log22=5.

探究点三、利用对数恒等式化简求值

例3.不用计算器计算：

log3V27+lg25+lg4+7嘀2+(-9.8)°

13

【答案】—

2

3

【解析】原式=1吗31+lg(25x4)+2+l

=-+lgl02+3

30c13

=-+2+3=—

22

【变式迁移1】求"典/球“*N的值⑶b,c£R+,且不等于1,N>0)

［答案］N

【解析】将暴指数中的乘积关系转化为事的暴，再进行运算.

〃logMogbck&.N=［(〃*与1。勖［啕”=(力喻。产』=*8。'=N

探究点四、积、商、塞的对数

例4.用log.x,logay,log“z表示下列各式

(l)logflf；(2)logfl(^);(3)log^;(4)loga^

【解析】(1)log“2=log〃x+loguy-log“z；

z

35

⑵log,C=log.X+log“y=31ogax+5log”y；

x

⑶】og“—=log”五Tog“(")=：Mg”-log。丁-log“z;

yz2

)〈

⑷log.=log”(fyTog“Vz=2log“x+log”y-glog,,z.

yjz23

【变式迁移1】求值

22

⑴21og525+3log264-8log101(2)lg21g50+(lg5)(3)lg25+lg21g50+(lg2)

【答案】⑴22；(2)1；(3)2.

【解析】(1)21og525+31og264-81og10l

26

=21og55+31og22-8x0=4+18-0=22.

⑵原式二lg2(l+lg5)+(lg5)2=lg2+lg21g5+(lg5)2=lg2+Ig5(Ig2+lg5)=lg2+lg5=l

⑶原式=21g5+lg2(1+Ig5)+(Ig2)2

=21g5+lg2+lg21g5+(lg2)2=l+lg5+lg2(Ig5+lg2)=l+lg5+lg2=2.

探究点五、换底公式的运用

例5.已知log”=。,1即=5,求log3645.

a+b

【答案】

2-a

【解析】

解法一：..•k)gi89=a,18"=5,二.k)g[85=b.

log45_log(9x5)_log9+log5_a+b_a+b

于是脸45=l81818l8

362a

logislog18(18x2)l+log182l+log|8更~

ft

解法二:vlogl89=tz,18=5,log185=bt

45_log]8(9x5)_log^g+logQ_K+』

于是*45=

1呜83618；21og1818-logI892-a

--y

/,

解法三：:logI89=«J8=5，Ig9=6/lgl8,Ig5=/?lgl8,

Ig45_lg(9x5)_Ig9+lg5671gl8+Z?lgl8a+b

•・log3645=

lg36.18221gl8-lg921gl8-«lgl82-a

lgv

解法四：・・・logi89=a,..180=9.

又・・・18%=5,，45=5乂9=18/>・18“=18"+”.

4iog3645=x,则36*=45=18”"，

IQIQ1Q2

艮」36、=(y-y)X==18"",

|g2

^x\o^—=a+b.

a+ba+b

2-

…‘log1818-logI892-a

【变式迁移1】求值:⑴(log43+log83Xlog32+log92)；(2)logg9-log2732；(3)9小§

【答案】(1)-；(2)—；(3)—.

4925

【解析】(1)(log43+log83)(log32+log92)

log2log3log3)(log32+粤干)=J.log23log32=1

3)=(2।2

log3923ZOZ4

lg9lg3221g351g210

⑵log91og32=,•♦=-I•,=

827lg8lg2731g231g39

⑶法「*=中—舄唳

1

衿一.J-啕5=9Hg925=923

次—•一”-Qlog25

925

探究点六、对数运算法则的应用

例6.（2016春陕西期中）计算

16--454

⑴(―)+log3-+log3-

⑵Igl4-21g1+lg7-lgl8

3

3)log2(k)g232+log]w+log436)

24

^3+log,2_^l+log2

⑷s

27

【答案】(1)—;(2)0；(3)3；(4)44.

8

16--542)5427八27

【解析】(1)(―)4+log—+log—=4+陶-x-=—+0=一

o134354588

:2)原式:lg(2x7)-2(lg7-lg3)+lg7-lg(32x2)

=lg2+lg7-21g7+21g3+lg7-21g3-lg2=0

2

：3)原式二log2(5+log.?+log26)=log2(5-Iog2+log26)=log28=3

2424

⑷33+1端2一5”小2=33,3啕2—51.5嘀2=27x2—5x2=44.

【变式迁移1】计算下列各式的值

29

U)lg52+-lg8+lg5.1g20+(lg2)；(2)(lg2)3+31g2.1g5+(lg5)3.

【答案】(1)3；(2)I.

【解析】(1)原式=21g5+21g2+lg5(21g2+lg5)+(lg2)2=21gl0+(lg5+lg2)2=2+1=3；

：2)原式=(lg2+lg5)[(lg2)2Tg2・lg5+(lg5)2]+31g2・lg5=0g2『+21g2・lg5+(lg5)2

=(lg2+lg5)2=l.

一—,XG(-1,O)

【变式迁移2】已知/⑴7下\则/(bg43)=—.

4'”(0,1)

【答案】3

---,XG(—1,0)

【解析】•••/*)={4、，

4\XG(0,1)

0<log43<l

,o3

.•./(log43)=4^=3,

故答案为：3

谍后练习区精题精练规范答题

一、指数运算

一、选择题

L若则，1一6%+9工2等于()

A.3x-1B.l-3xC.(l-3x)2D.非以上答案

2.（2016山东模拟）若实数。＞0,则下列等式成立的是（)

I11

A.(-2)"=4B.2QT=C.(-2)°=-lD.(a-4)4=-

2aa

3,计算4吏7々3-2五的结果是()

A.32B.16C.64D.128

(_1V_1Vj.\

4化简1+2与1+2市1+2飞1+2吗1+2”,结果是()

C.1—2三D」|1一2多

2

A.VB.d8C.a4D.a2

6.若/<0,且。"+〃-"=2近，则，—a”的值等于()

A.V6B.±2C.-2D.2

二、填空题

7计算(产3r=.

8化简Jz?_(2〃_l)(l<b<2)=.

9.计算:的结果是

三、解答题

10.（2016山东青州市期末）（1）化简：（上＞+（空）°X（-2）-3；

2/3aa

21II

(2加。5).(一6a5凉)

：2）若a＞0,b＞。,化简:1_5一（4。-1）.

-3a^

11.计算:

⑴1255+f—12+3435；

「/X-1--

i(23\2

⑵-0.0273+50x0.00164

4

12.计算下列各式:

a-ba+b-2a2b2

------T------7---T---

/+房a"加

x-\x+\x-x^

13.计算:2-----i-+-i--i

X3+X3+\X3+1x5-l

1.1r4-r-1+2

14.己知工24-x2=3,求:，的值.

X2+X-2-2

二、对数运算

一、选择题

1.下列说法中错误的是（）

A.零和负数没有对数B.任何一个指数式都可化为对数式

C.以10为底的对数叫做常用对数D.以e为底的对数叫做自然对数

2.有以下四个结论：①lg（IglO）=0；②In（Ine）=0；③若10=lgAs则户10；④若e=lnx,则广岛

其中正确的是（）

A.①③B.②④C.①②D.③④

3.下列等式成立的有（）

①怆一!-=一2;②log3s=2；③210g25=5;④/叱=1;⑤变3=3;

1002

A.①②B.①②③C.②®④D.①@③④⑤

4.对数式log加2（5-。）=人中，实数a的取值范围是（）

A.（QO,5）B.（2,5）C.（2,3）U（3,5）D.（2,loo）

5.若。＞0,awl,则下列说法正确的是（）

①若M=N,则log“M=log”N:②log“M=log”N,则M=N；

③log”A/’=log,则A/=N：④若A7=N,则log”A/?二log“

A.①③B.②④C.②D.①②③④

6.若lgx-lgy=a,则lg(；)3Tg(])3=()

3a

A.3aB.—ClC.aD.一

22

7.(2016春福建期末)已知5"=2,则Iog580—31og210=()

33

A./—3a—2B.----2C.a—2D.4。-----2

aa

8.^y=log56-log67-log78-log89-log910,则()

A.yG(0,1)B.ye(1,2)C.ye(2,3)D.ye(3,4)

9.计算210g63+log64的结果是()

A.log62B.2C.log63D.3

二、填空题

10.若log31；—1,则.

11.若log”2=〃2,log“3=n,a2nt+n=

12.若2。=5〃=10,则，+工=_______.

ab

三、解答题

13.设m=(2；)；-(一9.6)°-(3+§+(1.5)2；

n=log3也Z+lg25+lg4+7哨2.

求m+n的值.

14.计算下列各式的值：

U)(In5)°+(*°'+J(1-扬2_2峭2

⑵Iog2l-lg31og32-lg5.

课后练习区参考答案

一、指数运算

1.【答案】B

【解析】因为所以原式=|l-3x|=l—3x,故选B。

3

2.【答案】D

【解析】对于A,(-2)-2=-,故A错误，

4

对于B,2a3=--,故B错误，

对于C,(-2)°=1,故C错误；

J.1

对于D,4)4=一,故D正确，

a

故选D.

3.【答案】A

［解析］22(0+D.2"2右_2?应+2+A2&=25=32,故选Ao

4.【答案】A

=ifi-2^y

2

5.【答案】C

【解析】（航^）（做点~卜（打了=/•/

6.【答案】C

hb2h2h2h2b

【解析】因为a+a=2yfl,所以a+a+2=S,即a+a=6同理

（〃"一。-"）2=。2,，+。-2"-2=6—2=4,又因为力<0,所以一一。4<0,故。"一〃"=一2。

7.【答案】—.

16

792

［解析】原式=4（"一3乂"+3）=4-=4-=—

16

8.【答案】4b-\.

【解析】原式/J（扬_1>=枇-lQvb<2）.

9.【答案】中

【解析】原式二（6）"匕）=（73）-'=乎.

故答案为：.

3

10.【答案】3b-2a.

【解析】因为。<万6,所以2。<36,原式（赤拓7=12。-3。=3人一2。

1。.【答案】（1）---r;（2）1

8。3

力3/1

【解析】（1）原式=—^xlx（-l）X-T=-----7•

8ab3面

(2)原式='26b236_(4〃_1)=4fl-(4d-l)=l.

—3

2_2111

11•【解析】⑴原式=(53)^+(2-4p+(73)3=(52+22+7)2=362=6.

2）原式:%喘声力。＞＜（蔡

1-43

12.【解析】(I)原式1-----r=l+4=3.

(沪I

(11Y11\(11'

a2+b2a2-b2a2-b2

(2)原式------An——~~r

/+京。5―序

£221

=a2-b2-Ca2-b^)

=0

13.【解析】原式二+（'?3+1一―L——J

x3+x3+1X3+1

!1