第一章 空间向量与立体几何测试卷-2021-2022学年高二年级上册数学人教A版（2019）选择性必修第一册（ 含答案）

第一章空间向量与立体几何创新测试卷

一.选择题（共8小题）

1.已知数组d=（x,1,1）,6=（-2,2,y）,ab=O,则2x—y=（）

A.1B.-1C.2D.-2

2.如图所示，在平行六面体488-A片GA中，设丽=2,AB=bfAD=cfN是BC

的中点，则硕等于（）

-1--1-1

A.~u+/?+—cB.—a+b+cC.—u—/?+—cD.u—b+-c

222

3.在长方体ABC。-AgGA中，可以作为空间向量一个基底的是（）

A.ABtAC,ADB.AB,AA），ABi

C.而，和，卵D.宿，/，CCX

4.如图，在长方体4BCO-ABCR中，Q是线段。用上一点，且8P=20P,若

AP=xAB+yAD+zAA,,则“+y+z=（）

333

5.已知动点P在正方体A8CZ）-A£G〃的对角线8〃（不含端点）上.设第=4,若ZAPC

为钝角，则实数％的取值范围为（）

D.g，1)

6.如图，在正方体A8CO-A5GA中，E,尸分别是上底棱的中点，与平面5AM所

C.60°D.90°

7,设向量日=（a,40）,炉=（c,d/），其中/+y=/+/=],则下列判断错误的是（）

A.向量/与z轴正方向的夹角为定值（与c,[之值无关）

B.五•炉的最大值为近

C.〃与户的夹角的最大值为亚

4

D.ad+6c的最大值为1

8.PZ）垂直于正方形ABC。所在平面，AB=2,E为尸8的中点，cos<DP,AE>=—

若以如图所示建立空间直角坐标系，则七点坐标为（）

二.多选题（共4小题）

9.已知直线4、4的方向向量分别是通=（2,4,外，丽=（2,y,2）,若|而|=6且4口，

则x+y的值可以是（）

A.-3B.-1C.1D.3

10.已知棱长为1的正方体ABCD-AgGA,E,尸分别是棱AD,CD上的动点，满足

AE=DF,贝I"）

A.四棱锥旦-BE。尸的体积为定值

B.四面体表面积为定值

C.异面直线3/和A”所成角为90°

D.二面角"-E产-妫始终小于60。

11.如图，在正方体A8CZ）-A8CA中，点尸在线段BQ运动，则（）

A.三棱锥P-AG。的体积为定值

B.异面直线AP与所成的角的取值范围为[45。，90°]

c.直线GP与平面AG。所成角的正弦值的最大值为当

D.过尸作直线贝IJ/J.OP

12.如图，以等腰直角三角形斜边8C上的高4）为折痕，把和&4CD折成互相垂直

的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中正确的是（）

A.ABLAC

B.AB1DC

C.BDA.AC

D.平面4X7的法向量和平面ABC的法向量互相垂宜

三.填空题（共4小题）

13.设空间向量1=（一1,2,加），6=（2,〃，-4）,若。〃5,则|G-E|=.

14.已知平面a的一个法向量为6=（1,1,1）,原点0（0,0,0）在平面。内，则点P（4,

5,3）到a的距离为一.

nP

15.动点P在正方体48CO-A4GA的对角线BR上，记一」=2,当NAPC为钝角时，2

D、B

的取值范围是.

16.如图，正方体AB8-A与CQ中，Me/V"NwAB,ZC,A/N=90°,B、N=2MN,

贝ljNMNB]=.

四.解答题（共6小题）

17.设空间两个单位向量函=（利，〃，0）,砺=（0,〃，p）与向量能=（1,1,1）的夹

角都等于王，求cosNAOB的值.

4

18.已知平行六面体，AB=AD=AA}=\tZBAD=ZBAAi=ZDAA,=60°,求

19.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱Q4_L底面ABC。，AB=6

BC=\,PA=2,E为叨的中点.

（1）求cos〈而，丽〉的值；

（2）在侧面RW内找一点N,使NEJ■平面%C,并求出N到AB和AP的距离.

20.如图，BC=2,原点。是5c的中点，点A的坐标为（日，T，0），点。在平面J。

上，KZBZX;=90p,NDCB=30°.

（1）求向量诙的坐标.

（2）求而与配的夹角的余弦值.

21.如图，在三棱锥P-ABC中，点G为A4BC的重心，点”在PG上，且PM=3MG,

过点M任意作一个平面分别交线段处,PB,PC于点D,E,F,^PD=mPAtPE=nPS,

PF=tPC,求证：,+1+1为定值，并求出该定值.

22.已知AABC为等腰直角三角形，NB4C=90。，AC=2,将AAQ沿底边上的高线4)折

起到△回£＞位置，使如图所示，分别取&C,AC的中点E,F.

B'

(1)求二面角石一£力一夕的余弦值；

(2)判断在线段4&上是否存在一点M,使EMJ_平面B'DF?若存在，求出点M的位置,

若不存在，说明理由.

参考答案与试题解析

一.选择题(共8小题)

1.已知数组d=(x,1,1)»b=(-2,2,y)»ab=0f则2x—y=()

A.1B.-1C.2D.-2

解：•/a=(xf1,1)»b=(-2»2,y),ab=O,

ab=-2x+2+y=0.

解得2x-y=2.

故选：C.

2.如图所示，在平行六面体ABCD—A4GA中，设羽=值，AB=b,AD=c,N是BC

的中点，则等丁()

一1

B--a-i-b+cC.-a-b+—cD.a-b+—c

22

解：•.•六面体ABCD-ASGA为平行六面体,

/.AD=BC=c，

又•.•丽=",AB=b.AD=c,N是bC的中点,

丽=，,

2

=AiA+AB+BN=-a+h+^c.

故选：A.

3.在长方体ABC。-A4G。中，可以作为空间向量一个基底的是()

A.而，AC,ADB.而，丽，丽

C.也，,印D.AC[,AtC»CC1

解：在长方体ABC。-A4GA中，向量丽，AC,而是共面向量，不能作为基底，故选

项A错误；

向量由，丽，画是共面向量，不能作为基底，故选项5错误；

向量取\而，时不是共面向量，能作为基底，故选项C正确；

向量福，即，忑是共面向量，不能作为基底，故选项。错误.

故选：C.

4.如图，在长方体ABCO-ABCQ中，。是线段。乃上一点，且BP=2RP,若

AP=xAB+yAD+z,则x+y+z=()

4

3

解：：BP=2D、P,

..B户=2PD；,

即AP-AB=2(AD^-AP)=2而;-2AP,

即3而=而+2函，

_i_2.i_2.2.

^AP=-AB+-AS=-AB+-AD+-X\,

33333

所以X=1,y=~♦Z=2,所以x+y+z=9.

3333

故选：A.

5.己知动点尸在正方体ABC。-ABC.的对角线(不含端点)上.设丝=4,若NAPC

为钝角，则实数4的取值范围为()

A.(。，：)B.(0,i)C.(-j,1)D.(i,1)

解：由题设，建立如图所示的空间直角坐标系。一qz,

设正方体ABC。-A4GA的棱长为1,

则有4(1,0,0),8(1,1,0),C(0,1,0),0(0,0,1)

.•.印=(1,1,-1),设印=[4,A,-2),

二.用=西+丽=(-4,-2,2)+(1,0,-1)=(1-2,一丸，2-1),

定=西+麻=(一2，-2,2)-(0,1,-1)=(-2,1-2,4-1),

由图知ZAPC不是平角，・•.ZAPC为钝角等价于cosZAPC<0,

:.PAPC<0,

(1-Z)(-Z)+(-2)(1-1)+(2-I)2=a-1)(32-l)<0,

解得Jv/lvl

3

.•.%的取值范围是(；，

I)

故选：C.

z

6.如图，在正方体ABC。-A4GA中，E,尸分别是上底棱的中点，4幽与平面42反所

解：以A为坐标原点，RA，DC，RD为X,y,z轴建立空间直角坐标系,

则A(l,0,1),用(1,1,0),R(0,0,0),E吗,1),

n»DlBi=x+y=0

设平面的法向量为"=则6

(x,y.z),H・D、E=^y+z=0可取E=(l,-1,

又鬲=(0,1,T),

设AB】与平面与D,EF所成的角为9,则sin0=|cos<n,^*>|=—

故A4与平面与〃E尸所成的角为：.

故选：B.

7.设向量"=3,仇0)尸=(G4,1),其中/+从=/+/=],则下列判断错误的是()

A.向量/与z轴正方向的夹角为定值(与c,d之值无关)

B.五•炉的最大值为近

C.日与/的夹角的最大值为包

4

D.ad+bc的最大值为1

解：由向量比=(。也0),U=(c,d,l),其中片+从=/+才=],知:

在A中，设z轴正方向的方向向量N=(0,0,r),

向量D与z轴正方向的夹角的余弦值：

cosa=-2=——,1-=—,:.a=45°,

l2klvl2

.•・向量/与z轴正方向的夹角为定值45。(与c,d之值无关)，故A正确;

a2+c2及+d2a2+b2+c2+d2

在B中,u-v=ac+bd,.------1------=-------------

222

且仅当a=c,Z>=d时取等号，因此以/的最大值为1,故5错误;

在C中,由8可得：|小刃”1,..-1釉41,

M•vac+bd1\[1

2222

IwI-Iv|Ja+b-\]c+J+11x&2

.••日与D的夹角的最大值为四，故C正确:

4

a2+d2炉+da1+Z>2+c2+t/2

在。中,ad+bc,、----------1---------=--------------------

222

.,.〃/+税的最大值为1.故。正确.

故选：B.

—,^3

8.PD垂直于正方形AB8所在平面，AB=2E为尸8的中点,cos<DP,AE>=——，

t3

若以如图所示建立空间直角坐标系，则上点坐标为（)

1)C.。，1,1)D.

解：设P(0,0,t),(t>0),D(0,0,0),A(2,0,0),3(2,2,0),E(1,1,今

DP=(0,0,f),AE=(-1,1,-).

二DP.AE=—,\DP\=t,|福=/+1.

2

,:cos<DP，AE>=—,

3

—=■=£解得,=2.

E3

/.E(1,1,1).

故选：c.

二.多选题（共4小题）

9.已知直线4、4的方向向量分别是而=（2,4,x),CD=(2,yt2),若|确=6且4乜,

则x+y的值可以是（）

A.-3B.-1C.1D.3

解：•・•直线'、4的方向向量分别是通=（2,4,x),CD=(2,y,2),|而|=6且4_L，2,

.〃+16+Y=6,解得.x2=16

4+4y+2x=0x+2y+2=0

P=4或匕T

[y=-3b?=1

x+y=1或x+y=-3.

故选：AC.

10.已知棱长为1的正方体ABCD-AgGA,E,尸分别是棱AD,CD上的动点，满足

AE=DF,贝lj()

A.四棱锥4-BEO产的体积为定值

B.四面体石尸表面积为定值

C.异面直线与E和4户所成角为90°

D.二面角〃-EF-用始线小于60。

解：对于A,因为四边形BEDF的面积为

S=SABCD-S^BE-S^CF=\~AE-^FC=\-^(AE^BF)=\-^=^(定值).

••・四棱锥妫-8EO尸的体积为定值，故正确；

对于B,过。作ZW_1_所，连接D{H,则DtH1EF,设AE=OF=x,则DH=/*幻

次+(1一处2

:.D】H=dDH?+1,

SDEF=；EFDM=^X2+(\-X)2+X\\-X)2=gj[KDF=1[1-^(1-x)],

：.四面体D[DEF表面积为S=^xx1+i(1-x)x1+i[1-x(l-x)]+--^)=1»四面体

自力石尸表面积为定值，故正确.

对于C，如图建立空间直角坐标系，设=则现1一不，0,0),尸(0,x,0),5,(1,

1,1),A(1,0,0),

则解=(一乂一1,一1),AF=(-l,x,0),

BpE-AF=x-x+0=0,.•.异面直线与石和AF所成角为90。，故正确；

对于。，当4七=。尸=3时，可得二面角〃一七r一。就是NO”.,二面角g-瓦'一8就

是NBHBi,

贝han4DHD、=272,tanNbHb、=手，

)A2、5

2,2xR/z

tan(ZD//D,+NBHBJ=--------=--,

5

"2员比

3

此时二面角A-E尸-线的正切值为罕＞G，故错.

故选：ABC.

11.如图，在正方体ABCO-A8sA中，点尸在线段反。运动，则（）

A.三棱锥尸-AC。的体积为定值

B.异面直线AP与4。所成的角的取值范围为[45。，90°]

C.直线GP与平面AGO所成.角的正弦值的最大值为当

D.过户作直线则/_L£>P

解：在A中，•:ADHB\C，AOu平面AC。，用。0平面AG。,

.•.80〃平面AG。,

•/点P在线段反。上运动，」.P到平面ACQ的距离为定值，

又△AG。的面积是定值，，三楂锥P-4G。的体积为定值，故A正确；

在8中，异面直线”与4。所成角的取值范围是[60。，90°],故8错误；

在C中，以。为原点，D4为尤轴，0c为)，轴，为Z轴，建立空间直角坐标系，

设正方体—中棱长为1，P(a，1，a),则£>(0,0,0),A,(l,0,1),C,(0,

1,1),璃=(1,0,1),西=(0,1,1),于=(〃，0,a-1),

设平面AC。的法向量3=(x,y,z),卜匕=x+z=o,

w-DC,=y+z=0

取x=i,得万=(i,1,-1)：直线C/与平面4G。所成角的正弦值为：

I丽”1________1______1

I||万|yja2+(a—I)2>>/5^2(a——)2+—

.•.当a=g时，直线GP与平面AG。所成角的正弦值的最大值为半，故c正确.

在。中，过户作直线〃/AA，则///8G，-DP1BC,,:.l±DP,故正确.

12.如图，以等腰直角三角形斜边AC上的高4)为折痕，把八针。和A4CO折成互相垂直

的两个平面后，某学生得出如下四个结论，其中正确的是()

BDB

A.ABLAC

B.ABIDC

C.BDLAC

D.平面ADC的法向量和平面回。的法向量互相垂直

解：以。为坐标原点，DB,DC，A4所在直线分别为x轴，y轴，？轴建立空间直角坐标

系，

设折叠前的等腰直角三角形ABC的斜边BC=2,

则0(0,0,0),B(\,0,0),C(0,1,0),A(0,0,1),

则4月=(1,0,7),AC=(0,l,-l),DC=(0,1,0),BD=(-1,0,0),

从而有福•而=0+0+1=1,故A错误；

ABDC=0,故3正确；

fiDAC=0,故C正确；

易知平面ADC的一个法向量为BD=(-1,0,0),

、几丁示4人Y百二口门」通.6=0

设平面ABC的一个法向量为无=(x,y,z),则彳__♦

ACn=0

即尸令尸1，

则x=l,z=l,故万=(1』,1),BDn=-\,故。错误.

故选：BC.

三.填空题(共4小题)

13.设空间向量4=(一1,2,机)，5=(2,n,-4),若d/区，贝1」修-5|=.

解：因为空间向量万=(一1，2,w),6=(2,n,-4),且。〃5,

所以万=4万，

即(2,n,-4)=2(-1,2,⑼，

2=-A

可得-〃=24,解得/n=2,n=-41

-4=A/??

所以。=(一1,2,2),6=(2,-4,-4),

贝！J2一5=(-3,6,6),

所以Id-昨J(-3尸+62+62=9.

故答案为：9.

14.己知平面a的一个法向量为万=(1,1,1),原点0(0,0,0)在平面a内，则点P(4,

5,3)到。的距离为一.

解：•.•平面a的一个法向量为万=(1,1,1),

原点。(0,0,0)在平面a内，点P(4,5,3),

OP=(4,5,3),

.•.点P(4,5,3)到a的距离为：

人处包=平=48.

I川不

故答案为：4石.

nP

15.动点尸在正方体A8CO-A86A的对角线BQ上，记:后二久，当NAPC为钝角时，A

的取值范围是.

解：由题设，建立如图所示的空间直角坐标系。-D，z,

则有A(l,0,0),8(1,1,0),C(0,1,0),D1(o,0,1)

.•.印=(1,1,-1),.•.即=(/l,A,-Z),

而=西+取=(一2，-2,2)+(1,0,-1)=(1-2,-2,2-1),

定=西+配=(一；I,-2,2)-(0,1,-1)=(-2,1-2,2-1),

显然NAPC不是平角，所以NAPC为钝角等价于cosNAPC<0,

AE4.PC<0,/.(1-2)(-2)+(-2)(1-2)+(2-1)2=(2-1)(32-1)<0,得,<九<1

3

因此，2的取值范围是(；，1)

故答案为：g,1)

16.如图，正方体ABCO—ASGR中，NGAB,(MN=90。,B、N=2MN,

则/MNBi=.

I、、

解：以0为原点，为上轴，QC为），轴，。口为z轴,

建立空间直角坐标系,

设M(1,0,b),N(1,a,0),A(1,0,0),8(1,1,0),

国(1,1,1),G(0,1,1),

CXM-(1,-1,/?—1),MN=(0»a,-h),B1N=(0,a—\>-1)»

•.•NGAfN=90。，B、N=2MN,

C[A/・MM=-a+b(l-b)=0f:.a=b(\—b)»

a2-a+b

/.cosNMNB1

|NA/h|N瓦|2(cr+tr)

b2(\-b2)+b2_1

2[b\\-b2)+b2]~2

NMN4=60°.

故答案为：60°.

X

四.解答题（共6小题）

17.设空间两个单位向量次=（〃?，〃，0）,OB=（0,n,p）与向量方=（1,1,1）的夹

角都等于工，求cosNAOB的值.

4

解：...两个单位向量砺=（加，n,0）,05=（0,〃，p）与向量诙=（1,L1）的夹角都

等于工，

4

；.乙\OC=NBOC=Z,|OC|=V3，|两=|函=1,

4

OC.OA=|OCH5A|<OS-=>/3X1X^=^,

422

2

,/OC»OA=m+nfOA=m4-z?=1,

2+G2-x/3

〜瓜2tn=-------i-n

"+〃=彳，解得，3或.4

)2—5/322+6

m2+n2=1n~=--------n~=--------

44

()A»()B=/J,

砺廊

cosZ.AOB=

\OA\^OB\

cosZAOB=转或cos/AOB=-—.

44

18.已知平行六面体，AB=AD=AAi=\fZBAD=ZBAAi==60°,求|宿

解：vAC,=AB+AD+AA^

/.ACt=AB+AD+A4,4-2AB.AD+2AB-A4,+2AD.A4,

=l+l+l+2xlxlcos60°x3

=6»

/.l宿i=B

19.如图，在四棱锥P-A4a）中.底面A8CD为矩形，侧棱Q4_L底面AACD,AB=6

BC=1,PA=2,E为PZ)的中点.

(1)求COS〈前，丽〉的值；

(2)在侧面P48内找一点N,使NE_L平面F4C,并求出N到4?和AP的距离.

解：(1)在四棱锥f-"6中，底面为矩形

侧棱%_L底面ABC£＞，AB=6,BC=\,PA=2,E为尸。的中点.

以A为原点，为x轴，AO为)，轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系,

则4(0,0,0),C(招,1,0),尸(0,0,2),B(60,0),

4C=(^J,0),丽=(6,0,-2),

(2)设在侧面丹记内找一点N(a,0,c),使NE_L平面R4C,

0(0,1,0),E(0,-,1),NE=(-a-，1-c),

2f2

Q=(0,0,2),恁=(疯1,0),

福•衣=2(l-c)=0/

.♦.N到/W的距离为1,N到AP的距离为更

p

20.如图，BC=2,原点。是8c的中点，点A的坐标为（也，0）,点。在平面）Oz

22

上，且ZBDC=90°,ZDCB=30°.

（1）求向量①的坐标.

（2）求而与死的夹角的余弦值.

解：(1)过及作。EJ_4c于E,则OE=CO-sin3(T=@,

2

OE=OB-BDcos600=\--=-

22

.•.£)的坐标为0(0,,

22

3

又1,0),/.CD=(0,

22

（2）依题设有A点坐标为0),

2

.•.标=(—当一4),BC=(0,2,0),

则而与血的夹角的余弦值:

8S＜而同以二典

\AD\'\BC\5

X

21.如图，在三棱锥P—ABC中，点G为A4BC的重心，点、M在PG上,且PM=3A/G,

过点M任意作一个平面分别交线段PA,PB,PC于点E,F^PD=mPAtPE=nPB,

PF=tPc,求证："!■+_!_+!为定值，并求出该定值.

mnt

证工明：如图示：

连接AG并延长交8C于点H,

由题意可令(万，万，京)为空间的一个基底，

.3_3—..Q32-

^tLPM=-PG=-(PA+AG)=-PA+-