2021年广东省广州大学附中重点班中考数学模拟试卷（学生版+解析版）（4月份）

2021年广东省广州大学附中重点班中考数学模拟试卷（4月份）

一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）-5的相反数是（）

£

A.5B.—5C.--D.

55

2.（3分）下列计算正确的是（）

A.a2+O1=aB.(/)3=/

C.(~a2b)3=a6b3D.S+2a)(2a-b)=4a2-b2

3.（3分）节约是一种美德，节约是一种智慧.据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合

粮食可养活约3亿5千万人.350000000用科学记数法表示为（）

A.3.5xlO7B.3.5xl08C.3.5xlO5D.3.5xlO10

4.（3分）下列事件中，是必然事件的是（）

A.在同一年出生的13名学生中，至少有2人出生在同一个月

B.买一张电影票，座位号是偶数号

C.晓丽乘12路公交车去上学，到达公共汽车站时，12路公交车正在驶来

D.在标准大气压下，温度低于0°C时冰融化

5.（3分）已知：直线/J4，一块含30。角的直角三角板如图所示放置，Zl=25°,则N2等

）

A.30°B.35°C.40°D.45°

6.（3分）如图，AB是OO的直径，C?,。分别为oo上一点，ZDOB=M°,ND=NB,

则NB等于（）

A.13°B.14°C.15°D.16°

7.(3分)如图，A4BO缩小后变为△A8O,其中A、8的对应点分别为4,B',4,B'

均在图中格点上，若线段上有一点尸(加,〃)，则点P在A斤上的对应点尸的坐标为(

)

VA

A.,n)B.(〃?,〃)C.(y,'D.('"，9

8.(3分)抛物线y=2(x+l)(x-3)关于y轴对称后所得到的抛物线解析式为()

A.y=-2(x+l)(x-3)B.y=2(x-l)(x-3)

C.y=2(x-l)(x+3)D,y=-2(x-l)(x+3)

9.(3分)如图，AABC为直角三角形，ZC=90°.BC=2cm,NA=30。，四边形£>EFG为

矩形，DE=2y/3cm,EF=6cm,且点C、B、E、尸在同一条直线上，点8与点E重

合.RtAABC以每秒km的速度沿矩形DEFG的边EF向右平移，当点C与点F重合时停

止.设RtAABC与矩形£>EFG的重叠部分的面积为*",运动时间xs.能反映中病与xs之

间函数关系的大致图象是()

10.（3分）如图，点M是正方形438内一点，AMfiC1是等边三角形，连接AM、MD,

对角线交CM于点N,现有以下结论：①Z4M£>=150。；@MA2=MN-MC；③

屋也="且；④"=正，其中正确的结论有（）

SMMC3BN3

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）。

11.（3分）J语的算术平方根是—.

12.（3分）若关于x的方程/-（2〃?+1）》+〃，=0有两个相等的实数根，贝|］相=.

13.（3分）如图，测量河宽43（假设河的两岸平行），在C点测得NACB=30。，。点测

得NAE>3=60。，又。>=60加，则河宽为m（结果保留根号）.

14.（3分）若一个圆锥的侧面积是50万，其侧面展开图是一个半圆，它的底面半径是一.

15.（3分）如图，矩形ABCD中，M为边4）上的一点.将XCDM沿CM折叠，得到XCMN,

若43=6,DM=2,则N到A£>的距离为.

16.（3分）如图，等边AABC中，AB=10,£为AC中点，F,G为边上的动点，且

FG=5,则所+CG的最小值是.

A

三、解答题（本大题共9小题，满分72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（4分）计算：|百一2|-（3-'+（万一3.14）。+奇cos45。.

2

2

18.（4分）先化简，再求值：-v-2x+l^（1_3b其中》=夜+2.

x—1尤+1

19.（6分）如图，在AA8C中，AB^AC,ND4c是AA8C的一个外角.实践与操作：根

据要求尺规作图，并在图中标明相应字母（保留作图痕迹，不写作法）.

（1）作N/MC的平分线A"；作线段AC的垂直平分线，与A"交于点尸，与3c边交于

点、E.

（2）连接AE、CF,判断四边形A反尸的形状并加以证明.

20.（6分）某校为了解初三300名学生每天做家庭作业的时间情况，从中随机抽取50名学

生进行抽样调查，按做作业的时间/（单位：小时），将学生分成四类：A类（0,,r<l）；B类

（L"<2）；C类（2"<3）；。类（，"<4）；绘制成尚不完整的条形统计图如图.

根据以上信息，解答下列问题：

（1）补全条形统计图，并估计初三学生做作业时间为。类的学生共有多少人？

（2）抽样调查的A类学生中有3名男生和1名女生，若从中任选2人，求这2人均是男生

的概率.

人数

21.(8分)为全面推进“三供一业”分离移交工作，甲、乙两个工程队承揽了某社区2400

米的电路管道铺设工程.已知甲队每天铺设管道的长度是乙队每天铺设管道长度的1.5倍，

若两队各自独立完成1200米的铺设任务，则甲队比乙队少用10天.

(1)求甲、乙两工程队每天分别铺设电路管道多少米；

(2)若甲队参与该项工程的施工时间不得超过20天，则乙队至少施工多少天才能完成该项

工程？

22.(10分)如图，点42,a)和点。是反比例函数丫='(加>0,x>0)图象上的两点，一次

X

函数y=去+3(Z*0)的图象经过点A,与y轴交于点B，与x轴交于点C过点。作轴,

垂足为E,连接。4、OD.已知AOAB与△(?£>£的面积满足冬卸8赴二？”.

(1)求m；

(2)已知点尸(6,0)在线段OE上，当NPDE=NCBO时,求点。的坐标.

23.(10分)为O。的直径，点C、。为OO上的两个点，AD交8c于点尸，点£在AB

上，DE交BC于点、G,&ZDGF=ZCAB.

(1)如图1.求证：DE±AB.

(2)如图2.若4)平分NC4B.求证：BC=2DE.

(3)如图3.在(2)的条件下，连接OF,若NAFO=45。，AC=8,求OF的长.

cD

图1图2图3

24.(12分)已知抛物线丫=以2+/*+4。、b、c为常数，且a，0).

(1)已知抛物线的对称轴为x=3,若抛物线与方轴的两个交点的横坐标比为1:2,求这两

个交点的坐标；

(2)已知抛物线的顶点为C,抛物线与x轴交点分别为A、B,若AABC为等边三角形，

求证：b2-4ac=12；

(3)已知当x>-l时，y随x的增大而增大，且抛物线与直线y=ox-1+c相切于点。，

a

若2&恒成立，求c的取值范围.

25.(12分)如图，在平行四边形中，AB=8C,点尸线段AC上的一个动点，点K

是平行四边形A88边上一点，且ZABC=ZDPK.

nAnp

(1)如图1,若NABC=60°,求证：—=—；

PCPK

(2)若ZABC=90°,AB=4,

①如图2,连接0K交AC于点£,-=求DE•鹿的值.

EP5

②如图3,点P从点A运动到点C,则点K的运动的路径长.

图1图2图3

2021年广东省广州大学附中重点班中考数学模拟试卷（4月份）

参考答案与试题解析

一、选择题：（本大题共10小题，每小题3分，共30分）

1.（3分）-5的相反数是（）

A.5B.-5C.--D.-

55

【考点】相反数

【解答】解：-5的相反数是5,

故选：A.

【点评】本题考查了相反数，理解只有符号不同的数是相反数是解题关键.

2.（3分）下列计算正确的是（）

A.a2+a2=a4B.（a2）3=a5

C.（~a2b）3=a6^D.（b+2a）（2a-b）=4a2-b2

【考点】合并同类项；塞的乘方与积的乘方；平方差公式

【解答】解：A、原式=2",原计算错误，故此选项不符合题意；

B、原式=〃6,原计算错误，故此选项不符合题意；

C、原式原计算错误，故此选项不符合题意；

D、原式=4/-廿，原计算正确，故此选项符合题意.

故选：D.

【点评】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则及公式是解本题的关键.

3.（3分）节约是一种美德，节约是一种智慧.据不完全统计，全国每年浪费食物总量折合

粮食可养活约3亿5千万人.350000000用科学记数法表示为（）

A.3.5xlO7B.3.5xlO8C.3.5xlO9D.3.5x10'°

【考点】科学记数法-表示较大的数

【解答】解：350000OOO=3.5xlOs.

故选：B.

【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定〃与〃值是关键.

4.（3分）下列事件中，是必然事件的是（）

A.在同一年出生的13名学生中，至少有2人出生在同一个月

B.买一张电影票，座位号是偶数号

C.晓丽乘12路公交车去上学，到达公共汽车站时，12路公交车正在驶来

D.在标准大气压下，温度低于0°C时冰融化

【考点】XI：随机事件

【解答】解：A.在同一年出生的13名学生中，至少有2人出生在同一个月，属于必然事

件；

B.买一张电影票，座位号是偶数号，属于随机事件；

C.晓丽乘12路公交车去上学，到达公共汽车站时，12路公交车正在驶来，属于随机事件；

D.在标准大气压下，温度低于时冰融化，属于不可能事件；

故选：A.

【点评】该题考查的是对必然事件的概念的理解.必然事件指在一定条件下一定发生的事

件.不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件.

5.（3分）已知：直线一块含30。角的直角三角板如图所示放置，Z1=25°,则N2等

【考点】平行线的性质

【解答】解：•.•Z3是AMG的外角,

.•.Z3=ZA+Zl=30°+25°=55°,

//Z2,

.•.Z3=Z4=55°,

vZ4+ZEFC=90°,

.•.ZEFC=90°-55°=35°,

.-.Z2=35O.

故选：B.

【点评】本题考查的是平行线的性质及三角形外角的性质，用到的知识点为：两直线平行,

同位角相等.

6.（3分）如图，是OO的直径，C,。分别为。。上一点，NDOB=64°,"=

则NB等于（）

A.13°B.14°C.15°D.16°

【考点】圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理

【解答】解：连接X,如图所示：

Z/JOB=64°,

:.ZDCB=32°,

而OC=8,OC=OB,

.-.ZD=ZOCD,ZB=NOCB,

又•.•"=〃，

/.ZOCD=ZOCB=-ZDCB=-x32°=16°,

22

/.ZB=16°,

故A、B、C错误，

故选：D.

【点评】本题考查圆周角定理，连接OC正确作出辅助线结合圆周角定理是解题关键.

7.(3分)如图，A4BO缩小后变为△A8O,其中A、8的对应点分别为4,B',4,B'

均在图中格点上，若线段上有一点尸(加,〃)，则点P在A斤上的对应点尸的坐标为(

)

VA

A.,n)B.(〃?,〃)C.(y,gD.('"，］)

【考点】D5：坐标与图形性质；SC：位似变换

【解答】解：•.•A48O缩小后变为△AQO,其中A、3的对应点分别为4、夕点A、B、

4、9均在图中在格点上，

即A点坐标为：(4,6),8点坐标为：(6,2),A点坐标为：(2,3),£点坐标为：(3,1),

线段AB上有一点P(m,n),则点P在A片上的对应点P'的坐标为：g,夕.

故选：C.

【点评】此题主要考查了位似图形的性质，根据已知得出对应点坐标的变化是解题关键.

8.(3分)抛物线y=2(x+l)(x-3)关于y轴对称后所得到的抛物线解析式为()

A.y=-2(x+l)(x-3)B.y=2(x-l)(x-3)

C.y=2(X-1)(K+3)D.y=-2(X-1)(X+3)

【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质

【解答】解：•.•关于y轴对称的点的坐标横坐标化为相反数，纵坐标相同，

，抛物线y=2(x+l)(x-3)关于y轴对称后所得到的抛物线解析式为

y=2(-x+l)(-x-3)=2(x-l)(x+3),

故选：C.

【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换.关键是根据关于y轴对称的点的坐标特征写

出新抛物线的解析式.

9.(3分)如图，AABC为直角三角形，NC=90。，BC=2cm,ZA=30°,四边形£>EFG为

矩形，DE=2&n,EF=6cm,且点C、B、E、厂在同一条直线上，点3与点E重

合.RtAABC以每秒kro的速度沿矩形DEFG的边E尸向右平移，当点C与点尸重合时停

止.设RtAABC与矩形DEFG的重叠部分的面积为ycm2,运动时间xs.能反映ycm2与xs之

间函数关系的大致图象是（）

【考点】动点问题的函数图象；二次函数的图象

【解答】解：已知NC=90。，BC=2an,NA=30。，

由勾股定理得：AC=2。

•.•四边形D£FG为矩形，NC=90,

:.DE=GF=26,ZC=ZD£F=90°,

/.ACIIDE,

此题有三种情况：（1）当0<x<2时，AB交DE于H,

如图

-.-DE//AC,

EHBE

AC-BC

EHx-1

BnnP—7==—，

2732

解得：EH=®,

所以>\/3x*x=^-x2

・・・y是关于x的二次函数,

所以所选答案C错误，答案。错误,

■/a=—>0,开口向上；

2

（2）当2领k6时，如图,

（3）当6<%,8时，如图，设GF交45于N,设A4BC的面积是的面积是

BF=x-6,与（1）类同，同法可求FN=后一6君,

y=$[_s2,

=-x2x2>/3—x(x—6)x(\/3x—6>/3),

22

=一3■12+6\/3x-165/3,

2

73

•・•------<0,

2

•••开口向下，

所以答案A正确，答案5错误，

故选：A.

【点评】本题主要考查了一次函数，二次函数的性质三角形的面积公式等知识点，解此题的

关键是能根据移动规律把问题分成三种情况，并能求出每种情况的y与x的关系式.

10.（3分）如图，点历是正方形A8CD内一点，AM8C是等边三角形，连接AA/、MD,

对角线比）交CM于点N,现有以下结论：①N/VWD=150。；②MA2=MN-MC；③

其中正确的结论有（）

C.2D.1

【考点】正方形的性质；等边三角形的性质；相似三角形的判定与性质

【解答】解：•.•AM3C是等边三角形,

:.ZMBC=ZMCB=ZCMB=6O°,BM=BC,

四边形是正方形，

ZABC=ZBCD=ABAD=ZADC=90°.AB=BC,

ZABM=AIXJM=30°,

•/AB=BM，

ZAMB=/BAM=g（180。一30°）=75°,

同理ZCMD=ZCDM=75°,

ZAMD=360。-75。-75。-60。=150。；

故①正确；

・・・四边形ABCD是正方形，

••.ZBDC=45。，

/.ZMDN=4CDM-ZBDC=75°-45°=30°，

•・/CMD=/CMD,AMDN=ZDCM=30°,

:.AMND^AMDC,

.MNDM

"DM~MC'

:.DM2=MNMC,

-.■ZBAD^ZADC,ZBAM=ZCDM,

.-.ZMAD=ZMDA,

:.MA=DM,

M42=MN-MC,

故②正确；

过点M作MGJ_A3于G,如图1所示:

设MG=x,

RlABGM中，NGBM=30°,

:.BM=BC=AB=2x,BG=6x,

AG=2x-&x,

S-_3AD.AG_AG=2x-&=2_g,

r

SUBMC1BC-BGBG6上

2

故③错误；

过N作M7_LC£＞于H,设NH=x,如图2所示:

则M/_L3C,ZNDH=ZDNH=45°,

:.NH=DH=x,

•.•ZNCH=30°,ZCHN=90°

:.CN=2x,CH=晶,

-,-NHUBC,

DNDHxK

・丽一方一后一7'

故④正确；

故选：B.

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质、等边三角形的性质、等腰三

角形的判定与性质，勾股定理、平行线的性质等知识；设出未知数，表示出各边长是解题的

关键.

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）。

11.（3分）J比的算术平方根是2.

【考点】算术平方根

【解答】解：：J记=4,

屈的算术平方根是4=2.

故答案为：2.

【点评】此题主要考查了算术平方根的定义，注意要首先计算J话=4.

12.（3分）若关于x的方程炉-（2加+2+源=0有两个相等的实数根，则机=_一!_.

【考点】根的判别式

【解答】解：•.•原方程有两个相等的实数根，

-4念=0,

即［-（2帆+1）『-4〃『=0,

整理得4/〃+1=0,解得m=--->

4

故答案为：-1.

4

【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程以2+法+c=0（"0）的根与△=b2-4«c有

如下关系：当△>◊时，方程有两个不相等的实数根；当△=（）时，方程有两个相等的实数

根；当时，方程无实数根.

13.（3分）如图，测量河宽（假设河的两岸平行），在C点测得/4CB=30。，。点测

得NAD3=60。，又C£>=60m,则河宽AB为_3（X「—机（结果保留根号）.

【考点】KU：勾股定理的应用；T8：解直角三角形的应用

【解答】解：•.•ZACB=30。，ZADB=60°,

:.ZCAD=3（Y,,

AD=CD=60/z?，

在RtAABD中，

AB=AD.sinZADB=60x—=30>/3（m）.

2

故答案为：30x/3.

【点评】本题考查的是解直角三角形的应用-方向角问题，涉及到三角形外角的性质、等腰

三角形的判定与性质、锐角三角函数的定义及特殊角的三角函数值，难度适中.

14.（3分）若一个圆锥的侧面积是50万，其侧面展开图是一个半圆，它的底面半径是5.

【考点】圆锥的计算

【解答】解：设圆锥的母线长为/,则侬叱=50万，

360

解得：/=10,

设圆锥的底面半径是一，则24=史竺世，

180

解得：r=5.

即这个圆锥的底面半径为5,

故答案为：5.

【点评】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解

决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长.

15.（3分）如图，矩形ABCD中，M为边AD上的一点.将ACDM沿CM折叠，得到ACMV,

若AB=6,DM=2,则N到AD的距离为-

一5

M

D

Bl-----------------------------

【考点】相似三角形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；矩形的性质

【解答】解：过点N作NE_LAT＞于点£,并延长硒交3。于点/，则

・・•四边形A5CD是矩形，

/.AB=CD=6,ZD=90°,

・・•将ACZW沿CM折叠，得到ACW,

:.DM=MN=2,DC=NC=6,ZD=ZMZVC=90。,

AENM+4FNC=4FNC+ZFCN=90°,

.・./ENM=NFCN,

•••ZNEM=ZNFC,

:.亚NMs.FC，

.EM_MN

"~NF~~NC"

设EN=x,贝l]NF=6-x,

:.EM=&-£,

.V4-x2_2

..—―,

6-x6

解得x=g.

5

故答案为：—.

5

【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练

掌握折叠的性质是解题的关键.

16.（3分）如图，等边A48C中，AH=\O,E为AC中点，F,G为边上的动点，且

FG=5,则EF+CG的最小值是_5"

【考点】等边三角形的性质；勾股定理；轴对称-最短路线问题

【解答】解：如图，作C点关于A5的对称点C,则。G=CG,取3c的中点。，连接EQ,

GQ,

,-.EQ=^AB=5=FG,EQIIAB,

：.四边形EFGQ是平行四边形，

EF=GQ,

当点C,G,。在同一条线上时，CG+EF最小,

作CHLBC交BC的延长线于点H,

•.•BC=3C'=10,ZCBC*=120°,

HC'=5y/3,HB=5,

..”Q=10,

C0=775+100=577,

.•.斯+CG的最小值是5".

故答案为：5户.

【点评】本题主要考查等边三角形的性质与判定，勾股定理，轴对称最值问题，根据题意作

出正确的辅助线是解题关键.

三、解答题(本大题共9小题，满分72分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(4分)计算：|百一2|—d)T+g—3.14)°+&cos45。.

2

【考点】负整数指数幕；特殊角的三角函数值；零指数基；实数的运算

【解答】解：原式=2-舁2+1+2垃x受

2

=2-宕-2+1+2

=3—y/3.

【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键.

18.(4分)先化简，再求值：广;2"+1+(］一3b其中》=/+2.

【考点】6D：分式的化简求值

【解答】解：/-2x+l工

x2-lx+1

(%—1)~x+1—3

(x+l)(x-l)x+1

(X-1)2X+1

(x+l)(x—1)x—2

_x-1

=----，

%-2

当％=&+2时，原式=勺2_1=

V2+2-2V22

【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法.

19.(6分)如图，在AA8C中，AB=AC,ND4C是AA3C的一个外角.实践与操作：根

据要求尺规作图，并在图中标明相应字母(保留作图痕迹，不写作法).

(1)作。4c的平分线A"；作线段AC的垂直平分线，与4W交于点尸，与3c边交于

点E.

(2)连接AE、CF,判断四边形AEB的形状并加以证明.

D

【考点】作图-复杂作图；等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质

【解答】解：（1）如图，射线AM,直线所即为所求作.

(2)结论：四边形AEC尸是菱形.

理由：丁斯垂直平分线段AC,

.\EA=EC,FA=FC,

・・・A5=AC,

:.AB=ZACB,

­/AM平分ADAC,

:.ZDAM=ZCAM，

・・・ZZMC=ZB+ZACB,

:,^CAM=ZACB,

AMIIBC，

：.ZAFE=ZFEC,

・・・E4=EC,EFLAC,

二ZAEF=NFEC,

:.ZAEF=ZAFE,

:.AE=AF,

.\AE=AF=FC=CE,

，四边形AECF是菱形.

【点评】本题考查作图-复杂作图，菱形的判定等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用

所学知识解决问题.

20.(6分)某校为了解初三300名学生每天做家庭作业的时间情况，从中随机抽取50名学

生进行抽样调查，按做作业的时间r(单位：小时)，将学生分成四类：A类(Q"<1)；B类

(1„/<2)；C类(2»,f<3)；。类(3,f<4)；绘制成尚不完整的条形统计图如图.

根据以上信息，解答下列问题：

(1)补全条形统计图，并估计初三学生做作业时间为。类的学生共有多少人？

(2)抽样调查的A类学生中有3名男生和1名女生，若从中任选2人，求这2人均是男生

的概率.

【考点】V5：用样本估计总体；V8：频数(率)分布直方图；VC：条形统计图；X6：列

表法与树状图法

【解答】解：(1)由题意可知。类的人数为：50-4-13-25=8(人)，补全条形统计图如

(2)画树状图得:

开始

男男男女

/F\/1\/1\/N

男男女男男女男男女男男男

..•共有12种等可能的结果，选出的2名学生中均是男生有6种情况；

:.P（两个男生）

122

【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出

",再从中选出符合事件A或3的结果数目机，然后根据概率公式求出事件A或3的概

率.也考查条形统计图.

21.（8分）为全面推进“三供一业”分离移交工作，甲、乙两个工程队承揽了某社区2400

米的电路管道铺设工程.已知甲队每天铺设管道的长度是乙队每天铺设管道长度的1.5倍，

若两队各自独立完成1200米的铺设任务，则甲队比乙队少用10天.

（1）求甲、乙两工程队每天分别铺设电路管道多少米；

（2）若甲队参与该项工程的施工时间不得超过20天，则乙队至少施工多少天才能完成该项

工程？

【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用

【解答】解：（1）设乙队每天铺设电路管道x米，则甲队每天铺设电路管道1.5x米，

依题意，得：幽-幽

x1.5%

解得：x=40,

经检验，x=40是原方程的解，且符合题意，

/.1.5%=1.5x40=60.

答：甲队每天铺设电路管道60米，乙队每天铺设电路管道40米.

（2）设乙队施工加天正好完成该项工程，

依题意，得：---------„20,

60

解得：/«..30.

答：若甲队参与该项工程的施工时间不得超过20天，则乙队至少施工30天才能完成该项工

程.

【点评】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准

等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式.

22.(10分)如图，点A(2,〃)和点。是反比例函数旷=①⑺>0,x>0)图象上的两点，一次

X

函数y=fcr+3(Zw0)的图象经过点A,与y轴交于点3,与x轴交于点C过点。作。E_Lx轴,

垂足为£,连接。4、OD.已知A6MB与AODE的面积满足SA8B：SA.=3：4.

(1)求加；

(2)已知点P(6,0)在线段OE上，当ZPDE=NCBO时,求点。的坐标.

【解答】解：(1)由一次函数y=fcr+3得，点3的坐标为(0,3),

•.•点A的坐标是(2,〃)，

'''SMAH=gx3x2=3，

・,•q-6•&qODE—-，3•V-4，.

•，,S〉ODE=4»

•.•点。是反比例函数)，='(加>0/>0)图象上的点，

X

1c)

-W=SAODE=4,

解得，777=8；

(2)由(1)知，反比例函数解析式是y=号，

X

2〃=8,

解得，n=4.

.•.点A的坐标为(2,4),将其代入丁=区+3,得到2左+3=4.

解得，k=L

2

二.直线AC的解析式是：y=L+3,

2

令y=0,贝lj—x+3=0,

2

x——6，

C(-6,0),

.\OC=6，

由(1)知，OB=3.

设则£>E=Z?,PE=a—6,

・.・ZPDE=NCBO,

℃pp

tanZPDE=tanZCBO,BP—=—，

OBDE

6a-6

-=----,

3b

整理得，a-2b=6,

•.•点。在第一象限,

.•.0(8,1).

【点评】本题考查的是反比例函数系数&的几何意义、解直角三角形的应用，要灵活掌握待

定系数法确定函数关系式，函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数％的几何意义，三角

形的面积公式.

23.(10分)/记为O。的直径，点C、。为OO上的两个点，AD交BC于点F,点E在AB

上，DE交.BC于点、G,S.ZDGF=ZCAB.

(1)如图1.求证：DE±AB.

(2)如图2.若平分NC4B.求证：BC=2DE.

(3)如图3.在(2)的条件下，连接"，若Z4FO=45。，AC=8,求O尸的长.

【考点】MR：圆的综合题

【解答】(1)证明：如图1,・・・A3为。。的直径，

.*.ZACB=90°,

/.ZC4B+ZC£L4=90°,

・・・ZDGF=NCAB,ZDGF=ZBGE,

.,.ZBGE=NCAB，

:.ZBGE+NCBA=90。,

・.NG£B=90。，

:.DE±AB；

(2)证明：如图2,连接OD交BC于H,连接5。,

图2

・.・A£)平分NC4B,

/.CD=BDf

，OD工BC,BH=CH,

\DE±ABfOD=OB,

SM)BD=-ODxBH——OBxDE,

:,BH=DE,

:.BC=2DE.

(3)解：如图3,作用_1_4?于A,QS_L4)于S,

c

OR

图3

・・・AE＞平分NC4B,

.\ZCAD=ZBAD,

设NC4D=x,

:.ZFBO=90°-2x,

-ZAFO=45°f

:.ZFOB=450+x,

ZOFB=180°-(90°-2x)-(45。+x)=45。+x,

:.NFOB=/OFB,

：.BF=BO=OA,

•・・/FRB=ZACB=90。,/FBR=ZABC,

../SBFRs^BAC,

.BF_FR

一~AB~~AC'

•.AC=8,

1FR

—=——，

28

.・.FR=4,

；.CF=FR=4,

AT=5/42+82=4右,

设SO=f,

•/ZAFO=45°,

,\FS=OS=t,

tanZCAF=tanZOAS=,

ACAS

AS—2t9

AF=3r=475,

4后

..t----9

3

:.0F=&=巫.

3

【点评】本题考查圆的基本性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，等腰三

角形的判定.解题的关键是灵活运用圆中的基本性质.

24.(12分)已知抛物线y=ar2+6x+c(。、b、c为常数,且axO).

(1)已知抛物线的对称轴为x=3,若抛物线与x轴的两个交点的横坐标比为1:2,求这两

个交点的坐标；

(2)己知抛物线的顶点为C,抛物线与x轴交点分别为A、B,若A4BC为等边三角形，

求证：b'-4ac=12；

(3)已知当x>-l时，)，随x的增大而增大，且抛物线与直线y=«x」+c相切于点。，

a

若OD.2&恒成立，求c的取值范围.

【考点】二次函数综合题

【解答】解：(1)设这两个交点的横坐标为N，与，

%+%2=6

根据题意，得：,玉_1,

x22

解得：n，

匕=4

这两个交点的坐标为(2,0),(4,0)；

,八俎〜b4ac-b2\Jb2-4ac

(2)由题忌得：C(-----，--------),AB=---------，

2a4a\a\

・・・AABC为等边三角形，

4ac-b?6\Jb2-4ac

一""元""~^2|7|~~，

:.b2-4ac=\2^b2-4ac=0(舍去)，

/.tr-4ac=12；

(3)由题意得：抛物线在x>-1时，y随工的增大而增大，

••・抛物线开口向上，

a>0

・二"b，

〔一五”

/.b..2a>0,

,・・抛物线y+bx+c与直线y=QX-'+C相切于点D，

a

-2I

y=ax+bx+c

联立方程组，得：1，

y=ax——+c

a

整理，得：ax2+(b—a)x4--=0,

a

.・.S-q)2—4=o,

.b-a=2b—a=-2(舍去)，

:.a+2..2a>0f

「.。〈④2,

1

=%2=----，

a

D(—,-1-----Fc),

aa

22

OI)=-7+(—1-----卜C)=——+(1—C)F(C—1)一,

aaaa

令/=工，则L..’，

a2

OD1=2t2+2(l-c)f+(c-l)2,

由于该抛物线开口向上，且顶点横坐标为3，0D.2点恒成立,

2

①若匕〉即c>2,当f=0■时，0D2=(，5..8,

2222

解得：c..5或G,-3,

c..5；

②若口,,L即c,,2,当时，OD<„=(C--)2+-!-..8,

222,24

解得：c...2五或的匕亘，

22

3—后

综上所述，仁.5或£,上更.

2

【点评】本题考查了二次函数图象和性质的综合运用，等边三角形性质，二次函数最值应用

等，含有字母系数，难度较大，解题时要有较强的运算能力和推理能力，解题关键是熟练掌

握二次函数图象和性质.

25.（12分）如图，在平行四边形A8CD中，A8=8C,点尸线段AC上的一个动点，点K

是平行四边形45CZ）边上一点，且ZABC=ZDPK.

r）Ar）p

（1）如图1,若NABC=60。，求证：——=——；

PC