第11讲 矩形、菱形、正方形-八年级数学下册同步讲义（苏科版）江苏初中数学（苏教版）

第9章中心对称图形一一平行四边形

9.4矩形、菱形、正方形

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课程标准课标解读

1.理解矩形的概念，掌握矩形的性质定

1.探究并证明矩形、菱形、正方形的性质定理：矩形的四

理与判定定理。

个角都是直角，对角线相等；菱形的四条边相等，对角线

2.理解菱形的概念，掌握菱形的性质定

互相垂直；理及判定定理。

3.理解正方形的概念，了解平行四边形、

2.矩形、菱形、正方形的判定定定理：三个角是直角的四

矩形及菱形与正方形的概念之间的从属

边形是矩形，对角线相等的平行四边形是矩形；四边相等关系，掌握正方形的性质及判定方法。

的四边形是菱形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形。

正方形具有矩形和菱形的一切性质。

野知识梅井

导

知识点01矩形的性质与判定

(一)矩形的定义

有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。

【微点拨】

矩形定义的两个要素：①是平行四边形；②有一个角是直角.即矩形首先是一个平行四边形，然后增加一个

角是直角这个特殊条件。

(-)矩形的性质

矩形的性质包括四个方面：

1.矩形具有平行四边形的所有性质；

2.矩形的对角线相等；

3.矩形的四个角都是直角；

4.矩形是轴对称图形，它有两条对称轴。

【微点拨】

（1）矩形是特殊的平行四边形，因而也是中心对称图形.过中心的任意直线可将矩形分成完全全等的两部

分；

（2）矩形也是轴对称图形，有两条对称轴（分别通过对边中点的直线）.对称轴的交点就是对角线的交点

（即对称中心）；

（3）矩形是特殊的平行四边形，矩形具有平行四边形的所有性质，从而矩形的性质可以归结为从三个方面

看：从边看，矩形对边平行且相等；从角看，矩形四个角都是直角；从对角线看，矩形的对角线互相平分

且相等。

（三）矩形的判定

矩形的判定有三种方法：

1.定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形；

2.对角线相等的平行四边形是矩形；

3.有三个角是直角的四边形是矩形。

【微点拨】在平行四边形的前提下，加上“一个角是直角”或“对角线相等”都能判定平行四边形是矩形。

（四）直角三角形斜边上的中线的性质

直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。

【微点拨】

（1）直角三角形斜边上的中线的性质是矩形性质的推论.性质的前提是直角三角形，对一般三角形不可使

用；

（2）学过的直角三角形主要性质有：①直角三角形两锐角互余；②直角三角形两直角边的平方和等于斜边

的平方；③直角三角形中30。所对的直角边等于斜边的一半；

（3）性质可以用来解决有关线段倍分的问题。

【即学即练1】如图，矩形ABC。的对角线AC、M相交于点O,若A8=4O.求N48O的度数.

【答案】60°

【分析】根据矩形的对角线互相平分同相等，可知OA=OB,从而确定△AOB为等边三角形.

【解析】解：：四边形ABCD是矩形，；.OA=OC,OB=OD,AC=BD,.-.AO=OB,

VAB=AO,.*.AB=AO=BO,

...△ABO是等边三角形,

ZABD=60°

【即学即练2】如图，在平行四边形ABC。中，E、尸分别是边A3、0c上的点，且AE=CF,/£>EB=90。,

求证：四边形DEBF是矩形

【答案】证明见解析

【分析】平行四边形A5CO,可知AB=C3,AB8；由于AE=CF，可得BE=£)F,BE\\DF,知四边

形DE8F为平行四边形，由NOE3=9()。可知四边形£>a?尸是矩形.

【解析】证明：：四边形A88是平行四边形

:.AB=CD,ABCD

VAE=CF,BE=AB—AE,DF=DC-CF

：.BE=DF

VBE=DF,BEDF

四边形DEBF为平行四边形

又•:ZDEB=90°

.,•四边形DEBF是矩形.

文、知识点02菱形的性质与判定

(-)菱形的定义

有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。

【微点拨】

菱形的定义的两个要素：①是平行四边形.②有一组邻边相等.即菱形是一个平行四边形，然后增加一对邻

边相等这个特殊条件。

(二)菱形的性质

菱形除了具有平行四边形的一切性质外，还有一些特殊性质：

1.菱形的四条边都相等；

2.菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；

3.菱形也是轴对称图形，有两条对称轴（对角线所在的直线），对称轴的交点就是对称中心.

【微点拨】

（1）菱形是特殊的平行四边形，是中心对称图形，过中心的任意直线可将菱形分成完全全等的两部分；

（2）菱形的面积由两种计算方法：一种是平行四边形的面积公式：底X高；另一种是两条对角线乘积的一

半（即四个小直角三角形面积之和）.实际上，任何一个对角线互相垂直的四边形的面积都是两条对角线乘

积的一半；

（3）菱形可以用来证明线段相等，角相等，直线平行，垂直及有关计算问题.。

（三）菱形的判定

菱形的判定方法有三种：

1.定义：有一组邻边相等的平行四边形是菱形；

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形；

3.四条边相等的四边形是菱形。

【微点拨】

前两种方法都是在平行四边形的基础上外加一个条件来判定菱形，后一种方法是在四边形的基础上加上四

条边相等。

【即学即练3】如图，四边形是菱形，4。=8,08=6,。"，48于点“，求的长.

【答案】DH=4.8

【分析】先根据菱形的性质得到A0=1AC=4,B0=^-BD=3,ZAOB=90°,即可利用勾股定理求出AB

22

的长，再由S菱除=1AC8。进行求解即可.

【解析】解：；四边形A8CQ是菱形，

AAO=-AC=4,BO=-BD=3,AC±BD,

22

ZAOB=90°,

•'­AB7Ao°+OB?=5

・；S^ABCD=AMDH=5ACBD，

ACBD

DH==4.8.

2AB

【即学即练4】如图，在，ABC。中，点E,尸分别在线段BC,49上，连接AE,CF,AE//CF,

BE+AE=AD,求证：四边形AECF是菱形.

【答案】见解析

【分析】根据平行四边形的性质可得A0=3C,AD〃BC,然后再依据平行四边形的判定可得四边形AECF

是平行四边形，对边的等式进行等量代换得出=最后依据菱形的判定定理即可证明.

【解析】证明：.・•四边形是平行四边形，

：・AD=BC,AD//BC,

・・•AE//CF,

・・・四边形AECF是平行四边形，

,:BE+AE=AD,

：.BE+AE=AD=BC=BE+EC.

:.AE=EC9

・•・四边形AEb是菱形.

*'知识点03正方形

（一）正方形的定义

四条边都相等，四个角都是直角的四边形叫做正方形。

【微点拨】

既是矩形又是菱形的四边形是正方形，它是特殊的菱形，又是特殊的矩形，更为特殊的平行四边形，正方

形是有一组邻边相等的矩形，还是有一个角是直角的菱形。

(-)正方形的性质

正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质。

1.边一一四边相等、邻边垂直、对边平行；

2.角一一四个角都是直角；

3.对角线一一①相等，②互相垂直平分，③每条对角线平分一组对角；

4.是轴对称图形，有4条对称轴；又是中心对称图形，两条对角线的交点是对称中心。

【微点拨】

正方形具有平行四边形、矩形、菱形的一切性质，其对角线将正方形分为四个等腰直角三角形。

(三)正方形的判定

正方形的判定除定义外，判定思路有两条：或先证四边形是菱形，再证明它有一个角是直角或对角线

相等(即矩形)；或先证四边形是矩形，再证明它有一组邻边相等或对角线互相垂直(即菱形)。

【即学即练3】如图，边长为4的正方形中，以对角线8。为边作菱形C,E点在同一直线

上，连接B尸

(1)求菱形BOFE的面积：

(2)求CG的长度.

【答案】(1)160.(2)472-4

【分析】(1)已知正方形的边长可求80,根据BE,DC即可求菱形尸E的面积.

(2)连接OE,可证ABCG且△OCE,得出CG=CE,可求CG的长度.

【解析】解：(1)正方形边长为4,则8/)='对+82=4后，则菱形8。/石的边长为4夜,

菱形BDFE的面积为5=472x4=16夜.

答：菱形BQFE的面积为160.

(2)连接OE,则DELBF,

，NC8G+/£>EC=9()°,

VZCDE+ZDEC=90°,

：.ZCDE=ZCBG,

又・：BC=DC,/BCG=/DCE,

:ABCG出ADCE(ASA),

・•・CG=CE=BE-BC=4&—4，

【即学即练4】已知：如图，在△ABC中，ZACB=90°,AC=BC,。为A5的中点，DE//AC,CE//AD,连

接BE,CD.求证：四边形CD3E是正方形.

【答案】见解析

【分析】根据平行四边形的判定和性质得出。斤ACCE=AD,进而利用正方形的判定解答即可.

【解析】证明：•:DE/SC,CE//AD,

••四边形ADEC是平行四边形，

\DE=AC,CE=AD,

：AD=DB,

CE二DB,

：CE//DB,

••四边形CD8F是平行四边形，

：AC=BC,

♦.BC=DE,

••平行四边形。5EC是矩形，

ZACB=90°,

*.CD=AD=DB,

,•矩形。是正方形.

..•四边形C08E是正方形.

Q能力拓展

考法01矩形的性质与判定

【典例1】如图，矩形ABC£>,延长CO至点E,使DE=CD,连接AC,AE,过点C作CP//4E交AD的

延长线于点尸，连接EF.

(1)求证：四边形ACEE是菱形；

(2)连接8E,当AC=4,NACB=30。时，求的的长.

【答案】⑴见解析(2)2/

【分析】(1)根据矩形的性质得到/4OC=90。，求得AE=AC,EF=O根据平行线的性质得到NEAO=

ZAFC,求得4E=EF=4C=CF,于是得到结论；

(2)由直角三角形的性质可求48=2,8c=26,由勾股定理可求解.

【解析】(1)证明：,四边形ABCO是矩形，

ZADC=90°,

AF±CE,

又1CD=DE,

：.AE=AC,EF=CF,

ZEAD=ZCAD,

AE//CF,

:.ZEAD=ZAFC,

：.ZCAD=ZCFA,

AC-CF,

AE=EF=AC=CF,

四边形AC正是菱形；

(2)解：AC=4,ZACB=30°,ZABC=90°,

AB=^AC=2,BC=\IACJAB2=26，

CD=AB=DE=2,

:.BE=yJCE2+BC2=V16+12=2«.

考法02菱形的性质与判定

【典例2】问题情境：

在数学课外小组活动中，老师要求大家对“菱形的剪拼”问题进行探究.

如图1,将边长为4,44=45度的菱形纸片A8CZ)沿着对角线80剪开，得到和一B'OC.将/DC

绕着点。逆时针旋转.

初步探究：

(1)“爱心小组”将..B'OC绕点。逆时针旋转，当O87/A8时，NBD?的度数为：

再次探究：

(2)“勤奋小组”将一37X?绕点。逆时针旋转至图2,连接AC,BB'，此时四边形ABB'C是矩形，求NBDB1

的度数；

深入探究：

(3)“创新小组”将-BZ)C绕点。逆时针旋转至图3,此时点B,D,B'恰好在一条直线上，延长BA,B'C

交于点E,试判断四边形AOCE的形状，并说明理由.

【答案】(1)67.5°：(2)135°；(3)菱形，见详解.

【分析】(1)由四边形48CD是菱形且A8=AD=4,NA=45。知NA8O=/AO8=67.5。，再结合

可得N8Z>8'=NB=67.5°；

(2)由AB=AO=CD=*C=4,NBAD=NDCB'=45°知NABD=NDB'C=67.5°,根据四边形是矩

形得NDBB，=NDB，B=22.5。,由三角形内角和定理可得答案；

(3)由AB=4O=C£>=8，C=4,/DC8，=45。知NA8O=NAOB=NCZ)8，=NO8C=67.5。，根据

点、B,D,夕恰好在一条直线上及三角形的内角和定理得NADC=ND4B=NE=45。，据此可证4E〃C£>,

AD//CE,继而得四边形AOCE是平行四边形，结合A£>=C£>=4知四边形AQCE是菱形.

【解析】解：（1）二•四边形ABCQ是菱形，且AB=AQ=4,ZA=45°,

1QQO_/A

/./ABD=/ADB=-------------=67.5°,

2

：./BDB'=NB=675°,

故答案为：67.5°；

(2),：AB^AD=CD=B'C^4,N8A£)=NOC8'=45°,

ZABD=NOB'C=67.5°,

:四边形/88'C是矩形,

NDBB'=NDB'B=225°,

：.NBDB'=1800-NDBB'-NDB'B=135°；

(3)'：AB=AD=CD=B'C=4,ZBAD=ZDCB'=45°,

：./ABD=NADB=NCDB'=NDB'C=61.5°,

•:点、B,D,夕恰好在一条直线上,

，4ADC=ND4B=N£=45°,

：.AE//CD,AD//CE,

四边形ADCE是平行四边形,

又；4D=CO=4,

•，•四边形AOCE是菱形.

考法03正方形的性质与判定

【典例3］已知在正方形A8C。和正方形CEFG中，直线BG,OE交于点H.

图1图2'E

(1)如图1,当8,C,E共线时，求证：BHLDE-,

(2)如图2,把正方形CEfG绕C点顺时针旋转。度(0<a<90),M,N分别为BG,。石的中点，探究

HM,HN,CM之间的数量关系，并证明你的结论.

【答案】(1)见解析；(2)HM2+HN2=2CM\证明见解析

【分析】(1)根据正方形的性质得到3C=C£>，CG=CE,N8CG=NDCE=90。，根据全等三角形的性质

得到NC8G=ZCDE，根据余角的性质即可得到结论；

(2)根据正方形的性质得到3C=CD,CG=CE,/BCD=/GCE=90。,由全等三.角形的性质得到

/CBG=/CDE,BG=DE,求得NMHN=90。,得到=根据全等三角形的性质得到CN=CN,

ZBCM=/DCN,根据勾股定理即可得到结论.

【解析】(1)证明：在正方形ABC。和正方形C£FG中，BC=CD,CG=CE,/BCG=4DCE=90。,

..^BCG^DCE(SAS),

4CBG=/CDE,

ZCDE+ZDEC=90°,

.,.ZHBE+ZBEH=9()。，

.・./BHE=90。,

:.BHLDE.

(2)解：结论：MH?+HN?=2CM?,

理由：在正方形A8CQ和正方形CEFG中，BC=CD,CG=CE,NBCD=/GCE=90。,

/BCG=/DCE,

M3CG^ADCE(SAS),

:./CBG=/CDE,BG=DE,

ZDPH=/CPM,

:.ZDHP=ZBCP=90Pf

/.ZAtfW=90°,

M,N分别为BG,。石的中点，

:.BM=-BG,DN=>DE,

22

・•.BM=DN,

BC=CD,

ABCM三ADCN(SAS),

:.CM=CN,ZBCM=ZDCN,

.".ZMC7V=ZBCP=9O°,

:.MH、HN?=CM?+CN?=2CM?;

M分层提分

题组A基础过关练

1.下列命题中是真命题的选项是（）

A.一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

B.对角线互相垂直且相等的四边形是正方形

C.对角线相等的平行四边形是矩形

D.三条边都相等的四边形是菱形

【答案】C

【分析】利用平行四边形、矩形、菱形及正方形的判定方法分别判断后，即可确定正确的选项.

【解析】解：A.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，原命题是假命题，不符合题意；B.对角线

互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，原命题是假命题，不符合题意；C.对角线相等的平行四边形是

矩形，是真命题，符合题意；D.四条边都相等的四边形是菱形，原命题是假命题，不符合题意；故答案选：

C.

2.如图，矩形A8C。中，DELAC^-E,若N4DE=2NEOC,则/BOE的度数为（）

【答案】B

【分析】根据已知条件可得NADE以及NEDC的度数，然后求出a8c各角的度数便可求出N8DE.

【解析】解：在矩形A8CD中，ZADC=90°,

"?ZADE=2ZEDC,

AZADE=60°,NEDC=30。,

'：DELAC,

：.ZDCE-90°-30°-60°.

•/OD=OC,

，NQDC=NOa>=60。，

/.ZDOC=60°,

NBDE=90°-ZDOC=30°.

故选：B.

3.如图，四边形ABC。是菱形，AC与8。相交于点O,添加一个条件：,可使它成为正方形.

【答案】BAD=90

【分析】根据“有一个角是直角的菱形是正方形“可得到添加的条件.

【解析】解：由于四边形A8CZ）是菱形，

如果NBAD=90,

那么四边形ABC。是正方形.

故答案为：ZBAD=90.

4.一个菱形的两条对角线的长分别为3和6,这个菱形的面积是.

【答案】9

【分析】根据菱形面积的计算公式：两对角线乘积的一半，即可计算出面积.

【解析】S=gx3x6=9

故答案为：9.

5.如图，在菱形中，点E'为边A8的中点，且力EJ_A8,则NABC的大小为度.

【答案】120

【分析】连接班），根据线段垂直平分线的性质，可得AQ=8£>,从而得到△A8O是等边三角形，即可求解.

【解析】解：如图，连接BZ）,

在菱形ABCD中，AD=AB,ZBAD+ZABC^18O°

丁点E为边A8的中点，且DEJ_AB,

•••QE垂直平分48,

：.AD=BD,

：.AD=BD^AB,

，△A8。是等边三角形，

ZAW=60°,

二ZABC=\20o.

故答案为：120.

题组B能力提升练

1.下列条件中，不能判定平行四边形A8C。为矩形的是（）

A.NA=NCB.ZA=ZBC.AC=BDD.ABLBC

【答案】A

【分析】由矩形的判定方法分别对各个选项进行判断，即可得出结论.

【解析】解：A、在nABCO,若NA=NC,

则四边形A8CO还是平行四边形；故选项A符合题意；B、在nABCZ）中，AD//BC,

：.NA+/B=180。，

二NA=NB=90°,

...□ABCD是矩形，故选项B不符合题意；C、在。ABCO中，AC=BD,

则nABCO是矩形；故选项C不符合题意；D、在DA8CC中，AB1BC,

：.4BC=90。，

.•户ABCO是矩形，故选项D不符合题意；故选：A.

2.如图，点E、F分别在正方形A8CD的边QC、8c上，AGLEF,垂足为G,且AG=AB,则/EAF=（）

度

D

A.30°B.45°C.50°D.60°

【答案】B

【分析】根据正方形的性质以及乩判定，可得出AABF/ZkAGF,故有NBAF=NGAF,再证明

^AGE^/XADE,有NGAE=/DAE,即可求/£4F=45°

【解析】解：在正方形ABC。中，ZB=ZD=ZBAD=90°,AB=AD,

,：AGLEF,：.ZAGF=ZAGE=90°,

\'AG=AB,：.AG=AB=AD,

在Rt&ABF与/?/△4GF中，

\AB=AG

[AF^AF

：./\ABF^/\AGF,

：.ZBAF=ZGAF,

同理可得：△AGEt△ADE,

/.ZGAE=ZDAE；

：.ZEAF=ZEAG+ZFAG=-ZBAD=45°,

2

.♦.NE4尸=45°

故选：B

3.已知，如图长方形ABC。中，AB=3,AD=9,将此长方形折叠，使点8与点。重合，折痕为EF,则

8E尸的面积为（）

【答案】B

【分析】根据翻折的性质可得，BE=DE,设AE=x,则EO=8E=9-x,在直角△A8E中，根据勾股定理可

得32+/=(9-x)2,即可得到8E的长度，由翻折性质可得，NBEF=NFE。,由矩形的性质可得/尸EO

=ZBFE,即可得出ABE尸是等腰三角形，BE=BF,即可得出答案.

【解析】解：设AE=x,则瓦＞=8E=9-x,

根据勾股定理可得，32+/=(9-x)2,

解得：x—4,

由翻折性质可得，NBEF=NFED,

'：AD//BC,

：.ZFED=ZBFE,

:.NBEF=/BFE,

：.BE=BF=5,

：.SABFE=^X5X3=7.5.

故选：B.

4.如图，菱形ABC。的对角线AC、80相交于点。，AC=6,BD=8,EF为过点。的一条直线，则图

中阴影部分的面积为()

A.4B.6C.8D.12

【答案】B

【分析】根据菱形的性质可证出ACFOtAAEO,可将阴影部分面积转化为ABOC的面积，根据菱形的面积

公式计算即可.

【解析】解：・四边形4)8为菱形，

:.OC=OA,AB//CD,NFCO=NOAE,

ZFOC=ZAOE,

CFO=.AEO[ASA),

•・•q°CFO―~q°AOE，

••SCFO+SBOF=SBOC，

S=—x--AC-BD=—x—x6x8=6

8no"r4242

故选：B.

5.如图，菱形ABC。的面积为24cm2,对角线8。长6cm,点。为8。的中点，过点A作AEJ_BC交C8

的延长线于点E,连接0E,则线段。石的长度是（）

A.3cmB.4cmC.4.8cmD.5cm

【答案】B

【分析】由菱形的性质得出BD=6cm,由菱形的面积得出AC=8cm,再由直角三角形斜边上的中线等于斜

边的一半即可得出结果.

【解析】解：・・•四边形48。。是菱形，

ABD1AC,

VBD=6cm,S^^ABCD=yACxBD=24cm2,

・"C=8cm,

VAE±BC,

JZAEC=90°,

OE=yAC=4cm,

故选：B.

6.如图，正方形A8CO的两条对角线AC,8。相交于点。，点E在8。上，KBE=ADf则NACE的度数

为（）

【答案】A

【分析】利用正方形的性质证明/。8。=45。和8£=BC,进而证明NB£C=67.5。.

【解析】解：；四边形ABC。是正方形，

：.BC=AD,ZDBC=45°,

,/BE^AD,

：.BE=BC,

：.ZBEC=ZBCE=(180°-45°)+2=67.5°,

VAC1BD,

二/COE=90。，

，ZAC£=90°-NBEC=90。-67.5°=22.5°,

故选：A.

7.如图，在矩形A8CD中，ZA5C的角平分线BE交AO于点E,连接EC,EC恰好平分/BED,若A3=2,

则DE的长为.

【答案】272-2

［分析］根据矩形的性质得ADUBC,AD=BC,NA=90。，根据BE是ZABC的角平分线，得

ZABE=ZCBE=45°,则NABE=NCBE=45。，AE=AB=2,在用中，根据勾股定理得BE=20,

根据平行线的性质得NDEC=N£CB,由因为EC平分则/8£C=NOEC,等量代换得N8EC=NECB,

所以BC=BE=2g，AD=2也，即可得.

【解析】解：：四边形ABC。为矩形,

/.AD//BC,AD=BC,ZA=90°.

VAB=2.8E是N/IBC的角平分线，

二ZABE=ZCBE=45°,

AE=AB=2,

在吊84E中，根据勾股定理得，

BE=>JAE2+AB2=V22+22=272，

"?AD/IBC,

NDEC=NECB,

■:EC平分/BED,

二NBEC=/DEC,

：.NBEC=NECB,

，BC=BE=2&,

二AD=2y[2,

DE=AD-AE=2及-2，

故答案为：2也-2.

8.如图，在矩形48。中，对角线AC,80相交于点。，若NAOB=60。，A3=4cm,则AC的长为

【分析】由四边形A88为矩形，根据矩形的对角线互相平分且相等，可得OA=OB,由NAO3=60。，根

据有一个角为60。的等腰三角形为等边三角形可得三角形A05为等边三角形，根据等边三角形的每一个角

都相等都为60。可得出4A0为60。，在直角三角形ABC中，根据直角三角形的两个锐角互余可得ZACB为

30。，根据30。角所对的直角边等于斜边的一半，由的长可得出AC的长.

【解析】解：•四边形A8C。为矩形，

:.OA=OC,OB=OD'HAC=BD,ZABC=90°,

:.OA=OB=OC=OD,

又-ZAOB=60°,

.♦.A4OB为等边三角形，

ZBAO=60°,

在直角三角形43c中，Z4BC=90°,ZBA<9=60°.

ZACB=30°,

AB=4cm,

则AC=2AB=8cm.

故答案为：8.

9.如图，在矩形A5CD中，AB=5,BC=4,将矩形43CD翻折，使得点B落在8边上的点E处，折痕

AF交BC于点、F,则/C=

3

【答案】-

【分析】在RtXAOE中，AD2+OOFE2,可得DE=3,CE=CD-DE=2,设FC=x,则EF=BC-FC=4-x,在R3ECF

中，E^EC^FC2,可得(4-x)2=22+x2,解方程即可.

【解析】解；△A8F也△AEF,

：.AE=AB=5,

在矩形A8C£>中，AD=BC=4,

在/?/△ADE中，

Aiy+DE2=AE2,

：.DE=3,CE=CD-DE=2,

设FC=x,则EF=BC-FC=4-x,

在RtAECF中,

£F2=EC2+FC2,

即(4-x)2=22+x2,

8k12,

3

故此答案为

10.如图，以边长为2的正方形的中心。为端点，引两条相互垂直的射线，分别与正方形的边交于A、B

两点，则线段AB长度的最小值为.

【答案】72

【分析】根据正方形的对角线平分一组对角线可得NOC0=NODB=45。，正方形的对角线互相垂直平分且相

等可得NCOZ)=90。，OC=OD,然后根据同角的余角相等求出NCOA=NOO8,再利用“ASA”证明△CO4和

△OOB全等，根据全等三角形对应边相等可得OA=OB,从而得到AAOB是等腰直角三角形，再根据垂线

段最短可得OA_LCD时，。4最小，然后求出OA,再根据等腰直角三角形的斜边等于直角边的应倍解答.

【解析】解：如图，

••,四边形CDEF是正方形,

NOCD=NODB=45°,NCO£>=90",OC=OD,

OA1OB

乙4OB=90',

ZCOA+NAO。=90°,ZAOD+ZDOB=90°

:.ZCOA=ZDOB,

在AC。1与ADO5中,

NOCA=ZODB

•OC=OD

ZAOC=ZDOB

:.\COA^\DOB{ASA),

OA=OB,

,：NA08=90。，

.••△A08是等腰直角三角形，

由勾股定理得：A5=JOA?+Qfi2=叵OA，

要使AB最小，只要OA取最小值即可，

根据垂线段最短，O4J_CO时，0A最小，

:正方形CDEF,

：.FC±CD,0D=0F,

：.CA=DA,

OA=—CF=1,

2

•,AB=y/2,OA--\/2•

11.如图，在正方形ABC。中，点尸为CO上一点，BF与AC交于点E.

(1)4cB的大小=°；

⑵求证：AABE^^ADE；

(3)若NCB尸=20。，则NAED的大小=°.

【答案】(1)45(2)证明见解析(3)65

【分析】(1)由正方形的性质求解即可；

(2)由正方形A8CO可知，AB=AD,ZEAB=ZEAD,进而可证*E4s四,E4Q(SAS')；

(3)由一E4B咨E4£＞可知Z4ED=NA£B,由三角形外角的性质可知=N£BC+/3CE,计算求解

即可.

【解析】⑴解：♦.•四边形ABC。是正方形，

/.NBCD=90°,ZACB--ZBCD=1x90°=45°

22

故答案为45.

⑵证明：：四边形4BCO是正方形

/.AB=AD,ZEAB=ZEAD

在，.E钻和中

EA=EA

；,ZEAB=ZEAD

AB=AD

Ai.EAB^.EAD(SAS).

(3)解：EAB^EAD

二ZAED=ZAEB

,?ZAEB=ZEBC+ZBCE=20°+45°=65°

二ZAED=65°

故答案为65.

12.已知：如图，菱形ABC。中，N8=60。，点E,尸在边8C,CD上，且/E4F=60。；求证：AE=AF.

【答案】见解析

【分析】连接AC,如图，根据菱形的性质得4B=8C,而/B=60。,则可判定A48C为等边三角形，得到N2=60。,

Zl+Z4=60°,AC=AB,易得NACF=60。，Z1=Z3,然后利用“ASA”可证明△AEB^/\AFC,于是得到AE=AF.

【解析】解：证明：连接AC,如图，

•••四边形A8C。为菱形,

：.AB=BC,

VZB=60°,

：2BC为等边三角形，

AZ2=60°,Zl+Z4=60°,AC=AB,

：.ZACF=60°,

'：NEAF=60°,即Z3+Z4=60°,

.*.N1=N3,

在ZMEB和△AFC中，

Z1=Z3

<AB=AC,

ZB=NACD

：.AAEB^Z\AFC,

：.AE=AF.

13.如图，在平行四边形4BCD中，BE1AD,BFLCD,垂足分别为E,F,且AE=CF.

(1)求证：平行四边形ABC。是菱形；

(2)若08=10,AB=\3,求平行四边形ABC。的面积.

【答案】(1)见解析(2)120

【分析】(1)根据平行四边形的性质可得NA=NC,利用全等三角形的判定和性质得出aMEMCB尸，

A8=C8,依据菱形的判定定理(一组邻边相等的平行四边形的菱形)即可证明；

(2)连接AC,交BO于点”，利用菱形的性质及勾股定理可得AC=2A，=24,再根据菱形的面积公式求

解即可得.

【解析】(1)证明：：四边形ABCO是平行四边形，

，ZA=NC,

VBE±AD，BFLCD,

：.ZAEB=ZCFB=90°,

在，ABE和-CM中，

ZA=ZC

-AE=CF,

NAEB=ZCFB

.ABEmCBF,

：.AB=CB,

，平行四边形ABC。是菱形；

⑵解：如图所示：连接AC,交BD于点、H,

：.AC1BD,

VAB-13,3£>=10,

BH=DH=5,

在用A8H中，

AH=-JAB2-BH2=V132-52=12-

/•AC=2AH=24,

二平行四边形ABCD的面积为：S=-ACBD=-x24xl0=120.

22

14.如图，AM//BN,C是BN上一点，8力平分NABN且过AC的中点。，交AM于点D,DELBD,交BN

于点E.

(1)求证：四边形A8CZ)是菱形.

⑵若DE=AB=2,求菱形ABCD的面积.

【答案】⑴见解析⑵2百

【分析】（1）由ASA可证明△AOOg/\C3O,再证明四边形ABC。是平行四边形，再证明AO=A5,即可得

出结论；

（2）由菱形的性质得出4CL3。，证明四边形ACE。是平行四边形，得出AC=DE=2,AD=EC,由菱形的

性质得出£C=C3=4B=2,得出瑁片4,由勾股定理得80=26，即可得出答案.

【解析】（1）解：证明：・・•点。是AC的中点，

:,AO=CO,

,:AM〃BN,

：.ZDAC=ZACBf

在△4。。和^COB中，

"AO=4BCO

AO=CO,

乙AOD=CCOB

:•△ADOQXCBOCASA）,

:・AD=CB,

又•：AM〃BN,

・・・四边形ABCD是平行四边形，

•:AM//BN,

：./ADB=NCBD,

BD平分NABN,

：./ABD=/CBD,

：./ABD=/ADB,

：.AD=AB,

・•・平行四边形ABC。是菱形；

（2）由（1）得四边形是菱形，

：.AC1.BD,AD=CB,

又阻

:・AC〃DE,

,:AM〃BN,

・・・四边形ACED是平行四边形，

：.AC=DE=2,AD=EC,

,EC=CB,

・・•四边形ABC。是菱形，

:・EC=CB=AB=2,

AEB=4,

在&ADEB中,由勾股定理得BD=/BE2-DE?=2百，

：.SABCD=^AC-BD=$2x2百=26.

题组C培优拔尖练

1.如图，矩形ABC。中，4?=3,点E、尸分别在边AB、C。上，点。是EF与4c的交点，且点。是线

段EF的中点，沿AF,CE折叠，使AD.CB都落在AC上，且D、B恰与点。重合.下列结论：①ZDC4=30；

②点E是AB的中点；③四边形AECF是菱形；④AO的长是6.其中正确的结论有().

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】由四边形48CD是矩形，。是E尸的平分点C尸〃AE,可得OF=OE,可知。是AC的平分点，

可证AO尸/ACOE(SAS),OE=OF,AO=AO,可得ZAOP=NCOE=90°,贝hAO/7丝AAOE(SAS),

可知ND4F=NOAE=NOAF=gx9()o=30。，则①正确；因为"C4=30。=NQ4E,可得AE=2QE,由

△A8翻折可知，/.AOFmMOD以及，BCEmCOE,所以AOF/\AODBCE,COE,

OE=BE,则E是AB的三等分点，则②错误；因为AC、E尸相互垂直平分，AE=AF,四边形AEC产是菱

形，则③正确；由OF=8E=：A8=1,ND4尸=30。可得AF=2,由此可知AD=故④正确.

【解析】解：根据题意得：Q4=AQ,OC=8C,

•.•四边形A5CD是矩形，

ACF//AE,AD=BC.

：.CM=OC,

♦.♦0是EF的平分点，

OF=OE,

■:一AOF安aCOE(SAS),

：・OE=OF,AO=AO,

：.NAOF=NCOE=90。,

：.^AOF^/^AOE(SAS),

NDAF=NOAE=ZOAF=」x90°=30°,

3

.•.①正确；

/.ZDC4=30°=ZGWE,

AE=2OE,

；二AO尸是由^AOD翻折的，

A^AOF/\AOD,同理，BCESE,

AOFgAAQD〈BCE丝^COE,

二OE=BE,

是A8的三等分点，

②错误；

；AC、EF相互垂直平分，AE=AF,

.••四边形AECF是菱形，

.•.③正确；

VDF=BE=-AB=\,ZDAF=30°,，AF=2,

3

AD=C，

，④正确，

故选：C.

2.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6,BC=8,点M为AB上一点，将△BCM沿CM翻折至△ECM,ME

与A。相交于点G,CE与AQ相交于点F,且AG=GE,则的长度是()

B

A,史

B.4D.5

5

【答案】C

【分析】由ASA证明△GAM丝/XGEF(ASA),得出GM=GF,4F=ME=8M=x,E/M4M=6-x,因此。尸=8-x,

CF=x+2,在加△OFC中，由勾股定理得出方程，解方程即可.

【解析】解：设BM=x,

由折叠的性质得：ZE=ZB=90°=ZA,

ZA=ZE

在△GAM和△GEF中，,AG=GE

ZAGM=NEGF

.,.△GAM^AGEF(/ISA),

GM=GF,

AF-ME=BM=x,EF=AM=6-x,

二。尸=8-x,CF=8-(6-x)=x+2,

在孜△OFC中，由勾股定理得：（x+2）2=（8-x）2+62,

24

解得：X=y,

，BM=—.

5

故选：C.

3.如图，正方形A3CQ,对角线AC,8。相交于点O,过点3作NA30的角平分线交QA于点£过点A

作AGLBE,垂足为F,交8。于点G,连接EG,则LA8G：S”BEG等于（）

A.3：5B.y/2.­2C.1：2D.(及+1)：1

【答案】D

【分析】由BE平分NABZ）,8/_LAG得加=8G,根据正方形的性质得NBQE=NAOG=90。，BO=AO,

故/BEO=ZAGO,根据AAS得石壬4X7,故EO=GO,设AB=A£>=3G=M进而可用含。的式子表

示出线段AO和E0的长，要求SA.：S.G的比值即求A0和EO的比值，代入即可求解.

【解析】平分NABO,BF±AG,

・・..ABG是等腰三角形，

・・・BA=BG,

四边形ABC。是正方形，

:•/BOE=ZAOG=90。,BO=AO,

:.ZBOE=ZBFG=90°f

：./BEO=ZAGO,

在/\BOE与,AOG中，

ZBEO=/AGO

</BOE=NAOG,

BO=AO

：..BOE^AAOG(AAS)t

：.EO=GO,

}^AB=AD=BG=2a1则AC=8。=2缶，

*'•AO=BO—J2a，

EO=GO=BG-BO=(2-0)a,

•；s7ii>oABC2=LBGAO，sBEC2=、BGEO，

,SABG：SBEG=AO:EO='j2a:(2-y/2)a=(>/2+\yA.

故选：D.

4.如图，在给定的正方形ABC。中，点E从点8出发，沿边8c方向向终点C运动，DF_LA£交AB于点

F,以FD,FE为邻边构造平行四边形DFEP，连接CP,则ZDFE+ZEPC的度数的变化情况是()

A.一直减小B.一直减小后增大C.一直不变D.先增大后减小

【答案】A

【分析】根据题意/力尸£+/£尸。=/。/＞。，作户”，8。交8。的延长线于“，证明CP是N0CH的角平分

线即可解决问题.

【解析】解：作尸”，3。交8。的延长线于”，

・・•四边形ABC。是正方形，

JAD=AB=BC,

ZDAF=ZABE=ZDCB=ZDCH=90°f

■:DFLAE.

：.ZBAE+Z/ME=90°,ZADF+ZDAE=90°,

：•ZBAE=ZADF，

:.AADF^ABAE(ASA),

,DF=AE,

・・・四边形。在P是平行四边形，

:・DF=PE,ZDFE=/DPE,

VZBAE+ZAEB=90°,ZAEB+NPEH=90。,

・•・ZBAE=ZPEH,

VZAB£=Z//=90°,AE=EP.

：./SABE=AEHP(AAS)y

:・PH=BE,AB=EH=BC,

：.BE=CH=PH,

：.NPCH=45。,

*//DC”=90。，

:.NDCP=/PCH,

・・・。尸是ZDCH的角平分线,

点尸的运动轨迹是ZDCH的角平分线,

,?ZDFE+NEPC=ZDPE+ZEPC=NDPC,

由图可知，点P从点。开始运动，所以NDPC一直减小，

故选：A.

5.如图，己知E为邻边相等的平行四边形4BCO的边上一点，且/D4E=/B=8O。，那么NCDE的度数

为（）

A.20°B.25°C.30°D.35°

【答案】C

【分析】依题意得出AE=AB=AD,ZADE=50°,又因为/8=80。故可推出/AOC=80。，NCDE=NADC-NADE,

从而求解.

【解析】•，4£>〃BC,

，ZAEB=ZDAE=ZB=80°,

：.AE=AB=AD,

在三角形AEZ）中，AE=AD,ZDAE=80°,

：.ZADE=50°,

又：N8=80°,

，ZADC=80°,

ZCDE^ZADC-ZADE=30°.

故选：C.

6.如图，在四边形ABCD中，AD//BC,BC=6,△BOC面积为21,A8的垂直平分线MN分别交A8,AC

于点M,N,若点尸和点。分别是线段MN和8c边上的动点，则PB+P。的最小值为（）

A.5B.6C.7D.8

【答案】C

【分析】连接A。，过点D作。HL3C,根据垂直平分线的性质得到幺=尸8,再根据

P8+PQ=AP+PQ2AQ计算即可；

［解析］连接AQ,过点D作。H,

,:BC=6,ABOC面积为21,

：.-.BC^DH=2\,

2

，0/7=7,

「MV垂直平分AB,

/.PA=PB,

二PB+PQ=AP+PQ>AQ,

二当4。的值最小时，P8+PQ的值最小，根据垂线段最短可知，当AQLBC时，A。的值最小，

•/AD//BC,

：.AQ=DH^1,

••.PB+P。的值最小值为7；

故选C.

7.如图，在菱形A8CO中，ZAfiC=60°,E为A8边的中点，P为对角线B。上任意一点，AB=4,则PE+B4

的最小值为.

AD

【答案】2G

【分析】根据轴对称的性质，首先准确找到点P的位置，根据菱形的性