初中数学几何模型大全及经典题型

精编初中数学几何模型大全及经典题型汇总

全等变换

平移：平行等线段（平行四边形）

对称：角平分线或垂直或半角

旋转：相邻等线段绕公共顶点旋转

对称全等模型

角分线模型

过角施某点作■线

/一嫡他作■枝船地州那地

说明：以角平分线为轴在角两边进行截长补短或者作边的垂线,

形成对称全等。两边进行边或者角的等量代换，产生联系。垂直

也可以做为轴进行对称全等。

对称半角模型

A

说明：上图依次是45。、30。、22.5。、15。及有一个角是30。直角

三角形的对称（翻折），翻折成正方形或者等腰直角三角形、等

边三角形、对称全等。

旋转全等模型

半角：有一个角含1/2角及相邻线段

自旋转：有一对相邻等线段，需要构造旋转全等

共旋转：有两对相邻等线段，直接寻找旋转全等

中点旋转：倍长中点相关线段转换成旋转全等问题

旋转半角模型

说明：旋转半角的特征是相邻等线段所成角含一个二分之一角，

通过旋转将另外两个和为二分之一的角拼接在一起,成对称全等。

自旋转模型

构造方法：

遇60度旋60度，造等边三角形

遇90度旋90度，造等腰直角

遇等腰旋顶点，造旋转全等

遇中点旋180度，造中心对称

B

共旋转模型

说明：旋转中所成的全等三角形，第三边所成的角是一个经常考

察的内容。通过“8”字模型可以证明。

模型变形

D

a

说明：模型变形主要是两个正多边形或者等腰三角形的夹角的变

化，另外是等腰直角三角形与正方形的混用。

当遇到复杂图形找不到旋转全等时，先找两个正多边形或者等腰

三角形的公共顶点，围绕公共顶点找到两组相邻等线段，分组组

成三角形证全等。

中点旋转:

说明：两个正方形、两个等腰直角三角形或者一个正方形一个等

腰直角三角形及两个图形顶点连线的中点，证明另外两个顶点与

中点所成图形为等腰直角三角形。证明方法是倍长所要证等腰直

角三角形的一直角边,转化成要证明的等腰直角三角形和已知的

等腰直角三角形（或者正方形）公旋转顶点，通过证明旋转全等

三角形证明倍长后的大三角形为等腰直角三角形从而得证。

中点模型

倍长中线连中点构造中位竣倍长一边树中位线陆t三靖台一内造斜边中线

几何最值模型

对称最值（两点间线段最短）

线段和差模型

X.

HlRU

MS*

同侧、异侧两线段之和最短模型同侧、异侧两线段之举最小模型

轴砸模型

乩春

//八L/>

UX1----1---

\'，•

、二『r

•f-A

三线段之和过桥模型四边形周长三角形周长

最短模型最小模型最小模型

对称最值（点到直线垂线段最短）

说明：通过对称进行等量代换，转换成两点间距离及点到直线距

离。

旋转最值（共线有最值）

说明：找到与所要求最值相关成三角形的两个定长线段，定长线

段的和为最大值，定长线段的差为最小值。

剪拼模型

三角形一四边形

四边形T四边形

说明：剪拼主要是通过中点的180度旋转及平移改变图形的形状。

矩形一正方形

H

说明：通过射影定理找到正方形的边长，通过平移与旋转完成形

状改变

正方形+等腰直角三角形一正方形

面积等分

旋转相似模型

DE

B

说明：两个等腰直角三角形成旋转全等，两个有一个角是300角

的直角三角形成旋转相似。

推广：两个任意相似三角形旋转成一定角度，成旋转相似。第三

边所成夹角符合旋转“8”字的规律。

相似模型

A

AAA

说明：注意边和角的对应，相等线段或者相等比值在证明相似中

起到通过等量代换来构造相似三角形的作用。

说明：（1）三垂直到一线三等角的演变，三等角以30度、45

度、60度形式出现的居多。

（2）内外角平分线定理到射影定理的演变，注意之间的相同与

不同之处。另外，相似、射影定理、相交弦定理（可以推广到圆

寨定理）之间的比值可以转换成乘积，通过等线段、等比值、等

乘积进行代换，进行证明得到需要的结论。

说明：相似证明中最常用的辅助线是做平行，根据题目的条件或

者结论的比值来做相应的平行线。

A模型一：手拉手模型-旋转型全等

a新：A048.AOCC均为等边三角形

a牯论：①A04c・&OBD,②LAEB-60°；®平分LAEIK

<2）等原K7A

a条件：A（〃8,A"C/）均为等腰直角三角形

a结论：①A（〃C・AOBD）②LAEB-90°,

a③OE平分

<3）任意等腰三角形

»条件：A"。均为等腰三角形

a结论：①AO/IC■NOBD.②LAEB-LAOB.

a③。£平分乙4£7\

A模型二:手拉手模型-旋转型相似

⑴况

a条件：C'。/78,将族转至右图位腔

A犍

a右图中①AW"AO/8oAO4C&OBD;

a②延长/C交8。于点E,必有乙BEC0乙BCU

（2）特殊情况

A条件：C0//18,乙108・90°,将AOC。旋转至右图

位置

a结论：右图中①AOC0s"M8=ACMCAO5D；®

延长/C交BD于点E,必有LBEC-LBOA.

旦型.应。

③/COCOAi@BD1ACf

©ii接QBC,必有心⑥'J''5'"X""（对角蟠相垂直的四那）

A模型三:对角互补模型

(1)^^90°

»条件：①LAOB-LDCE-90°,②%平分LAOB

a雄论：①CD=CE②OD+OE-6OC,③

・

SOOCE0co+S皿工=

A证明提示：

⑪乍垂直，如图，证明AS”。ACE”

②过点C作°尸，℃,如上图（右），证明\ODC-AF£C.

a当々WE的一边交X。的延长线于点。时：

以上三浮讼0）CD=C£（不变）1

@OE-（）D-410c；③Sg-'s"2°C

此结论研方法与前T幡况一致，可自行尝试。

(2)4^33120°

AMft：①4/"8・2LDCE-120°J

A②乙40%

a结论：①CD■CE,②()D+0E■OC9

H

aiiR股示：①可参考“全等型3。.'证法一；

②如图：在QB上取一点F,使0F=0C,证明A6XF

为等边三角形。

(3)全等型任意角“

a^f|_：①々"".2a，"X£-18°-2«；②c£>=CE；

A结论：①a平分乙〃)％②a)+0£-20C・cosa3

®Sg**S3n+Sg=OC:«sina«cosa

当4CCE的一边交d。的延长线于点。时（如右上图）：

摩结论变成：①..

②，

③>

可善考上述第②种方法进行证明，语思考初始条件的变化对模型辘响.

>对角互型哨

①常见初始条件：四边形对角互补；注意两点、：四点共同及直角三角形符边中线;

②初始条件“角平分线”与“两边相等”的区别；

③两种常见的铀牌恚作法；

④注意"C平分乙108时，LCDE-LCED-LCOA-4CO相等如何推导？

A模型四：角含半角模型90,

《1》龟含半角模型90°-1

a条件：①正方形，②乙族户•45\

a牯论：①£尸•。尸+8E；②SCEF的周长为正方形,48CZ）周长的一半.

也可以这样：

a条件：①正方形ABCD,②EF-DF+HE

a给论：LEAF-45°

<2）角含半角模型90°-2

a条件：①正方形ABCD,@LEAF-45°；

A陆论：EF~DF-BE

a$刎捱如T醐i示：

<3）角含半角型型90--3

a条件：①RTMBC,②LDAE-45°,

a结论：RD'^CE'-DE1CBD

若4。"施样qAJ8C外部时，结论BD+C£=06仍然成立.

（4）角含半角镇型90-变形

理明：HitAC（才我不唯一》

7ZA4<"ZE"'-45.：.NJXUI-4：4E

VZ.4/W-Z.4CZ-45.XUVf-^XtCE

£>.|4C

.・.上,LAXy/K^XUK

AH.4E

条件：①正方形X88;②4E4尸=45°

结论：为等腰直角三角形。

A模型五：倍长中线类模型

(1)信长中线类模型-1

a条件：①)S形4BCD、②BD・BE®DF・EF,

a结论：/尸■LCF

模型提取：(DW啊亍线AD"BE；②帝亍线磔戋段有中点DF-EF；

可以构造“8”字全等MDF・A/fEF.

(2)feKcp^*m-2

a条件：任评行四边形188,©BC-2AB,③AM-DM,@CE±AD.

a结论：LEMD,3ZLA/E4

住财馒：秆+什.3〃CD,有中点.”，■/[”

T长EM.构it&4归q*“卜,itMCM种

逢等•XXK'F

通过构遣8字企等城稔条及现dJt美尿.角的大

，卜好化

A模型六：相似三角形360°旋转模型

<1>形〈等JR«&〉360-xse：MKw«1.<G.AT?-£HF.遑

4*<P・M•Bn证F.\WX/m

A条件=CD&4DE、A4GC均

为等腰直角三角形，②A:A4A/FMWC；

EF-CF

•G：逆FN29t.Q_NACD

a结论：0D尸■BF§②

1>FXBF

<O(等JR«&,seo。

A条件=OzDE、23c均为等腰直角三角形3②EF-CF、

a结论：CDD尸-BF；②DF_LBE

13E.:附逢斗犍=用A4E<7,A^ifC'

内：珏1'F与Hi=4匕ajt<i与EH

<2>任意相WSLfe三角形360,旋转澳型T田去“MG：W长BAX*G.fit.«#一出.M.K

〜二OAQABsRQ",②乙。AB-JLOOC-90°；<7>X4H«IN4m.•卜*MRB.

0BE-CE0

CJC'ff，遑设”偃R.•♦ft.T与QE91(TG

»结论:①〃£=DE3②jED-2乙ABC)

HH.0£d=\N4/Z>

条件-①AC人B—ACDC：§②4OY8-Z_℃XT_900.③林2.外展片“化与HF、心〃a、SC・it

BE-CE。

结论=①AE-DE,②NED-2乙ABO

7H、SCJ收网一边氏rtJL会就<

此蚣e.£4/5LABX,.

A模型七二最短路程模型

3"：以上四国为常电的体&最加冷〃问题.

暴后每”化到：“㈣支之划，代伐多加”

物点：①动点,AA，l上:②抬息，t»AM<

瘠作0关于CX时体22•.钟正

W・pg.itA1/作Aff/±m

唯纹以以如O0MHMP，PA-w・Pir^SfH（♦-八最M）

a条件：①仪.平分乙〃）％②.”为（阳上一定点,③〃为优上F点，④。为08上一动点।

A求：'"+『。最小时，0•。的位置？

<3）疑路程模型二（，朝直埃口）

A^ft：/（0,4）,8（-20）,P（0.〃）

PB+—PA

>同覆：”为何值时，5最小

-

_._nsinL.OAC--

求解方法：①）轴上取C（-°）,使5,②过8作8/）J.1C,交》轴于点%艮防所求,

tanLEBO«tanLOAC

2,即£（。」）.

(4)最短路程模型三(窗段最值模型)

M小侑位，工一八、'一/

A()

»*:d>Haa<-4,OB-3<CM>CW)»»ifW-2，，~w

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A模型九：相似三角形模型

•卜

(1)砌(2)才眼三角形模型制港

4凶nM

甲M2P*文*4■事

・许；如左■一小na//<£/，■/«力-wr

・任“他・<c

一/・餐小围JCE・乙W

“论；-AE<AB

«Mt>fli£4.IH0EC-BC*dC

ZWu-W*BA.■RExAE

<3）相忙角形模型一线三角型(4)相IttEft影崛Tm^9^

务件；在用：乙的（・4伏，=/C7M-9（尸

•1,«:Z^lBC•Z.If'E-^CDE-60）条件：中用.PA为BB的切人

方围:ZJZTC-ZrlCT-ZCOf-45-”论：左围：PAKPB•PC'KPI）

”地：所/圉・，•奇A的结论

中阳：PA：■PCxPB

1'，故"八（7M'：②.4"x/¥・仅*《八

右图：PAxPB・PCxPD

一城三号跳幔支礼修翕用■在3方式起4代美

以上”均1T以通过恰似三角的遗竹迎明

初中数学经典几何题（附答案）

经典难题（一）

1、已知：如图，o是半圆的圆心，c、E是圆上的两点，CD±

AB,EF±AB,EG±CO.

求证：CD=GF.（初二）

c

G

AB

D0F

2、已知：如图，P是正方形ABCD内点，ZPAD=ZPDA=15°.

求证：APBC是正三角形.（初二）

3、如图,已知四边形ABCD、A1B1GD1都是正方形，A2>B2>

C2>D2分别是AAi、BBnCCnDD1的中点.

求证：四边形A2B2c2D2是正方形.（初二）

4、已知：如图，在四边形ABCD中，AD=BC,M、N分别是

AB、CD的中点，AD、BC的延长线交MN于E、F.

求证：ZDEN=ZF.

M

经典难题（二）

1、已知：AABC中，H为垂心（各边高线的交点），O为夕卜心,

且OM_LBC于M.

（1）求证：AH=2OM;

(2)若NBAC=60°,求证：AH=AO.(初二)

2、设MN是圆O外一直线，过O作OA_LMN于A,自A引圆

的两条直线，交圆于B、C及D、E,直线EB及CD分别交

MN于P、Q.

求证：AP=AQ.（初二）

3、如果上题把直线MN由圆外平移至圆内，则由此可得以下命

题：

设MN是圆O的弦，过MN的中点A任作两弦BC、DE,

设CD、EB分别交MN于P、Q.

求证：AP=AQ.（初二）

4、如图，分别以AABC的AC和BC为一边，在AABC的外侧

作正方形ACDE和正方形CBFG,点P是EF的中点.

求证：点p到边AB的距离等于AB的一半.（初二）

经典难题（三）

1、如图，四边形ABCD为正方形，DE/7AC,AE=AC,AE

与CD相交于F.

求证：CE=CF.（初二）AD

E

BC

2、如图，四边形ABCD为正方形，DE/7AC,且CE=CA,直

线EC交DA延长线于F.

求证：AE=AF.（初二）

3、设P是正方形ABCD一边BC上的任一点，PF±AP,CF平

分NDCE.

求证：PA=PF.（初二）---------|D

F

BPCE

4、如图，PC切圆O于C,AC为圆的直径，PEF为圆的割线，

AE、AF与直线PO相交于B、D.求证:AB=DC,BC=AD.（初

三）

经典难题（四）

1、已知：AABC是正三角形，P是三角形内一点，PA=3,PB

=4,PC=5.

求：NAPB的度数.（初二）A

P

2、设P是平行四边形ABCD内部的一点，且

DC

求证：ZPAB=ZPCB.（初二）

3、设ABCD为圆内接凸四边形，求证：ABCD4-ADBC=

ACBD.（初三）

4、平行四边形ABCD中，设E、F分别是BC、AB上的一点,

AE与CF相交于P,且

AE=CF.求证：ZDPA=ZDPC.（初二）

经典难题（五）

1、设P是边长为1的正AABC内任一点，L=PA+PB+PC,

求证：'WLV2.

2、已知：P是边长为1的正方形ABCD内的一点，求PA+PB

+PC的最小值.

3、P为正方形ABCD内的一点，并且PA=a,

3a,求正方形的边长.

4、如图，AABC中，ZABC=ZACB=80°,D、E分别是AB、

AC上的点，ZDCA=30°,ZEBA=20°,求/BED的度数.

A

经典难题（一）

1.如下图做GHJ_AB,连接EOo由于GOFE四点共圆，所以N

GFH=ZOEG,

即AGHFSAOGE,可得穿=号=嗝，又CO=EO,所以

CrrG77C1J

CD=GF得证。

2.如下图做ADGC使与AADP全等，可得APDG为等边△,从

而可得

△DGCg△APDg△CGP,得出PC=AD=DC,和ZDCG=Z

PCG=15°

所以NDCP=30°,从而得出APBC是正三角形

3.如下图连接BG和ABi分别找其中点F,E.连接C2F与A2E并

延长相交于Q点，

连接EB2并延长交C2Q于H点，连接FB2并延长交A2Q于G

点，

由A2E=iA1B1=iB1C1=FB2,EB2=iAB=|BC=FCi,又N

GFQ+NQ=90°和

所以又

ZGEB2+ZQ=90°,zGEB2=NGFQNB2FC2=ZA2EB2,

可得△BzFCzgZkAzEBz,所以A?B2=B2c2,

又NGFQ+NHB2F=90°和NGFQ=NEB2A2,

从而可得NA2B2C2=90°,

同理可得其他边垂直且相等，

从而得出四边形A2B2C2D2是正方形。

BC

4.如下图连接AC并取其中点Q,连接QN和QM,所以可得N

QMF=ZF,ZQNM=ZDEN和NQMN=NQNM,从而得出

ZDEN=ZFO

经典难题(二)

1.(1)延长AD到F连BF,做OG_LAF,

又NF=NACB=NBHD,

可得BH=BF,从而可得HD=DF,

又AH=GF+HG=GH+HD+DF+HG=2(GH+HD)=2OM

(2)连接OB,OC,既得NBOC=120°,

从而可得NBOM=60°,

所以可得OB=2OM=AH=AO,

得证。

3.作OF_LCD,OG1BE,连接OP,OA,OF,AF,OG,AG,

OQo

士工ADACCFD

~XE-B豆-，

由此可得AADFgZkABG,从而可得NAFC=NAGE。

又因为PFOA与QGOA四点共圆，可得NAFC=NAOP和N

AGE=ZAOQ,

ZAOP=ZAOQ,从而可得AP=AQ。

E

c

4.过E,C,F点分别作AB所在直线的高EG,CI,FHO可得PQ=

EG+FH

----------------o

2

由AEGAg△AIC,可得EG=AI,由ABFH2△CBI,可得

FH=BIO

从而可得PQ=笥8=从而得证。

经典难题（三）

1.顺时针旋转AADE,到AABG,连接CG.

由于NABG=NADE=90°+45°=135°

从而可得B,G,D在一条直线上，可得△AGB04CGB。

推出AE=AG=AC=GC,可得AAGC为等边三角形。

ZAGB=30°,既得NEAC=30°,从而可得NAEC=75°。

XZEFC=ZDFA=450+30°=75°.

可证：CE=CFO

2.连接BD作CH_LDE,可得四边形CGDH是正方形。

由AC=CE=2GC=2CH,

可得NCEH=30°,所以NCAE=NCEA=NAED=15°,

又NFAE=90°+45°+15°=150°,

从而可知道NF=15°,从而得出AE=AFo

3.作FG_LCD,FE±BE,可以得出GFEC为正方形。

令AB=Y,BP=X,CE=Z，可得PC=Y-X。

tanZBAP=tanZEPF=-=--—,可得YZ=XY-X2+XZ,

YY-X+Z