高中数学 第三章 三角恒等变换 3.2.1 两角差的余弦函数教案 北师大版必修4

高中数学第三章三角恒等变换3.2.1两角差的余弦函数教案北师大版必修4学校授课教师课时授课班级授课地点教具课程基本信息1.课程名称：两角差的余弦函数

2.教学年级和班级：高中一年级数学班

3.授课时间：第4学时

4.教学时数：45分钟

课程设计：

【导入】（5分钟）

1.复习上节课内容：两角和的余弦公式。

2.提问：余弦公式在三角形中的应用。

【新课导入】（10分钟）

1.讲解两角差的余弦公式。

2.通过动态几何软件演示两角差的余弦公式推导过程。

【公式推导与例题】（15分钟）

1.分步骤引导学生推导两角差的余弦公式。

2.推导过程中强调数学符号的准确运用。

3.选取典型例题，应用两角差的余弦公式求解。

【课堂练习】（10分钟）

1.布置练习题，要求学生在限定时间内完成。

2.老师巡回指导，解答学生疑问。

【总结与拓展】（5分钟）

1.总结两角差的余弦公式的应用。

2.引导学生思考：如何将两角差的余弦公式与其他三角函数公式相结合解决更复杂的问题？

【课后作业】（5分钟）

1.布置课后作业，巩固两角差的余弦公式。

2.要求学生独立完成，并做好笔记。

【板书设计】

1.两角差的余弦公式推导过程。

2.典型例题及解答步骤。

3.课后作业及注意事项。

【教学反思】

本节课结束后，教师应进行教学反思，针对学生的掌握情况，调整教学方法和节奏，以提高教学效果。核心素养目标本节课旨在培养学生以下学科核心素养：逻辑推理、数学建模和数学运算。通过两角差的余弦公式推导和应用，提高学生逻辑推理能力，使学生能够理解并运用数学符号进行推理和证明；在解决实际问题时，能够运用数学建模的思想，将问题转化为数学问题，运用三角函数知识进行求解；加强数学运算能力，熟练掌握两角差的余弦公式，并能够准确快速地解决相关问题。通过本节课的学习，使学生能够在实际问题中运用三角函数知识，培养解决数学问题的能力，提升数学学科素养。学情分析本节课面向的是高中一年级数学班的学生，他们在知识、能力和素质方面具备以下特点：

1.知识层面：

-学生已经学习了三角函数的基础知识，包括正弦、余弦和正切函数的定义和图像。

-学生掌握了特殊角的三角函数值，并能够运用这些知识解决一些简单问题。

-学生在上一节课学习了两个角和的余弦公式，为本节课学习两角差的余弦公式奠定了基础。

2.能力层面：

-学生具备一定的逻辑思维能力，但推理和证明能力尚需加强。

-学生在数学建模方面有一定的经验，但将实际问题转化为数学问题的能力有待提高。

-学生的数学运算能力参差不齐，部分学生对复杂公式的运用和计算尚有困难。

3.素质层面：

-学生对数学学科的兴趣和动机存在差异，部分学生对数学学习持积极态度，而另一部分学生可能感到压力或挫败。

-学生的自主学习能力和合作学习能力有待培养，他们需要更多的实践机会和指导来提高这些能力。

-学生在解决问题的过程中，需要培养耐心、细心和坚持的品质。

4.行为习惯：

-学生在课堂上的注意力可能不集中，部分学生容易分心，需要教师通过丰富的教学手段和方法来吸引他们的注意力。

-学生在完成练习和作业时可能存在拖延现象，需要教师通过合理的任务分配和激励机制来改善。

-学生在小组讨论和合作学习时，可能存在依赖他人或不愿意分享的问题，需要教师引导和培养良好的团队协作习惯。

对课程学习的影响：

-学生的知识基础和能力水平决定了本节课的教学起点和进度，教师需要根据学生的实际情况调整教学策略。

-学生的学习态度和兴趣将直接影响他们对本节课内容的接受程度，教师需要激发学生的学习兴趣，增强他们的学习动力。

-学生的行为习惯会影响课堂氛围和学习效果，教师需要通过有效的课堂管理和教学设计来优化学习环境。

-学生的自主学习能力和合作学习能力对深化理解和应用知识至关重要，教师需要提供适当的引导和支持，帮助学生提高这些能力。教学资源1.硬件资源：

-投影仪

-电子白板

-电脑

-动态几何软件

-学生平板或笔记本

2.软件资源：

-数学教学软件

-动画演示软件

-电子教案

-课堂练习题库

-课后作业管理系统

3.课程平台：

-学校教学管理系统

-班级学习交流群

4.信息化资源：

-电子教材

-在线教育资源（不含网址）

-电子版教案和学案

-三角函数公式库

5.教学手段：

-探究式教学

-情境教学

-互动教学

-分组讨论

-课后线上辅导

6.辅助教具：

-三角板

-直尺

-圆规

-彩色粉笔

7.教学评价工具：

-课堂提问

-课堂练习

-课后作业

-小测验

-学生学习反馈表教学过程设计1.导入新课（5分钟）

目标：复习三角函数基础知识，激发学生对新知识的兴趣。

过程：通过提问方式复习上节课的两角和的余弦公式，引导学生思考余弦函数在几何图形中的应用。随后，提出本节课将要学习的两角差的余弦公式，并展示一些实际生活中的例子，让学生感受到数学知识的实用性和趣味性。

2.公式推导与讲解（10分钟）

目标：让学生理解并掌握两角差的余弦公式。

过程：分步骤引导学生推导两角差的余弦公式，强调数学符号的准确运用。通过动态几何软件演示推导过程，使学生更直观地理解公式。在此过程中，教师进行详细讲解，确保学生能够跟上教学进度。

3.例题讲解与练习（20分钟）

目标：培养学生运用两角差的余弦公式解决实际问题的能力。

过程：选取具有代表性的例题，逐步讲解解题步骤，强调关键点和易错点。然后，布置课堂练习，让学生在限定时间内独立完成。在此过程中，教师巡回指导，解答学生疑问，帮助学生巩固所学知识。

4.学生小组讨论（10分钟）

目标：培养学生合作学习能力和逻辑思维能力。

过程：将学生分成小组，针对课堂练习中的难题进行讨论。鼓励学生分享解题思路，互相学习，共同解决问题。教师观察各小组讨论情况，适时给予提示和指导。

5.课堂展示与点评（15分钟）

目标：检验学生的学习效果，提高学生的表达能力和自信心。

过程：邀请各小组代表展示解题过程和答案，其他学生认真倾听。教师对展示结果进行点评，指出优点和不足，对共性问题和易错点进行总结。

6.课堂小结（5分钟）

目标：巩固所学知识，培养学生总结归纳能力。

过程：教师引导学生回顾本节课所学内容，总结两角差的余弦公式的推导和应用。同时，提醒学生注意课后复习，为下一节课的学习打下基础。在此环节，鼓励学生提出疑问，教师给予解答。教学资源拓展1.拓展资源：

-推荐阅读：《数学史上的那些事儿：三角函数的故事》，了解三角函数的起源和发展。

-相关视频：寻找与三角函数相关的教育视频，如“三角函数在工程中的应用”、“动态几何软件演示三角函数”等，帮助学生更直观地理解三角函数的性质和变化规律。

-学术文章：挑选一些关于三角函数在教育领域的研究文章，如“三角函数教学策略研究”、“基于问题解决的高中三角函数教学设计”等，为教师提供教学参考。

-在线教育资源：在不提供网址的前提下，建议学生利用学校或家庭可访问的在线教育资源，查找更多三角函数的学习资料和练习题。

2.拓展建议：

-鼓励学生在课后通过查阅书籍、观看视频、阅读文章等方式，深入了解三角函数的历史背景、实际应用和学术研究。

-建议学生利用数学软件（如GeoGebra、Desmos等）进行三角函数的图形探索，通过动态变化参数来观察函数图像的变化，增强对三角函数图形的理解。

-鼓励学生尝试解决一些综合性的问题，例如将三角函数与其他数学知识（如解析几何、概率统计等）相结合的问题，提高学生的综合应用能力。

-推荐学生参加数学竞赛或研究小组，通过解决更具挑战性的问题，提升自己的数学思维和解决问题的能力。

-教师可以组织学生进行小组研究，选择与三角函数相关的课题，如“三角函数在音乐中的应用”、“三角函数与地震预测”等，通过合作研究，培养学生的探究精神和团队合作能力。

-建议学生参与社区或学校的数学活动，如数学讲座、数学沙龙等，与同学和老师交流三角函数学习的经验和心得，拓宽视野。

-教师可以向学生推荐一些数学网站或论坛，以便学生能够在线提问、讨论和分享三角函数相关的学习资源，促进学生之间的互动交流。作业布置与反馈1.作业布置：

（1）基础巩固题：

-根据两角差的余弦公式，计算以下三角函数的值：

sin(π/3-π/6),cos(π/4-π/12),tan(5π/6-π/4)。

-利用两角差的余弦公式，证明以下恒等式：

cos(π/2-A)=sinA,cos(π-A)=-cosA。

-在直角三角形中，已知一角和一边的长度，求另外两个角的余弦值。

（2）综合应用题：

-在一个等腰三角形中，底角为30°，求顶角的余弦值。

-一个建筑物的影子长度为10米，当太阳高度角为45°时，求建筑物的高度。

-已知一个三角形的两个角分别为45°和60°，且斜边长度为10，求第三边的长度。

（3）拓展提高题：

-在一个圆中，已知半径和圆心角，求扇形的面积。

-证明：在任意三角形中，cosA+cosB+cosC=1-(a^2+b^2+c^2)/(2ab+2bc+2ca)，其中a、b、c分别为三角形的边长，A、B、C分别为对应的角度。

-探究：在直角坐标系中，点A(x1,y1)和点B(x2,y2)的坐标已知，求线段AB的斜率和长度。

2.作业反馈：

（1）批改作业：

-教师在收到学生作业后，应及时进行批改，并给出分数或评价。

-针对每个学生的作业，指出其错误类型和原因，如计算错误、公式使用错误、解题思路错误等。

（2）反馈建议：

-对于基础巩固题，针对学生的错误，建议学生加强对基本公式和概念的复习，提高计算准确性。

-对于综合应用题，教师应指出学生在解题过程中的不足，如分析问题、建立数学模型等方面的不足，并给出改进建议。

-对于拓展提高题，教师应鼓励学生积极参与，针对学生的解答，给出提高思维能力和解题技巧的建议。

（3）个性化指导：

-对于作业完成情况较好的学生，教师可适当提高作业难度，鼓励他们挑战更高层次的问题。

-对于作业完成情况较差的学生，教师应给予更多关注，了解他们在学习过程中遇到的困难，并提供针对性的指导。

（4）持续跟踪：

-教师应持续关注学生的作业完成情况，了解他们在知识掌握和能力提升方面的进步。

-定期组织作业讲评，让学生了解自己的作业情况，互相学习，共同提高。板书设计1.重点知识：

①两角差的余弦公式

②三角函数的应用

③数学符号的准确运用

④数学推理与证明

2.重点词句：

①两角差的余弦公式：cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

②三角函数在几何中的应用：直角三角形、等腰三角形、等边三角形

③数学符号的准确运用：sin、cos、tan、π、θ

④数学推理与证明：公式推导、逻辑推理、证明方法

3.板书设计：

①板书标题：两角差的余弦函数

②知识框架：两角差的余弦公式、三角函数的应用、数学符号的准确运用、数学推理与证明

③重点公式：cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB

④典型例题：求解具体角度的余弦值，求解实际问题的余弦值

⑤解题步骤：分析问题、建立模型、应用公式、求解答案

⑥数学符号：sin、cos、tan、π、θ

⑦推理与证明：公式推导过程、逻辑推理方法、证明步骤

板书设计应注重条理性和重点突出，通过清晰的框架和关键词句，帮助学生抓住课程的核心内容。同时，结合具体例题和解题步骤，使学生能够更好地理解和应用两角差的余弦公式。此外，板书设计还应注重艺术性和趣味性，通过适当的图表、颜色和布局，激发学生的学习兴趣和主动性。教学反思与改进在本次教学结束后，我计划设计一个反思活动来评估教学效果并识别需要改进的地方。这个反思活动将包括以下几个方面：

首先，我会在课后收集学生的反馈，了解他们对两角差的余弦公式的理解和应用程度。我将通过课堂提问、课后作业和个别交流的方式，了解学生对教学内容的掌握情况，特别是他们在应用两角差的余弦公式解决实际问题时的困难和困惑。

其次，我会观察学生在课堂上的参与度和学习态度。我会关注学生的学习兴趣、合作精神以及他们在小组讨论和课堂展示中的表现。通过观察学生的参与度，我可以评估他们在学习过程中的积极性和主动性，以及他们对三角函数知识的兴趣和动机。

此外，我还会评估自己在教学过程中的表现。我会反思自己的教学方法和教学手段的有效性，以及我在引导学生思考和解决问题方面的效果。我会思考自己是否能够有效地激发学生的学习兴趣，是否能够提供充分的指导和帮助，以及是否能够有效地组织课堂活动和促进学生之间的合作学习。

根据反思的结果，我将制定相应的改进措施。如果发现学生对两角差的余弦公式的理解和应用存在困难，我会考虑采取更多的实例和练习来加强学生的理解和实践能力。如果发现学生在课堂参与度和学习态度方面存在问题，我会考虑采取更多的激励措施和合作学习活动来提高学生的积极性和主动性。

如果发现自己在教学方法和手段方面需要改进，我会考虑寻求更多的教学资源和方法，以提高教学效果。我会尝试更多的互动教学和探究式教学，以及利用信息技术和多媒体资源来丰富教学手段。重点题型整理（1）题型1：求两角差的余弦值

题目：已知角A为60°，角B为45°，求cos(π/3-π/4)的值。

解答：cos(π/3-π/4)=cosπ/3cosπ/4+sinπ/3sinπ/4

=(√3/2)*(√2/2)+(1/2)*(1/2)

=√6/4+1/4

=(√6+1)/4

（2）题型2：求直角三角形的余弦值

题目：在直角三角形中，∠A为30°，求cos∠B的值。

解答：