第01讲 直线的方程（九大题型）（练习）（含答案解析）

第01讲直线的方程目录TOC\o"1-2"\h\z\u01模拟基础练 2题型一：倾斜角与斜率的计算 2题型二：三点共线问题 3题型三：过定点的直线与线段相交问题 4题型四：直线的方程 7题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题 8题型六：两直线的夹角问题 11题型七：直线过定点问题 12题型八：中点公式 13题型九：轨迹方程 1502重难创新练 1603真题实战练 25题型一：倾斜角与斜率的计算1．（2024·高三·山东济宁·期末）直线的倾斜角是.【答案】/【解析】由直线可得，直线的斜率，即，，即，所以直线的倾斜角为.故答案为：2．（2024·高三·浙江杭州·期末）直线的倾斜角是.【答案】0【解析】的斜率为0，设倾斜角为，则，解得，故倾斜角为0故答案为：03．经过两点的直线的倾斜角是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】经过两点的直线的斜率为，因为直线的倾斜角大于等于小于，故经过两点的直线的倾斜角是，故选：D4．（2024·全国·高二专题练习）如图，若直线的斜率分别为，则（

）

A． B．C． D．【答案】A【解析】解析

设直线的倾斜角分别为，则由图知，所以，即．故选：A题型二：三点共线问题5．若三点，，共线，则.【答案】【解析】由题意，直线的斜率为，直线的斜率为：，因三点共线，故，即，解得：.故答案为：.6．若点在同一条直线上，则实数等于【答案】【解析】由题意可得，即，解得，故答案为：7．已知，，三点在同一条直线上，则．【答案】【解析】因为，，三点在同一条直线上，所以，即，解得．故答案为：.题型三：过定点的直线与线段相交问题8．已知点，，若过点的直线与线段相交，则直线的斜率的取值范围是.【答案】【解析】如图直线与线段相交，因为，结合图形可知的斜率取值范围是.故答案为：9．已知实数满足，则的取值范围为.【答案】【解析】可以看成上的点和构成的直线的斜率，在中令得，令则，设，，则，，所以的范围为.故答案为：.10．已知点，若直线过点且与线段没有交点，则直线的斜率的取值范围为．【答案】【解析】设过点且垂直于轴的直线交线段于点，如下图所示：当直线由位置绕点转动到位置时，的斜率从逐渐变大，此时，；当直线由位置绕点转动到位置时，的斜率为负值，且逐渐增大至，此时，.综上所述，直线与线段有交点时，其斜率的取值范围是，所以直线与线段没有交点时，其斜率的取值范围是.故答案为:.11．若直线：与连接，的线段相交，则的取值范围是．【答案】【解析】直线的方程可整理为，令，解得，所以直线恒过点，由图可知，直线在直线和之间旋转时恒与线段相交，，，，所以或，解得或.故答案为：.12．已知两点，和直线，则直线恒过定点；若直线与线段AB有公共点，则实数的取值范围是.【答案】【解析】空一：，该直线的斜率为，所以直线恒过；空二：如下图所示：因为，所以当直线与线段AB有公共点时，则有，或，则实数的取值范围是，故答案为：；题型四：直线的方程13．在平面直角坐标系中，已知两点，为坐标原点，则的平分线所在直线的方程为.【答案】【解析】由题意，可设的平分线的倾斜角为，如图，则，即.则或，又，故，故，故的平分线所在直线的方程为，故答案为：14．过点引直线，使，到它的距离相等，则该直线的方程是（

）A． B．C．或 D．或【答案】C【解析】当直线斜率不存在时，直线方程为，，到它的距离分别为1，3，不合题意；当直线斜率存在时，设直线方程为，即，由，到它的距离相等得，解得或，即直线方程为或.故选：C.15．已知过定点直线在两坐标轴上的截距都是正值，且截距之和最小，则直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】直线可变为，所以过定点，又因为直线在两坐标轴上的截距都是正值，可知，令，所以直线与轴的交点为，令，所以直线与轴的交点为，所以，当且仅当即时取等，所以此时直线为：.故选：C.16．（2024·四川绵阳·二模）过点，且与原点距离最大的直线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】原点设为O，直线OP的斜率为，当过点的直线垂直于点与原点O的连线时，该直线与原点距离最大，此时直线方程,即，故选：B.题型五：直线与坐标轴围成的三角形问题17．已知直线l过点，且分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，则面积最小值为．【答案】24【解析】由题意可知，直线的斜率存在且不为0，设直线的斜率为，则直线的方程为，因为直线分别与x轴的负半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，所以，令，则，即，令，则，即，所以其中，当且仅当时，即时，等号成立，所以，即面积最小值为.故答案为：18．若一条直线经过点，并且与两坐标轴围成的三角形面积为1，则此直线的方程为．【答案】或【解析】由题意可知该直线不经过原点，且存在斜率且不为零，所以设直线方程为，因为该直线过点，所以有，因为该直线与两坐标轴围成的三角形面积为1，所以有，或，当时，，或，当时，，此时方程为：，当时，，此时方程为：，当时，，故答案为：或19．已知直线l过点M(2,1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当△AOB面积最小时，直线l的方程为.【答案】x＋2y－4＝0【解析】法一，利用截距式设出直线方程，再利用基本不等式求面积最小时的直线方程；法二显然存在，设(其中)求出坐标，然后求解三角形的面积，再利用基本不等式求解面积的最小值时的直线方程.法一设直线l：，且a＞0，b＞0，因为直线l过点M(2,1)，所以，则≥，故ab≥8，故S△AOB的最小值为×ab＝×8＝4，当且仅当＝时取等号，此时a＝4，b＝2，故直线l：，即x＋2y－4＝0.法二设直线l的方程为y－1＝k(x－2)(k＜0)，，B(0,1－2k)，S△AOB＝(1－2k)＝≥(4＋4)＝4，当且仅当－4k＝－，即k＝－时，等号成立，故直线l的方程为y－1＝－(x－2)，即x＋2y－4＝0.故答案为：.20．已知直线的方程为：．(1)求证：不论为何值，直线必过定点；(2)过点引直线，使它与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积最小，求的方程．【解析】（1）证明：直线的方程为：提参整理可得：．令，可得，不论为何值，直线必过定点.（2）设直线的方程为．令则，令．则，直线与两坐标轴的负半轴所围成的三角形面积．当且仅当，即时，三角形面积最小．此时的方程为．21．（2024·全国·高三专题练习）直线l过点，且分别与轴正半轴交于、B两点，O为原点.(1)当面积最小时，求直线l的方程；(2)求的最小值及此时直线l的方程.【解析】（1）设直线，且∵直线过点则当且仅当即时取等号所以的最小值为，直线1即.（2）由∴，当且仅当即时取等号，∴此时直线,故的最小值为9，此时直线l的方程.题型六：两直线的夹角问题22．若直线过点且与直线，的夹角相等，则直线的方程是．【答案】或【解析】直线的斜率，直线的斜率，依题意直线的斜率存在，设斜率为，所以，整理得，可得或，又直线过点，则或，整理得或.故答案为：或23．直线过点，且与直线：的夹角为，则直线的方程为．【答案】或【解析】由题设，直线斜率为，则其倾斜角为，所以直线的倾斜角为或，且过，故直线的方程为或，即或.故答案为：或24．直线与直线所成夹角大小为．【答案】【解析】设直线的倾斜角为，直线的倾斜角为，两条直线夹角为，则，，则，，所以.故答案为：.题型七：直线过定点问题25．若无论实数取何值，直线都经过一个定点，则该定点坐标为.【答案】【解析】令，解得，故经过的定点坐标为.故答案为：26．过定点的直线与过定点的直线交于，则【答案】10【解析】由题意可得：，则，由，则，当时，两直线垂直，当时，两直线斜率之积等于，∴直线和直线垂直，则.故答案为：1027．已知直线（m为任意实数）过定点P，则点P的坐标为；若直线与直线，分别交于M点，N点，则的最小值为．【答案】42【解析】直线，联立，解得，，故；易知直线的斜率存在且不为0，设直线，令，得；令，得，则，，故，当且仅当，即时等号成立．故答案为：，28．已知直线经过定点，则点的坐标为.【答案】【解析】直线即，由得，所以点的坐标为.故答案为：题型八：中点公式29．已知两点分别在两条互相垂直的直线和上，且的中点为，则，直线的一般式方程为．【答案】1【解析】由题意得，得．设，由得即，则直线的方程为，即．故答案为：1；.30．直线分别交x轴和轴于A、两点，若是线段的中点，则直线的方程为.【答案】【解析】因A、两点在x轴和轴上，设，因是线段的中点，则，故直线的截距式方程为：.故答案为：.31．已知直线：过定点，若直线被直线和轴截得的线段恰好被定点平分，求的值.【解析】则直线过定点设直线与直线交于点，与轴交于点，依题意为中点在中令，则，即所以，即，将其代入直线中可得解之得题型九：轨迹方程32．方程表示的图形是（

）A．两条直线 B．四条直线 C．两个点 D．四个点【答案】A【解析】因为，则，解得，解得，其表示的两条图形为两条直线.故选：A.33．已知､，的面积为，则动点的轨迹方程是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】B【解析】因为､，所以，因为的面积为，所以动点到的距离为，设，则的方程为，即，由题意可得，即，所以动点的轨迹方程为:或.故选:B34．到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】设点，则到两坐标轴距离相等，即，即.故选：D35．到两条平行直线和的距离相等的点的轨迹方程是.【答案】【解析】设是所求轨迹上的任意一点，则由题意得∴，∴，即.∵是任意的，故所求点的轨迹方程为.故答案为36．已知三条直线、和且与的距离是．(1)求的值；(2)已知点到直线的距离与点到直线的距离之比是，试求出点的轨迹方程．【解析】（1）将直线的方程化为，两条平行线与间的距离，解得或，又，所以．（2）因为直线，直线，设点，依题意有，即，所以或，即的轨迹方程或．1．（2024·上海嘉定·一模）直线倾斜角的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】当直线与横轴平行时，直线的倾斜角是，因此直线倾斜角的取值范围为，故选：C2．已知点，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解析：，又因为所以，故选：B.3．（2024·河南信阳·三模）动点P在函数的图像上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】令，解得，故的定义域为，，当且仅当，即时，等号成立，故，故以P为切点的切线的倾斜角取值范围是.故选：C4．（2024·重庆·三模）当点到直线l：的距离最大时，实数的值为（）A． B．1 C． D．2【答案】B【解析】直线l：，整理得，由，可得，故直线恒过点，点到的距离，故；直线l：的斜率，故，解得故选：B.5．（2024·重庆·模拟预测）已知角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，则（

）A． B． C． D．1【答案】A【解析】∵角的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边上有两点，，且，∴，解得，∴，∴，∴．故选：A．6．（2024·新疆乌鲁木齐·三模）直线，的斜率分别为1，2，，夹角为，则（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设直线，的倾斜角分别为，则,;因此；所以.故选：C7．（2024·河南信阳·模拟预测）动点P在函数的图象上，以P为切点的切线的倾斜角取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】设以点为切点的切线的倾斜角为，因为函数，所以，当且仅当，即时取等号，又因为，所以，所以.故选：C.8．（2024·贵州遵义·一模）已知直线与函数的图象在处的切线没有交点，则（

）A．6 B．7 C．8 D．12【答案】C【解析】，，，所以函数的图象在处的切线方程为：，则，因为直线与直线没有交点，所以直线与直线平行，则.故选：C.9．（多选题）（2024·黑龙江哈尔滨·二模）点在函数的图象上，当，则可能等于（

）A．-1 B． C． D．0【答案】BC【解析】由表示与点所成直线的斜率，又是在部分图象上的动点，图象如下：如上图，，则，只有B、C满足.故选：BC10．（多选题）（2024·全国·模拟预测）若的图象在处的切线分别为，且，则（

）A．B．的最小值为2C．在轴上的截距之差为2D．在轴上的截距之积可能为【答案】AC【解析】对于A，B：由题意可得，当时，，当时，，所以的斜率分别为，因为，所以，得，因为，所以，故A正确，B错误．对于C，D：的方程为，即，令，得，所以在轴上的截距为，的方程为，可得在轴上的截距为，所以在轴上的截距之差为，在轴上的截距之积为，故C正确，D错误．故选：AC11．（多选题）（2024·河南·模拟预测）已知直线过点，且与轴、轴分别交于A，B点，则（

）A．若直线的斜率为1，则直线的方程为B．若直线在两坐标轴上的截距相等，则直线的方程为C．若M为的中点，则的方程为D．直线的方程可能为【答案】AC【解析】对于A，直线l的斜率为1，则直线l的方程为，即，故A正确；对于B，当直线l在两坐标轴上的截距都为0时，l的方程为，故B错误；对于C，因为中点，且A，B在轴、轴上，所以，，故AB的方程为，即，故C正确；对于D，直线与x轴无交点，与题意不符，故D错误．故选：AC．12．（2024·贵州毕节·三模）已知直线，直线，与相交于点A，则点A的轨迹方程为．【答案】【解析】因为，所以直线过点，直线过点，因为，所以，设，所以，所以，所以，化简可得：.故答案为：.13．（2024·上海长宁·二模）直线与直线的夹角大小为．【答案】/【解析】设直线与直线的倾斜角分别为，则，且，所以，因为，所以，即两条直线的夹角为，故答案为：.14．（2024·黑龙江齐齐哈尔·二模）已知直线，若直线l在两坐标轴上的截距相等，则实数k的值为；若直线l不经过第三象限，则k的取值范围是.【答案】或；.【解析】因为直线l在两坐标轴上的截距相等，所以，在中，令，得，令，得，依题意可得，即，解得或；直线的方程可化为，所以，所以，所以直线过定点，所以，由直线可得：，若不经过第三象限，则，故答案为：或；.15．数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线后人称之为三角形的欧拉线，已知的顶点，，若其欧拉线方程为，则顶点的坐标.【答案】【解析】设C的坐标，由重心坐标公式求重心，代入欧拉线得方程，求出AB的垂直平分线，联立欧拉线方程得三角形外心，外心到三角形两顶点距离相等可得另一方程，两方程联立求得C点的坐标.设，由重心坐标公式得，ΔABC的重心为,代入欧拉线方程得：,整理得：

①的中点为，，的中垂线方程为，即．联立，解得.．的外心为．则，整理得：

②联立①②得：或．当时重合，舍去．∴顶点的坐标是．16．已知的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．(1)求顶点的坐标；(2)求直线的方程．【解析】（1）因为边上的高所在直线方程为，设线的斜率为，则，解得，又因为直线过点，则直线的方程为,，又边上的中线所在直线方程为，且该直线过点，所以联立，解得的坐标为．（2）设，因为边上的中线所在直线方程为，所以的中点在直线上，且边上的高所在直线过顶点，所以，解得，即的坐标为．由（1）知，由两点式方程得，化简得.即直线的方程为．17．直线的方程为.(1)证明直线过定点；(2)已知是坐标原点，若点线分别与轴正半轴､轴正半轴交于两点，当的面积最小时，求的周长及此时直线的方程.【解析】（1）直线的方程变形为为，由，得到，又时，恒成立，故直线恒过定点.（2）由，令，得到，令，得到，由，得到，所以，，令，得到，当且仅当，即时取等号，此时，直线的方程为，又，，所以，当的面积最小时，的周长为，此时直线的方程为.18．已知的三个顶点是，，．(1)过点的直线与边相交于点，若的面积是面积的3倍，求直线的方程；(2)求的角平分线所在直线的方程．【解析】（1）设则，因为的面积是面积的3倍，所以，则解得故直线的方程为，即（2）显然，的斜率存在且不为零，设的方程为，则过点且与垂直的直线的方程为设点关于直线对称的点为，因为直线的方程为，所以整理得因为，所以，解得或又，，所以，故直线的方程为，即1．（2002年普通高等学校招生考试数学（文）试题（北京卷））若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因为直线恒过点，直线与坐标轴的交点分别为，直线的斜率，此时倾斜角为；直线的斜率不存在，此时倾斜角为；所以直线的倾斜角的取值范围是.故选：B.2．（1995年普通高等学校招生考试数学（理）试题（全国卷））图中的直线的斜率分别为，则有（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】由图象可得，，故选：C3．（2007年普通高等学校招生考试数学（理）试题（四川卷））如图，是同一平面内的三条平行直线，与间的距离是1，与间的距离是2，正三角形的三顶点分别在上，则的边长是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】作高（如图），设，则，于是，，，与相似，，即，，，，.故选：D4．（2015年山东省春季高考数学真题）如下图，直线的方程是（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由图可得直线的倾斜角为30°，所以斜率，所以直线与轴的交点为，所以直线的点斜式方程可得：，即．故选：D5．（2006年普通高等学校春季招生考试数学试题（上海卷））已知直线过点，且分别与轴的正半轴、轴的正半轴交于两点，为原点，则面积最小值为．【答案】【解析】依题意，设直线在轴上的截距为，在轴上的截距为，则直线的方程为，直线过点，，，，，即，当且仅当，即时取等号，面积最小值为.故答案为：.6．（2007年普通高等学校招生考试数学（文）试题（上海卷））直线的倾斜角．【答案】【解析】直线，整理得，由直线