实战演练01 抽象函数的性质-备战2025年高考数学真题题源解密（新高考卷）解析版

第第页实战演练01抽象函数的性质①抽象函数求值②抽象函数的单调性与抽象不等式③抽象函数的奇偶性④抽象函数的对称性⑤抽象函数的周期性⑥抽象函数结合导数的应用⑦抽象函数性质的综合应用一、抽象函数的性质1.周期性：；；；（为常数）；2.对称性：对称轴：或者关于对称；对称中心：或者关于对称；3.如果同时关于对称，又关于对称，则的周期4.单调性与对称性（或奇偶性）结合解不等式问题①在上是奇函数，且单调递增若解不等式，则有；在上是奇函数，且单调递减若解不等式，则有；②在上是偶函数，且在单调递增若解不等式，则有（不变号加绝对值）；在上是偶函数，且在单调递减若解不等式，则有（变号加绝对值）；③关于对称，且单调递增若解不等式，则有；关于对称，且单调递减若解不等式，则有；④关于对称，且在单调递增若解不等式，则有（不变号加绝对值）；关于对称，且在单调递减若解不等式，则有（不变号加绝对值）；二、抽象函数的模型【反比例函数模型】反比例函数：，则，【一次函数模型】模型1：若，则；模型2：若，则为奇函数；模型3：若则；模型4：若则；【指数函数模型】模型1：若，则；模型2：若，则；模型3：若，则；模型4：若，则；【对数函数模型】模型1：若，则模型2：若，则模型3：若，则模型4：若，则模型5：若，则【幂函数模型】模型1：若，则模型2：若，则代入则可化简为幂函数；【余弦函数模型】模型1：若，则模型2：若，则【正切函数模型】模型：若，则模型3：若，则①抽象函数求值解题技法抽象函数求值问题常用赋值法，赋值主要从以下方面考虑：令x=⋯,−2,−1一、单选题1．（2024·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为R，，，均满足．若，则（

）A．0 B． C． D．【答案】D【分析】先赋值求出，接着赋值，求出，再赋值求出，最后赋值，即可求解.【详解】令，得，所以；令，，得，又，所以；令，得；令，，得.故选：D.2．（2024·陕西铜川·模拟预测）设函数的定义域为，且，则（

）A． B．0 C．4 D．【答案】B【分析】令结合得，令得，令，，得，令，分别令可以得到，令，得的周期为，所以.【详解】因为，令，有，则或．若，则令，有，得，与已知矛盾，所以．令，有，则，得．令，，有，得．令，，有，得．令，，有，得．令，，有，得．令，，有，得．令，有，得，令，有，即，所以，故，所以的周期为，所以．故选：B．【点睛】方法点睛：赋值法解决抽象函数问题，通过对赋值，得到相应的函数值，进而研究函数性质或者得到待求函数值.二、填空题3．（2025高三·全国·专题练习）定义在上的函数满足，，则，.【答案】126【分析】利用赋值法可求的值，再求出，从而可求的值.【详解】，而即，故，故，故答案为：4．（2025高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为，且，，则【答案】2【分析】令，或，再说明不合题意.【详解】令，得得或，当时，令得不合题意，故.故答案为：25．（2025高三·全国·专题练习）已知定义域为的函数，满足，且，，则.【答案】0【分析】在已知式中令可得．【详解】由，令，则故答案为：0.6．（2024·江苏·模拟预测）已知定义在上的满足，且对于任意的，有，则.【答案】【分析】令得或，排除即可.【详解】在中，令，有，解得或，若，则在中，令，有恒成立，但这与矛盾，所以只能，经检验符合题意.故答案为：.②抽象函数的单调性与抽象不等式解题技法（1）抽象函数的单调性的证明，关键是要依据单调性的定义和题目条件利用x1与x（2）在解决与抽象函数有关的不等式问题时，可通过脱去函数符号“f”化为一般不等式求解，但无论如何都必须在同一单调区间内进行；若不等式一边没有“f”，而是常数，则应将常数转化为函数值.一、单选题1．（23-24高三下·广东佛山·开学考试）已知函数在定义域上是增函数，且，则实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由函数的单调性及定义域得到关于的不等式组，解之即可得解.【详解】因为函数在定义域上是增函数，且，则有，则，解得，所以实数的取值范围是.故选：C.2．（2024·江西·模拟预测）已知奇函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用函数的奇偶性及单调性计算即可.【详解】由，可得，因为是奇函数，且，所以，因为在上单调递增，所以，故不等式的解集为．故选：D3．（23-24高三下·吉林通化·期中）已知函数是定义在上的奇函数，且单调递增，则的解集为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数单调性和奇偶性得到，画出曲线与曲线的图象，数形结合得到答案.【详解】由奇函数可知，，又单调递增，则，画出曲线与曲线的图象，可以看出与有两个交点，且与分别为两交点横坐标，所以不等式的解集为．故选：B二、多选题4．（2024·广东茂名·二模）已知函数为上的奇函数，且在R上单调递增.若，则实数的取值可以是（

）A． B．0 C．1 D．2【答案】CD【分析】先利用函数是奇函数，将不等式转变为，再利用函数在上单调递增，将不等式转变为，求解即可.【详解】因为函数是奇函数，则不等式，可变形为，因为函数在上单调递增，则不等式成立，则，解得，1，2符合题意，故选：CD.三、填空题5．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，若，则实数的取值范围是．【答案】．【分析】先根据函数的解析式判断得出函数的奇偶性以及单调性．进而将原不等式转化为，即可结合函数的单调性列出不等式，求解即可得出答案．【详解】由题意知函数定义域为R，且，所以为奇函数．又函数均为R上的增函数，根据复合函数的单调性可知也为R上的增函数，所以，为R上的函数．由，得，所以，解得，故答案为：．6．（23-24高三下·上海·阶段练习）已知偶函数在区间上是严格减函数.若，则的取值范围是.【答案】【分析】根据偶函数的性质及单调性将函数不等式转化为自变量的不等式，解得即可.【详解】因为偶函数在区间上是严格减函数，所以在上单调递增，所以不等式，即，所以，即，解得，即的取值范围是.故答案为：③抽象函数的奇偶性解题技法抽象函数中求特殊的函数值，讨论函数的奇偶性及依此解关于x的不等式等问题多运用“赋值法”进行求值和化简.一、单选题1．（2024·河南·模拟预测）已知函数的定义域为R，对于任意实数x，y满足，且，则下列结论错误的是（

）A． B．为偶函数C．为奇函数 D．【答案】C【分析】由条件等式通过取特殊值求，由此判断A，D，再取特殊值确定，的关系结合函数的奇偶性的定义判断选项B，C.【详解】因为，，取，可得，又，所以；A对；取，可得，因为，所以，所以为偶函数，C错，B对；取，可得，又，；所以，D对；故选：C.2．（2024·河南郑州·模拟预测）已知为奇函数，则（

）A． B．14 C． D．7【答案】C【分析】根据函数奇偶性定义和性质即可求解.【详解】因为为奇函数，故，，，，故.故选：C.3．（23-24高三下·陕西西安·阶段练习）定义域均为R的函数，满足，且，则（

）A．是奇函数 B．是偶函数C．是奇函数 D．是偶函数【答案】D【分析】通过函数变量间的转化，得出函数对应等量关系.利用函数平移变化，由平移后的对称关系求得原函数的对称关系.【详解】因为，所以，即，所以关于直线对称，因为，所以关于对称，即为偶函数.故选：D4．（2025高三·全国·专题练习）函数的定义域为，且与都为奇函数，则说法不正确的是（

）A．为奇函数 B．为周期函数C．为奇函数 D．为偶函数【答案】D【分析】由奇函数性质及题意得且，因此即，进而得且即可判断A、B；由可得，结合奇函数的定义即可判断C、D.【详解】因为为奇函数，所以，又为奇函数，所以，∴，即，所以，且，∴是周期为2的函数，且是奇函数，故A、B正确；由得，故由A、B得，即为奇函数，故C正确；由得，所以为奇函数，故D错误；故选：D.二、多选题5．（2024·河南·三模）定义在上的函数满足，则（

）A． B．C．为奇函数 D．单调递增【答案】BCD【分析】利用赋值法可求及，故可判断各项的正误，也可以由题意得，结合条件推出的解析式，进而即可求解判断ABCD四个选项.【详解】法1：令，则，令，则，若或，若，则即，由的任意性可得不恒成立，故不成立，故，故A错误，B正确.令，则，故为奇函数，且，它为上的增函数，故CD正确.法2：由条件，得，由的任意性得为常数，故代回去得：，所以由的任意性只能，即，为增函数，所以，为奇函数，故A错，BCD对.故选：BCD.6．（2024高三·全国·专题练习）已知奇函数与偶函数的定义域、值域均为R，则（

）A．是奇函数 B．是奇函数C．是奇函数 D．是偶函数【答案】BCD【分析】本题根据奇偶性的定义逐项判断即可得出结果.【详解】对A，因为，所以不是奇函数，故A错误；对B，因为，所以是奇函数，故B正确；对C，因为，所以是奇函数，故C正确；对D，因为，所以是偶函数，故D正确．故选：BCD．三、解答题7．（23-24高三上·福建漳州·阶段练习）定义在上的单调函数满足且对任意x，都有．(1)判断的奇偶性，并说明理由；(2)若对任意恒成立，求实数k的取值范围．【答案】(1)奇函数，理由见解析；(2)【分析】（1）根据奇函数的定义即可求证，（2）根据函数的奇偶性和单调性将不等式转化为对任意成立．即可换元利用二次不等式的性质求解.【详解】（1）是奇函数，理由如下：由，①令，代入①式，得，即．令，代入①式，得，又，则有．即对任意成立，所以是奇函数．（2），即，又在上是单调函数，所以在上是增函数又由（1）是奇函数．，∴，对任意成立．令，问题等价于对任意恒成立．令，其对称轴．当即时，，符合题意；当时，对任意，恒成立．解得．综上所述，当时，对任意恒成立．8．（23-24高三上·河北保定·阶段练习）已知定义在上的函数满足，，，且．(1)求，，的值；(2)判断的奇偶性，并证明．【答案】(1)，，(2)偶函数，证明见解析【分析】（1）令，求得，令，求得，令，求得，（2）令，再结合（1）的结果和奇偶性的定义可得结论.【详解】（1）令，得，因为，所以．令，得，因为，所以．令，得，即，因为，所以，所以．（2）为偶函数．证明如下：令，得，由（1）得，即，又的定义域为，所以为偶函数．④抽象函数的对称性解题技法（1）若函数y=fax+b为偶函数，则函数图象关于直线x（2）若函数fx在定义域上的图象是一条连续不断的曲线，则：①函数fx的图象关于直线x=a对称⇔导函数f′x的图象关于点a,0对称；②函数fx一、多选题1．（23-24高三下·山东·开学考试）函数满足：对任意实数x,y都有，且当时，，则（

）A． B．关于对称 C． D．为减函数【答案】ABC【分析】利用赋值法，结合函数单调性的定义、对称性的性质逐一判断即可.【详解】由对于任意实数，令，则，即,故A正确；令，则，即，故B正确；令，，则，即，故C正确；对于任意，则设，当时，，则，即，所以单调递增，故D错误．故选：ABC2．（2024·河北·模拟预测）已知定义在上的连续函数满足，，，当时，恒成立，则下列说法正确的是（

）A． B．是偶函数C． D．的图象关于对称【答案】BCD【分析】根据所给关系式，利用赋值法一一计算可得.【详解】因为，，令可得，解得或，又当时，恒成立，所以，故A错误；令，，则，即，所以为偶函数，故B正确；令，，则，所以，令，，则，所以，故C正确；令可得，令，可得，又，所以，即，所以，所以的图象关于对称，故D正确.故选：BCD3．（2024·广东·模拟预测）已知函数的定义域为，若，且，则（

）A． B．无最小值C． D．的图象关于点中心对称【答案】BCD【分析】对于A，令即可；对于BC，令得，通过递推计算即可；对于D，令，得即可判断函数的图象关于点中心对称.【详解】对于A，令，得，解得，故A错误；对于B，令，则，且，即可知函数无最小值，故B正确；对于C，由B知，，所以，，则，故C正确；对于D，令，则原式化为，令，所以，即，所以，所以函数的图象关于点中心对称，故D正确.故选：BCD.4．（23-24高二下·河北邯郸·阶段练习）若定义在上的函数满足，且值域为，则以下结论错误的是（

）A． B．C．为奇函数 D．的图象关于中心对称【答案】ACD【分析】利用赋值法、函数的奇偶性和对称性，逐项判断即可.【详解】对于选项A，令得，解得或，令，得，由的值域为，所以时，，不合题意，所以，A说法错误；对于选项B，令得，所以或，令，得，即，由的值域为，所以，令得，所以或，由的值域为，所以，B说法正确；对于选项C，令得，因为，所以，所以为偶函数，C说法错误；对于选项D，若图象关于中心对称，则，由于定义域为，值域为，若，则必有，与题设矛盾，故D说法错误；故选：ACD5．（2024·浙江·模拟预测）已知函数的定义域为R，，，则（

）A． B．C．为奇函数 D．【答案】BCD【分析】利用赋值法求得即可判断A；利用赋值可得，并且判断出，由不等式的性质可得，即可判断B；利用函数的奇偶性以及的值即可判断C；利用等比数列的判定可得的通项公式，利用等比数列的求和公式可得，即可判断D．【详解】令，，则，将代入得，即，故A错误；由，令可得，若存在x使得，则上式变为，显然不成立，所以，又，因为，所以，将整理为，因为，即，所以，故B正确；令，则，且，所以为奇函数，故C正确；当时，，，所以是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，由可知，因为，所以，所以，故D正确；故选：BCD．【点睛】关键点点睛：关键是充分利用函数的奇偶性，等比数列的判定与证明以及等比数列的前n项和进行分析，由此即可顺利得解．二、单选题6．（2024·河北·二模）已知函数为奇函数，则函数的图象（

）A．关于点对称 B．关于点对称C．关于点对称 D．关于点对称【答案】C【分析】由函数的平移变化即可求得出答案.【详解】函数为奇函数，图象关于对称，将函数向左平移一个单位可得函数，则函数关于对称，所以函数的图象关于对称.故选：C.7．（2024·四川·三模）定义在R上的函数与的图象关于直线对称，且函数为奇函数，则函数图象的对称中心是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】先根据条件得到的对称中心，再根据对称得到的对称中心.【详解】因为为奇函数，所以，即，故的对称中心为，即，由于函数与的图象关于直线对称，且关于的对称点为，故的对称中心为.故选：D8．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，的图象关于直线对称，为奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由的图象关于直线对称可得，函数为奇函数，则，可得，计算可求得.【详解】因为函数的图象关于直线x＝2对称，则，可得因为函数为奇函数，则，所以，所以，故，即，故f(x)是以4为周期的周期函数．因为函数为奇函数，则，故，其他三个选项由已知条件不能确定结果是否为0．故选：A.⑤抽象函数的周期性一、单选题1．（2024·四川成都·模拟预测）已知定义在上的奇函数满足，且当时，，则（）A．1 B． C． D．【答案】B【分析】首先得到的周期性，再结合奇偶性与所给函数解析式计算可得.【详解】根据题意，函数满足，则，即是周期为的周期函数，所以，，又由函数为定义在上的奇函数，则，，当时，，则，则，所以，故选：B．2．（2024高三·全国·专题练习）定义域为R的函数满足，当时，，则＝（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由得，所以将向区间进行转化，即可求得答案.【详解】由，得，故，故选：D3．（23-24高三上·浙江宁波·期末）已知函数的定义域为，且，，则（

）A．2024 B． C． D．0【答案】D【分析】根据表达式得出规律，即可求出的值.【详解】由题意，在中，定义域为，，当时，，解得：，当时，，即当时，，解得：，当时，，解得：，当时，，解得：，……函数值周期性变化，周期为3，∵，可得：，故选：D.4．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的定义域为R，的图象关于直线对称，为奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由的图象关于直线对称可得，函数为奇函数，则，可得，计算可求得.【详解】因为函数的图象关于直线x＝2对称，则，可得因为函数为奇函数，则，所以，所以，故，即，故f(x)是以4为周期的周期函数．因为函数为奇函数，则，故，其他三个选项由已知条件不能确定结果是否为0．故选：A.5．（23-24高三上·河北沧州·阶段练习）已知定义域为的函数满足，，当时，，则（

）A． B．2 C． D．3【答案】A【分析】依题意可得为奇函数，再由，推出是周期为的周期函数，由求出的值，最后根据周期性计算可得.【详解】因为定义域为的函数满足，则为奇函数，又，所以，所以，则是周期为的周期函数，又因为，即，又当时，，所以，解得，所以，所以.故选：A6．（2024·山东菏泽·模拟预测）已知函数满足：，，则下列说法正确的有（

）A．是周期函数B．C．D．图象的一个对称中心为【答案】A【分析】先证明得到A正确；再给出作为反例说明B，C，D错误.【详解】对于A，由于，故.从而，这就得到，所以，即.所以是周期函数，故A正确；对于B，C，D，取，则满足条件，但，，同时由于，，从而关于的对称点并不在函数图象上，故B，C，D错误；故选：A.【点睛】关键点点睛：本题的关键在于对条件进行适当的代数变形.二、填空题7．（2024高三·全国·专题练习）函数满足，且，则．【答案】/【分析】由已知可得到，然后利用和即可得到结果.【详解】由，知.所以，得.故.故答案为：.8．（2024·安徽六安·模拟预测）若偶函数对任意都有，且当时，，则．【答案】【分析】由题意求得，可得的周期为6，则，即可求解.【详解】由，且当时，，得，，则是以6为周期的函数，所以.故答案为：9．（2023·云南昆明·模拟预测）定义在上的函数满足：，对任意，，则.【答案】【分析】利用赋值法可得，然后结合条件可得函数是周期为的周期函数，进而即得.【详解】因为，令，得，即，由，，令，，得，又，因此，，，，，，，，…….所以函数是周期为的周期函数，所以，即.故答案为：.⑥抽象函数结合导数的应用一、单选题1．（2024·宁夏银川·三模）已知定义在R上的奇函数的图象是一条连续不断的曲线，是的导函数，当时，，且，则不等式的解集为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据构造函数，通过求导发现利用已知条件可知恒为正数，所以可知在时是单调递增函数，再结合已知条件又可知是偶函数，利用单调性和奇偶性解不等式即可.【详解】令，则，因为当时，，所以在上单调递增，又为奇函数，且图象连续不断，所以为偶函数，由，得，解得或故选：D.【点睛】关键点点睛：构造函数是基本的解题思路，因此观察题目所给的数的结构特点，以及函数与导数之间的内在联系，合理构造函数，利用导数判断单调性是解题的关键.2．（2024·江苏南通·模拟预测）设定义域为的偶函数的导函数为，若也为偶函数，且，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先令，判断的单调性及奇偶性，由已知结合函数的单调性及奇偶性即可求解不等式．【详解】因为为偶函数，所以，所以，令，因为为偶函数，则，即，即，所以，当时，，即在上单调递减，则在上单调递增，由，即，所以，即，解得或，即实数的取值范围是．故选：A．【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是令，从而推导出，即可得到函数的单调性.3．（23-24高三上·四川·阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，且为奇函数，，，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据题意利用赋值法求出、、、的值，推出函数的周期，结合，每四个值为一个循环，即可求得答案.【详解】由，令，得，所以，由为奇函数，得，所以，故①．又②，由①和②得，即，所以，③令，得，得，令，得，得，又④，由③④得，即，所以函数是以8为周期的周期函数，故，所以，所以.故选：B．二、多选题4．（23-24高三下·江西·阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，若的图象关于直线对称，，且，则（

）A．为偶函数 B．的图象关于点对称C． D．【答案】BCD【分析】首先根据抽象函数的对称性，判断函数的对称性，以及周期，并结合条件转化，判断函数的对称性，利用抽象函数的导数公式，以及周期性，求，最后利用函数与的关系求和.【详解】由的图象关于直线对称，可得的图象关于直线对称，即的图象关于直线对称，则由，可得，又，所以，所以的图象关于点对称，即为奇函数，所以，即，即函数的周期为4，由，可得，因为的周期为4，所以，则，即，所以的图象关于点对称，故B正确；因为的图象关于直线对称，则，所以，所以，因为的周期为4，所以的周期也为4.由，可得，所以，故C正确；由，可得，所以，即，故D正确.故选：BCD【点睛】关键点点睛：本题考察抽象函数的性质，以及导数运算问题，本题的关键是以条件等式为桥梁，发现函数与的性质关系，以及解析式的关系.5．（2024·河南三门峡·模拟预测）已知函数及其导函数，且，若，则（

）A． B．C． D．【答案】AC【分析】利用抽象函数的关系式，采用赋值，赋变量的方法，结合函数的对称性和周期性，即可判断选项.【详解】因为，所以的图像关于直线对称.令，得，故A项正确；因为.所以，即，所以，因为，所以，即，所以，则的一个周期为4.因为的图像关于直线对称，所以是的一个极值点，所以，所以，则.故B项错误；由，得，即.所以，故C项正确；设为常数），定义域为，则，又，所以，显然也满足题设，即上､下平移均满足题设，显然的值不确定，故D项错误.故选：AC【点睛】关键点点睛：本题的关键是对抽象函数进行赋值，以及抽象函数的导数问题，，即可正确得到.6．（2024·河南商丘·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，若是偶函数，，且，则（

）A． B．C． D．【答案】BC【分析】法一、利用赋值法结合抽象函数的奇偶性、对称性、周期性可判定A、B、C选项，利用C的结论可判定D项；法二、构造函数，利用正、余弦函数的性质一一判定选项即可.【详解】法一、由题意可知为上奇函数，即，令或0（舍去），故A错误；令，故B正确；由条件可知，，则有，所以，则，故C正确；由C：，即的一个周期为，所以，故D错误.法二、由题意可设，则，显然符合条件，对于A项，，故A错误；对于B项，，故B正确；对于C项，，故C正确；对于D项，，所以，故D错误.故选：BC【点睛】思路点睛：抽象函数性质综合问题一般使用赋值法，通过令及构造并判定其是否相等可分别判定A、B、C选项，另外结合函数的奇偶性与其导函数奇偶性的关系可得出最终结果；还可以通过观察条件构造合适的基础函数能更快捷的得出结果.7．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）定义在上的函数与的导函数分别为和，若，，且，则下列说法中一定正确的是（

）A．为偶函数 B．为奇函数C．函数是周期函数 D．【答案】BCD【分析】结合函数与导数的关系，函数的奇偶性、对称性与周期性的定义，借助赋值法与函数性质逐项判断即可得.【详解】对A：由，故为奇函数，若为偶函数，则，与条件不符，故A错误；对B：由，则，又，即，即，又定义在上，故为奇函数，故B正确；对C：由，，，所以，则，所以，，所以，所以，则函数是周期函数的周期函数，函数是周期函数的周期函数，故C正确；对D：由是周期函数的周期函数，由，令，则，即，令，则，即，由，，则，则关于对称，则关于对称，又为奇函数，即关于中心对称，故关于对称，则，则，故D正确.故选：BCD.【点睛】结论点睛：解决抽象函数的求值、性质判断等问题，常见结论：（1）关于对称：若函数关于直线轴对称，则，若函数关于点中心对称，则，反之也成立；（2）关于周期：若，或，或，可知函数的周期为.8．（2024·重庆九龙坡·三模）已知函数及其导函数的定义域为，若为奇函数，，且对任意，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．【答案】BCD【分析】根据赋值法，结合原函数与导函数的对称性，奇、偶函数的定义、函数周期性进行求解即可.【详解】由，令，则，因为，所以，故A错误；令，则，①所以，因为为奇函数，所以为偶函数，，所以，②由①②并整理得，即，所以，所以是周期为的周期函数，故，故B正确；因为，所以，故C正确；由上知，在①中，令，得，所以，所以，所以，故D正确.故选：BCD.【点睛】关键点点睛：本题主要考查抽象函数的性质，涉及函数的奇偶性、周期性及导数的计算.解题关键在于熟练地应用函数奇偶性、周期性的定义及导数的计算，利用赋值法推导出函数，的性质.⑦抽象函数性质的综合应用一、单选题1．（2024·湖南长沙·二模）已知定义在上的函数是奇函数，对任意都有，当时，则等于（

）A．2 B． C．0 D．【答案】A【分析】根据函数的奇偶性和对称性推得函数的周期为4，利用周期性和奇函数特征即可求得的值.【详解】定义在上的函数是奇函数，且对任意都有，故函数的图象关于直线对称，∴，故，∴，∴是周期为4的周期函数．则．故选：A．2．（2024·四川内江·三模）已知函数的定义域为R，对任意实数x都有成立，且函数为偶函数，，则（

）A．-1 B．0 C．1012 D．2024【答案】B【分析】利用抽象函数的奇偶性、周期性、对称性计算即可.【详解】由，即的一个周期为4，由为偶函数可知关于轴对称，即，又可知，所以，显然，所以.故选：B3．（23-24高三下·山东菏泽·阶段练习）定义在上的函数满足，为偶函数，函数的图象关于对称，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】借助抽象函数的奇偶性、对称性以及周期性即可解答.【详解】因为关于对称，有，令，则，的图象关于对称.由为偶函数，得，则的图象于对称，因为，所以，即，则的图象关于对称.所以，又，所以，所以，所以，所以为的一个周期，因为图象关于对称，所以，故，所以由，得.故选：C.4．（23-24高三下·浙江·阶段练习）已知定义在R上的函数恒大于0，对，，都有，且，则下列说法错误的是（

）A． B．C．是奇数 D．有最小值【答案】D【详解】对于A，，取，则，，选项A正确；对于B，取，则，则，选项B正确；对于C，取，，则，则，取，，，则，所以是奇数，选项C正确；取函数，符合题目条件，但此时无最小值，故选项D错误．故选：D.【点睛】关键点点睛：判断CD选项的关键是得出，由此即可顺利得解.5．（2024·吉林·模拟预测）已知函数的定义域为，且，，，则（

）A． B． C．0 D．1【答案】D【分析】由已知结合赋值法推出函数为偶函数，进而采用变量代换的方法，推出函数的对称中心，进而推出其周期，再结合赋值法求得，结合函数的周期性，即可求得答案.【详解】由题意知函数的定义域为，且，，令，则，即，故为偶函数；又，令，则，又由，得，即的图象关于点成中心对称，则；，即，又结合为偶函数，则，故，即4为的周期，故，故，故选：D【点睛】方法点睛：（1）涉及到抽象函数的求值问题，一般利用赋值法，即令x取特殊值，求得函数值；（2）涉及抽象函数的奇偶性、单调性、对称性以及周期性问题，往往利用变量代换结合相关定义进行推导.6．（2024·四川泸州·二模）已知，都是定义在R上的函数，对任意x，y满足，且，则下列说法正确的是（

）A． B．若，则C．函数的图象关于直线对称 D．【答案】D【分析】利用赋值法结合题目给定的条件可判断A、D，取可判断C，对于B，通过观察选项可以推断很可能是周期函数，结合的特殊性及一些已经证明的结论，想到令和时可构建出两个式子，两式相加即可得出，进一步得出是周期函数，从而可求的值.【详解】对于A，令，可得，得，令，，代入已知等式得，可得，结合得，所以，故A错误；对于D，因为，令，代入已知等式得，将，代入上式，得，所以函数为奇函数.令，，代入已知等式，得，因为，所以，又因为，所以，因为，所以，故D正确；对于B，分别令和，代入已知等式，得以下两个等式：，，两式相加易得，所以有，即，有，即，所以为周期函数，且周期为，因为，所以，所以，，所以，所以，故B错误；对于C，取，，满足及，所以，又，所以函数的图像不关于直线对称，故C错误；故选：D.【点睛】思路点睛：对于含有的抽象函数的一般解题思路是：观察函数关系，发现可利用的点，以及利用证明了的条件或者选项；抽象函数一般通过赋值法来确定、判断某些关系，特别是有双变量，需要双赋值，可以得到一个或多个关系式，进而得到所需的关系，此过程中的难点是赋予哪些合适的值，这就需要观察题设条件以及选项来决定.7．（2024·四川绵阳·模拟预测）定义在上的函数满足，，为奇函数，有下列结论：①直线为曲线的对称轴；②点为曲线的对称中心；③函数是周期函数；④；⑤函数是偶函数.其中，正确结论的个数是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根据可得函数对称轴，可判断①；根据可得函数周期，可判断③；根据，结合对称轴和周期可得对称中心，可判断②；根据周期性和对称性求出，进而可得判断④；根据周期性和对称中心可得奇偶性判断⑤.【详解】由知直线为曲线的对称轴，①正确；因为，所以所以是周期为4的周期函数，③正确；由为奇函数有，令得，则的图象关于点对称，又直线为曲线的对称轴，以是周期为4的周期函数则的对称中心为，②错误；令，则，所以，在中，令，则.于是，，，，则，所以，④正确；因为的图象关于点对称，因为周期为4，所以，所以为奇函数，⑤错误.故选：C.【点睛】方法点睛：一是若函数是偶函数，则函数关于直线对称；若函数是奇函数，则函数关于点中心对称；二是若对任意都有，则是以为周期的函数；若对任意都有，则也是以为周期的函数.8．（2023·福建宁德·模拟预测）已知函数及其导函数的定义域均为，对任意的，恒有，则下列说法正确的个数是（

）①；②必为奇函数；③；④若，则.A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】利用赋值法可判断①；利用赋值法结合函数奇偶性定义判断②；赋值，令，得出，变量代换可判断③；利用赋值法求出部分函数值，推出其值具有周期性，由此可计算，判断④，即可得答案.【详解】令，则由可得，故或，故①错误；当时，令，则，则，故，函数既是奇函数又是偶函数；当时，令，则，所以，则，即，则为奇函数，综合以上可知必为奇函数，②正确；令，则，故.由于，令，即，即有，故③正确；对于D，若，令，则，则，令，则，即，令，则，即，令，则，即，令，则，即，令，则，即，令，则，即，令，则，即，，由此可得的值有周期性，且6个为一周期，且，故，故④正确，即正确的是②③④，故选：C.【点睛】难点点睛：本题考查了抽象函数的性质的综合应用，解答时要注意利用赋值法求值，难点在于④的判断，要结合函数值的计算得出函数值具有周期性，从而求解.9．（2024·安徽芜湖·三模）已知函数与是定义在上的函数，它们的导函数分别为和，且满足，且，则（

）A．1012 B．2024 C． D．【答案】D【分析】根据得到，故，求导得到，两边求导得到，从而得到，故，故是的一个周期，其中，根据周期性求出答案.【详解】由于，则，两式相加得，故，所以，故，即，其中两边求导得，，故，故，将替换为得，又，故，将替换为得，则，故是的一个周期，其中，故，故.故选：D【点睛】结论点睛：设函数，，，．（1）若，则函数的周期为2a；（2）若，则函数的周期为2a；（3）若，则函数的周期为2a；（4）若，则函数的周期为2a；（5）若，则函数的周期为；（6）若函数的图象关于直线与对称，则函数的周期为；（7）若函数的图象既关于点对称，又关于点对称，则函数的周期为；（8）若函数的图象既关于直线对称，又关于点对称，则函数的周期为；（9）若函数是偶函数，且其图象关于直线对称，则的周期为2a；（10）若函数是奇函数，且其图象关于直线对称，则的周期为4a．10．（23-24高三下·湖北荆州·阶段练习）已知函数及其导函数的定义域均为，记.若函数与均为偶函数，则下列结论中错误的是（

）A． B．函数的图象关于点对称C．函数的周期为2 D．【答案】C【分析】选项A，偶函数的导函数是奇函数，可得到函数是奇函数，过原点，可做出判断；选项B，构造函数，判断其奇偶性，进而得到的图象特征；选项C，两个对称性得到周期性，因为为偶函数，得，因为为奇函数，可得：，自变量代换后化简可得，即可做出判断；选项D，先求出，并归纳出，由，归纳出，再利用周期性，将表示为，求值即可.【详解】对于选项A，因为为偶函数，其导函数为奇函数，将代入，得，得，选项A正确；对于选项B，因为为偶函数，所以为奇函数，且，则的图象关于点对称，选项B正确；对于选项C，因为为偶函数，可得：，即，因为为奇函数，可得：，即，得，所以，即，则，可知的周期为4，选项C错误；对于选项D，因为为偶函数，可得：关于对称，由且关于对称，知，又的周期为4，可得和，合并后，可得：.选项C中有等式，即，则有成立，有：选项D正确.故选：C.【点睛】关键点点睛：本题CD的关键是利用其奇偶性和对称性得到其周期性，再计算出，结合其周期进行求和从而判断D选项.二、多选题11．（23-24高三上·福建福州·阶段练习）已知函数是上的偶函数，对于任意的，都有成立，当且时，都有则下列命题中，正确的为（

）A．B．直线是函数的图象的一条对称轴C．函数在上为增函数D．函数在上有四个零点【答案】ABD【分析】由题意知可求出，并结合函数为偶函数，即可对A、B项判断；利用可求出函数单调性并结合函数的偶函数性质，即可对C项判断，由函数的周期性结合函数的零点，可对D项判断.【详解】对于A：对于任意，都有成立，令，则，又因为是上的偶函数，所以.故A正确.对于B：由（1）知，所以的周期为，又因为是上的偶函数，所以，而的周期为，所以，所以，所以直线是函数的图象的一条对称轴.故B正确.对于C：当，且时，都有，所以函数在上为增函数，因为是上的偶函数，所以函数在上为减函数，而的周期为，所以函数在上为减函数，故C错误；对于D：的周期为，所以，函数在上有四个零点.故D正确.故选：ABD.12．（23-24高三下·河南郑州·阶段练习）已知函数满足，，则（

）A． B．C．的定义域为R D．的周期为4【答案】ABD【分析】赋值，令，即可判断A；令，可判断C；令，结合函数奇偶性定义可判断B；令，推出，即可推出函数的周期，判断D.【详解】令，则，即，A正确，令，则无意义，即的定义域不为R，C错误；由可知，令，则，即，故，B正确；，故，即的周期为4，D正确，故选：ABD【点睛】方法点睛：本题考查了抽象函数的知识的综合应用，涉及到函数定义域、求函数值、以及奇偶性和单调性问题，解答此类题目一般采用赋值法，以及结合函数的奇偶性以及单调性定义进行解答.13．（2024·新疆喀什·三模）已知函数的定义域为，且，若，则下列说法正确的是（

）A． B．有最大值C． D．函数是奇函数【答案】AD【分析】根据题意，利用抽象函数的性质，及赋值法并结合选项，即可逐项判定，从而求解.【详解】对于A中，令，可得，令，则，解得，所以A正确；对于B中，令，且，则，可得，若时，时，，此时函数为单调递增函数；若时，时，，此时函数为单调递减函数，所以函数不一定有最大值，所以B错误；对于C中，令，可得，即，所以，所以C错误；对于D中，令，可得，可得，即，所以函数是奇函数，所以D正确；故选：AD.【点睛】关键点点睛：本题主要是对抽象函数利用赋值法，去求解出，及证明函数是奇函数.14．（2024·新疆·三模）已知，都是定义在上的函数，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是A． B．C．为奇函数 D．【答案】ABC【分析】令即可判断A；令即可判断B；令可得，结合奇函数的定义即可判断C；由选项C，令可得，求出的周期即可求解.【详解】.A：令，得，则，故A正确；B：令，得，即，又且，所以，解得，故B正确；C：令，得，即，得，所以，得，所以，则为奇函数，故C正确；D：由选项C知，又，得①