信号与系统第2版 课件 7离散时间信号与系统的Z域分析

信号与系统主讲：严国志信号与系统

课程目录第1章绪论第2章连续时间信号与系统的时域分析第3章连续时间信号与系统的频域分析第4章连续时间信号与系统的复频域分析第5章离散时间信号与系统的时域分析第6章离散时间信号与系统的频域分析第7章离散时间信号与系统的z域分析2024/10/162第7章

离散时间信号与系统的z域分析2024/10/164第7章离散时间信号与系统的z域分析7.1引言7.2z变换7.3z变换的性质7.4z反变换7.5离散系统的z域分析7.6离散系统的零、极点与时域响应7.7线性时不变离散系统的稳定性7.8H(z)与离散系统频率响应7.9z域与s域的关系7.10离散系统的结构习题7.1引言2024/10/165z变换是研究离散时间信号与系统的重要工具。如果把离散时间信号视为连续时间信号经抽样后得到的样值序列，则z变换可以视为离散域的拉普拉斯变换，因此可以认为z变换和拉普拉斯变换是等价的。z变换可将描述离散时间系统的差分方程转换成z域的代数方程，使得离散时间信号的卷积和运算转换成z域的代数运算。本章研究：z变换、离散时间系统的z域分析、离散时间系统的系统函数、离散系统的零、极点与时域响应、线性时不变离散系统的稳定性、H(z)与离散系统频率响应、z域与s域的关系、离散系统的结构。7.2z变换2024/10/1667.2.1z变换的定义连续时间信号x(t)乘以时域周期冲激函数序列δT(t)，可以得到时域的均匀抽样信号：两边取双边拉普拉斯变换，得令，将Xs(s)记为X(z)，将x(nT)记为x(n)，则上式可写为这就是z变换的定义式，是复变量z的函数（T是常数）7.2z变换2024/10/167对于序列

x(n)，-∞<n<∞,定义：为双边z变换，记为：对于序列

x(n)，-∞<n<∞,定义：为单边z变换，记为：由双边z变换式和单边z变换式定义可以看出，它们的关系为对于非因果序列对于因果序列不同双边与单边Z变换相同的单边z变换为7.2z变换2024/10/168【例7-1】

求有限长序列的双边z变换和单边z变换。解：根据双边z变换的定义，可得7.2z变换2024/10/1691.因果序列的双边z变换就是单边z变换，所以单边z变换是双边z变换的特例。2.z变换是复变量z的幂级数(也称罗朗级数)，其系数是序列x(n)的样值。3.连续时间系统中，信号一般是因果的，所以主要讨论拉氏单边变换。4.在离散系统分析中，可以将因果序列离线处理成非因果序列，因此单边与双边z变换都要涉及。5.序列的每个样点值都有一个对应的变换，整个序列的z变换是所有样点值的z变换之和。2024/10/16107.2z变换上面从连续信号抽样出发，给出了z变换的定义，事实上，对于其他类型的离散信号（不一定从连续信号抽样得到）也可以进行双边z变换和单边z变换。也就是说，z变换是一个计算工具，不仅是一个在离散域处理连续时间信号与系统的工具，而且对其他离散时间信号也可以进行z变换。在对一个连续信号抽样后得到的离散信号用z变换进行分析时，z变换的定义式中，虽然没有显式地出现抽样周期T，但根据推导过程可以看出，抽样周期是客观存在的。特别是在连续信号与系统离散化为离散信号与系统时，抽样周期是一个需要特别注意的问题，满足抽样定理是系统分析与设计的前提。因此假定所有的离散化过程都满足抽样定理。

从定义式可以看出，序列的z变换是复变量z的幂级数，也称罗朗（Laurent）级数，该级数的系数就是x(n)本身。只有当幂级数收敛时，其z变换才存在。2024/10/16117.2.2z变换的收敛域7.2z变换对于任意有界序列，使得该序列z变存在的复变量z的集合称为z变换的收敛域（ROC，RegionOfConvergence）。z变换存在的充分条件是其对应的正项级数收敛:①比值判定法：级数收敛；级数发散；级数可能收敛，

也可能发散。

②根值判定法：7.2z变换2024/10/1612典型序列Z变换的收敛域（1）有限长序列

x(n),N1≤n≤N2

,有：序列的z变换是有限项的和，只要每一项的取值为有限值，其和即为有限值，z变换收敛。X(z)只有z的负幂项，收敛区为X(z)只有z的正幂项，收敛区为因果序列非因果序列双边序列X(z)有z的正负幂项，收敛区为的单边z变换为因为中既有z的正幂项又有z的负幂项，所以的ROC为7.2z变换2024/10/1613【例7-1】

求有限长序列的双边z变换和单边z变换。解：根据双边z变换的定义，可得因为中只有z的负幂项，所以的ROC为2024/10/16147.2z变换(2)右边序列x(n),N1≤n≤∞,有：②①①的收敛域②的收敛域①、②的公共收敛域特别的N1≥0时，和式中没有正的幂项，2024/10/16157.2z变换在z平面上，ROC是以原点为中心、以R1

为半径的圆的圆外区域，如图所示。（N1≥0）右边序列----圆外2024/10/1616(1)(2)(3)7.2z变换【例7-3】:求因果序列的z变换和收敛域，其中a

为常数。解：利用等比级数求和公式，得：根据z变换的定义，因果序列的双边z变换与单边z变换相同。根据式（7-10），对于因果序列，其收敛区间为【例7-4】求因果指数序列和的z变换。7.2z变换2024/10/1617解：在【例7-】3中令，有收敛域的边界决定于极点。右边序列X(z)

的表示式中，若有多个极点，则收敛区是以绝对值最大的极点为收敛半径的圆外。在【例7-】3中令，有7.2z变换2024/10/1618①②(3)左边序列x(n),-∞≤n

≤N2,有：①的收敛域②的收敛域①、②的公共收敛域特别的N2≤0时，和式中没有负的幂项，7.2z变换2024/10/1619收敛区是以R2为收敛半径的圆内。（

N2≤0）左边序列----圆内7.2z变换2024/10/1620解：x(n)的双边z变换为

收敛域为，是以X(z)的极a点为半径的圆内。【例7-5】左边序列X(z)的封闭表示式中，若有多个极点，则收敛区是以绝对值最小的极点为收敛半径的圆内。求序列的z变换及其收敛域（a为常数）。7.2z变换2024/10/1621(4)双边序列（无始无终）x(n),-∞≤n

≤

∞,有：①②的收敛域①的收敛域①、②的公共收敛域②双边序列z变换不存在右边序列----圆外左边序列----圆内双边序列----两圆之间双边序列----两圆之间7.2z变换2024/10/1622例【7-7】:求双边序列的z变换及其收敛域（式中，a、b为常数）。解:：x(n)的单边z变换为：x(n)的双边z变换为：ROC为：ROC为：7.2z变换2024/10/1623或例C为实数，求解：7.2z变换2024/10/1624或讨论：①②双边序列z变换不存在10107.2z变换2024/10/162507.2z变换2024/10/1626单边z变换的收敛域单边z变换式所表示的幂级数收敛的充分条件是：左边级数收敛的所有z值的集合，称为单边变换的收敛域。从广义上说，单边z变换只有一种收敛域形式，即位于z平面上某个圆域之外的区域。（相当于起点在n=0的右边序列）7.2z变换2024/10/1627007.2z变换2024/10/1628对于单边z变换：有两种情况：（1）因果序列与其单边z变换函数之间即使没有特别指明其收敛域也存在着一一对应关系。因此，一般不特别强调单边z变换的收敛域；（2）双边序列与其单边z变换函数之间不是一一对应的。对于双边z变换：只有同时给出z变换式及收敛域，x(n)和X(z)才是一一对应的，否则就不是。

例如，常数序列与单位阶跃序列具有相同的单边z变换函数。7.3z变换的性质2024/10/1629

7.3.1线性特性若则注：当二者之和的零点与极点抵消时，收敛区有可能扩大。收敛域变为交集7.3z变换的性质2024/10/16

证明令1.双边z变换的移位Z，代入上式有：Z7.3.2位移特性一般收敛区不变，也有特例令m为整数30证：（7-28）例如：

改变一般在0或∞两点因果非因果7.3z变换的性质新产生一个零点z=0新产生一个极点p=0收敛域为整个z平面2024/10/1631非因果因果又如：

7.3z变换的性质2024/10/1632若序列x(n)的单边z变换为：2.单边z变换的位移性1）序列左移后单边z变换为：可能增加或删除（7-29）(整数m>0)7.3z变换的性质证明Z1010减去m点特别的【x(n)为非因果的或因果的】7.3z变换的性质

证明：Z2）序列右移后单边z变换可能增加或删除（7-29b）7.3z变换的性质2024/10/1635加上m点10若x(n)为因果序列右移

则3）按定义证明（7-29c）

10【x(n)为因果的】思考：如果x(n)为非因果呢？【x(n)为因果的或非因果的呢？】特别的7.3z变换的性质2024/10/1636【例7-12】

求

和的（m为整数）的z变换。当m≥0时：δ(n-m)和ε(n-m)两者为因果序列，双边及单边z变换相同，为：当m<0时：δ(n-m)和ε(n-m)两者为非因果序列，它们的双边z变换Xb(z)为：它们的单边z变换Xs(z)为：解：δ(n)和ε(n)两者为因果序列，双边和单边z变换X(z)为：7.3z变换的性质2024/10/1637【例7-13】

求周期序列的单边z变换解：令的主值区序列为周期序列利用（7-29c）式7.3z变换的性质2024/10/1638若则有则若7.3.3Z域尺度变换特性（时域乘an）由该例结论，有：7.3z变换的性质2024/10/1639证：利用Z域尺度变换特性及反转可得如下结论：a=-1时，有：Z7.3z变换的性质2024/10/1640（1）旋转(频移)（2）（3）（4）7.3z变换的性质2024/10/1641【例7-14】已知，求双边z变换及其收敛域。解：由于根据时移特性有根据尺度变换特性有7.3z变换的性质2024/10/16427.3.4序列卷积的z变换（时域卷积定理）若有零点与极点抵消时，收敛区有可能扩大【例7-15】求其中则若7.3z变换的性质解：应用：求离散系统的零状态响应7.3z变换的性质2024/10/16447.3.5z域微分（时域乘以n）Z

交换运算次序证则若7.3z变换的性质2024/10/1645应用7.3z变换的性质2024/10/16467.3.6时域反转则若证令m=-n且故7.3z变换的性质2024/10/1647【例7-16】求和（其中a>0）的双边z变换。解：由于根据时域反转性质有根据双边z变换的位移性质由于由z变换的线性性质可得7.3z变换的性质2024/10/16487.3.7初值定理设x(n)为有界因果序列，则证：即（7-42）对式（7-42）等号两边乘以变量

zm

,(m=1,2,3,…),有：（7-41）7.3z变换的性质2024/10/16497.3.8终值定理设x(n)为因果序列，则证:取z→1的极限，有：于是由于x(n)为因果序列，因此

（7-46）7.3z变换的性质2024/10/1650由于x(n)为因果序列，它的收敛域|z|>R为z平面半径为R的圆外区域，为了保证z→1的极限存在，要求(z-1)X(z)的ROC包含单位圆。如果X(z)存在z=1的一阶极点，(z-1)X(z)就出现了零、极点抵消，不影响极限的求取。因此要求X(z)除在z=1处有一阶极点外，其余极点均位于单位圆内时，式（7-46）右端取z→1的极限才有意义。7.3z变换的性质2024/10/1651【例7-17】已知因果序列x1(n)、x2(n)的z变换分别为：求它们的初值和终值。解：假设因果序列有界，应用初值定理得对于X1

(z)，终值定理成立，故有对于X2

(z)，终值定理成立，故有7.4z反变换2024/10/16527.4.1z反变换z反变换式：有：由柯西定理：故：有：右边z反变换推导1：z变换的定义式：c为包围所有极点的逆时针方向的闭合曲线（以原点为中心圆）。（7-48）7.4z反变换2024/10/1653z反变换推导2：拉氏反变换的定义式：对时域离散化：令：有：所以：即有：即：c为包围所有极点的逆时针方向的闭合曲线（以原点为中心圆）。7.4z反变换2024/10/1654z反变换的求法：1、围线积分法（留数法）2、部分分式法3、长除法（定义法）例：已知求x(n)解：用长除法得：所以：有理多项式X(z)的1阶极点zm的留数公式为：7.4z反变换2024/10/16557.4.2部分方式法z变换的部分分式展开法是将有理分式X(z)展开为基本常用的部分分式的和，即假设X(z)为有理分式，即若m≥n：则X(z)可分解为z的m-n

次多项式Xm(z)和真分式

Xn(z)两部分，即式中，7.4z反变换2024/10/1656由z变换的定义可知故：从式（7-51）可知，Xm(z)的反变换对应的是非因果序列，也就是说，如果m>n，就可以判断xm(n)是非因果序列。对于Xn(z)，或X(z)当m<n

时，为有理真分式，可表示为：式中，zi为Xn(z)的极点。它可能为一阶极点或p阶重极点，也可能为实极点或共轭成对的复极点。（7-51）见例7-127.4z反变换2024/10/1657（1）极点为一阶极点ziXn(z)的部分分式展开式为根据收敛域和变换对的关系：（7-53）即可完成（7-53）式的反变换。7.4z反变换2024/10/1658【例7-19】已知求x(n)解：【例7-20】已知求x(n)解：收敛域为圆内收敛域为圆外7.4z反变换2024/10/1659（2）X(z)有高阶极点设X(z)在z=z0

处有m阶极点(m≥2)，另有n个一阶极点zi（i=1,2,…,n

），则X(z)可表示为（7-57）

X(z)部分分式展开式为（7-58）当收敛域为圆外时：当收敛域为圆内时：考虑m=2阶极点时：7.4z反变换2024/10/1660【例7-22】

已知求x(n)解：收敛域为圆内收敛域为圆外7.4z反变换2024/10/1661（3）有共轭复极点【例7-23】

已知解：若X(z)的收敛域为若X(z)的收敛域为，求反变换x(n)7.4z反变换2024/10/1662若X(z)的收敛域为

，圆外，则：若X(z)的收敛域为

，圆内，则：7.4z反变换2024/10/1663对因果序列x(n)，MATLAB提供了求z反变换的函数iztrans(X)【例7-24】已知假定时间序列为因果序列，用MATLAB方法求它们的反变换。解：symszX1=z/(z-0.5);x1=iztrans(X1)X2=z/((z-2)*(z-3));x2=iztrans(X2)X3=z/((z+2)*(z+3));x3=iztrans(X3)运行结果为：x1=(1/2)^nε(n)x2=3^n-2^nε(n)x3=(-2)^n-(-3)^nε(n)注：MATLAB方法只求因果序列的z变换！即：x1=(1/2)^nx2=3^n-2^nx3=(-2)^n-(-3)^n7.5离散系统的z域分析2024/10/16647.5.1线性时不变离散时间系统的系统函数设线性移不变离散时间系统的输入为

x(n)，单位样值响应为

h(n)，系统的零状态响应为：两边取z变换，有：（7-61）称为线性时不变离散时间系统的系统函数。7.5离散系统的z域分析2024/10/1665系统的零状态响应离散系统零状态响应的z域求解可按以下步骤进行：第一步，计算系统输入

x(n)的的z变换X(z)第二步，根据单位冲激响应h(n)计算离散系统z域的

系统函数H(z)第三步，计算系统零状态响应的z变换第四步，计算Yzs(z)的z反变换，求得系统零状态响应的

时域解yzs(n)时域解为：7.5离散系统的z域分析2024/10/1666【例7-26】已知某LSI离散时间系统，当输入为x1(n)=ε(n)时，零状态响应为：yzs1(n)=2nε(n)，求输入为x2(n)=(n+1)ε(n)时的零状态响应yzs2(n)。解：先求出系统函数则系统函数为：又：7.5离散系统的z域分析2024/10/1667可得有：7.5离散系统的z域分析2024/10/16687.5.2用z变换求解离散系统的差分方程用线性常系数差分方程描述的LSI离散时间系统，可以根据z变换的性质把差分方程变换成z域的代数方程，计算系统的零输入响应、零状态响应和完全响应。式中，0≤M≤N，a0=1，ai(i=1,2,…,N)、bj(j=1,2,…,M)为实常数。x(n)为因果序列，初始条件为y(-1)，y(-2)，…，y(-N)。（7-78）对于一般的n阶离散因果系统，可以用差分方程来描述：7.5离散系统的z域分析2024/10/1669对（7-78）两边取单边z变换，得利用（7-29）式：序列右移后单边z变换：令l=-k，有y(-l)为初始条件。7.5离散系统的z域分析2024/10/1670零输入响应部分为：零状态响应部分为：完全响应为：Ys(z)=Ys,zs(z)+Ys,zi(z)

ys(n)=ys,zs(n)+ys,zi(n)整理得：7.5离散系统的z域分析2024/10/1671对（7-78）两边取双边z变换，得（7-79）因果序列

x(n)的单边z变换与双边z变换相同，即Xb(z)=Xs(z)响应y(n-i)的双边z变换可以写成：式中，Ys(z)为y(n)的单边z变换。于是（7-79）式为：y(l)为初始条件。整理得：7.5离散系统的z域分析2024/10/1672零输入响应部分为：零状态响应部分为：完全响应为：Ys(z)=Ys,zs(z)+Ys,zi(z)

ys(n)=ys,zs(n)+ys,zi(n)7.5离散系统的z域分析2024/10/1673【例7-28】已知二阶离散系统的差分方程为x(n)=ε(n)，y(-1)=1，y(-2)=1，求系统的完全响应y(n)，零输入响应yzi(n)，零状态响应yzs(n)。解：x(n)的z变换为对系统差分方程两端取单边z变换，得把X(z)和初始条件y(-1)=1、y(-2)=1代入上式，得7.5离散系统的z域分析2024/10/1674求z反变换，得：7.6离散系统的零、极点与时域响应2024/10/16757.6.1H(z)的零点和极点系统函数H(z)通常可以表示为z的有理分式:也可以表示为:式中，G为系统函数的幅度因子（7-87）7.6离散系统的零、极点与时域响应2024/10/1676分子中的因子(1-zrz-1)在z=zr处产生一个H(z)的零点，在z=0处产生一个极点。分母中的因子(1-pkz-1)在z=pk处产生一个H(z)的极点，在z=0处产生一个零点。H(z)的极点z=pk和零点z=zr，可以是实数、虚数或复数。由于系数ak、br都是实数，所以，若极点（零点）为虚数或复数，则必然共轭成对出现。从式（7-87）可以看出，除常数G外，系统函数完全由其极点和零点决定。因此，系统函数的零、极点分布和它的收敛域决定了系统的特性。7.6离散系统的零、极点与时域响应2024/10/1677【例7-29】设有系统函数如下，画出其零、极点分布。解：系统函数可分解为有一个二阶零点0，一个极点-1-j，一个极点-1+j。可以用MATLAB求出零、极点并画出其分布图。H1(z)的MATLAB程序为b=[300];a=[122];zplane(b,a);title('零、极点分布图')H2(z)的MATLAB程序为b=[321];a=[1022];zplane(b,a);title('零、极点分布图')7.6离散系统的零、极点与时域响应2024/10/16787.6.2H(z)的极点与时域响应对于线性时不变因果系统来说，系统函数H(z)和单位样值响应h(n)是一对单边z变换对。H(z)的极点的性质及极点在z平面上的分布决定了h(n)的形式。H(z)的零点影响h(n)的幅度和相位，H(z)的极点决定系统自由响应的形式。（1）单位圆内极点在单位圆内有一阶实数极点这是一个衰减的指数函数。Z反变换7.6离散系统的零、极点与时域响应2024/10/1679在单位圆内有二阶实极点可以看出随着n的增大，其响应也是衰减的。在单位圆内有一阶共轭复极点H(z)分母中就有因子h(n)形式为这是一个指数衰减的正弦波。单位圆内有二阶共轭复极点H(z)分母中就有因子h(n)形式为可以看出随着n的增大，其响应也是衰减的。7.6离散系统的零、极点与时域响应2024/10/1680【例7-30】设有系统函数画出零、极点分布和单位样值响应。解：利用MATLAB方法，有：%例7-30，单位圆内极点

b1=[10];a1=[1-0.5];[r1,p1,k1]=residue(b1,a1)subplot(321)zplane(b1,a1)%­画零极点图subplot(322)impz(b1,a1)%­画单位样值响应图7.6离散系统的零、极点与时域响应2024/10/1681单位圆内右边极点单位圆内左边极点7.6离散系统的零、极点与时域响应2024/10/1682（2）单位圆上极点在单位圆上有一阶实极点H(z)中就有部分分式h(n)中就有在单位圆上有二阶实极点H(z)中就有部分分式h(n)中就有在单位圆上有共轭复极点h(n)形式为7.6离散系统的零、极点与时域响应2024/10/1683若有二阶共轭复极点h(n)形式为因此，H(z)在单位圆上的一阶极点对应h(n)中的响应为阶跃序列或正弦序列；H(z)在单位圆上的二阶及二阶以上极点对应h(n)中的响应都是随n

的增大而增大的，最终趋于无穷大。【例7-31】设有系统函数画出其零、极点分布和单位样值响应。解：利用MATLAB方法，有：%例7-31，单位圆上极点

b1=[10];a1=[1-1];[r1,p1,k1]=residue(b1,a1)subplot(321)zplane(b1,a1)%­画零极点图subplot(322)impz(b1,a1)%­画单位样值响应图7.6离散系统的零、极点与时域响应2024/10/1684单位圆上右边极点单位圆上左边极点7.6离散系统的零、极点与时域响应2024/10/1685（3）单位圆外极点H(z)在单位圆外的极点对应的h(n)中的响应与单位圆内的极点对应的h(n)响应形式相似，但都随的增大而增大，最终趋于无穷大。即系统的单位样值响应是发散的，因此系统是不稳定的。【例7-32】设有系统函数画出其零、极点分布和单位样值响应。解：利用MATLAB方法，有：%例7-32，单位圆外极点

b1=[10];a1=[1-1.2];[r1,p1,k1]=residue(b1,a1)subplot(321)zplane(b1,a1)%­画零极点图subplot(322)impz(b1,a1)%­画单位样值响应图7.6离散系统的零、极点与时域响应2024/10/1686单位圆外右边极点单位圆外左边极点7.6离散系统的零、极点与时域响应2024/10/16877.7线性时不变离散系统的稳定性2024/10/1688根据时域中稳定性的定义可知，要求系统的有界输入产生有界输出（BIBO），对于LSI系统而言，其稳定的充要条件是单位样值响应h(n)绝对可和。根据系统函数的定义可知若H(z)存在，则式（7-89）右边的级数绝对可和，即（7-89）假设单位圆在H(z)的收敛域内，即在|z|=1收敛，则：（7-90）（7-91）即单位圆在H(z)的收敛域内(充分条件)

系统的单位样值响应绝对可和

，系统稳定。(Bounded-InputBounded-Output)7.7线性时不变离散系统的稳定性2024/10/1689（1）因果系统的极点、稳定性与收敛域假设系统函数H(z)的N个极点pi(i=1,2,…,N)均为一阶极点，故有（7-92）对于因果系统，每个极点对应的子系统的单位样值响应为其z变换的收敛域为|z|>|pi|，因此，H(z)的收敛域为子系统Hi(z)收敛域的交集，即由式（7-92）可得因果系统的单位冲激响应为7.7线性时不变离散系统的稳定性2024/10/1690（7-93）对式（7-93）两边取绝对值，再对

n

求和，式中，

为有限值，（7-94）时，式（7-94）为有限值，系统稳定。欲使不等式（7-95）成立，按照级数收敛的要求，必须满足（7-95）（7-96）即因果系统的极点在单位圆以内，收敛域包含单位圆，系统是稳定的。当7.7线性时不变离散系统的稳定性2024/10/1691（2）非因果系统的极点、稳定性与收敛域对于非因果系统，每个极点的子系统的单位样值响应为其z变换的收敛域为|z|<|pi|，因此，H(z)的收敛域为子系统Hi(z)收敛域的交集，即由式（7-92）可得非因果系统的单位冲激响应为对式（7-97）两边取绝对值，再对

n

求和，（7-97）7.7线性时不变离散系统的稳定性2024/10/1692式中，

为有限值，时，式（7-98）为有限值，系统稳定。欲使不等式（7-99）成立，按照级数收敛的要求，必须满足（7-99）（7-100）即非因果系统的极点在单位圆以外，收敛域包含单位圆，系统是稳定的。（7-98）当7.7线性时不变离散系统的稳定性2024/10/1693（3）双边系统的极点、稳定性与收敛域对于双边系统来说，其单位冲激响应为双边序列。其收敛域必为环状区域，即收敛域为假定式（7-92）中有N1(0,1,2,…,N1-1)个极点对应的时域序列为因果序列，其余N-N1个极点对应的时域序列为非因果序列：将式（7-92）写成（7-101）式（7-101）描述的系统的单位样值响应为（7-102）7.7线性时不变离散系统的稳定性2024/10/1694对式（7-102）两边取绝对值，再对

n

求和，（7-103）式中，

和

为有限值，即：式（7-103）为有限值，系统稳定。当7.7线性时不变离散系统的稳定性2024/10/1695（7-106）（7-107）（7-106）：对于因果子系统，系统稳定条件为极点在单位圆内。（7-107）：对于非因果子系统，系统稳定条件为极点在单位圆外。对于双边系统来说，根据因果系统的收敛域和非因果系统的收敛域可知，其收敛域为因此，双边系统的系统函数的收敛域也须包括单位圆。从上面的分析可知，对于仅含一阶极点的线性时不变系统而言，若系统是稳定的

系统函数的收敛域包含单位圆（必要条件）。可以证明其结论对含多重极点的系统也成立。7.7线性时不变离散系统的稳定性2024/10/1696【例7-33】线性移不变离散系统的系统函数为其收敛域为：(1)；(2)；(3)；(4)

判断系统的因果性和稳定性。解：(1)系统为：非因果、非稳定的。(2)系统为：非因果、稳定的。(3)系统为：非因果、非稳定的。(4)系统为：因果、非稳定的。7.8H(z)与离散系统频率响应2024/10/1697离散系统的频率响应（频率特性）是指系统对不同频率正弦序列的响应特性。根据z变换的定义根据傅里叶变换的定义当z变