2024-2025新教材高中数学课时检测4直线的一般式方程含解析苏教版选择性必修第一册

PAGEPAGE4直线的一般式方程[A级基础巩固]1．直线y－2＝－eq\r(3)(x＋1)的倾斜角及在y轴上的截距分别为()A．60°，2 B．120°，2－eq\r(3)C．60°，2－eq\r(3) D．120°，2解析：选B由题意知tanα＝－eq\r(3)，α∈(0，π)，故α＝120°，令x＝0得直线在y轴上的截距为2－eq\r(3).2．设直线3x－2y－6＝0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则()A．a＝2，b＝－3 B．a＝－2，b＝3C．a＝3，b＝－2 D．a＝－3，b＝2解析：选A将直线化为截距式方程得eq\f(x,2)＋eq\f(y,－3)＝1，故a＝2，b＝－3.3．(多选)过点(2，1)，且斜率k＝－2的直线方程为()A．x－1＝－2(y－2) B．2x＋y－1＝0C．y－1＝－2(x－2) D．2x＋y－5＝0解析：选CD依据直线方程的点斜式可得，y－1＝－2(x－2)，即2x＋y－5＝0.故选C、D.4.(多选)已知直线ax＋by＋c＝0的图象如图，则()A．若c>0，则a>0，b>0B．若c>0，则a<0，b<0C．若c<0，则a>0，b<0D．若c<0，则a>0，b>0解析：选BD由题意知b≠0，将直线化为斜截式方程得y＝－eq\f(a,b)x－eq\f(c,b)，由图可知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(a,b)<0，,－\f(c,b)>0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>0，,\f(c,b)<0.))若c>0，则b<0，a<0，故B正确，若c<0，则b>0，a>0，故D正确，故选B、D.5．已知直线ax＋by－1＝0在y轴上的截距为－1，且它的倾斜角是直线eq\r(3)x－y－eq\r(3)＝0的倾斜角的2倍，则a，b的值分别为()A．－eq\r(3)，－1 B.eq\r(3)，－1C．－eq\r(3)，1 D.eq\r(3)，1解析：选A原方程化为eq\f(x,\f(1,a))＋eq\f(y,\f(1,b))＝1，∴eq\f(1,b)＝－1，∴b＝－1.又∵ax＋by－1＝0的斜率k＝－eq\f(a,b)＝a，且eq\r(3)x－y－eq\r(3)＝0的倾斜角为60°，∴k＝tan120°＝－eq\r(3)，∴a＝－eq\r(3)，故选A.6．若直线(2m2－5m＋2)x－(m2－4)y＋5m＝0的倾斜角是45°，则实数m的值是________．解析：由已知得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(2m2－5m＋2,m2－4)＝1，,m2－4≠0，))∴m＝3.答案：37．若直线l：ax＋y－2＝0在x轴和y轴上的截距相等，则a＝________．解析：由题意知a≠0，当x＝0时，y＝2；当y＝0时，x＝eq\f(2,a)，∵2＝eq\f(2,a)，∴a＝1.答案：18．已知直线(a＋2)x＋(a2－2a－3)y－2a＝0在x轴上的截距为3，则a＝________，直线在y轴上的截距为________．解析：把(3，0)代入已知方程，得(a＋2)×3－2a＝0，∴a＝－6，∴直线方程为－4x＋45y＋12＝0，令x＝0，得y＝－eq\f(4,15).答案：－6－eq\f(4,15)9.如图，某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带肯定重量的行李，假如超过规定，那么须要购买行李车票，行李费用y(单位：元)与行李重量x(单位：kg)的关系用直线AB的方程表示．(1)求直线AB的方程；(2)旅客最多可免费携带多少千克行李？解：(1)由题图知，A，B两点坐标分别为A(60，6)，B(80，10)．由直线方程的两点式或点斜式可求得直线AB的方程是x－5y－30＝0.(2)依题意，令y＝0，得x＝30，即旅客最多可免费携带30kg行李．10．直线方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)的系数A，B，C满意什么条件时，这条直线具有如下性质？(1)与x轴垂直；(2)与y轴垂直；(3)过原点．解：(1)∵与x轴垂直的直线方程为x＝a，即x－a＝0，它缺少y的一次项，∴B＝0.故当B＝0且A≠0时，直线Ax＋By＋C＝0与x轴垂直．(2)类似于(1)可知当A＝0且B≠0时，直线Ax＋By＋C＝0与y轴垂直．(3)将x＝0，y＝0代入Ax＋By＋C＝0，得C＝0.故当C＝0时，直线Ax＋By＋C＝0过原点．[B级综合运用]11．若m，n满意m＋2n－1＝0，则直线mx＋3y＋n＝0过定点()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,6))) B.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,6)))C.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,6)，－\f(1,2))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,6)，\f(1,2)))解析：选B因为m＋2n－1＝0，所以m＝1－2n，代入直线方程mx＋3y＋n＝0中，得y＋eq\f(1,6)＝eq\f(2n－1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))，故直线mx＋3y＋n＝0过定点eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，－\f(1,6))).12．若方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则实数m满意________．解析：当2m2＋m－3＝0时，m＝1或m＝－eq\f(3,2)；当m2－m＝0时，m＝0或m＝1.要使方程(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则2m2＋m－3，m2－m不能同时为0，∴m≠1.答案：m≠113．已知两条直线a1x＋b1y＋4＝0和a2x＋b2y＋4＝0都过点A(2，3)，则过两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)的直线方程为________．解析：由条件知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2a1＋3b1＋4＝0，,2a2＋3b2＋4＝0，))易知两点P1(a1，b1)，P2(a2，b2)都在直线2x＋3y＋4＝0上，即2x＋3y＋4＝0为所求．答案：2x＋3y＋4＝014．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R)，若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴于B，△AOB的面积为S(O为坐标原点)，求S的最小值并求此时直线l的方程．解：如图，由直线l的方程可得Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)，0))，B(0，1＋2k)，依题意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1＋2k,k)＜0，,1＋2k＞0，))解得k＞0.∴S＝eq\f(1,2)|OA|·|OB|＝eq\f(1,2)·eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1＋2k,k)))·|1＋2k|＝eq\f(1,2)·eq\f(（1＋2k）2,k)＝eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4k＋\f(1,k)＋4))≥eq\f(1,2)×(2×2＋4)＝4.等号成立的条件是k＞0且4k＝eq\f(1,k)即k＝eq\f(1,2).∴Smin＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.[C级拓展探究]15．对于问题“求经过点M(2，－1)，N(－3，4)的直线l的方程”，某同学实行的方法如下：首先设直线l：Ax＋By＋C＝0，然后由直线l经过M，N两点得到eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2A－B＋C＝0，,－3A＋4B＋C＝0.))做到这里，该同学认为题目条件不够，无法求解直线l的方程，你同意该同学的观点吗？说