2024-2025学年新教材高中数学单元素养检测一第一二章集合与常用逻辑用语一元二次函数方程和不等式含解析新人教A版必修第一册

PAGE单元素养检测(一)(第一、二章)(120分钟150分)一、单项选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求)1.下列四个命题正确的个数是 ()①{0}是空集;②若a∈N,则-a∉N;③集合{x∈R|x2-2x+1=0}有两个元素;④集合QUOTE是有限集.A.1 B.2 C.3 D.0【解析】选D.①因为{0}是含有一个元素0的集合,而不是空集,所以①不正确.②当a=0时,因为0∈N,所以②不正确.③因为x2-2x+1=0,x1=x2=1,所以{x∈R|x2-2x+1=0}={1},所以③不正确.④因为当x为正整数的倒数时,QUOTE∈N,所以QUOTE是无限集,所以④不正确.2.设集合A={x|x≤QUOTE},a=QUOTE,那么 ()A.aA B.a∉AC.{a}∉A D.{a}A【解析】选D.因为A是集合,a是元素,两者的关系应是属于与否的关系.{a}与A是包含与否的关系,所以A、C明显不对,而QUOTE<QUOTE,所以a是A的一个元素,{a}是A的一个子集,故选D.3.命题“∀x∈R,|x|+x2≥0”的否定是 ()A.∀x∈R,|x|+x2<0 B.∀x∈R,|x|+x2≤0C.∃x∈R,|x|+x2<0 D.∃x∈R,|x|+x2≥0【解析】选C.“∀x∈R,|x|+x2≥0”的否定是“∃x∈R,|x|+x2<0”.4.若非空集合A,B,U满足A∪B=U,A∩B=∅,则称(A,B)为U的一个分割,则集合U={1,2,3}的不同分割有 ()A.5个 B.6个 C.7个 D.8个【解析】选B.依题意可得,当集合A为{1}时,B为{2,3};当A为{2}时,B为{1,3};当A为{3}时,B为{1,2};同时对调A,B的位置,也可得到三对集合,所以符合条件的有6个.5.已知x1,x2∈R,则“x1>1且x2>1”是“x1+x2>2且x1x2>1”的 ()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分又不必要条件【解析】选A.由x1>1且x2>1得x1+x2>1+1=2,x1x2>1×1=1,所以“x1>1且x2>1”是“x1+x2>2且x1x2>1”的充分条件;设x1=3,x2=QUOTE,则x1+x2=QUOTE>2且x1x2=QUOTE>1,但x2<1,所以不满足必要性.6.(2024·全国卷Ⅱ)设集合A={x|x2-5x+6>0},B={x|x-1<0},则A∩B= ()A.(-∞,1) B.(-2,1)C.(-3,-1) D.(3,+∞)【解析】选A.解集合A:x<2或x>3,集合B:x<1.结合数轴可得A∩B=(-∞,1).7.若关于x的一元二次不等式x2+mx+1≥0的解集为R,则实数m的取值范围是()A.m≤-2或m≥2 B.-2≤m≤2C.m<-2或m>2 D.-2<m<2【解析】选B.因为不等式x2+mx+1≥0的解集为R,所以Δ=m2-4≤0,解得-2≤m≤2.8.将进货单价为80元的商品按90元一个售出时,能卖出400个,每涨价1元,其销售量就削减20个,为了使商家利润有所增加,则售价a的取值范围应是()A.90<a<100 B.90<a<110C.100<a<110 D.80<a<100【解析】选A.设每个涨价x元,y表示涨价后的利润与原利润之差,则y=(10+x)(400-20x)-10×400=-20x2+200x.要使商家利润有所增加,则必需使y>0,即x2-10x<0,得0<x<10.所以售价a的取值范围为90<a<100.二、多项选择题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,在每小题给出的四个选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,选对但不全的得3分,有选错的得0分)9.下列命题正确的是 ()A.若a>b,则ac2>bc2 B.若a>-b,则-a<bC.若ac>bc,则a>b D.若a>b,则a-c>b-c【解析】选BD.当c=0时,A选项错误;若c<0时,C错.10.下列说法正确的是 ()A.很小的实数可以构成集合B.集合{x|y=x2-1}与集合{(x,y)|y=x2-1}是同一个集合C.由1,QUOTE,QUOTE,QUOTE,0.5这些数组成的集合有4个元素D.集合{(x,y)|xy<0,x,y∈R}是指其次或第四象限内的点集【解析】选CD.A很小的实数标准不确定,故不能构成集合;对于B,其中第一个集合是数集,其次个集合是点集,故不是同一集合.对于C,因为QUOTE=QUOTE=0.5,故这些数组成的集合有4个元素.对于D,因为xy<0,故点(x,y)是其次或第四象限内的点.综上,CD正确.11.以下四个命题正确的是 ()A.“a>b”是“a2>b2”的充分条件B.“|a|>|b|”是“a2>b2”的必要条件C.“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件D.设a,b∈R,且ab≠0,若QUOTE<1,则QUOTE>1【解析】选BC.A.由2>-3⇒/22>(-3)2知,该命题为假命题;B.a2>b2⇒|a|2>|b|2⇒|a|>|b|,该命题为真命题;C.a>b⇒a+c>b+c,又a+c>b+c⇒a>b;“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件为真命题;D.可举反例:如a,b异号,虽然QUOTE<1,但QUOTE<0.12.下列函数,最小值为2的函数是 ()A.y=x+QUOTE B.y=x2-2x+3C.y=x+2QUOTE+3 D.y=QUOTE【解析】选BD.A中x的正负无法确定;B中y=x2-2x+3=(x-1)2+2最小值为2,正确;C中y=x+2QUOTE+3=(QUOTE+1)2+2,当x=0时,其最小值为3;D.中y=QUOTE=QUOTE+QUOTE≥2(当且仅当QUOTE=QUOTE,即x=0时取等号)三、填空题(本大题共4个小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)13.已知集合A={1,2,4,8},B={2,4,6},则A∪B=________,A∩B=________.

【解析】因为A∪B是由A,B的全部元素组成的.所以A∪B={1,2,4,6,8},A∩B={2,4}.答案:{1,2,4,6,8}{2,4}14.当x>1时,不等式x+QUOTE≥a恒成立,则实数a的最大值为________.

【解析】x+QUOTE≥a恒成立⇔QUOTE≥a.因为x>1,所以x-1>0,所以x+QUOTE=x-1+QUOTE+1≥2QUOTE+1=3(当x=2时取等号).所以a≤3,即a的最大值为3.答案:315.若f(x)=QUOTE对随意实数x都成立,则实数k的取值范围是________.

【解析】①当k=0时,8>0成立.②当k≠0时,只需QUOTE⇒QUOTE则0<k≤1.由①②知0≤k≤1.答案:0≤k≤116.下列命题:①设a,b是非零实数,若a<b,则ab2>a2b;②若a<b<0,则QUOTE>QUOTE;③函数y=QUOTE的最小值是2;④若x,y是正数,且QUOTE+QUOTE=1,则xy的最小值16.其中正确命题的序号是________.

【解析】①中ab2-a2b=ab(b-a).由于a,b符号不定,故上式符号无法确定,故①不对.②中在a<b两边乘以正数QUOTE,得QUOTE>QUOTE,故②对.③中y=QUOTE=QUOTE+QUOTE≥2,但由QUOTE=QUOTE得x2+2=1无解,故③不对.④中,因为QUOTE+QUOTE=1≥2QUOTE,所以xy≥16,即④对.答案:②④四、解答题(本大题共6个小题,共70分,解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)已知集合A={x|3≤x<6},B={x|2<x<9}.(1)分别求R(A∩B),(RB)∪A.(2)已知C={x|a<x<a+1},若C⊆B,求实数a的取值范围.【解析】(1)因为A∩B={x|3≤x<6},所以R(A∩B)={x|x<3或x≥6}.因为RB={x|x≤2或x≥9},所以(RB)∪A={x|x≤2或3≤x<6或x≥9}.(2)因为C⊆B,所以QUOTE所以2≤a≤8.所以实数a的取值范围为:2≤a≤8.【补偿训练】已知A={x|x2-2x-8=0},B={x|x2+ax+a2-12=0}.若B∪A≠A,求实数a的取值范围.【解析】若B∪A=A,则B⊆A,又因为A={x|x2-2x-8=0}={-2,4},所以集合B有以下三种状况:①当B=∅时,Δ=a2-4(a2-12)<0,即a2>16,所以a<-4或a>4.②当B是单元素集时,Δ=a2-4(a2-12)=0,所以a=-4或a=4.若a=-4,则B={2}⊈A;若a=4,则B={-2}⊆A.③当B={-2,4}时,-2,4是方程x2+ax+a2-12=0的两根,所以QUOTE所以a=-2.综上可得,B∪A=A时,a的取值范围为a<-4或a=-2或a≥4.所以满足B∪A≠A的实数a的取值范围为{a|-4≤a<4,且a≠-2}.18.(12分)已知集合A={x|-1<x<3},B={x|x≤m-1或x≥m+1}.(1)当m=0时,求A∩B.(2)若p:-1<x<3,q:x≤m-1或x≥m+1,且q是p的必要不充分条件,求实数m的取值范围.【解析】(1)当m=0时,B={x|x≤-1或x≥1},又A={x|-1<x<3},所以A∩B={x|1≤x<3}.(2)因为p:-1<x<3,q:x≤m-1或x≥m+1.q是p的必要不充分条件,所以m-1≥3或m+1≤-1,所以m≤-2或m≥4.19.(12分)设二次方程x2+ax+b=0和x2+cx+15=0的解集分别是A和B,又A∪B={3,5},A∩B={3},求a,b,c的值.【解析】因为A∩B={3},所以3肯定为方程x2+cx+15=0的根,于是c=-8,将c=-8代回方程,得方程的两根为3,5,又因为A∪B={3,5},A∩B={3},所以方程x2+ax+b=0有两个相等的实数根为3,所以3+3=-a,3×3=b.所以a=-6,b=9,c=-8.20.(12分)已知关于x的不等式kx2-2x+6k<0(k≠0).(1)若不等式的解集为{x|x<-3或x>-2},求k的值.(2)若不等式的解集为R,求k的取值范围.【解析】(1)因为不等式kx2-2x+6k<0的解集为{x|x<-3或x>-2},所以x1=-3与x2=-2是方程kx2-2x+6k=0(k≠0)的两根,所以-QUOTE=QUOTE=-3-2,所以k=-QUOTE.(2)若不等式的解集为R,即kx2-2x+6k<0恒成立,则满足QUOTE所以k<-QUOTE,所以k的取值范围为QUOTE.21.(12分)已知集合A=QUOTE,B={x|x+m2≥1}.若“x∈A”是“x∈B”的充分条件,求实数m的取值范围.【解析】y=x2-QUOTEx+1=QUOTE+QUOTE,因为x∈QUOTE,所以QUOTE≤y≤2,所以A=QUOTE.由x+m2≥1,得x≥1-m2,所以B={x|x≥1-m2}.因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件,所以A⊆B,所以1-m2≤QUOTE,解得m≥QUOTE或m≤-QUOTE,故实数m的取值范围是QUOTE∪QUOTE.22.(12分)根据某学者的理论,假设一个人生产某产品单件成本为a元,假如他卖出该产品的单价为m元,则他的满足度为QUOTE;假如他买进该产品的单价为n元,则他的满足度为QUOTE.假如一个人对两种交易(卖出或买进)的满足度分别为h1和h2,则他对这两种交易的综合满足度为QUOTE.现假设甲生产A,B两种产品的单件成本分别为12元和5元,乙生产A,B两种产品的单件成本分别为3元和20元,设产品A,B的单价分别为mA元和mB元,甲买进A与卖出B的综合满足度为h甲,乙卖出A与买进B的综合满足度为h乙.(1)求h甲和h乙关于mA,mB的表达式;当mA=QUOTEmB时,求证:h甲=h乙.(2)设mA=QUOTEmB,当mA,mB分别为多少时,甲、乙两人的综合满足度均最大?最大的综合满足度为多少?(3)记(2)中最大的综合满足度为h0,试问能否适当选取mA,mB的值,使得h甲≥h0和h乙≥h0同时成立,但等号不同时成立?试说明理由.【解析】设mA=x,mB=y.(1)甲买进产品A的满足度:h1甲=QUOTE;甲卖出产品B的满足度:h2甲=QUOTE;甲买进产品A和卖出产品B的综合满足度:h甲=QUOTE;同理,乙卖出产品A和买进产品B的综合满足度:h乙=QUOTE.当x=QUOTEy时,h甲=QUOTE=QUOTE=QUOTE,h乙=QUOTE=QUOTE=QU