2024-2025学年新教材高中数学模块整合一课一练含解析北师大版必修第一册

PAGEPAGE5模块整合1.☉%764###0#%☉(复旦高校自主招生)已知函数f(x)的定义域为(0,1),则g(x)=f(x+c)+f(x-c)在0<c<12时的定义域为()。A.(-c,1+c)B.(1-c,c)C.(1+c,-c)D.(c,1-c)答案：D解析：要使函数式有意义,需0<x因为0<c<12,所以c<x<1-c,即定义域为(c,1-c)2.☉%#*4##071%☉(全国中学数学联赛(陕西赛区)预赛)设函数f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,c均为非零整数)。若f(a)=a3,f(b)=b3,则c的值为()。A.-16B.-4C.4D.16答案：D解析：令g(x)=f(x)-x3=ax2+bx+c,则由f(a)=a3,f(b)=b3,得g(a)=g(b)=0,所以a,b为方程g(x)=0的两个根,则a+b=-ba,ab=ca。消去b,得c=-a4a+1=-(a2+1)(a-1)-1a+1。因为a,b,c为非零整数,所以a+1=-1,3.☉%9#611*￥@%☉(清华高校实力测试题)函数f(x)=2x-21x([x]表示不超过x的最大整数)的值域为(A.{0}B.{0,1}C.{0,1,2}D.{1,2}答案：B解析：本题等价于求函数g(x)=[2x]-2[x],x≠0的值域,考虑到函数g(x)是周期为1的函数,因此只需考虑在x∈(0,1]上的值域,事实上,我们有g(x)=0,x∈(4.☉%12#7@￥7#%☉(全国中学数学联赛(陕西赛区)预赛)已知a=log85,b=log43,c=23,则a,b,c的大小关系是()A.a>b>cB.b>c>aC.b>a>cD.c>b>a答案：C解析：由已知得a=log235,b=log23,c=23=log234。因为35>34,所以a>c。由52<33,得35<3,故a<b。综上,5.☉%44￥@6*0￥%☉(2024·全国中学数学联赛(浙江赛区)预赛)设f(x)=|x+1|+|x|-|x-2|,则f(f(x))+1=0有个不同的解。

答案：3解析：由题设可得,f(x)=-因为f(f(x))+1=0,所以若f(x)≤-1,则-f(x)-3+1=0,得f(x)=-2;若-1<f(x)≤0,则f(x)-1+1=0,得f(x)=0;若0<f(x)≤2,则3f(x)-1+1=0,得f(x)=0,此状况不符合题意,舍去;若f(x)>2,则f(x)+3+1=0,得f(x)=-4,此状况不符合题意,舍去。所以f(x)=-2或f(x)=0。当x≤-1时,f(x)≥-2;当-1<x≤0时,-2<f(x)≤-1;当0<x≤2时,-1<f(x)≤5;当x>2时,f(x)>5。故由f(x)=-2,得-x-3=-2,解得x=-1;由f(x)=0,得-x-3=0或3x-1=0,解得x=-3或x=13所以f(f(x))+1=0共有3个不同的解。6.☉%8￥*82@1@%☉(全国中学数学联赛(江苏赛区)复赛)若函数f(x)=(x2-1)(x2+ax+b)对于随意x∈R都满意f(x)=f(4-x),则f(x)的最小值是。

答案：-16解析：f(1)=f(-1)=0,又f(x)=f(4-x),所以f(3)=f(5)=0,所以f(x)=(x2-1)(x-3)(x-5)=(x2-4x+3)(x2-4x-5)。令t=x2-4x+4,t≥0,则函数f(x)可转化为g(t)=(t-1)(t-9)=(t-5)2-16,所以f(x)的最小值是-16。7.☉%*5@*381@%☉(全国中学数学联合竞赛一试(A卷))正实数u,v,w均不等于1,若loguvw+logvw=5,logvu+logwv=3,则logwu的值为。

答案：45解析：令loguv=a,logvw=b,则logvu=1a,logwv=1b,loguvw=loguv+loguv·logvw=a+ab,已知条件可化为a+ab+b=5,1a+1b=3,由此可得ab=54。因此logwu=logwv·logvu8.☉%50*8##*8%☉(2024·全国中学联赛湖北赛区)三名工人加工同一种零件,他们在一天中的工作状况如图1所示,其中点Ai的横、纵坐标分别为第i名工人上午的工作时间和加工的零件数,点Bi的横、纵坐标分别为第i名工人下午的工作时间和加工的零件数,i=1,2,3。图1(1)记Qi为第i名工人在这一天中加工的零件总数,则Q1,Q2,Q3中最大的是;

答案：Q1解析：设线段AiBi的中点为Ci(xi,yi),i=1,2,3,则Qi=2yi,作图可得C1的纵坐标比C2,C3的纵坐标都大,所以Q1,Q2,Q3中最大的是Q1。(2)记pi为第i名工人在这一天中平均每小时加工的零件数,则p1,p2,p3中最大的是。

答案：p2解析：由题意,pi=yixi,i=1,2,3,连接OC1,OC2,OC3,比较可知OC2的斜率最大,所以p1,p2,p3中最大的是9.☉%892***@5%☉(上海交通高校自主招生)已知f1(x)=1-xx+1,对于一切正整数n,都有fn+1(x)=f1(fn(x)),且f3(x)=f6(x),求f28答案：解:由f1(x)=1-xx+1,fn+1(x)=f1(fn(x)),得f2(x)=∴f3(x)=1-xx+1,f6(由f3(x)=f6(x)得1-xx+1=x,解得∴f28(x)=x=-1±2。10.☉%##3#043*%☉(北京高校自主招生)已知f(x)=x2-53x+196+|x2-53x+196|,求f(1)+f(2)+…+f(50)。答案：解:f(x)=x2-53x+196+|x2-53x+196|=(x-4)(x-49)+|(x-4)(x-49)|。当4≤x≤49时,(x-4)(x-49)≤0,此时f(x)=0。因此f(1)+f(2)+…+f(50)=f(1)+f(2)+f(3)+f(50)=2×(144+94+46+46)=660。11.☉%2#*@68*2%☉(浙江高校自主招生)设M={x|f(x)=x},N={x|f(f(x))=x}。(1)求证:M⊆N;答案：证明:若M=⌀,则明显有M⊆N;若M≠⌀,则对随意x0∈M,满意f(x0)=x0,所以f(f(x0))=f(x0)=x0。故x0∈N,所以M⊆N。(2)f(x)单调递增时,是否有M=N?并证明。答案：解:M=N。证明:假如M≠N,由(1)知M⊆N,则必存在x1∈N,但x1∉M,因此f(x1)≠x1。①若f(x1)>x1,由于f(x)为单调递增函数,所以f(f(x1))>f(x1),即x1>f(x1),冲突;②若f(x1)<x1,由于f(x)为单调递增函数,所以f(f(x1))<f(x1),即x1<f(x1),冲突。综合①②可知f(x1)=x1,因此x1∈M,与假设冲突,所以假设不成立,故M=N。12.☉%@￥4#@863%☉(卓越联盟自主招生节选)已知函数f(x)=ax2+1bx,其中a是非零实数,b>0。求f答案：解:当a>0时,f(x)=axb+1bx为对勾函数。f(x)在-∞,-aa,aa,+当a<0时,f(x)=-abx+1bx,f(x)在13.☉%###2@424%☉(福州竞赛)设a,b,c为正数,且满意a2+b2=c2。(1)求证:log21+b+ca答案：证明:左边=log21+b+ca1+a-cb=log(2)假如log41+b+ca=1,log8(a+b-c)=23,那么a,答案：解:由log4a+b+ca=1得-3a+b+由log8(a+b-c)=23得a+b-c=4②由题设知a2+b2=c2③。①+②得b-a=2④。由①得c=3a-b,代入③得a(4a-3b)=0。因为a>0,所以4a-3b=0⑤。由④⑤得a=6,b=8,则c=10。14.☉%6@#62@5#%☉(清华高校等七校联考)已知圆柱形水杯质量为a克,其重心在圆柱轴的中点处(杯底厚度及重量忽视不计,且水杯直立放置)。质量为b克的水恰好装满水杯,装满水后的水杯的重心还在圆柱轴的中点处。(1)若b=3a,求装入半杯水后的水杯的重心到水杯底面的距离与水杯高的比值;答案：解:方法一:不妨设水杯高为1个单位。装入半杯水后,这时,杯子质量∶水的质量=2∶3,杯子的重心位置(这里的重心位置指重心到水杯底面的距离)为12,水的重心位置为14,所以装入半杯水后的水杯的重心位置为2×12+3×方法二:不妨设水杯高为1个单位。由题意可知,当装了半杯水后,杯子质量∶水的质量=a∶b2因为b=3a,所以杯子质量∶水的质量=2∶3,即杯子占总质量的25,水占总质量的35。又因为杯子的重心位置(这里的重心位置指重心到水杯底面的距离)为12,水的重心位置为14,所以装入半杯水后的水杯的重心位置为12×25+14×35(2)水杯内装多少克水可以使装入水后的水杯的重心最低?为什么?答案：方法一:当装入水后的水杯的重心最低时,重心恰好位于水面上,设装入x克水,这时,杯子质量∶水的质量=a∶x,杯子的重心位置为12,水的重心位置为x2b,水面位置为xb,于是a·12+x·方法二:设装入x克水后的水杯重心位置为y,将问题转化为:求当x为何值时,y最小。当装入x克水后,杯子质量∶水的质量=a∶x,即杯子占总质量的aa+x,水占总质量的xa因为装入b克水的高度为1,所以装入x克水