2022-2023学年北京市房山区九年级上学期期中考试数学试卷含详解

2022-2023学年北京市房山区九年级(上)期中数学试卷一、选择题(本题共8道小题，每小题2分，共16分)下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.那么AC:AE的值是()3.如图，F是ABC的边AB上一点，则下列条件不能判定△ACF与△ABC相似的是()B.∠ACF=∠BD.AC²=AF,AB的表达式为()A.y=2(x+2)²+3C.y=2(x-2)²-35.地质勘探人员为了估算某条河的宽度，在河对岸选定一个目标点O,再在他们所在的这一侧选取点A,B,D,使得AB⊥AO,DB⊥AB,然后找到DO和AB的交点C,如图所示，测得AC=16m,BC=8m,DB=7m,则A.16mB.15mC.14mA.y₁<y₂<y₃B.y₁<y₃<y₂C.y₃<y₁<y₂7.下列关于抛物线y=x²+bx+b-2的说法正确的是()C.此抛物线与x轴没有公共点D.对于任意的实数b,此抛物线与x轴总有两个交点8.如图，将矩形ABCD对折，使AD和BC边重合，得到折痕EF,EF与对角线BD交于点P,连接DE和CE,CE与BD交于点O,有如下5个结论：④△BOE与△COD面积之比是1:2;⑤△BOC与△DOE的面积相等.其中正确的有()二、填空题(本题共8道小题，每小题2分，共16分) 10.如图，小刚在打网球时，球恰好能打过网，且落在离网5m的位置上，则他的球拍击球的高度是m. X01234ymn14.给出定义：抛物线y=ax²+bx+c(a≠0)与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,连接AC、CB,若满足x12345678 三、解答题(本题共11道小题，共68分.17,22每题5分；18,20,21,23,25每题6分；19,24,26,27每题7分)(1)求二次函数的表达式；(2)该函数图象的对称轴为,顶点坐标为(3)在所给的平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象(列表，描点、连线).20.已知：二次函数图象如图所示.(1)求这个二次函数的表达式；(3)当0≤x≤3时，函数y的最大值为:最小值为21.如图，在ABC中，AD平分∠BAC,E是AD上一点，且BE=BD.(1)求证：△ABE△ACD;22.如图，在正方形网格上有△ABC以及一条线段DE.请你以DE为一条边.以正方形网格的格点23.在某场篮球比赛中，一位运动员在距篮下7m,三分线外跳起投篮，球运行的路线大致是抛物线，当球运行的水平距离为4m时，达到最大高度3.86m,然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.v(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)该运动员身高1.84m,在这次跳投中，球在头顶上方0.3m处出手，问：球出手时，她跳离地面的高度是多少?交于A、C两点，点C坐标为(2,3)(1)求一次函数及二次函数表达式；①当点E位于点D的上方时，结合函数的图像直接写出m的取值范围；②当点E在线段AC上时，求线段DE长度的最大值及此时点E的横坐标.喜欢钻研他想到了两种解决问题的思路，作出了辅助线，请你选择其中一种，在此基础上完成证明(若自己有其它证法，可利用备用图完成证明).方法一证明：如图，过点D作DM⊥AB于M,过点D作DN⊥AC于N.BB备用图26.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=mx²-2mx-2(m≠0))与y轴交于点A,其对称轴与x轴交于点B.(1)求点A,B的坐标；(2)设直线l与直线AB关于该抛物线的对称轴对称，求直线l的解析式；(3)若该抛物线在-2<x<-1这一段位于直线l的上方，并且在2<x<3这一段位于直线AB的下方，求该抛物线的解析式.27.在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=-x²+mx+n与x轴交于点A,B(A在B的左侧).(1)抛物线对称轴为直线x=-3,AB=4.求抛物线的表达式；(2)平移(1)中的抛物线，使平移后的抛物线经过点O,且与x正半轴交于点C,记平移后的抛物线顶点为P,(3)当m=4时，抛物线上有两点M(x1,yi)和N(x2,y2),若xi<2,x₂>2,xi+x₂>4,试判断y₁与y₂小，并说明理由.2022-2023学年北京市房山区九年级(上)期中数学试卷一、选择题(本题共8道小题，每小题2分，共16分)下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的.【解析】【分析】根据两内项之积等于两外项之积对各选项分析判断即可得解.B、由得，3x=2y,故本选项符合题意；C、由得，2x=3y,故本选项不符合题意；D、由得，xy=6,故本选项不符合题意.【点睛】本题考查了比例的性质，主要利用了两内项之积等于两外项之积，熟记性质是解题的关键。2.如图，已知AB//CD//EF,BD:DF=1:2,那么AC:AE的值是()AA【答案】A【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理得到AC:CE=BD:DF=1:2,然后利用比例性质即可得出答案进行选择.【详解】解：∵AB//CD//EF,【点睛】本题考查平行线分线段成比例即三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.3.如图，F是ABC的边AB上一点，则下列条件不能判定△ACF与ABC相似的是()【解析】【分析】利用相似三角形的判定方法依次判断可求解.【详解】解：A、若∠AFC=∠ACB,且∠A=∠A,则。AFC∽△ACB,故选项A不合题意；【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，灵活运用所学知识求解是解决本题的关键.的表达式为()A.y=2(x+2)²+3B.y=2(x+2)²-3C.y=2(x-2)²-3D.y=2(x-2)²+3【解析】【分析】根据二次函数图象左加右减，上加下减的平移规律进行求解.【点睛】本题考查了二次函数图象的平移，解题关键是熟练掌握平移规律“左加右减，上加下减”的运用.5.地质勘探人员为了估算某条河的宽度，在河对岸选定一个目标点O,再在他们所在的这一侧选取点A,B,D,使得AB⊥AO,DB⊥AB,然后找到DO和AB的交点C,如图所示，测得则可计算出河宽AO为()A.16mB.15mC.14m【答案】C【解析】【分析】在AOC和△BCD中，由AB⊥AO,DB⊥AB得到∠OAC=∠DBC=90°,又根据对顶角相等得到两三角形相似，根据相似三角形的对应边成比例，再代入数据，即可求出河宽OA的长.故选C.【点睛】本题考查三角形相似的判定和性质.掌握三角形相似的判定定理是解题关键.A.y₁<y₂<y₃B.y₁<y₃<y₂C.y₃<y₁<【答案】C【解析】【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键。A.此抛物线的开口比抛物线y=-x²的开口大B.当b>0时，此抛物线的对称轴在y轴右侧C.此抛物线与x轴没有公共点D.对于任意的实数b,此抛物线与x轴总有两个交点当b>0时，与二次项的系数的符号相同，则抛物线的对称轴位于y轴的左侧，故B选项错误，不符合题意；由于△=b²-4b+8=(b=2)²+4>0,所以该抛物线与x轴有两个公共点，8.如图，将矩形ABCD对折，使AD和BC边重合，得到折痕EF,EF与对角线BD交于点P,连接DE和CE,CE与BD交于点O,有如下5个结论：①EF与BD互相平分；④△BOE与△COD的面积之比是1:2;⑤△BOC与△DOE的面积相等.其中正确的有()A.①②③B.①②④C.①②⑤D.①②③⑤【解析】【分析】①由折叠性质知，,结合矩形性质得BE=DF,连接BF,证明四边形BFDE是平行四边形，便可判断①的正误；②证明_OBEO_ODC,得OE:OC=BE:CD=1:2,便可判断正误；③证明四边形BCFE为平行四边形，得EF//BC,得_OPEO_OBC,求得OP:OB=1:2,进而求得OP:OB:PD,便可判断正误；⑤根据平行线的性质得SBcE=SBDE,由SBcE-S_OBE=SBDE-SoBE得出结果，便可判断正误.【详解】解：①∵四边形ABCD是矩形，连接BF,【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定与性质，综合性较强，数形结合思想的运用和几何推理是解题的关键.【答案】【解析】【分析】直接利用比例的性质即可得出答案.【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的相关性质是解题的关键.10.如图，小刚在打网球时，球恰好能打过网，且落在离网5m的位置上，则他的球拍击球的高度是m.【解析】【分析】根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE//BC可知，△ADEO△ACB,根据其相似比即可求解.则【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题.11.已知某二次函数图像的最低点是坐标原点，请写出一个符合要求的二次函数表达式【解析】【分析】根据二次函数的顶点是坐标原点，设函数的解析式为：y=ax²,根据顶点是二次函数图像的最低点，结合二次函数的性质得到a>0,任取负数a代入原解析式，即可得到答案.【详解】解：∵二次函数的顶点是：(0,0),∴抛物线开口方向向上，令a=1,∴二次函数的解析式为：y=x²(答案不唯一).【点睛】此题考查了写二次函数的解析式，熟练掌握二次函数的图像与性质是解答此题的关键。12.在二次函数中，y与x的部分对应值如下表：X01234ymn则m、n的大小关系为mn.(填“>”,“=”或“<”)【答案】=【解析】【分析】根据表格信息，找出一对自变量不同，函数值相同的点，求出对称轴，然后求出x=1与x=2到对称轴的距离，判定点(2,n)与(1,m)关于抛物线对称轴对称，利用对称轴确定m=n即可.【详解】解：根据表格信息，x=-1,与x=4时函数值都是-7,∴抛物线的对称轴为;故答案为：=.【点睛】本题考查表格信息的获取与应用，求抛物线的对称轴，利用对称性质确定函数值的大小是解题关键.13.在设计“利用相似三角形的知识测量树高”的综合实践方案时，晓君想到了素描课上老师教的方法，如图，请一位同学右手握笔，手臂向前伸直保持笔杆与地面垂直，前后移动调整自己的位置，直到看见笔杆露出的部分刚好遮住树的主干，这时测量同学眼睛到笔的距离AB、同学到树干的距离AC,以及露出笔的长度DE,就可通过计算得到树的高度，这种实践方案主要应用了相似三角形的性质定理：.(填写定理内容)【答案】相似三角形对应高的比等于相似比【解析】【分析】根据题意推知△ADE∽△AFG,且AB是VADE的高，AC是△AFG的高，结合相似三角形对应边上高的比等于相似比解答.【详解】解：如图，设树高为GF,根据题意推知△ADEO△AFG,且AB⊥DE,AC⊥FG,所以故答案为：相似三角形对应高的比等于相似比.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，熟知相似三角形对应高的比等于相似比是解本题的关键.【答案】直线【解析】【分析】利用“相似抛物线”的定义结合相似三角形的性质列式求得线段OA,OB的长度，得到A、B两点的坐标，即可求解.解得x=1,掌握相似三角形的性质，列出比例式是解题的关键.x2345678 【答案】3.7(答案不唯一)【解析】【分析】根据题意和表格中的数据可以写出一个符合题意的值，注意本题答案不唯一，但要接近x=4.则关于x的一元二次方程ax²+bx+c=0的两个实数根中，其中的一个实数根约等于3.7,故答案为：3.7(答案不唯一).【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，写出一个符合要求的即可，本题答案不唯一.【解析】于点C,则四边形OABC为矩形，三、解答题(本题共11道小题，共68分.17,22每题5分；18,20,21,23,25每题6分；19,24,26,27每题7分)【解析】代入BO=4,DO=2,AB=3,即可求出CD的长.【解析】【分析】(1)根据待定系数法求得二次函数解析式即可；(2)利用二次函数增减性分析得出答案.【小问1详解】【小问2详解】故答案为：>0【点睛】此题考查了待定系数法求解函数解析式，二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质.(2)该函数图象的对称轴为,顶点坐标为(3)在所给的平面直角坐标系xOy中，画出该函数的图象(列表，描点、连线).(3)见解析【解析】【分析】(1)用配方法配方成顶点式即可；(2)由(1)写出抛物线顶点坐标，对称轴方程；(3)根据抛物线对称轴找出x,y对应值，用列表、描点，连线即可.【小问1详解】【小问2详解】【小问3详解】X12345y【点睛】此题考查了将一般式二次函数化为顶点式，函数的图象和性质，描点法画函数图象，正确掌握20.已知：二次函数图象如图所示.(1)求这个二次函数的表达式；(3)当0≤x≤3时，函数y的最大值为;最小值为(2)x>3或x<1【小问1详解】【小问2详解】【小问3详解】∴当0≤x≤3时，函数y的最大值为3,最小值为-1.式.21.如图，在_ABC中，AD平分∠BAC,E是AD上一点，且BE=BD.(1)求证：△ABE∽△ACD;【答案】(1)见解析(2)【解析】【分析】(1)根据角平分线的定义得到∠BAE=∠CAD,根据等腰三角形的性质得到∠BED=∠BDE,由等角的补角相等得到∠AEB=∠ADC,根据相似三角形的判定定理即可得到结论；(2)根据相似三角形的性质得到化简即可得到结论.【小问1详解】证明：∵AD平分∠BAC,小问2详解】【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键.22.如图，在正方形网格上有△ABC以及一条线段DE【解析】【分析】可先选定BC与DE为对应边，对应边之比为1:2,据此来选定点F的位置，相似比亦可得.23.在某场篮球比赛中，一位运动员在距篮下7m,三分线外跳起投篮，球运行的路线大致是抛物线，当球运行的水平距离为4m时，达到最大高度3.86m,然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05m.y(1)建立如图所示的平面直角坐标系，求抛物线的表达式；(2)该运动员身高1.84m,在这次跳投中，球在头顶上方0.3m处出手，问：球出手时，她跳离地面的高度是多少?【解析】小问1详解】解：由于球在半空中达到最大高度3.86m,则设：二次函数表达式为y=ax²+3.86(a≠0),【小问2详解】设运动员跳离地面高度为hm,得h+1.84+0.3=-0.09×16+3答：运动员跳离地面的高度是0.28m.交于A、C两点，点C坐标为(2,3).(1)求一次函数及二次函数表达式；①当点E位于点D的上方时，结合函数的图像直接写出m的取值范围；②当点E在线段AC上时，求线段DE长度的最大值及此时点E的横坐标.【答案】(1)y=x+1,y=-x²+2x+3(2)①m<-1或m>2,②有最大值此【解析】【分析】(1)利用待定系数法即可求得一次函数及二次函数表达式；(2)①根据图像即可求解；②设D(m,-m²+2m+3),则E(m,m+1),根据题意得到利用二次函数的性质即可求得线段DE长度的最大值及此时点E的横坐标.小问1详解】解：∵一次函数y=x+b的图像过点C(2,3),【小问2详解】∴当点E位于点D的上方时，观察图像，则m<-1或m>2;②设D(m,-m²+2m+3),则E(m,m+1),当点E在线段AC上时，则-1<m<2,*此时E点的横坐标为*【点睛】本题考查了一次函数与二次函数综合，熟练掌握一次函数与二次函数的性质是解本题的关键.25.晓宁同学在学习中遇到了以下一个几何问题：喜欢钻研的他想到了两种解决问题的思路，作出了辅助线，请你选择其中一种，在此基础上完成证明(若自己有其它证法，可利用备用图完成证明).方法一备用图【解析】AD为角平分线，得到一对角相等，等量代换及等角例，等量代换即可得证.【详解】证明：方法一：如图，过点A作AP⊥BD于P.