专题3.1勾股定理（原卷版）

专题3.1勾股定理【教学目标】1、掌握勾股定理的内容；2、会用面积法证明勾股定理，能利用勾股定理求出边长；【题型目录】亮题一：用勾股定理解三角形亮题二：利用勾股定理求面积亮题三：勾股定理与折叠问题亮题四：用勾股定理构造图形解决问题【知识亮解】知识点一勾股定理的概念勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果用，，分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么．数学小史：勾股定理是我国最早发现的，中国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦，“勾股定理”因此而得名．（在西方文献中又称为毕达哥拉斯定理）。据《周髀算经》记载，公元前1000多年就发现“勾三股四弦五”的结论。注意：（1）“直角三角形”是勾股定理的前提条件，解题时，首先看题目中有没有具备这个条件，只有具有这个条件，才能利用勾股定理求第三条边。（2）在应用勾股定理时要注意它的训练：（3）应用勾股定理时要分清直角三角形中的直角边和斜边，在一些直角三角形中斜边不一定是用字母表示，只有当时，，若，则。（4）在实际问题中，若图中无直角，可通过添加辅助线来构造直角三角形。知识点二勾股定理的验证方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形．图（1）中，所以．方法二：将四个全等的直角三角形拼成如图（2）所示的正方形．图（2）中，所以．方法三：如图（3）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形．，所以．亮题一：用勾股定理解三角形1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，DE是AB的垂直平分线，若BC＝8，BD＝5，则AC的长为（

）A．3 B．4 C．5 D．132．在中，，垂直平分交于点，交于点，若，，则的长是（）A．8 B．10 C．12 D．13．在RtABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm，点D是AB的中点，连接CD，则线段CD的长为（

）A．3cm B．4cm C．5cm D．10cm4．如图在Rt△ABC中，，AB=8，AC=10，AC的垂直平分线DE分别交AB、AC于D、E两点，则BD的长为（

）A． B． C．2 D．5．在中，，若，，则＝______．6．小东和小明要测量校园里的一块四边形场地ABCD（如图所示）的周长，其中边CD上有水池及建筑遮挡，没有办法直接测量其长度．小东经测量得知AB＝AD＝5m，∠A＝60°，BC＝12m，∠ABC＝150°．小明说根据小东所得的数据可以求出CD的长度为_____．7．如图，∠MON＝90°．△ABC中，AC＝BC＝10，AB＝12，点A、B分别在边OM，ON上．当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，△ABC的形状保持不变，在运动过程中，点C到点O的最大距离为_____．8．如图，在一个直角三角形ABC纸片中，∠B＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，将其折叠，恰使边AB落在斜边AC上，点B落在点E处，折痕交边BC于点F，则BF的长为________cm．9．为了预防新冠疫情，某中学在大门口的正上方A处装着一个红外线激光测温仪离地米（如图所示），当人体进入感应范围内时，测温仪就会显示人体体温．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），测温仪自动显示体温，则人体头顶离测温仪的距离AD等于___米．10．一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝6米，水的深度（AB）为________米11．如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为，大正方形的面积为，则直角三角形较短的直角边与较长的直角边的比的值是______．12．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直（如图所示），试问绳索有多长?”．根据题意求出绳索的长为______尺．亮题二：利用勾股定理求面积1．下列各图是以直角三角形各边为边，在三角形外部画正方形得到的，每个正方形中的数及字母S表示所在正方形的面积．其中S的值恰好等于10的是（

）A． B． C． D．2．如图，阴影部分表示以Rt△ABC的各边为直径的三个半圆所组成的两个新月形，面积分别记作S1和S2．若S1＋S2＝7，AB＝6，则△ABC的周长是（

）A．12.5 B．13 C．14 D．153．有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正方形（如图②），如果按此规律继续“生长”下去，那么它将变得“枝繁叶茂”．在“生长”了2022次后形成的图形中所有正方形的面积和是（

）A．2021 B．2022 C．2023 D．20244．如图是我国数学家赵爽的股弦图，它由四个全等的直角三角形和小正方形拼成的一个大正方形．已知大正方形的面积是26，小正方形的面积是2，直角三角形的较短直角边长为a，较长直角边长为b，那么的值为（

）．A．28 B．50 C．26 D．1695．如图，两个正方形的面积分别为9和16，则直角三角形的斜边长为_____．6．在如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若涂黑的四个正方形的面积的和是10cm2，则图中正方形A的面积为_________cm2．7．用三张正方形纸片，按如图所示的方式构成图案，已知围成阴影部分的三角形是直角三角形，S1＝8，S3＝17，则正方形S2的面积为_____．8．如图是“勾股树”的部分图，其中最大的正方形的边长为7cm，则正方形A，B，C，D的面积之和为_____．9．定义：如图①．如果点D在的边上且满足．那么称点D为的“理根点”，如图②，在中，，如果点D是的的“理根点”，如图②，在中，，如果点D是的“理想点”，连接．求的长．10．甲同学在拼图探索活动中发现；用4个形状大小完全相同的直角三角形（直角边长分别为，a，b，斜边长为c，可以拼成像图1那样的正方形，并由此得出了关于a2，b2，c2.的一个等式．（1）请你写出这一结论：，并给出验证过程；（2）试用上述结论解决问题：如图2如图，在四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90°，分别以四边向外作正方形甲、乙，丙、丁，若甲的面积为30，乙的面积为16，丙的面积为17，求“丁”的面积．亮题三：勾股定理与折叠问题1．如图有一块直角三角形纸片，，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则BD的长为（

）A． B．1.5 C． D．32．在中，，，，点、分别是直角边和斜边上的点，把沿着直线折叠，点恰好落在边的中点上，则线段的长度为（

）A． B． C．3 D．43．如图，三角形纸片ABC中，∠BAC＝90°，AB＝2，AC＝3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（

）A． B． C． D．4．如图，将矩形ABCD沿直线DE折叠，顶点A落在BC边上F处，已知，，则BF的长为（

）A．5 B．4 C．3 D．25．如图，折叠直角三角形纸片，使得点与点重合，折痕为．若，，则的长是______．6．如图，已知ABCD是长方形纸片，，在CD上存在一点E，沿直线AE将折叠，D恰好落在BC边上的点F处，且，则的面积是________．7．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC=8，BC＝6，将△ADE沿DE翻折，使点A与点B重合，则CE的长为______．8．如图，在中，．将折叠，使点B恰好落在边上，与点重合，为折痕，则的周长为__________．9．如图，在中，∠ACB＝90°，AB＝20，AC＝12，把沿AD折叠，使AB落在直线AC上．(1)BC＝______；(2)求重叠部分（阴影部分）的面积．10．如图直角三角形纸片中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝8，AC＝6，沿点B的直线折叠这个三角形，使点C在AB边上的点E处，折痕为BD．（1）求△ADE的周长；（2）求DE的长．亮题四：用勾股定理构造图形解决问题1．两只蚂蚁在水平地面上从同一地点出发，一只以每分钟12cm的速度朝正东方向爬行，一只以每分钟16cm的速度朝正南方向爬行，10分钟之后两只蚂蚁相距（

）A．120cm B．160cm C．200cm D．280cm2．（九章算术）是中国传统数学的重要著作之一，奠定了中国传统数学的基本框架．如图所示是其中记我的一道“折竹”问题：“今有竹高一丈，末折抵地，去根四尺，向折者高几何？“题意是：一根竹子原高1丈（1丈尺），中部有一处折断，竹梢触地面处离竹根4尺．则折断处离地面的高度为（

）A．4.1 B．4.2 C．4.5 D．4.83．我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为尺，将它向前水平推送尺时，即尺，秋千踏板离地的距离和身高尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”，设秋千的绳索长为尺，根据题意可列方程为（

）A． B．C． D．4．《九章算术》第九章有如下题目，原文：今有垣高一丈，倚木于垣，上与垣齐．引木却行一尺，其木至地．问木长几何？译文是：今有墙高1丈，倚木杆于墙．使木杆之上端与墙平齐．牵引木杆下端退行1尺，则木杆（从墙上）滑落至地上．间木杆长是多少？（1丈=10尺，1尺=10寸）（

）A．5尺5寸 B．1丈1尺 C．5丈5寸 D．5丈5尺5．为了预防新冠疫情，某中学在大门口的正上方A处装着一个红外线激光测温仪离地米（如图所示），当人体进入感应范围内时，测温仪就会显示人体体温．一个身高1.6米的学生CD正对门，缓慢走到离门1.2米的地方时（米），测温仪自动显示体温，则人体头顶离测温仪的距离AD等于___米．6．一根直立于水中的芦节（BD）高出水面（AC）2米，一阵风吹来，芦苇的顶端D恰好到达水面的C处，且C到BD的距离AC＝6米，水的深度（AB）为________米7．如图，我国古代的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，若小正方形的面积为，大正方形的面积为，则直角三角形较短的直角边与较长的直角边的比的值是______．8．《算法统宗》是中国古代数学名著，作者是我国明代数学家程大位．在《算法统宗》中有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行二步与人齐，五尺人高曾记．仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉．良工高士素好奇，算出索长有几?”译文：“有一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它往前推送10尺（水平距离）时，秋千的踏板就和人一样高，这个人的身高为5尺，秋千的绳索始终拉得很直（如图所示），试问绳索有多长?”．根据题意求出绳索的长为______尺．9．我国明代有一位杰出的数学家程大位在所著的《直至算法统宗》里有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记；仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉，良工高士素好奇，算出索长有几？”诗的意思是：当秋千静止时，秋千的踏板离地的距离为一尺，将秋千的踏板往前推两步，这里的每一步合五尺，秋千的踏板与人一样高，这个人的身高为五尺，当然这时秋千的绳索是呈直线状态的，求这个秋千的绳索有多长．40．我国古代数学著作《九章算术》中有这样一个问题：“今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深、葭长各几何？”（注：丈、尺是长度单位，1丈＝10尺，1尺＝米），这段话翻译成现代汉语，即为：如图，有一个水池，水面是一个边长为一丈的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面，则水池里水的深度与这根芦苇的长度分别是多少米？请你用所学知识解答这个问题．【亮点训练】训练一：勾股定理基本计算【训练1】★在Rt△ABC中，∠B＝90°，a＝3，b＝4，则c＝__________；【训练2】★若已知一个直角三角形的周长为30cm，其中一个直角边长为12cm，则它的斜边为__________cm．【训练3】★在△ABC中，∠A、∠B、∠C的对应边分别是a、b、c，若∠A＋∠C＝90°，则下列等式中成立的是()A．a2＋b2＝c2 B．a2＋c2＝b2C．b2＋c2＝a2 D．c2－a2＝b2【训练4】★一直角三角形两边分别为3和5，则第三边为（）A.4 B. C.4或 D.2【训练5】★一个直角三角形，两直角边长分别为3和2，则三角形的周长为________．训练二：利用勾股定理求面积【训练1】★★如图，图中所有的三角形都是直角三角形，四边形都是正方形，其中最大正方形的边长为10，则四个正方形，，，的面积之和为A．24 B．56 C．121 D．100【训练2】★★如图，中，，以、为直径作半圆和，且，则的长为A．16 B．8 C．4 D．2【训练3】★如图，其中所有三角形都是直角三角形，所有四边形都是正方形．若，，，和分别代表相应的正方形的面积，且，，，，则等于A．25 B．31 C．32 D．40训练三：利用勾股定理求长度【训练1】★★在等腰中，已知，于．（1）若，求的度数；（2）若，，求的长．【训练2】★★如图，在中，，是上一点，已知，，，求的长．【训练3】★★★如图，在中，，，正方形的面积为，于点，求的长．【训练4】★★如图，铁路上A、B两点相距25km，C、D为两村庄，DA＝10km，CB＝15km，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，现要在AB上建一个中转站E，使得C、D两村到E站的距离相等．求E应建立在距A多远外？【培优检测】一、单选题1．（2022·山东济宁·八年级期中）下列各组数中，是勾股数的一组是(

)A．6，7，8 B．0.6，0.8，1 C．5，12，13 D．2，4，52．（2022·新疆阿克苏·八年级期中）在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，则的长为（

）A．5 B．10 C．6 D．83．（2022·广东·深圳外国语学校七年级期末）在Rt△ABC中，，．则＝（

）A．8 B．16或64 C．4 D．4或164．（2022·广东·陆河县河城中学八年级阶段练习）在中，，，，则的值为（

）A．50 B．35 C．34 D．255．（2022·江西赣州·八年级期末）如图，直线l上有三个正方形a，b，c，若a，c的面积分别为3和4，则b的面积为（

）．A．5 B．6 C．7 D．86．（2021·云南曲靖·八年级期中）下列各组数中，是勾股数的是(

)A． B．3，4，7 C．6，8，10 D．1，，27．（2022·湖北孝感·八年级阶段练习）2002年8月在北京召开的国际数学大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图），如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短的直角边为a，较长的直角边为b，那么的值为（

）A．25 B．16 C．14 D．128．（2022·湖北宜昌·八年级期中）如图，各小方格的边长为1，△ABC的各顶点都在个点上，则BC边上的高等于（

）A．2.5 B．2.6 C．1.7 D．1.69．（2022·广西柳州·八年级期中）如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=1，BC=2．四边形ADEC是正方形，则正方形ADEC的面积是（）A．3 B．4 C．5 D．610．（2022·浙江金华·八年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，点E，F在斜边AB上，将边AC沿CE翻折，使点A落在AB上的点D处，再将边BC沿CF翻折，使点B落在CD延长线上的点处，则线段的长为（

）A． B． C．1 D．二、填空题11．（2022·福建福州·八年级期中）如图所示，边长为1的正方形网格中，点A、B、C落在格点上，则的度数为______°．12．（2022·陕西西安·八年级期中）中，，若，则_______．13．（2022·湖南·株洲县教学研究室八年级期末）在中，，AD平分交BC于点D．若，，，则点D到AB的距离是_________．14．（2022·黑龙江哈尔滨·八年级期末）如图，在ABC中，AC＝BC，∠ACB＝90°，点E在AC边上，EF⊥AB于点F，连接EB，AF＝3，EFB的周长为12，则EB的长为____．15．（2022·广西·南宁二中八年级期末）如图所示的图形表示勾股定理的一种证明方法，该方法运用了祖冲之的出入相补原理．若图中空白部分的面积是，整个图形连同空白部分的面积是，则大正方形的边长是______．16．（2022·宁夏吴忠·八年级期末）在中，，若，则__________．17．（2022·重庆一中七年级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，点D是边AC上一点，将△BCD沿BD翻折，使点C恰好落在AB边上的点E处，线段BD上有一动点P，则△PAE周长的最小值为______．18．（2022·四川宜宾·八年级期末）在△ABC中，AB=BC，∠ABC＝90°，D为AC边上中点，过D点作DE⊥DF交AB于E，交BC于F，若AB的长为4，则四边形BFDE的面积为___．19．（2022·河北·秦皇岛市第七中学八年级期末）如图，在中，，，，将折叠，使点A落在边上，对应点为D，若折痕与边交于点E、与边交于点F，则的取值范围是________．20．（2021·陕西·西北大学附中七年级期末）如图，已知、、、都是等腰直角三角形．若阴影部分的面积是20cm2，则、的面积之和是______cm2．三、解答题21．（2022·山东济南·七年级期末）已知：如图，在中，于点D，E为AC上一点，且，．(1)求证：；(2)已知，，求AF的长．22．（2021·福建龙岩·八年级阶段练习）如图，英西中学有一块三角形形状的花圃，现在测量到∠A＝45°，BC＝5m，AC上的高为4m，请你求出这块花圃的面积？23．（2022·江苏·八年级专题练习）勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若骛，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法，证法如下：把两个全等的直角三角形（Rt△ABC≌Rt△DAE）如图1放置，∠DAB＝∠B＝90°，AC⊥DE于点F，点E在边AB上，现设Rt△ACB两直角边长分别为CB＝b、BA＝a，斜边长为AC＝c，请用a、b、c分别表示出梯形ABCD、四边形AECD、△EBC的面积，再探究这三个图形面积之间的关系，可得到勾股定理(1)请根据上述图形的面积关系证明勾股定理；(2)如图2，铁路上A、B两点（看作直线上的两点）相距40千米，CD为两个村庄（看作直线上的两点），AD⊥AB，BC⊥AB，垂足分别为A、B，AD＝25千米，BC＝16千米，则两个村庄的距离为多少千米．24．（2022·广东潮州·八年级期末）如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC=6，BC=8，CD=3．(1)求AB和DE的长；(2)求△ADB的面积．25．（2022·福建福州·八年级期末）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．(1)如图1所示的大正方形，是由两个正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成的．用两种不同的方法计算图中阴影部分的面积，可以得到的数学等式是；(2)如图2所示的大正方形，是由四个三边长分别为a、b、c的全等的直角三角形（a、b为直角边）和一个正