专题3.2勾股定理的逆定理（原卷版）

《讲亮点》20222023学年八年级数学上册教材同步配套讲练《苏科版》专题3.2勾股定理的逆定理【教学目标】1、了解勾股定理的逆定理的证明方法和证明过程；2、掌握勾股定理的逆定理，并能判定一个三角形是否为直角三角形；3、会运用勾股定理的逆定理解决相关实际问题。【教学重难点】1、勾股定理的逆定理的证明和运用；2、勾股定理的逆定理的证明。【知识亮解】知识点：勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理：如果一个三角形的三边长分别为a，b，c，且a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．勾股定理与其逆定理的区别与联系：区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个三角形三边的数量关系，即a2+b2=c2；勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”为条件，进而得出这个三角形是直角三角形，是识别一个三角形是直角三角形的重要依据。联系：（1）两者都与三角形三边关系a2+b2=c2有关；（2）两者都与直角三角形有关。2.勾股数：满足关系a2+b2=c2的三个正整数a，b，c，称为勾股数。常见的勾股数有：（1）3，4,5；（2）6,8,10；（3）9，12,15；（4）5,12,13；（5）8,15,17；（6）7,24,25；亮题一：判断直角三角形【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.【例1】★在以线段，，的长三边的三角形中，不能构成直角三角形的是A．，， B． C．，， D．，，【例2】★如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，则△ABC的形状为（）A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上答案都不对【例3】★在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，且（a+b）（a﹣b）=c²，则（）A．∠A为直角 B．∠C为直角C．∠B为直角D．不是直角三角形【例4】★★已知，如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥BC，垂足为D，交AB于点E，且BE2﹣EA2=AC2，①求证：∠A=90°．②若DE=3，BD=4，求AE的长．【例5】★★如图所示，在由单位正方形组成的网格图中标有AB，CD，EF，GH四条线段,其中能构成直角三角形三边的线段是()A.CD，EF，GHB.AB，EF，GHC.AB，CD，GHD.AB，CD，EF亮题二：勾股数相关问题【方法点拨】勾股数的求法：如果a为1个大于1的奇数，b，c是两个连续的自然数，且有a²=b+c，则a,b,c为一组勾股数；如果a,b,c为一组勾股数，那么na，nb，nc也是一组勾股数，其中n为自然数.【例1】★下列各组数据是勾股数的有组．（填写数量即可）（1）6，8，10（2）1.5，2，2.5（3），，（4）7，24，25（5），，【例2】★下列各组数中不是勾股数的是（）A．3，4，5 B．4，5，6 C．5，12，13 D．6，8，10【例3】★已知a=3，b=4，若a，b，c能组成直角三角形，则c=（）A．5 B． C．5或 D．5或6【例4】★★我们把符合等式a2+b2=c2的a、b、c三个称为勾股数．现请你用计算器验证下列各组的数是否勾股数．你能发现其中规律吗？请完成下列空格．3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；_______，_______；…【例5】★★我们把满足方程x2+y2=z2的正整数的解（x、y、z）叫做勾股数，如，（3，4，5）就是一组勾股数．（1）请你再写出两组勾股数：（），（）；（2）在研究直角三角形的勾股数时，古希腊的哲学家柏拉图曾指出：如果n表示大于1的整数，x=2n，y=n2﹣1，z=n2+1，那么以x，y，z为三边的三角形为直径三角形（即x，y，z为勾股数），请你加以证明．亮题三：勾股定理逆定理的应用【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形.【例1】★★如图，已知在四边形中，，，，，．（1）连结，求的长；（2）求的度数；（3）求出四边形的面积【例2】★一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发，如图所示，轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处，同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处，若M、N两点相距100海里，则∠NOF的度数为（）A．50° B．60° C．70° D．80°【例3】★★如图，AD=8，CD=6，∠ADC=90°，AB=26，BC=24，该图形的面积等于_________．【例4】★★如图所示，在△ABC中，AC=8cm，BC=6cm；在△ABE中，DE为AB边上的高，DE=12cm，△ABE的面积S=60cm2．（1）求出AB边的长；（2）你能求出∠C的度数吗？请试一试．【亮点训练】1．满足下列条件的三角形中，不是直角三角形的是（

）A．三内角之比为 B．三边长的平方之比为C．三边长之比为 D．三边长之比为2．一个三角形三边满足，则这个三角形的形状是（

）．A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形3．工人师傅想利用木条制作一个直角三角形形状的模具，那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是（

）A．30、40、50 B．8、15、17 C．12、35、37 D．13、16、184．如图，在一块四边形ABCD空地种植草皮，测得m，m，m，m，且．若每平方米草皮需要200元，则需要投资（

）A．16800元 B．7200元 C．5100元 D．无法确定5．有3cm，4cm，5cm和9cm的小棒各一根，从中选出三根恰好可以围成一个直角三角形，这个直角三角形的面积是（

）A．6 B．10 C．7.5 D．13.56．在中，，，上的高长为，则的面积为______．7．若三角形三边满足，且三角形周长为24cm，则这个三角形最长边上的高为__．8．如图，点D在△ABC中，∠BDC＝90°，AB＝6，AC＝BD＝4，CD＝2，则图中阴影部分的面积为______．9．如图所示的网格是正方形网格，图形的各个顶点均为格点，则_____．10．如图，中，，，，为边的中点，则______．11．如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，小明以格点为顶点画出了．(1)小华看了看说，是直角三角形，你同意他的观点吗？说明理由．(2)在中，求边上高的长．12．如图，在一块四边形空地种植草皮，测得，，，且．若每平方米草皮需要200元，则需要投资多少钱？13．在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，BC=20cm，BD=16cm，CD=12cm，求BC边上的高．14．已知：如图，，，，，，求四边形的面积．15．如图，在△ABC中，AB＝13，BC＝14，D是BC边上一点，AD＝12，CD＝9．(1)求证：；(2)若E是边AC的中点，求DE的长．【培优检测】1．下列长度的三条线段，能组成直角三角形的是（）A．2，3，4 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，4，52．已知a，b，c是某三角形的三边，满足，则此三角形的面积为（

）A．30 B．60 C．78 D．32.53．如图，在四边形ABCD中，AB=2，BC=2，CD=1，DA=3，且∠ABC=90°，则∠BCD的度数是（

）A．90° B．120° C．135° D．150°4．如图是用三块正方形纸片设计的“毕达哥拉斯”图案，其中三块正方形围成的三角形是直角三角形．现有若干块正方形纸片，面积分别是1，2，3，4，5，选取其中三块（可重复选取）按图的方式组成图案，则下列选取中，围成的直角三角形面积最大的是（

）A．1，4，5 B．2，3，5 C．3，4，5 D．2，2，45．如图是医院、公园和超市的平面示意图，超市B在医院O的南偏东25°的方向上，且到医院O的距离为30m，公园A到医院O的距离为40m．若AB之间的距离为50m，则公园A在医院O的（

）．A．北偏东75°方向上 B．北偏东65°方向上C．北偏东55°方向上 D．北偏西65°方向上6．如图，正方形网格中每一个小正方形的边长为1，小正方形的顶点为格点，点，，为格点，点为与网格线的交点，则__________．7．如图，已知点D为边上的中点，，则线段的长度为____________．8．如图，方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”（格线的交点），以这五个格点中的任意三点为三角形的顶点画三角形，其中直角三角形有______个．9．如图，的两外角平分线交于点D，延长DC至点G，连接BG，使得，若的面积为4，，则线段BD的长度为_________．10．如图，在△ABC中，AB=6，BC=10，AC=8，点D是BC的中点，如果将△ACD沿AD翻折后，点C的对应点为点E，那么CE的长等于________.11．某港口位于东西方向的海岸线上．“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，“远航”号每小时航行16海里，“海天”号每小时航行12海里．它们离开港口一个半小时后相距30海里．求PQ、PR的长．如果知道“远航”号沿东北方向航行，能知道“海天”号沿哪个方向航行？为什么？12．如图，请按下列要求作图：在正方形网格中选择三个格点，使之构成直角三角形；①三边为有理数②三边为无理数③两边是无理数，一边是有理数．13．如图，在Rt△A