专题3.2勾股定理的逆定理(原卷版)_第1页
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文档简介

《讲亮点》20222023学年八年级数学上册教材同步配套讲练《苏科版》专题3.2勾股定理的逆定理【教学目标】1、了解勾股定理的逆定理的证明方法和证明过程;2、掌握勾股定理的逆定理,并能判定一个三角形是否为直角三角形;3、会运用勾股定理的逆定理解决相关实际问题。【教学重难点】1、勾股定理的逆定理的证明和运用;2、勾股定理的逆定理的证明。【知识亮解】知识点:勾股定理的逆定理1.勾股定理的逆定理:如果一个三角形的三边长分别为a,b,c,且a2+b2=c2,那么这个三角形是直角三角形.勾股定理与其逆定理的区别与联系:区别:勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件,进而得到这个三角形三边的数量关系,即a2+b2=c2;勾股定理的逆定理是以“一个三角形的三边满足a2+b2=c2”为条件,进而得出这个三角形是直角三角形,是识别一个三角形是直角三角形的重要依据。联系:(1)两者都与三角形三边关系a2+b2=c2有关;(2)两者都与直角三角形有关。2.勾股数:满足关系a2+b2=c2的三个正整数a,b,c,称为勾股数。常见的勾股数有:(1)3,4,5;(2)6,8,10;(3)9,12,15;(4)5,12,13;(5)8,15,17;(6)7,24,25;亮题一:判断直角三角形【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.【例1】★在以线段,,的长三边的三角形中,不能构成直角三角形的是A.,, B. C.,, D.,,【例2】★如图,正方形网格中的△ABC,若小方格边长为1,则△ABC的形状为()A.直角三角形 B.锐角三角形C.钝角三角形D.以上答案都不对【例3】★在△ABC中,∠A,∠B,∠C的对边分别为a,b,c,且(a+b)(a﹣b)=c²,则()A.∠A为直角 B.∠C为直角C.∠B为直角D.不是直角三角形【例4】★★已知,如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥BC,垂足为D,交AB于点E,且BE2﹣EA2=AC2,①求证:∠A=90°.②若DE=3,BD=4,求AE的长.【例5】★★如图所示,在由单位正方形组成的网格图中标有AB,CD,EF,GH四条线段,其中能构成直角三角形三边的线段是()A.CD,EF,GHB.AB,EF,GHC.AB,CD,GHD.AB,CD,EF亮题二:勾股数相关问题【方法点拨】勾股数的求法:如果a为1个大于1的奇数,b,c是两个连续的自然数,且有a²=b+c,则a,b,c为一组勾股数;如果a,b,c为一组勾股数,那么na,nb,nc也是一组勾股数,其中n为自然数.【例1】★下列各组数据是勾股数的有组.(填写数量即可)(1)6,8,10(2)1.5,2,2.5(3),,(4)7,24,25(5),,【例2】★下列各组数中不是勾股数的是()A.3,4,5 B.4,5,6 C.5,12,13 D.6,8,10【例3】★已知a=3,b=4,若a,b,c能组成直角三角形,则c=()A.5 B. C.5或 D.5或6【例4】★★我们把符合等式a2+b2=c2的a、b、c三个称为勾股数.现请你用计算器验证下列各组的数是否勾股数.你能发现其中规律吗?请完成下列空格.3,4,5;5,12,13;7,24,25;9,40,41;_______,_______;…【例5】★★我们把满足方程x2+y2=z2的正整数的解(x、y、z)叫做勾股数,如,(3,4,5)就是一组勾股数.(1)请你再写出两组勾股数:(),();(2)在研究直角三角形的勾股数时,古希腊的哲学家柏拉图曾指出:如果n表示大于1的整数,x=2n,y=n2﹣1,z=n2+1,那么以x,y,z为三边的三角形为直径三角形(即x,y,z为勾股数),请你加以证明.亮题三:勾股定理逆定理的应用【方法点拨】如果三角形两边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形是直角三角形.【例1】★★如图,已知在四边形中,,,,,.(1)连结,求的长;(2)求的度数;(3)求出四边形的面积【例2】★一艘轮船和一艘渔船同时沿各自的航向从港口O出发,如图所示,轮船从港口O沿北偏西20°的方向行60海里到达点M处,同一时刻渔船已航行到与港口O相距80海里的点N处,若M、N两点相距100海里,则∠NOF的度数为()A.50° B.60° C.70° D.80°【例3】★★如图,AD=8,CD=6,∠ADC=90°,AB=26,BC=24,该图形的面积等于_________.【例4】★★如图所示,在△ABC中,AC=8cm,BC=6cm;在△ABE中,DE为AB边上的高,DE=12cm,△ABE的面积S=60cm2.(1)求出AB边的长;(2)你能求出∠C的度数吗?请试一试.【亮点训练】1.满足下列条件的三角形中,不是直角三角形的是(

)A.三内角之比为 B.三边长的平方之比为C.三边长之比为 D.三边长之比为2.一个三角形三边满足,则这个三角形的形状是(

).A.等腰三角形 B.等边三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形3.工人师傅想利用木条制作一个直角三角形形状的模具,那么下列各组数据不符合直角三角形的三边长的是(

)A.30、40、50 B.8、15、17 C.12、35、37 D.13、16、184.如图,在一块四边形ABCD空地种植草皮,测得m,m,m,m,且.若每平方米草皮需要200元,则需要投资(

)A.16800元 B.7200元 C.5100元 D.无法确定5.有3cm,4cm,5cm和9cm的小棒各一根,从中选出三根恰好可以围成一个直角三角形,这个直角三角形的面积是(

)A.6 B.10 C.7.5 D.13.56.在中,,,上的高长为,则的面积为______.7.若三角形三边满足,且三角形周长为24cm,则这个三角形最长边上的高为__.8.如图,点D在△ABC中,∠BDC=90°,AB=6,AC=BD=4,CD=2,则图中阴影部分的面积为______.9.如图所示的网格是正方形网格,图形的各个顶点均为格点,则_____.10.如图,中,,,,为边的中点,则______.11.如图,正方形网格中的每个小正方形的边长都是1,每个小格的顶点叫做格点,小明以格点为顶点画出了.(1)小华看了看说,是直角三角形,你同意他的观点吗?说明理由.(2)在中,求边上高的长.12.如图,在一块四边形空地种植草皮,测得,,,且.若每平方米草皮需要200元,则需要投资多少钱?13.在△ABC中,AB=AC,点D在AC上,BC=20cm,BD=16cm,CD=12cm,求BC边上的高.14.已知:如图,,,,,,求四边形的面积.15.如图,在△ABC中,AB=13,BC=14,D是BC边上一点,AD=12,CD=9.(1)求证:;(2)若E是边AC的中点,求DE的长.【培优检测】1.下列长度的三条线段,能组成直角三角形的是()A.2,3,4 B.2,3,5 C.3,4,5 D.2,4,52.已知a,b,c是某三角形的三边,满足,则此三角形的面积为(

)A.30 B.60 C.78 D.32.53.如图,在四边形ABCD中,AB=2,BC=2,CD=1,DA=3,且∠ABC=90°,则∠BCD的度数是(

)A.90° B.120° C.135° D.150°4.如图是用三块正方形纸片设计的“毕达哥拉斯”图案,其中三块正方形围成的三角形是直角三角形.现有若干块正方形纸片,面积分别是1,2,3,4,5,选取其中三块(可重复选取)按图的方式组成图案,则下列选取中,围成的直角三角形面积最大的是(

)A.1,4,5 B.2,3,5 C.3,4,5 D.2,2,45.如图是医院、公园和超市的平面示意图,超市B在医院O的南偏东25°的方向上,且到医院O的距离为30m,公园A到医院O的距离为40m.若AB之间的距离为50m,则公园A在医院O的(

).A.北偏东75°方向上 B.北偏东65°方向上C.北偏东55°方向上 D.北偏西65°方向上6.如图,正方形网格中每一个小正方形的边长为1,小正方形的顶点为格点,点,,为格点,点为与网格线的交点,则__________.7.如图,已知点D为边上的中点,,则线段的长度为____________.8.如图,方格中的点A、B、C、D、E称为“格点”(格线的交点),以这五个格点中的任意三点为三角形的顶点画三角形,其中直角三角形有______个.9.如图,的两外角平分线交于点D,延长DC至点G,连接BG,使得,若的面积为4,,则线段BD的长度为_________.10.如图,在△ABC中,AB=6,BC=10,AC=8,点D是BC的中点,如果将△ACD沿AD翻折后,点C的对应点为点E,那么CE的长等于________.11.某港口位于东西方向的海岸线上.“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口,各自沿一固定方向航行,“远航”号每小时航行16海里,“海天”号每小时航行12海里.它们离开港口一个半小时后相距30海里.求PQ、PR的长.如果知道“远航”号沿东北方向航行,能知道“海天”号沿哪个方向航行?为什么?12.如图,请按下列要求作图:在正方形网格中选择三个格点,使之构成直角三角形;①三边为有理数②三边为无理数③两边是无理数,一边是有理数.13.如图,在Rt△A

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