6.3平面向量的基本定理及坐标表示重点强化提升讲义高三数学一轮复习

6.3平面向量的基本定理及坐标表示知识知识归纳1．平面向量基本定理e1,e2是平面内两个不共线向量，那么对这一平面内的任意向量a，有且只有一对实数λ1，λ我们把不共线的向量e12．“爪”子定理形式1：在△ABC中，D是BC上的点，如果|BD|＝m，|DC|＝n，则AD=特别地，若D为线段BC的中点，则AD=形式2：在△ABC中，D是BC上的点，且eq\o(BD,\s\up6(→))＝λeq\o(BC,\s\up6(→))，则eq\o(AD,\s\up7(→))＝λeq\o(AC,\s\up7(→))＋(1－λ)eq\o(AB,\s\up7(→))，特别地，若D为线段BC的中点，则AD=3．平面向量的坐标运算(1)向量加法、减法、数乘及向量的模设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1)).(2)向量坐标的求法①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标．②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).4．平面向量共线的坐标表示设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0.a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝eq\r(x2＋y2).(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A、B两点间的距离|AB|＝|eq\o(AB,\s\up6(→))|＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.6．向量在平面几何中的应用(1)用向量解决常见平面几何问题的技巧：问题类型所用知识公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a∥b⇔a＝λb⇔x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)垂直问题数量积的运算性质a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中a，b为非零向量夹角问题数量积的定义cosθ＝eq\f(a·b,|a|·|b|)(θ为向量a，b的夹角)长度问题数量积的定义|a|＝eq\r(a2)＝eq\r(x2＋y2)，其中a＝(x，y)7．奔驰定理与三角形“四心”1.奔驰定理:如图，已知P为内一点，则有.2.奔驰定理的推论及四心问题推论是内的一点,且,则已知点在内部，有以下四个推论：①若为的重心，则；②若为的外心，则；或③若为的内心，则；备注：若为的内心，则也对.④若为的垂心，则，或考点讲解考点讲解题型一：平面向量基本定理1．（2024·湖南益阳·一模）在平行四边形中，，，若，则（

）A． B． C． D．1【答案】B【分析】利用平面向量的线性运算求出即可求出.【详解】由题意如图所示：因为，所以，所以，故选：B.2．（2024·四川·一模）如图，在中，点，分别在，边上，且，，点为中点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据条件，结合图形，利用向量的中线公式，得到，再利用向量的线性运算，即可求解.【详解】因为点为中点，所以，又，，所以故选：C.3．（2024·广东·二模）已知向量与能作为平面向量的一组基底，若与共线（），则k的值是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】引入参数，由平面向量基本定理建立方程组即可求解.【详解】若与共线，则设，因为向量与能作为平面向量的一组基底，所以，所以，解得.故选：B.4．（2024·天津南开·二模）已知在平行四边形中，，，记，，用和表示；若，，则值为.【答案】/【分析】对于空1，由得，结合即可得解；对于空2，利用已知条件将向量和转换成向量和来表示即可得解.【详解】因为，所以，所以；因为，所以，所以，故，即，又，故，即，因为，，所以.故答案为：；.题型二：平面向量正交分解和坐标表示1．如图，分别取与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量作为基底，若，，则向量的坐标为（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】由向量的坐标表示即可得解.【详解】由题意得，．故选：A．2．如图，当时，定义平面坐标系xOy为仿射坐标系，在仿射坐标系中，任意一点M的斜坐标这样定义：若，其中，分别为与x轴、y轴正方向相同的单位向量，则M的斜坐标为．在仿射坐标系中，若，M的斜坐标为，则O到M的距离为（

）A．1 B． C． D．3【答案】B【分析】根据题意，用，表示，求出模.【详解】依题意，所以，得．故选：B．3．(多选)用下列，能表示向量的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】AB【分析】根据题意，设，利用向量的坐标运算，得到关于的方程组，结合方程组的解，即可求解.【详解】对于A中，设，可得，则，方程组有无数组解，例如时，，所以A成立；对于B中，设，可得，则，解得时，，所以B成立；对于C中，设，可得，则，此时方程组无解，所以不能表示，所以C不成立；对于D中，设，可得，则，此时方程组无解，所以不能表示，所以D不成立.故选：AB.4．在平面直角坐标系中，已知，当绕原点逆时针旋转得到，则的坐标为.【答案】【分析】由三角函数的定义，结合两角和与差的正弦、余弦公式求解【详解】设点在角的终边上，可得，则点在角的终边上，坐标为故答案为：题型三：平面向量加减运算的坐标表示1．（2024·河南·模拟预测）已知向量，，点，则点B的坐标为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由向量坐标的线性运算求解即可.【详解】由题意得，，设点B的坐标为，则，所以点B的坐标为.故选：A.2．（多选）（2024·辽宁葫芦岛·二模）已知向量，，为非零向量，下列说法正确的有（

）A．若，，则B．已知向量，，则C．若，则和在上的投影向量相等D．已知，，，则点A，B，D一定共线【答案】CD【分析】根据向量的线性运算、投影向量的意义和向量共线定理即可判断出正确答案.【详解】对于A，若，，则与可能平行，故A错误；对于B，设，则，解得，所以，故B错误；对于C，若，则，所以，所以和在上的投影向量相等，故C正确；对于D，因为，，所以,所以点A，B，D一定共线，故D正确.故选：CD.3．（2024·湖北武汉·二模）已知点为平面内不同的四点，若，且，则【答案】【分析】利用向量的线性运算，即可得解.【详解】由得：，即，又因为，所以,故答案为：.4．（2024·北京·三模）已知向量在正方形网格中的位置如图所示，若，则的值．【答案】【分析】根据题意建立平面直角坐标系，然后表示出的坐标，代入中可求出的值，从而可求得结果.【详解】根据题意建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，所以，因为，所以，所以，解得，，所以．故答案为：题型四：平面向量数乘运算的坐标表示1．（2024·浙江嘉兴·模拟预测）已知向量，若，则（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【分析】由向量平行的坐标表示即可求解.【详解】由条件可得因为，所以所以故选：B2．（2023·黑龙江哈尔滨·模拟预测）在平面直角坐标系中，向量，，，若A，B，C三点共线，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据三点共线的向量关系式即可求解.【详解】因为A，B，C三点共线，则，，即，则，解得.故选：C3．（2023·广东佛山·模拟预测）梯形中，，已知，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由题意可知，代入求解即可.【详解】在梯形中，，所以，所以.故选：C4．（2024·河北秦皇岛·二模）已知向量，，则“”是“与共线”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件【答案】A【分析】根据向量共线的坐标关系运算求出的值，判断得解.【详解】向量，，若与共线，则.解得或，所以“”是“与共线”的充分不必要条件，故选：A.题型五：平面向量数量积的坐标表示1．（2024·江苏苏州·模拟预测）若向量，若与夹角为钝角，则的可能取值为（

）A．1 B．0 C． D．【答案】D【分析】求出的坐标，求得当与共线时，根据向量与向量的夹角为钝角,列出相应的不等式，求得答案.【详解】因为，又与的夹角为钝角，所以且与不共线，当与共线时，，则，此时两向量反向共线，由可得，解得，所以且，故选：D．2．（多选）（2024·浙江绍兴·三模）已知平面向量，，则（

）A．若，则B．若，则C．若在的投影向量为，则D．若，则【答案】ACD【分析】借助向量的平行及垂直的坐标运算可得A、B、D，借助投影向量定义结合坐标运算可得C.【详解】对A：若，则有，解得，故A正确；对B：若，则有，解得，故B错误；对C：若在的投影向量为，则有，化简得，即，故C正确；对D：若，则有，解得，故D正确.故选：ACD.3．（多选）（2024·辽宁·模拟预测）函数（）经过点，图象上距离轴最近的最高点为，距离轴最近的最低点为，若为坐标原点，则（

）A． B．C．可取 D．【答案】AC【分析】根据题意，利用正弦型三角函数性质，结合题意，对每个选项进行逐一分析，即可求解.【详解】对于A中：因为图象的一个最高点为，故的最大值为，又因为，则，所以A正确；对于B中：因为图象经过点和一个最高点为，可得，因为，可得，所以B不正确；对于C中：因为过点，故可得，则，当时，，所以C正确；对于D中：由题意知，因为，可得，则，，所以，故，所以D不正确；故选：AC.4．（2024·北京海淀·三模）已知点，，O为坐标原点，则的取值范围是．【答案】【分析】先设点的坐标，再结合向量数量积的坐标运算，最后应用辅助角公式计算范围.【详解】设点,,所以,即,所以,因为，所以.故答案为：题型六：坐标计算模和参数1．（2024·河南濮阳·模拟预测）已知，，，，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据向量模长公式结合同角三角关系可得，即可得结果.【详解】由题意可得：，若，则，可得，则，且，所以.故选：C.2．（2024·安徽·一模）已知平面向量、满足，，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，由题意可得，进而可求的取值范围.【详解】设，又，，因为，所以，所以在以为圆心，4为半径的圆上，又，则，即.故选：A.3．（2024·江西新余·二模）已知，，若与的夹角为，则（

）A．1 B．1 C． D．【答案】A【分析】利用向量积的运算律计算，再利用向量数量积的定义计算，列出相关等式可得的值.【详解】因为，，所以，，，因为，又，所以，解得或，因为，所以，解得，所以.故选：.4．（2024·贵州·模拟预测）已知向量，，且，则的坐标可以是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设，根据题设得到和，联立求解，即可求出结果.【详解】设，因为，所以①，又，得到，又，所以②，联立①②解得或，所以的坐标可以是，故选：A.题型七：坐标求向量垂直问题1．（2024·辽宁·模拟预测）已知向量，，若，则（

）A．10 B．5 C． D．【答案】C【分析】由，则，求出的值，代入向量，再根据向量模的运算公式求出.【详解】由，则，即，，，故选：C.2．（2024·广东·一模）已知向量，，且，则向量与的夹角等于（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量垂直则数量积为零，可求出t，再由利用向量数量积的坐标运算求向量的夹角即可.【详解】由，，得，由，得，解得，则，则，，，因此，而，所以.故选：D3．（多选）（2024·安徽·三模）已知向量，则（

）A． B．C． D．在上的投影向量为【答案】ACD【分析】由向量的线性运算、平行以及垂直的坐标表示可判断ABC，由投影向量的定义可判断D.【详解】对于A，，故A正确；对于BC，由于，，故B错误，C正确；对于D，在上的投影向量为，故D正确.故选：ACD.4．（2024·湖北武汉·模拟预测）已知平面向量，若，则．【答案】【分析】根据向量坐标运算和向量垂直的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】，因为，所以，即，解得.故答案为：.题型八：坐标求向量夹角问题1．（2024·山东·二模）已知向量，，则与的夹角等于（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据夹角公式即可求解.【详解】由，可得，故，由于，所以，故选：B2．（多选）（2024·全国·模拟预测）已知向量，则（

）A．若，则B．若，则C．若，则向量与向量的夹角的余弦值为D．若，则向量在向量上的投影向量为【答案】AC【分析】利用向量共线的充要条件的坐标表示判断A；利用向量垂直的充要条件的坐标表示判断B；利用向量夹角的坐标表示判断C;利用向量投影的坐标表示判断D【详解】若，则，解得，故A正确．若，则，解得，故B错误．若，则，又，所以向量与向量的夹角的余弦值为，故C正确．若，则，又，所以向量在向量上的投影向量为，故D错误．故选：AC．3．（多选）（2024·江苏南通·二模）已知向量在向量方向上的投影向量为，向量，且与夹角，则向量可以为（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】向量在向量方向上的投影向量为，根据此公式可求，再逐项求出夹角后可得正确的选项.【详解】由题设可得，故，而，与夹角，故，故，对于A，，因，故，故A正确.对于B，，因，故，故B错误.对于C，，因，故，故C错误.对于D，，因，故，故D错误.故选：AD.4．（2024·天津河北·模拟预测）已知向量，，．(1)若，求的值；(2)若，求向量与的夹角的余弦值．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示求，再代入模的公式，即可求解；（2）首先根据两向量平行求，再代入向量夹角的余弦公式，即可求解.【详解】（1）由，得，解得，，则．（2）由题意，又，，解得，则，，，，即向量与的夹角的余弦值为．巩固提升巩固提升1．（2024·江苏苏州·模拟预测）设向量，向量，若且，则（

）A． B．2 C．1 D．或1【答案】C【分析】根据垂直的坐标关系以及模长公式即可求解.【详解】由和可得，解得，故选：C2．（2024·云南曲靖·模拟预测）已知向量，，（分别为正交单位向量），则（

）A． B．1 C．6 D．【答案】B【分析】根据已知条件写出向量的坐标，然后用坐标公式求数量积可得解.【详解】因为分别为正交单位向量，所以，，所以，故选：B.3．（2024·湖北黄冈·一模）若向量，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】按照投影向量的计算公式求解即可.【详解】解：因为向量，则向量在向量上的投影向量为:.故选：B4．（2024·河南焦作·二模）已知向量，，其中，若，则（

）A．40 B．48 C．51 D．62【答案】C【分析】依据题意以及向量平行的坐标表示列式可求出，进而可求出和，再根据坐标表示的向量加法和数量积定义即可求解.【详解】因为，，且，所以，解得或，又，所以，此时，，所以，所以.故选：C.5．（2024·湖北·模拟预测）已知向量，则向量在向量上的投影向量为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】设出的坐标，利用给定条件得到，再利用投影向量公式求解即可.【详解】设，因为，所以，解得，，即向量在向量上的投影向量为.故选：A.6．（2024·湖南·模拟预测）如图，在直角梯形中，，若分别是边，上的动点，满足，其中，若，则的值为（

）

A．1 B．3 C． D．【答案】D【分析】建立平面直角坐标系，写出相应点的坐标，设，，由题意中等式得到，，，结合数量积运算得到参数值；【详解】建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得.设，，由，即，据此可得，故，同理可得，，据此可得，则，整理可得，由于，故.故选：D.

7．（2024·广东佛山·模拟预测）已知向量，且，则的值为（

）A．3 B．5 C．或5 D．0或3【答案】B【分析】由条件及平面向量夹角的坐标运算建立方程可求得的值，再求得的坐标，再由求模公式计算即可．【详解】因为，且，所以，解得，，则，则，所以的值为5．故选：B．8．（2023·河北·模拟预测）已知向量与向量共线，，，且向量与向量的夹角为锐角，则向量（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意，根据模长公式以及数量积的坐标运算求解即可.【详解】由题意可知：向量与向量共线，，可设，因为，解得，又因为向量与向量的夹角为锐角，则，解得，综上所述：，.故选：C．9．（多选）（2024·贵州毕节·一模）已知,则下列结论正确的是（

）A．B．C．D．若,则【答案】ACD【分析】对于A,利用结合向量减法的坐标运算即可求解;对于B,先根据向量的坐标运算求解即可;对于C,先根据向量的坐标运算求出,再根据向量数量积的公式求解即可;对于D,根据向量的坐标运算列出方程组求解即可.【详解】对于A，,故A正确;对于B，因为,所以,故B错误;对于C，因为所以,故C正确;对于D，,所以,解得,则,故D正确.故选:ACD.10．（多选）（2024·江西宜春·模拟预测）已知向量，，则（

）A． B．C．与的夹角为 D．在上的投影向量为【答案】ABD【分析】A选项，根据得到垂直关系；B选项，求出，根据模长公式求出答案；C选项，根据得到答案；D选项，利用得到D正确.【详解】A选项，因为，．所以．则．所以．故A正确：B选项，因为．所以．故B正确；C选项，因为．且．所以．故C错误；在上的投影向量为．故D正确．故选：ABD．11．（多选）（2024·新疆·三模）已知点O0,0，，，，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若， D．的最大值为【答案】ACD【分析】对于A，当时，计算即可；对于B，由，即存在实数，使得，计算得即可；对于C，由得，两边平方结合二倍角公式即可；对于D，由向量的模运算得即可.【详解】由题意可知，，对于A，当时，，所以,即，故，故A正确；对于B，因为，所以存在实数，使得，即，解得，故或，故B错误；对于C，因为，所以，解得，故C正确；对于D，因为，所以，其中，所以当时，，故D正确.故选：ACD.12．（2024·福建泉州·模拟预测）菱形中，，，则．【答案】3【分析】根据菱形的对角线互相垂直，向量的数量积为0，列方程求出的值．【详解】由题意，在菱形中，，，可得，，∴，解得：．故答案为：3．13．（2023·河南·模拟预测）向量的夹角为，定义运算“”:，若，，则的值为.【答案】【分析】根据给定条件，利用向量的坐标运算求出向量的模及夹角余弦，再利用定义求解即得.【详解】由，，得，，，则，所以.故答案为：14．（2024·上海·三模）已知向量，函数，若函数在内有且只有一个零点，则实数的取值范围为.【答案】【分析】函数在内有且只有一个零点，等价于其对应的方程在给定区间内只有一个根，进而转化为两个函数在给定区间内只有一个交点的问题，数形结合，即可求出参数的值.【详解】，因为函数在内有且只有一个零点，所以在内有且只有一个实根，得，即，即函数在上的图象与直线只有一个交点，当时，，画出在上的图象如下，结合函数图象可知，函数在区间上的图象与直线只有一个交点时，所以，即的取值范围是．故答案为：15．（2023·黑龙江大庆·二模）已知，，．(1)若，求x的值；(2)求的最大值及取得最大值时相应的x的值．【答案】(1)；(2)的最大值为1，此时．【分析】（1）由平面向量的数量积为0可得，再由x的范围求得x值；（2），结合x的范围及正弦函数的最值求解．【详解】（1），，若，则，∴，即，∵，∴，可得，即；（2），∵，∴，可得当，即时，取最大值为1．16．（2024·山东临沂·一模）已知向量，，函数.(1)若，且，求的值；(2)将图象上所有的点向右平移个单位，然后再向下平移1个单位，最后使所有点的纵坐标变为原来的，得到函数的图象，当时，解不等式.【答案】(1)(2)【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示及三角恒等变换公式化简，依题意可得，即可求出，最后由利用两角差的余弦公式计算可得；（2）根据三角函数的变换规则求出解析式，再根据正弦函数的性质计算可得.【详解】（1）因为，，函数，所以，因为，所以，所以，又，所以，所以，所以.（2）将图象上所有的点向右平移个单位得到，再将向下平移1个单位得到，最后将的所有点的纵坐标变为原来的得到，即，由，即，所以，，解得，，令可得，令可得，又，所以，即在时不等式的解集为.走进高考走进高考1．（2024·全国·高考真题）设向量，则（

）A．“”是“”的必要条件 B．“”是“”的必要条件C．“”是“”的充分条件 D．“”是“”的充分条件【答案】C【分析】根据向量垂直和平行的坐标表示即可得到方程，解出即可.【详解】对A，当时，则，所以，解得或，即必要性不成立，故A错误；对C，当时，，故，所以，即充分性成立，故C正确；对B，当时，则，解得，即必要性不成立，故B错误；对D，当时，不满足，所以不成立，即充分性不立，故D错误.故选：C.2．（2024·广东江苏·高考真题）已知向量，若，则（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值.【详解】因为，所以，所以即，故，故选：D.3．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【分析】利用平面向量数量积的运算律，数量积的坐标表示求解作答.【详解】向量满足，所以.故选：B4．（2023·全国·高考真题）已知向量，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量模与数量积的坐标表示分别求得，从而利用平面向量余弦的运算公式即可得解.【详解】因为，所以，则，，所以.故选：B.5．（2023·全国·高考真题）已知向量，若，则（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据向量的坐标运算求出，，再根据向量垂直的坐标表示即可求出．【详解】因为，所以，，由可得，，即，整理得：．故选：D．6．（2022·全国·高考真题）已知向量，则（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【分析】先求得，然后求得.【详解】因为，所以.故选：D7．（2020·山东·高考真题）已知点，，点在函数图象的对称轴上，若，则点的坐标是（

）A．或 B．或C．或 D．或【答案】C【分析】由二次函数对称轴设出点坐标，再由向量垂直的坐标表示计算可得．【详