专题0819.7-19.10直角三角形综合检测（重难点）

直角三角形综合检测（重难点）一、单选题1．下列几组数中是勾股数的一组是（

）A．1，， B．，2， C．6，8，13 D．9，12，15【答案】D【分析】本题主要考查了勾股数，勾股定理的逆定理：已知的三边满足，则是直角三角形．【解析】解：A、1，，不是正整数，故不是勾股数；B、，2，不是正整数，故不是勾股数；C、，不能构成直角三角形，故不是勾股数；D、，能构成直角三角形，是正整数，故是勾股数．故选：D．2．如图，线段将边长为1个单位长度的正方形分割为两个等腰直角三角形，以A为圆心，的长为半径画弧交数轴于点C，那么点C在数轴上所对应的数是（

）．A． B． C． D．2【答案】B【分析】先根据勾股定理求出直角三角形的斜边，然后根据题意，得到即可得出选项．【解析】解：∵线段将边长为1个单位长度的正方形分割为两个等腰直角三角形，∴，∵以A为圆心，的长为半径画弧交数轴于点C，∴，∴，∵点C在原点左边，∴点表示的数是：，故选：B．【点睛】本题考查了数轴和实数，勾股定理的应用，能读懂图象是解此题的关键．3．若等腰三角形中相等的两边长为10cm，第三边长为16cm，那么这个三角形的面积为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意画出图形，做出底边上的高，利用三线合一得到为中点，求出的长，在直角三角形中，利用勾股定理求出的长，再利用三角形的面积公式即可求出．【解析】解：过作，

为等腰三角形，，，为中点，即在中，根据勾股定理得：,则．故选：A．【点睛】此题主要考查了勾股定理，等腰三角形，熟练掌握勾股定理是解本题的关键．4．如图，一棵直立的大树在一次强台风中被折断，折断处离地面2米，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为（）A．米 B．米 C．4米 D．6米【答案】D【分析】根据直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半，求出折断部分的长度，再加上离地面的距离就是折断前树的高度．【解析】解：如图，根据题意BC＝2米，∵∠BAC＝30°，∴AB＝2BC＝2×2＝4米，∴2+4＝6米．故选：D．【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．5．已知A(2，5)，B(3，5)，C(1、1)，则这三点的位置关系是（）A．是直角三角形的顶点 B．在同一条直线上C．是等边三角形的顶点 D．以上都不对【答案】B【分析】利用两点的距离公式，可得AB=5，AC=3，BC=2，因为AB=AC+BC可得点A、点B、点C在同一条直线上【解析】∵A(2，5)，B(3，5)，C(1、1)，∴AB===5，AC===3，BC===2，∴AB=AC+BC,∴点A、点B、点C在同一条直线上.故选：B【点睛】此题考查了两点间的距离公式，掌握公式是解答此题的关键.6．如图，中，为中点，在上，且．若，，则的长度是（

）

A．5 B． C．6 D．【答案】C【分析】根据直角三角形斜边上的中线求出长，根据勾股定理求出即可．【解析】解：，，，为中点，，，由勾股定理得：，故选：C．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上的中线和勾股定理的应用，注意：在直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．7．如图，的顶点，，在边长为的正方形网格的格点上，则边长的高为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据勾股定理解答即可．【解析】解：，，边长的高，故选：C．【点睛】此题考查勾股定理，关键是根据如果直角三角形的两条直角边长分别是，，斜边长为，那么解答．8．如图，中，，、分别平分、，，下面结论中不一定正确的是(

)

A． B．C． D．点O到直线的距离是1【答案】C【分析】由角平分线的定义求出，由三角形内角和定理求出的度数，由三角形内心的性质求出的度数是，的长在变化不一定等于，由直角三角形的性质得到，由角平分线的性质得到，得到到的距离是，据此即可求解．【解析】解：作于，于，

、分别平分、，，，，，故A正确；、分别平分，是的内心，平分，，，故B正确；的长在变化不一定等于，故C不一定正确；，，，，到的距离是，故D正确．故选：C．【点睛】本题考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角平分线的性质．9．如图，在中，，为上一点，联结，点在上，过点作，，垂足分别为M、N．下面四个结论：

①如果，那么；②如果，那么；③如果，那么；④如果，那么．其中正确的有（

）．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】D【分析】①，，根据等腰三角形的性质，可证得是的角平分线，又由，，根据角平分线的性质，即可证得；②根据证明，利用全等三角形的性质和等腰三角形的性质得出；③根据等腰三角形的性质和全等三角形的判定和性质得出；④根据全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质得出．【解析】解：①∵，，∴，∵，，∴，故①正确；②∵，，∴，∵，∴；故②正确；③∵，，∴，∵，，∴，∴，∴；故③正确；④∵，，∵，，∴，∴，∴，∴．故④正确；故选：D．【点睛】此题考查了角平分线的性质、等腰三角形的性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．10．勾股定理是历史上第一个把数与形联系起来的定理，其证明是论证几何的发端．下面四幅图中不能证明勾股定理的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积推导勾股定理可判断A，利用以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和为边正方形面积推导勾股定理可判断B，利用以a与（a+b）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为边正方形面积推导勾股定理可判断C，利用四个小图形面积和等于大正方形面积推导完全平方公式可判断D．【解析】解:A、两个以a和b为直角边三角形面积与一个直角边为c的等腰直角三角形面积和等于上底为a,下第为b,高为(a+b)的梯形面积，故，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；B、以a与b为两直角边四个全等三角形面积与边长为c的小正方形面积和等于以a+b的和为边正方形面积，故，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；C、以a与（a+b）为两直角边四个全等三角形面积与边长为b的小正方形面积和等于以c为边正方形面积，，整理得：，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；D、四个小图形面积和等于大正方形面积，，根据图形证明完全平方公式，不能证明勾股定理，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题考查利用面积推导勾股定理与完全平方公式，掌握利用面积推导勾股定理与完全平方公公式是关键．11．如图，在中，，，点D在AC上，且，点E是AB上的动点，连接DE，点F，G分别是BC，DE的中点，连接AG，FG，当时，线段DE的长为（）．A． B．2 C． D．4【答案】B【分析】连接DF，AF，EF，证明，根据全等三角形的性质得到，进而求出AE，根据勾股定理计算，得到答案．【解析】解：连接DF，AF，EF，在中，，，，点G是DE的中点，点F是BC的中点，，，，，，，，是直角三角形，且，，，在和中，，，，，在中，，故选：B．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线、掌握直角三角形的性质是解题的关键．12．如图，在等边中，于D，延长到E，使，F是的中点，连接并延长交于G，的垂直平分线分别交，于点M，点N，连接，，下列结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的个数是（）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【答案】C【分析】①根据角的和与差及等腰三角形的性质可判断①正确；②设，则，表示和的长，可判断②正确；③作辅助线，构建三角形全等，先根据角平分线的性质得，由线段垂直平分线的性质得，证明，可判断③正确；④分别表示和的长，可判断④不正确；⑤根据等边三角形的性质和三角形外角的性质得，由，可得，可判断⑤正确．【解析】解：∵是等边三角形，∴，，∵，F是的中点，∴，∴，∵，∴，∴，∴，故⑤正确；设，则，∵，∴，∴，，中，，，∴，∴，∴，故②正确；③如图，过N作于H，连接，

在等边三角形中，∵，∴平分，，∵，∴，∵是的垂直平分线，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴，∵，∴，故③正确；∵是的垂直平分线，∴，等边中，，∴，∴，故④错误；∵，∴，，∵，∵，∴，故①正确；其中正确的有：①②③⑤，一共4个，故选：C．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握勾股定理和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．二、填空题13．已知直角三角形的两边长分别为3、4．则第三边长为．【答案】5或【分析】已知直角三角形两边的长，但没有明确是直角边还是斜边，因此分两种情况讨论．【解析】解：①长为3的边是直角边，长为4的边是斜边时，第三边的长为：；②长为3、4的边都是直角边时，第三边的长为：；∴第三边的长为：或5，故答案为：或5．14．点P到轴和点的距离都为10，则点P的坐标是；【答案】或【分析】设点P的坐标为，根据题意可得，再讨论n的值求出对应的m的值即可．【解析】解：设点P的坐标为，∵点P到轴和点的距离都为10，∴，∴，∴当时，，即，此时不成立；当时，，即，解得或，综上所述，点P的坐标为或，故答案为：或．【点睛】本题主要考查了点到坐标轴的距离，坐标系中两点距离公式，熟知两点距离公式和点到x轴的距离是纵坐标的绝对值是解题的关键．15．是斜边上的高，若，，则的长为．【答案】【分析】根据，设，则，在中根据勾股定理可求出的值，根据等面积法即可求解．【解析】解：如图所示，

已知是直角三角形，，，，，设，则，在中，，即，解得，，∴，，∵，且，∴，故答案为：．【点睛】本题主要考查勾股定理的运用，运用等面积法求高，掌握以上知识的运用是解题的关键．16．在中，，平分，交于，如果，那么．【答案】/30度【分析】先画出图形，作，于点E，根据角平分线的性质得，再根据，得，根据直角三角形的性质可得答案．【解析】如图所示，过点D作，于点E，∵平分，，∴．∵，∴，在中，，∴．故答案为：．

【点睛】本题主要考查了角平分线的性质定理，含的直角三角形的性质等，构造直角三角形是解题的关键．17．如图，一个圆桶底面直径为，高，则桶内所能容下的最长木棒为．

【答案】【分析】根据题意画出示意图，再根据勾股定理求解，即可．【解析】解：如图，为圆桶底面直径，为圆桶的高，∵，，∴，∴桶内所能容下的最长木棒为：．故答案为：．

【点睛】本题考查勾股定理的运用，解题的关键是将实际问题转化为数学问题，灵活运用勾股定理．18．如下图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为，则正方形A，B，C，D的面积之和为.

【答案】49【分析】根据勾股定理计算即可【解析】解：最大的正方形的面积为，由勾股定理得，正方形E、F的面积之和为，∴正方形A、B、C、D的面积之和为，故答案为49．

【点睛】本题考查的是勾股定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么．19．如图，在中，，P、Q两点分别在和过点A且垂直于的射线上运动，要使和全等，则．【答案】6或12/12或6【分析】分情况讨论：①，此时，可据此求出P的位置；②，此时，点P与点C重合．【解析】解：①当时，∵，在与中，∴，∴；②当P运动到与C点重合时，，在与中，∴，∴，∴当点P与点C重合时，才能和全等，综上所述，或12，故答案为：6或12．【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握两个三角形全等的判定定理是解题的关键，当题中没有明确全等三角形的对应边和对应角时，要分情况讨论，以免漏解．20．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为沿坐标轴方向平移后得到（点、的对应点分别为），如果点是直线上一点，那么线段的长为．

【答案】或/和【分析】根据沿轴平移到，点与点对应，点是直线上一点，可分类讨论，设当，即沿轴向右平移，且点是直线上一点；设当，即沿轴向下平移，且点是直线上一点；根据平移的性质，勾股定理即可求解．【解析】解：点，沿轴平移到，点与点对应，∴设当，即沿轴向右平移，且点是直线上一点，∴，解得，，∴沿轴向右平移个单位长度到，如图所示，过点作轴于点，连接，

∴，∴，，在中，；设当，即沿轴向下平移，且点是直线上一点，∴，即，∴沿轴向下平移个单位长度到，如图所示，过点作轴于点，连接，

∴，∴，，在中，；综上所述，线段的长为或，故答案为：或．【点睛】本题主要考查平面直角坐标系中几何图形的变换，掌握图形平移的规律，勾股定理的运用是解题的关键．21．定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”．如图，在中，于点E，，，，点D是边上的“好点”，则线段的长为．【答案】5或10【分析】本题考查等腰三角形的判定及性质，勾股定理，解一元二次方程等知识，由等题意得，，设，得，，然后根据“好点”定义及勾股定理得到是解决问题的关键．【解析】解：∵，，∴，则，∵，∴，设，如图，可得，，∵点是边上的“好点”，∴，在中，由勾股定理可得：，则，即：，解得：，，即：或10；故答案为：5或10．22．如图，在中，已知，，点在边上，，把绕着点逆时针旋转（）度后，如果点恰好落在初始的边上，那么

【答案】或【分析】根据题意，分类讨论，①当点落在边上时，得，②当点落在边上时，得；根据旋转的性质，直角三角形的性质即可求解．【解析】解：在中，已知，，∴,如图所述，

①当点落在边上时，得，∴，∴，即是等腰三角形，∴在中，；②当点落在边上时，得，在中，，，∴，∴；综上所述，的值为或，故答案为：或．【点睛】本题主要考查直角三角形的性质，旋转的性质，掌握以上知识是解题的关键．三、解答题23．已知：，，，且为等腰三角形，求的值．【答案】或【分析】根据等腰三角形的定义，结合两点距离公式得，，，然后进行分类讨论，即可列式作答．【解析】解：∵，，，∴，，，∵为等腰三角形，∴当时，即，则解得；或当时，即，因为，所以此种情况不存在；或当时，即，则，即，那么综上所述，或．【点睛】本题考查了两点的距离公式以及等腰三角形的性质，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．24．已知：如图，在四边形中，，，，．

(1)求的度数．(2)求四边形的面积．【答案】(1)(2)【分析】对于（1），连接，根据勾股定理求出及，再根据勾股定理逆定理说明是直角三角形，即可求出答案；对于（2），根据两个三角形的面积和求出答案即可．【解析】（1）连接，如图所示．∵，，∴，根据勾股定理得，在中，，∴是直角三角形，且，∴；

（2）．【点睛】本题主要考查了勾股定理及逆定理的应用，求四边形的面积，将不规则四边形转化为两个直角三角形是解题的关键．25．如图，已知在中，，点是内部的一点，，，垂足分别为点，且．求证：．

【答案】见解析【分析】连接，利用可证明，可得，利用可证明，进而可证得结论．【解析】证明：连接，

∵，，∴，又∵，，∴，∴，又∵，，∴，∴．【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，熟练掌握全等三角形的判定及性质是解决问题的关键．26．如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形．（1）在图1中，画一个三角形，使它的三边长都是有理数；（2）在图2中，画一个三角形，使它的三边长分别为；（3）在图3中，画一个钝角三角形，使它的面积为4．【答案】（1）见解析；（2）见解析（3）见解析【分析】（1）画一个三边分别为3,4,5的直角三角形即可；（2）根据网格的特点以及勾股定理，分别找到边长分别为的线段，通过平移的方法将三条线段首位相连即可；（3）根据网格的特点画一个底为2高为4的钝角三角形即可；【解析】（1）如图所示，，则即为所求三角形；（2）如图所示，，则即为所求三角形；（3）如图所示，则即为所求三角形；【点睛】本题考查了网格作图，勾股定理，根据勾股定理找到符合题意的线段是解题的关键．27．如图，在中，于点D，，点E、F分别是、的中点且，求证：．【答案】见解析【分析】利用证明，即可解决问题．【解析】证明：，．∵点E、F分别是、的中点，，，，，在和中，，，．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上中线的性质，正确证明三角形全等是解题的关键．28．如图，点是内一点，把绕点顺时针方向旋转得到，若，，．

(1)判断的形状，并说明理由；(2)求的度数．【答案】(1)为直角三角形(2)【分析】（1）根据旋转的性质得出，再结合绕点顺时针方向旋转得到为等边三角形，得到，，再根据勾股定理逆定理，判断出为直角三角形．（2）根据，得到，根据等边三角形和直角三角形的内角度数求出的度数即可．【解析】（1）结论：为直角三角形．证明：根据图形的旋转不变性，可得，∴，，，，∵，∴和均为等边三角形，∴，，∵，∴；∴为直角三角形．（2）∵，∴，∵为直角三角形，∴，∵为等边三角形，∴，故，∵∴．【点睛】此题考查了图形的旋转不变性、全等三角形的性质、等边三角形的性质、勾股定理的逆定理等知识，综合性较强，是一道好题．解答（2）时要注意运用（1）的结论．29．已知：如图，在中，，点D是边的中点，，联结．

(1)求证：；(2)如果平分，求证：．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线的性质得出，再由平行线的性质及各角之间的关系得出，利用全等三角形的判定证明即可；（2）延长交的延长线于点F，根据角平分线的性质及全等三角形的性质得出，再由等边对等角及等腰三角形的判定和性质得出，由全等三角形的判定和性质得出，最后由中位线的性质及平行四边形的判定和性质即可证明【解析】（1）证明：∵，点D是边的中点，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∵，∴，在和中，∴；（2）延长交的延长线于点F，

∵，平分，∴∵∴∵，∴，∴，∴，在和中，∴∴，∵点D是的中点，∴是的中位线，∴，∵∴四边形是平行四边形，∴，∴，∴．【点睛】题目主要考查直角三角形斜边中线的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质及中位线的性质，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键．30．在海平面上有A，B，C三个标记点，其中A在C的北偏西方向上，与C的距离是800海里，B在C的南偏西方向上，与C的距离是600海里．

(1)求点A与点B之间的距离；(2)若在点C处有一灯塔，灯塔的信号有效覆盖半径为500海里，每隔半小时会发射一次信号，此时在点B处有一艘轮船准备沿直线向点A处航行，轮船航行的速度为每小时20海里．轮船在驶向A处的过程中，最多能收到多少次信号？（信号传播的时间忽略不计）．【答案】(1)海里(2)最多能收到14次信号【分析】（1）由题意易得是直角，由勾股定理即可求得点A与点B之间的距离；（2）过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里，分别求得的长，可求得此时轮船过时的时间，从而可求得最多能收到的信号次数；【解析】（1）由题意，得：；∴；∵；∴海里；（2）过点C作交于点H，在上取点M，N，使得海里．

∵；∴；∵；∴；∵；∴；则信号次数为（次）．答：最多能收到14次信号．【点睛】本题考查了勾股定理的应用，直角三角形的判定等知识，涉及路程、速度、时间的关系，熟练掌握勾股定理是关键．31．如图，在四边形中，，对角线与相交于点O，M、N分别是边、的中点．(1)求证：；(2)当，，时，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）连接．由直角三角形斜边上中线的性质可得，由线段垂直平分线的判定即可证明结果；（2）由及可得，再由得，在中由含30度角直角三角形的性质即可求得的长．【解析】（1）证明：如图，连接．，点M、点N分别是边、的中点，∴，，∴，∵N是的中点，∴是的垂直平分线，．（2）解：，，，，，，，，，在中，，∴cm，答：的长是．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线