第4章《几何图形初步》（原卷版）-2021-2022学年七年级数学上册章节复习考点分类（人教版）

20212022学年人教版数学七年级上册章节复习考点分类精编讲义第4章几何图形初步知识点：多姿多彩的图形1.几何图形的分类立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等立体图形：棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、球等.平面图形：三角形、四边形、圆等.几何图形要点诠释：在给几何体分类时，不同的分类标准有不同的分类结果.2．立体图形与平面图形的相互转化（1）立体图形的平面展开图：把立体图形按一定的方式展开就会得到平面图形，把平面图形按一定的途径进行折叠就会得到相应的立体图形，通过展开与折叠能把立体图形和平面图形有机地结合起来．要点诠释：①对一些常见立体图形的展开图要非常熟悉，例如正方体的11种展开图，三棱柱，圆柱等的展开图；②不同的几何体展成不同的平面图形，同一几何体沿不同的棱剪开，可得到不同的平面图形，那么排除障碍的方法就是：联系实物，展开想象，建立“模型”，整体构想，动手实践.（2）从不同方向看：主（正）视图从正面看几何体的三视图左视图从左（右）边看俯视图从上面看要点诠释：①会判断简单物体（直棱柱、圆柱、圆锥、球）的三视图.②能根据三视图描述基本几何体或实物原型.（3）几何体的构成元素及关系几何体是由点、线、面构成的.点动成线，线与线相交成点；线动成面，面与面相交成线；面动成体，体是由面组成.考点1：认识立体图形【典例分析1】（2021秋•泰宁县期中）四棱柱中，棱的条数有（）A．4条 B．8条 C．12条 D．16条【思路引导】根据棱柱的形体特征进行判断即可．【完整解答】解：由于n棱柱3n条棱，所以四棱柱有12条棱，故选：C．【变式训练1】（2021春•杨浦区期末）如图，在长方体ABCD﹣EFGH中，与对角线BH异面的棱有．【变式训练2】（2021•滦南县二模）如图所示的几何体是一个三棱柱，下列各多边形与这个几何体的各面（包括底面）形状不相符的是（）A． B． C． D．【变式训练3】（2019秋•叶集区期末）如图四个几何体分别是三棱柱，四棱柱，五棱柱和六棱柱，三棱柱有5个面，9条棱，6个顶点，观察图形，填写下面的空．（1）四棱柱有个面，条棱，个顶点；（2）六棱柱有个面，条棱，个顶点；（3）由此猜想n棱柱有个面，条棱，个顶点．【变式训练4】（2017秋•仓山区校级月考）如图，蒙古包可以近似地看作由圆锥和圆柱组成的，现想用毛毡搭建底面积为9πm3，高为6m，外围高为2m的蒙古包，求至少需要多少平方米的毛毡？（结果保留π）【变式训练5】（2017秋•长安区校级月考）如图所示，左边是小颖的圆柱形的笔筒，右边是小彬的六棱柱形的笔筒．仔细观察两个笔筒，并回答下面问题．（1）圆柱、六棱柱各由几个面组成？它们都是平的吗？（2）圆柱的侧面与底面相交成几条线？它们是直的吗？（3）六棱柱有几个顶点？经过每个顶点有几条棱？（4）试写出圆柱与棱柱的相同点与不同点．考点2：认识平面图形【典例分析2】（2020秋•北京期末）在研究圆环的面积时，小云借助推导圆面积公式时所使用的方法，把圆环等分成16份，拼成一个近似的平行四边形（如图）．如果圆环的内圆半径是2cm，外圆半径是6cm，则圆环的面积为100.48cm2，拼成的近似平行四边形的底边长约为25.12cm．【思路引导】根据圆面积公式的推导过程可知，把圆环平均分成16份，沿半径剪开后再拼成一个近似的平行四边形，这个平行四边形的底等于圆环外圆周长的一半加上内圆周长的一半，如果外圆半径用“R”表示，内圆半径用“r”表示．根据圆的周长公式：C＝2πR，外圆周长的一半是πR，内圆周长的一半是πr，则这个平行四边形的底是（πR+πr）．据此解答．【完整解答】解：在研究圆环面积时，小明借助研究圆面积公式时所用的方法，把圆环分成16份，拼成一个近似的平行四边形，如果圆环外圆半径用“R”表示，内圆半径用“r”表示．则这个平行四边形的底是：2πR÷2+2πr÷2＝πR+πr＝8π≈25.12（cm）高是（R﹣r）＝4（cm），∴圆环的面积为4×25.12＝100.48（cm2）．故答案为：100.48，25.12．【变式训练6】（2021•饶平县校级模拟）如果大圆的周长是小圆周长的4倍，那么小圆面积是大圆面积的（）A． B． C． D．【变式训练7】（2020秋•龙凤区校级月考）直径是通过圆心并且两端都在圆上的（）A．线段 B．直线 C．射线 D．曲线【变式训练8】（2016春•钦州期末）分别举出在我们生活中常见的，类似于下面几何图形的两个实例．三角形：四边形：六边形：扇形：【变式训练9】（2018秋•道里区校级期中）一个正方形的周长为分米，这个正方形的面积为多少平方分米？【变式训练10】（2019秋•肇源县月考）在一个直径为18米的圆形草地周围铺一条宽4米的环形道路，求这条环形路的面积是多少？考点3：点、线、面、体【典例分析3】（2020秋•重庆月考）长方形的两条边长分别为3cm和4cm，以其中一条边所在的直线为轴旋转一周后得到几何体的底面积是9πcm2或16πcm2．【思路引导】根据长方形绕一边旋转一周，可得圆柱．分类讨论：3cm是底面半径，4cm是底面半径，根据圆的面积公式，可得圆柱的底面积，可得答案．【完整解答】解：这个长方形绕一边所在直线旋转一周后是圆柱．当3cm是底面半径时，圆柱的底面积是πr2＝32π＝9π（cm2）；当4cm是底面半径时，圆柱的底面积是πr2＝42π＝16π（cm2）．故答案为9πcm2或16πcm2．【变式训练11】（2020秋•巧家县期末）如图，绕直线l旋转一周可得圆锥体的是（）A． B． C． D．【变式训练12】（2020秋•碑林区校级期末）如图，三边长分别为3cm，4cm，5cm的直角三角形，绕其斜边所在直线旋转一周，所得几何体的体积为cm3．（结果保留π）【变式训练13】（2016秋•吉安期中）现有一个长为5cm，宽为4cm的长方形，绕它的一边旋转一周，得到的几何体的体积是多少？知识点：直线、射线、线段直线，射线与线段的区别与联系2.基本性质(1)直线的性质:两点确定一条直线．(2)线段的性质:两点之间，线段最短．要点诠释：①本知识点可用来解释很多生活中的现象.如：要在墙上固定一个木条，只要两个钉子就可以了，因为如果把木条看作一条直线，那么两点可确定一条直线.②连接两点间的线段的长度，叫做两点间的距离.3.画一条线段等于已知线段（1）度量法：可用直尺先量出线段的长度,再画一条等于这个长度的线段.（2）用尺规作图法：用圆规在射线AC上截取AB=ａ，如下图：4．线段的比较与运算（1）线段的比较：比较两条线段的长短，常用两种方法，一种是度量法；一种是叠合法.（2）线段的和与差：如下图，有AB+BC=AC，或AC=a+b；AD=ABBD。（3）线段的中点：把一条线段分成两条相等线段的点，叫做线段的中点．如下图，有：要点诠释：①线段中点的等价表述：如上图，点M在线段上，且有，则点M为线段AB的中点.②除线段的中点（即二等分点）外，类似的还有线段的三等分点、四等分点等.如下图，点M,N,P均为线段AB的四等分点.考点4：直线、射线、线段【典例分析4】（2020秋•宁波期末）下列各图中表示线段MN，射线PQ的是（）A． B． C． D．【思路引导】根据直线没有端点，射线有一个端点，线段有两个端点解答．【完整解答】解：A、是直线MN，射线QP，故此选项不符合题意；B、是射线MN，线段PQ，故此选项不符合题意；C、是线段MN，射线PQ，故此选项符合题意；D、是线段MN，射线QP，故此选项不符合题意；故选：C．【变式训练14】（2020秋•泗阳县期末）如图，C、D为线段AB上的任意两点，那么图中共有条线段．【变式训练15】（2018•朝阳区二模）直线AB，BC，CA的位置关系如图所示，则下列语句：①点A在直线BC上；②直线AB经过点C；③直线AB，BC，CA两两相交；④点B是直线AB，BC，CA的公共点，正确的有（只填写序号）．考点5：直线的性质：两点确定一条直线【典例分析5】（2021春•宁阳县期末）若平面内有三个点A、B、C，过其中任意两点画直线，那么画出的直线条数可能是（）A．0，1，2 B．1，2，3 C．1，3 D．0，1，2，3【思路引导】根据题意画出图形，即可看出答案．【完整解答】解：如图，可以画3条直线或1条直线，故选：C．【变式训练16】（2020秋•天心区期末）如图，经过刨平的木板上的两个点，能弹出一条笔直的墨线，而且只能弹出一条墨线，能解释这一实际应用的数学知识是．【变式训练17】（2018秋•太康县期末）小莉在办板报时，需要画一条直的隔线，由于尺子不够长，于是她和一名同学找来一根线绳，给线绳涂上彩色粉笔沫，两人拉紧线绳各按住一头，把绳子从中间拉起再松手便完成了，请写出他们这样做根据的数学事实为．考点6：线段的性质：两点之间线段最短【典例分析6】（2021春•莱州市期末）如图，A，C两村相距6km，B，D两村相距5km．现要建一个自来水厂，使得该厂到四个村的距离之和最小．下列说法正确的是（）A．自来水厂应建在AC的中点 B．自来水厂应建在BD的延长线上 C．自来水厂到四个村的距离之和最小为11km D．自来水厂到四个村的距离之和可能小于11km【思路引导】根据线段的性质：两点之间，线段最短；结合题意，要使自来水厂与四个村的距离之和最小，就要使它在AC与BD的交点处．【完整解答】解：如图所示，连接AC，BD交于点E，在平面内任取一点E'，连接AE'，BE'，CE'，DE'，∵AE'+CE'≥AC，BE'+DE'≥BD，∴AE'+CE'+BE'+DE'≥BD+AC＝11km，∴当自来水厂建在点E处时，来水厂到四个村的距离之和最小为11km，故选：C．【变式训练18】（2019秋•平定县期末）如图，在利用量角器画一个40°的∠AOB的过程中，对于先找点B，再画射线OB这一步骤的画图依据，喜羊羊同学认为是两点确定一条直线，懒羊羊同学认为是两点之间线段最短．你认为同学的说法是正确的．考点7：两点间的距离【典例分析7】（2021秋•鼓楼区校级月考）如图，直线上的四个点A，B，C，D分别代表四个小区，其中A小区和B小区相距50m，B小区和C小区相距200m，C小区和D小区相距50m，某公司的员工在A小区有30人，B小区有5人，C小区有20人，D小区有6人，现公司计划在A，B，C，D四个小区中选一个作为班车停靠点，为使所有员工步行到停靠点的路程总和最小，那么停靠点的位置应设在（）A．A小区 B．B小区 C．C小区 D．D小区【思路引导】根据题意分别计算停靠点分别在A、B、D、C各点时员工步行的路程和，选择最小的即可求解．【完整解答】解：因为当停靠点在A区时，所有员工步行到停靠点路程和是：5×50+20×250+6×300＝7050（m），因为当停靠点在B区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×50+20×200+6×250＝7000（m），当停靠点在C区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×250+5×200+6×50＝8800（m），当停靠点在D区时，所有员工步行到停靠点路程和是：30×300+5×250+20×50＝11250（m），因为7000＜7050＜8800＜11250，所以当停靠点在B小区时，所有员工步行到停靠点路程和最小，那么停靠点的位置应该在B区．故选：B．【变式训练19】（2020秋•皇姑区期末）将一根绳子对折后用线段AB表示，现从P处将绳子剪断，剪断后的各段绳子中最长的一段为60cm，若AP＝PB，则这条绳子的原长为cm．【变式训练20】（2021春•东平县期末）如图，已知AB和CD的公共部分BD＝AB＝CD，线段AB，CD的中点E，F之间的距离是10cm，则AB的长是．考点8：比较线段的长短【典例分析7】（2020秋•罗湖区校级期末）已知线段AB＝10cm，点C是直线AB上一点，BC＝4cm，若M是AC的中点，N是BC的中点，则线段MN的长度是（）A．7cm B．3cm C．7cm或3cm D．5cm【思路引导】本题应考虑到A、B、C三点之间的位置关系的多种可能，即当点C在线段AB上时和当点C在线段AB的延长线上时．【完整解答】解：（1）当点C在线段AB上时，则MN＝AC+BC＝AB＝5cm；（2）当点C在线段AB的延长线上时，则MN＝AC﹣BC＝7﹣2＝5cm．综合上述情况，线段MN的长度是5cm．故选：D．【变式训练21】（2020春•武邑县校级月考）某公司员工分别在A、B、C三个住宅区，A区有30人，B区有15人，C，区有10人，三个区在一直线上，位置如图所示，公司的接送车打算在此间只设一个停靠点，为要使所有员工步行到停靠点的路程总和最少，那么停靠点的位置应在区．【变式训练22】（2020春•莱州市期末）如图，点C是线段AB上的一点，用D，E分别是AC，BC的中点，则DE＝AB．知识点：角1．角的度量（1）角的定义：有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点是角的顶点，这两条射线是角的两条边；此外，角也可以看作由一条射线绕着它的端点旋转而形成的图形.(2)角的表示方法：角通常有三种表示方法：一是用三个大写英文字母表示，二是用角的顶点的一个大写英文字母表示，三是用一个小写希腊字母或一个数字表示.例如下图：要点诠释：①角的两种定义是从不同角度对角进行的定义；②当一个角的顶点有多个角的时候，不能用顶点的一个大写字母来表示.（3）角度制及角度的换算1周角=360°，1平角=180°，1°=60′，1′=60″，以度、分、秒为单位的角的度量制，叫做角度制.要点诠释：①度、分、秒的换算是60进制，与时间中的小时分钟秒的换算相同.②度分秒之间的转化方法：由度化为度分秒的形式(即从高级单位向低级单位转化)时用乘法逐级进行；由度分秒的形式化成度(即低级单位向高级单位转化)时用除法逐级进行.③同种形式相加减：度加（减）度，分加（减）分，秒加（减）秒；超60进一，减一成60.（4）角的分类∠β锐角直角钝角平角周角范围0＜∠β＜90°∠β=90°90°＜∠β＜180°∠β=180°∠β=360°（5）画一个角等于已知角（1）借助三角尺能画出15°的倍数的角，在0～180°之间共能画出11个角.（2）借助量角器能画出给定度数的角.（3）用尺规作图法.2．角的比较与运算（1）角的比较方法:①度量法；②叠合法.（2）角的平分线：从一个角的顶点出发，把这个角分成相等的两个角的射线，叫做这个角的平分线，例如：如下图，因为OC是∠AOB的平分线，所以∠1=∠2=∠AOB，或∠AOB=2∠1=2∠2.类似地，还有角的三等分线等.3．角的互余互补关系余角补角（1）若∠1+∠2=90°，则∠1与∠2互为余角.其中∠1是∠2的余角，∠2是∠1的余角.（2）若∠1+∠2=180°，则∠1与∠2互为补角.其中∠1是∠2的补角，∠2是∠1的补角.（3）结论:同角(或等角)的余角相等；同角(或等角)的补角相等.要点诠释：①余角(或补角)是两个角的关系，是成对出现的，单独一个角不能称其为余角(或补角).②一个角的余角(或补角)可以不止一个，但是它们的度数是相同的.③只考虑数量关系，与位置无关．④“等角是相等的几个角”，而“同角是同一个角”.4．方位角以正北、正南方向为基准，描述物体运动的方向，这种表示方向的角叫做方位角.要点诠释：（1）方位角还可以看成是将正北或正南的射线旋转一定角度而形成的.所以在应用中一要确定其始边是正北还是正南.二要确定其旋转方向是向东还是向西，三要确定旋转角度的大小.（2）北偏东45°通常叫做东北方向，北偏西45°通常叫做西北方向，南偏东45°通常叫做东南方向，南偏西45°通常叫做西南方向.（3）方位角在航行、测绘等实际生活中的应用十分广泛.考点9：角的认识【典例分析9】（2021秋•金牛区校级期中）如图，∠AOC和∠BOD都是直角，如果∠DOC＝38°，那么∠AOB的度数是（）A．128° B．142° C．38° D．152°【思路引导】从图形中可看出∠AOC和∠DOB相加，再减去∠DOC即为所求．【完整解答】解：∵∠AOC＝∠DOB＝90°，∠DOC＝38°，∴∠AOB＝∠AOC+∠DOB﹣∠DOC＝90°+90°﹣38°＝142°．故选：B．【变式训练23】（2021秋•皇姑区校级期中）已知小于平角的∠AOB＝10n（n≥2，且n为正整数），以点O为端点在∠AOB的内部尽可能多地作射线，使它们与OA，OB之间形成角的度数均是10的整数倍，这样的角有个．（用含n的式子表示）【变式训练26】（2021秋•海淀区校级期中）如图，B岛在A岛南偏西55°方向，B岛在C岛北偏西60°方向，C岛在A岛南偏东30°方向．从B岛看A，C两岛的视角∠ABC度数为（）A．50° B．55° C．60° D．65°【变式训练27】（2021秋•武昌区校级月考）如图，CD平分三角板的∠ACB（其中∠A＝30°，∠ACB＝90°），则∠ADC等于（）A．90° B．100° C．105° D．110°考点10：角的计算【典例分析10】（2021春•呼和浩特期末）如图所示，长方形ABCD中，点E在CD边上，AE，BE与线段FG相交构成∠α，∠β，则∠1，∠2，∠α，∠β之间的关系是（）A．∠1+∠2+180°＝∠α+∠β B．∠α+∠2＝∠β+∠1 C．∠α+∠β＝2（∠1+∠2） D．∠1+∠2＝∠a﹣∠β【思路引导】由三角形的内角和定理可得∠AEB＝∠1+∠2，由外角的性质可求解．【完整解答】解：在△ABE中，∠AEB+∠EAB+∠ABE＝180°，∴90°﹣∠1+∠90°﹣∠2+∠AEB＝180°，∴∠AEB＝∠1+∠2，∵∠α＝∠AEB+180°﹣∠β，∴∠α+∠β＝∠1+∠2+180°，故选：A．【变式训练28】（2021秋•崇川区校级月考）如图，先将正方形纸片对折，折痕为MN，再把B点折叠在折痕MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为H，则∠HBC的度数为．【变式训练29】（2020秋•温江区校级期末）已知∠AOB＝60°，求：（1）如图1，OC为∠AOB内部任意一条射线，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC，求∠MON＝；（2）如图2，当OC旋转到∠AOB的外部时，∠MON的度数会发生变化吗？请说明原因；（3）如图3，当OC旋转到∠AOB（∠BOC＜120°）的外部且射线OC在OB的下方时，OM平分∠AOC，射线ON在∠BOC内部，∠NOC＝∠BOC，求∠COM﹣∠BON的值？【变式训练30】（2020秋•南宁期末）如图，已知∠AOB＝120°，OC是∠AOB内的一条射线，且∠AOC：∠BOC＝1：2．（1）求∠AOC，∠BOC的度数；（2）作射线OM平分∠AOC，在∠BOC内作射线ON，使得∠CON：∠BON＝1：3，求∠MON的度数；（3）过点O作射线OD，若2∠AOD＝3∠BOD，求∠COD的度数．考点11：余角和补角【典例分析11】（2021秋•滦州市期中）如图：O为直线AB上的一点，OC为一条射线，OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，图中互余的角共有（）A．1对 B．2对 C．4对 D．6对【思路引导】根据角平分线的定义，互为余角的意义和平角的意义进行计算即可．【完整解答】解：∵OD平分∠AOC，OE平分∠BOC，∴∠AOD+∠COD＝∠AOC，∠BOE＝∠COE＝∠BOC，又∵∠AOC+∠BOC＝180°，∴∠AOD+∠COE＝90°，∠AOD+∠BOE＝90°，∠COD+∠COE＝90°，∠COD+∠BOE＝90°，综上所述，互余的角共有4对，故选：C．【变式训练31】（2021春•香坊区校级期末）如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC＝1：2，∠MON的一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方，且∠MON＝90°．（1）如图1，求∠CON的度数；（2）将图1中的∠MON绕点O以每秒6°的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，如图2，若直线ON恰好平分锐角∠AOC，求∠M