第02课有理数及数轴

第2课有理数及数轴1、了解有理数及相关概念并掌握有理数的分类；2、掌握数轴的定义和特点，知道数轴上的点与有理数的对应关系；3、会求数轴上两点间的距离；知识点01有理数的有关概念1.整数和分数(1)正整数、负整数、0统称为整数.(2)正分数、负分数统称为分数.2.有理数：整数和分数统称为有理数.【注意】(1)有限小数和无限循环小数都可以化成分数,所以把有限小数和无限循环小数看成分数.(2)引入负数后,对数的认识扩充到有理数,不要忘记整数和分数中都有负数.【拓展】有理数的另一个概念:形如—(为整数，且n≠0)的数是有理数,整数可以看作分母为1的数,有限小数和无限循环小数都可以化为分数,所以所有有理数都可以写成分数的形式.【特别提醒】①圆周率π是正数,但不是有理数，千万要注意，类似等同样也不是有理数.②有理数概念中，“0”很特殊：(1)0既不是正数,也不是负数.(2)0是整数,不是分数.(3)0既是非正数,又是非负数.知识点02有理数的分类及数集3.有理数的分类正分数正整数正分数正整数正整数负分数正整数负分数【注意】(1)有理数分类,分类的标准不同,分类的结果就不同,所以要按统一标准分类.(2)要想分类结果不重复、无遗漏,必须掌握两种分类标准,“整数”和“分数”对应,“正”与“负”对应;0既不是正数也不是负数,它是整数也是有理数.【特别提醒】(1)对有理数进行分类时,不要把两个标准混淆,也千万不要忽略0.(2)遇到无限不循环小数要当心,你要防止它混入有理数的队伍，尤其小心π.3、数集数集是具有某些共同特征的数的集合.例如,所有的有理数组成的数集叫做有理数集,所有的整数组成的数集叫做整数集.【特别提醒】常见的几类数自然数:正整数和0;有理数:整数和分数;非正整数:负整数和0;非负数:正数和0;非负有理数:正有理数和0.知识点03数轴1、数轴:用一条直线上的点表示数,这条直线叫做数轴.2、数轴的三要素:①原点:在直线上任取一个点表示0,这个点叫做原点.②正方向:通常规定直线上从原点向右(或向上)为正方向,从原点向左(或向下)为负方向.③单位长度:选取适当的长度为单位长度,直线上从原点向右,每隔一个单位长度取一个点,依次表示1,2,3,…;从原点向左,用类似方法依次表示1,2,3,….3、有理数与数轴上的点之间的关系(1)所有的有理数都可以用数轴上的点表示.(2)设a是一个正数,则数轴上表示数a的点在原点的右边,与原点的距离是a个单位长度;表示a的点在原点的左边,与原点的距离是a个单位长度.【注意】单位长度和长度单位不是一回事.单位长度可以任意选取,而长度单位是我们在小学学过的一些为了规范长度而制定的基本单位，如m,dm,cm.4、数轴的画法步骤画法图形一画先画一条直线(一般画成水平的直线)二取在直线的适当位置先取一点作为原点,并用这点表示数0(在原点下边标上0)三定规定正方向(一般取向右为正方向),画上箭头四标在数轴上,选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右,每隔一个单位长度取一点﹐依次标上1,2,3，…;从原点向左，每隔一个单位长度取一点,依次标上,…【提醒】数轴常见四大错误没有正方向没有原点单位长度不统一数字排列顺序错误5、有理数与数轴上的点的关系所有的有理数都可以用数轴上的点表示,但数轴上的点表示的数并不都是有理数.表示正有理数的点在原点的右边,表示负有理数的点在原点的左边.以上两点可表示如下:【注意】数轴上有无数个点,而每一个点都表示一个数,不同的点所表示的数不同,不同的数用不同的点来表示.【特别提醒】数轴上的点并不都表示有理数.也就是说,数轴上的点与有理数并不是一一对应关系.知识点1有理数的有关概念1．下面的说法中，正确的是（）A．正有理数和负有理数统称有理数 B．整数和小数统称有理数 C．整数和分数统称有理数 D．整数、零和分数统称有理数【分析】根据有理数的分类进行判断即可．【解答】解：A．正有理数、0和负有理数统称为有理数，故不符合题意；B．无限不循环小数是无理数，故不符合题意；C．整数和分数统称为有理数，故符合题意；D．整数包括零，故不符合题意．故选：C．2．下列说法：①整数包括正整数和负整数；②分数包括正分数和负分数；③﹣7既是负数也是整数，但不是自然数；④O既是正整数也是负整数；⑤非负分数就是正分数．其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据有理数的概念解答即可．【解答】解：①整数包括正整数、负整数和0，故原说法错误，不符合题意；②分数包括正分数和负分数，正确，符合题意；③﹣7既是负数也是整数，但不是自然数，正确，符合题意；④0既不是正数也不是负数，故原说法错误，不符合题意；⑤非负分数就是正分数，正确，符合题意．所以正确的个数是3个．故选：C．知识点2有理数的分类及数集3．把下列各数填在相应的大括号内：+8，0.35，0，﹣1.04，200%，π，，﹣，﹣2020．整数集合{+8，0，200%，﹣2020}；正数集合{+8，0.35，200%，π，}；正分数集合{0.35，}．【分析】根据有理数的概念与分类解决此题即可．【解答】解：整数集合{+8，0，200%，﹣2020}；正数集合{+8，0.35，200%，π，}；正分数集合{0.35，}．故答案为：+8，0，200%，﹣2020；+8，0.35，200%，π，；0.35，．4．将下列各数填入表示它所在的数集的圈里：+6，﹣18，2022，﹣3.14，0，95%，，﹣1.8，﹣．【分析】根据有理数的分类，可得答案．【解答】解：如图所示：【解题方法】巧填数集两方法(1)逐个考察给出的数，看它是什么数，即是否属于某一集合，如某数属于正整数集合、自然数集合、非负整数集合和非负数集合，所以要分别填入对应集合中.(2)逐个填写相关的集合，从给出的数中找出属于这个集合的数.知识点3数轴5．下列说法正确的是（）A．数轴是一条规定了原点和正方向的射线 B．数轴的三要素是原点、正方向和单位长度 C．数轴的正方向一定向右 D．数轴的长度是有限的【分析】根据数轴的定义分别判断每一个选项即可．【解答】解：A．数轴是一条规定了原点、正方向、单位长度的直线，不是射线，故此项错误，不符合题意；B．正确，符合题意；C．数轴的正方向不一定向右，故此项错误，不符合题意；D．数轴的长度是无限的，故此项错误，不符合题意．故选：B．6．下列关于数轴的图示，画法正确的是（）A．​ B．​ C．​ D．​【分析】根据数轴的定义对各选项分析判断利用排除法求解．【解答】解：A、单位长度不统一，故此选项不符合题意；B、缺少正方向，故此选项不符合题意；C、没有原点，故此选项不符合题意；D、规定了原点，单位长度，正方向的直线叫做数轴，故此选项符合题意．故选：D．7．如图，数轴上点A表示的数可能是（）A．﹣2.01 B．﹣2.6 C．﹣3.4 D．3.3【分析】观察点A在数轴上的位置，再作判断即可．【解答】解：点A在﹣2和﹣3之间，且偏﹣3一侧，所以符合题意的数是﹣2.6，故选：B．8．关于这个数在数轴上的点的位置描述，正确的是（）A．在﹣3的左边 B．在3的右边 C．在原点与﹣1之间 D．在﹣1的左边【分析】根据数轴的特征：左边的点表示的数总比右边的点表示的数要小，据此进行判断即可得到答案．【解答】解：∵，∴在﹣1的左边，故选：D．9．已知在纸面上有一数轴（如图），折叠纸面．（1）若1表示的点与﹣1表示的点重合，则﹣2表示的点与数2表示的点重合；（2）若﹣1表示的点与3表示的点重合，回答以下问题：①6表示的点与数﹣4表示的点重合；②若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），且A、B两点经折叠后重合，写出A、B两点表示的数是多少？【分析】（1）根据对称的知识，若1表示的点与﹣1表示的点重合，则对称中心是原点，从而找到﹣2的对称点；（2）①若﹣1表示的点与3表示的点重合，则对称中心是1表示的点，从而找到5的对称点；②根据对应点连线被对称中心平分，则点A和点B到1的距离都是4，从而求解．【解答】解：（1）根据题意，得对称中心是原点，则﹣2表示的点与数2表示的点重合．故答案为：2；（2）∵﹣1表示的点与3表示的点重合，∴对称中心是1表示的点．∴①6表示的点与数﹣4表示的点重合．故答案为：﹣4；②若数轴上A、B两点之间的距离为8（A在B的左侧），则点A表示的数是1﹣4＝﹣3，点B表示的数是1+4＝5．【解题方法】研究数轴上点的移动，数形结合有奇效，解答此类题目可以运用数形结合思想，将点的移动情况直观地体现在数轴上，结合点在数轴上的运动路线得出结论.1．将下列说法正确的是（）A．正整数和负整数构成整数 B．零是整数，但不是正数，也不是负数 C．分数包括正分数、负分数和零 D．零是整数．也是正数，也是负数【分析】整数包括：正整数，0，负整数；分数包括正分数和负分数，零不是正数，也不是负数．【解答】解：A、正整数，零和负整数构成整数，此选项不符合题意；B、零是整数，但不是正数，也不是负数，此选项符合题意；C、分数包括正分数、负分数，故此选项不符合题意；D、零是整数，但不是正数，也不是负数，故此选项不符合题意；故选：B．2．下列说法正确的是（）A．最小的正有理数是1 B．最小的正整数是1 C．0是最小的有理数 D．有理数由正数和负数组成【分析】有理数包括正有理数，0和负有理数，据此逐一判断即可．【解答】解：A．没有最小的有理数，故本选项不合题意；B．最小的正整数是1，故本选项符合题意；C．有最小的有理数，故本选项不合题意；D．有理数由正有理数，0和负有理数组成，故本选项不合题意．故选：B．3．在下列六个数中：0，，，0.101001，﹣10%，5213，分数的个数是（）A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据分数的定义解答即可．【解答】解：在下列六个数中：0，，，0.101001，﹣10%，5213中，分数有，0.101001，﹣10%共3个．故选：B．4．判断下列图中所画的数轴正确的个数是（）个．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根据数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度，结合图形判断即可．【解答】解：数轴的三要素是：原点、正方向、单位长度，图（1）没有原点，故（1）不正确；图（2）满足数轴的定义，故（2）正确；图（3）所画负半轴上的数字排列顺序不对，故（3）错误；图（4）所画单位长度不一致，故（4）不正确．故选：B．5．下列说法中正确的是（）A．数轴是一条射线 B．数轴上离开原点距离越远的点表示的数越大 C．数轴上的点所表示的数从左到右依次减小 D．任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示【分析】根据数轴的特点进行判断，结合有理数与数轴的关系进行分析判断即可．【解答】解：数轴是一条直线，A说法错误；在数轴的负半轴上，到原点距离越远的点所表示的数一定越小，B说法错误；数轴上的点所表示的数从左到右依次增大，C说法错误；任何一个有理数都可以用数轴上的一个点表示，D说法正确．故选：D．6．如图，点A是数轴上一点，则点A表示的数可能为（）A．﹣1.5 B．﹣2.5 C．2.5 D．1.5【分析】利用有理数与数轴的关系可得答案．【解答】解：根据图示可得点A表示的数在﹣2和﹣1之间，四个选项中只能是﹣1.5．故选：A．7．在﹣15，，﹣0.23，0.51，0，7.6，2，﹣，314%中，非负数有6个．【分析】利用有理数的定义判断．【解答】解：在﹣15，，﹣0.23，0.51，0，7.6，2，﹣，314%中，非负数有，0.51，0，7.6，2，314%共计6个．故答案为：6．8．数轴的三要素是：正方向、原点、单位长度．【分析】根据数轴的概念即可得出答案．【解答】解：数轴的三要素是：正方向、原点、单位长度．故答案为：正方向；原点；单位长度．9．在数轴上距原点7个单位的点表示的数是±7．【分析】根据数轴上两点间的距离公式进行计算即可．【解答】解：设该点表示的数为：x，由数轴上两点间的距离公式可得：|x﹣0|＝7，即：|x|＝7，解得x＝±7．故答案为：±7．10．将下列各数填入相应的大括号内：﹣13，0.1，﹣2.23，+27，0，﹣15%，﹣3，．（1）非正数：{﹣13，﹣2.23，0，﹣15%，﹣3…}；（2）非负数：{0.1，+27，0，…}（3）非正整数：{﹣13，0…}；（4）非负整数：{+27，0…}【分析】根据有理数的定义及其分类可得．【解答】解：（1）非正数：{﹣13，﹣2.23，0，﹣15%，﹣3…}；故答案为：﹣13，﹣2.23，0，﹣15%，﹣3；（2）非负数：{0.1，+27，0，…}；故答案为：0.1，+27，0，；（3）非正整数：{﹣13，0…}；故答案为：﹣13，0；（4）非负整数：{+27，0…}．故答案为：+27，011．请把下列各数填在相应的集合内：，﹣5，0.34，，20，﹣1，0．正数集合{，0.34，20……}；负整数集合{﹣5，﹣1……}；整数集合{﹣5，0，20，﹣1……}；分数集合{，0.34，……}；非正数集合{﹣5，，0，﹣1……}；非负整数集合{0，20……}．【分析】根据有理数的分类解答即可．【解答】解：正数集合，0.34，20，…}；负整数集合{﹣5，﹣1，…}；整数集合{﹣5，0，20，﹣1，…}；分数集合，0.34，，…}；非正数集合{﹣5，，0，﹣1，…}；非负整数集合{0，20，…}．故答案为：，0.34，20；﹣5，﹣1；﹣5，0，20，﹣1；，0.34，；﹣5，，0，﹣1；0