清单10二次函数的图象与性质（2个考点梳理18种题型解读提升训练）2

清单10二次函数的图象与性质（2个考点梳理+18种题型解读+提升训练）【知识导图】【知识清单】基本形式y=ax2y=ax2+ky=a(xh)2y=a(xh)2+ky=ax2+bx+c对称轴y轴y轴x=hx=h顶点(0，0)(0，k)(h，0)(h，k)a>0时，开口向上，顶点是最低点，此时y有最小值；a<0时，开口向下，顶点是最高点，此时y有最大值.说明：最小值(或最大值)为0（k或）.增

减

性a>0x<0(h或)时，y随x的增大而减小，即在对称轴的左边y随x的增大而减小；x>0(h或)时，y随x的增大而增大，即在对称轴的右边y随x的增大而增大.a<0x<0(h或)时，y随x的增大而增大，即在对称轴的左边y随x的增大而增大.x>0(h或)时，y随x的增大而减小，即在对称轴的右边y随x的增大而减小.二次函数的最值问题1）如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值(或最小值)；即：当时，（a>0，取得最小值；a<0,取得最大值）；2）如果自变量的取值范围是x1≤x≤x2，首先看x=是否在自变量取值范围x1≤x≤x2内：①若对称轴在在此范围内，则当时，；②若对称轴不在此范围内，则需要考虑函数在x1≤x≤x2范围内的增减性：1））如果在此范围内，y随x的增大而增大：则：当x=x2时，取最大值；当x=x1时，取最小值；2））如果在此范围内，y随x的增大而减小：则：当x=x1时，取最大值，当x=x2时，取最小值。求二次函数解析式的一般方法：1）一般式y=ax2+bx+c.代入三个点的坐标列出关于a,b,c的方程组，并求出a,b,c，就可以写出二次函数的解析式.2）顶点式y=a(xh)2+k.根据顶坐标点（h,k)，可设顶点式y=a(xh)2+k,再将另一点的坐标代入，即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.3）交点式y=a(xx1)(xx2).当抛物线与x轴的两个交点为(x1,0)、(x2,0)时，可设y=a(xx1)(xx2)，再将另一点的坐标代入即可求出a的值，从而写出二次函数的解析式.考点一二次函数图象与性质【考试题型1】根据二次函数解析式判断其性质【典例1】抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，y＝0.5x2共有的性质是(

)A．开口向下 B．对称轴是y轴 C．都有最低点 D．y的值随x的值增大而减小【答案】B【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数的性质可以解答本题．【详解】解：抛物线y＝2x2，y＝﹣2x2，y＝0.5x2共有的性质是顶点坐标都是（0，0），对称轴都是y轴，故选项B符合题意，选项A、C、D不符合题意，故选：B．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．【专训11】（2022上·山东济南·九年级统考期末）已知点A（－2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数y=-2x2图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（A．y1<y3<y2 B．【答案】D【分析】分别计算出自变量为2、1和3的函数值，然后比较函数值的大小．【详解】解：∵点A（2，y1），B（1，y2），C（3，y3）在二次函数y=2x2图象上，∴y1=2×4=8；y2=2×1=2；y3=2×9=18，∴y3＜y1＜y2．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．【专训12】（2020上·广东广州·九年级校考期中）已知关于x的二次函数y=x+m2-3，当x>2时，y随着x的增大而增大，则mA．m≤2 B．m≥-2 C．m<2 D．m≤-2【答案】B【分析】根据二次函数的性质，当a>0时，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，进行求解即可．【详解】解：∵a=1>0，∴抛物线开口向上，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，当x>2时，y随着x的增大而增大，∴对称轴x=-m≤2；即：m≥-2；故选：B．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．【专训13】（2022上·安徽亳州·九年级统考期末）抛物线y=4x2抛物线y=-4x+2A．顶点相同 B．对称轴相同 C．开口方向相同 D．顶点都在x轴上【答案】D【分析】根据二次函数中a的作用得出形状相同、开口方向相反，再利用图象的顶点形式确定顶点坐标，对称轴．【详解】解：抛物线y＝4x2的开口向上，对称轴为y轴，顶点为（0，0），抛物线y＝−4（x＋2）2的开口向下，对称轴为直线x＝−2，顶点是（−2，0），∴抛物线y＝4x2与抛物线y＝−4（x＋2）2的相同点是顶点都在x轴上，故选：D．【点睛】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数的性质是解题关键．【专训14】抛物线y=12x2，y=-3x2，A．y=12x2 B．y=-3x【答案】A【分析】先令x=1，求出函数值，然后再比较二次项系数的绝对值的大小即可解答．【详解】解：当x=1时，三条抛物线的对应点是（1，12）（1，3），（1，1∵|12|＜|1|＜|3|∴抛物线y=1故选A．【点睛】本题主要考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数解析式的二次项系数的绝对值越小，函数图象的开口越大．【专训15】（2022上·新疆乌鲁木齐·九年级校考期中）下列关于二次函数图象的性质，说法正确的是（）A．抛物线y=axB．抛物线y=2x2C．抛物线y=3(x-1)2在对称轴左侧，即x＜1时，D．抛物线y=2(x-1)2【答案】C【分析】根据二次函数的性质和题目中函数的解析式，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．【详解】A.当a<0时，抛物线y=ax2的开口向下，B.抛物线y=2x2+3的对称轴为直线x=0C.抛物线y=3(x-1)2在对称轴左侧，即x＜1时，y随D.抛物线y=2(x-1)2+3的顶点坐标为(1故选：C．【点睛】本题考查二次函数的性质，解答本题的关键是熟记二次函数的性质．【专训16】（2021上·浙江杭州·九年级统考期末）已知-3,y1，-2,y2，1,y3A．y2>y1>y3 B．【答案】A【分析】把原函数解析式化成项点式，然后根据三点与对称轴的位置关系，开口方向判断y1【详解】∵y=-2x∴抛物线开口向上，对称轴为x=-2，∵-3,y1、-2,y2、∴y2故选：A．【点睛】本题主要考查了抛物线线上点坐标的特征，找准对称轴以及利用抛物线的增减性是解题的关键．【专训17】（2023上·福建泉州·九年级校考期中）下列关于抛物线y=x2+2x-1A．开口向上 B．顶点坐标-1,-2C．与y轴的交点为0,-1 D．当x<0时，y随x的增大而减小【答案】D【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质，逐一进行判断即可．【详解】解：∵y=x2+2x-1=x+12∴抛物线的开口向上，顶点坐标为-1,-2，与y轴的交点为0,-1，对称轴为x=-1，∴当x<-1时，y随x的增大而减小；综上：只有选项D是错误的，故选：D．【考试题型2】将二次函数的一般式化为顶点式【典例2】（2023上·吉林·九年级校考期中）将二次函数y=2x2+4x-6化成y=aA．y=2x-12+8C．y=2x+12-8【答案】C【分析】此题主要考查了二次函数的一般形式化成顶点形式，直接利用配方法将原式变形得出答案．【详解】解：y=2xy=2xy=2xy=2x+1故选：C．【专训21】（2023上·甘肃定西·九年级统考期中）二次函数y=x2+4x+5A．

B．

C．

D．

【答案】B【分析】将一般式转化为顶点式，根据二次函数的性质，进行判断即可．【详解】解：y=x∴抛物线的开口向上，对称轴为：x=-2，顶点坐标为-2,1，∴符合要求的只有选项B，故选B．【点睛】本题考查二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键．【专训22】（2023上·浙江衢州·九年级校考阶段练习）已知y=x2-4x+2A．y=x+22-2C．y=x-22-2【答案】C【分析】将一般式转化成顶点式，即y=x【详解】解：由y=x故选：C．【点睛】本题考查二次函数一般式转化成顶点式，熟练掌握配方法是解题的关键．【考试题型3】利用五点法绘二次函数图象【典例3】（2023上·安徽·九年级统考期中）已知二次函数y=2x(1)求该二次函数的对称轴和顶点坐标；(2)在平面直角坐标系中，画出这个二次函数的图象．【答案】(1)二次函数的对称轴为直线x=1，顶点坐标为：1,-8(2)见解析【分析】本题主要考查了二次函数的性质以及二次函数图象、配方法求其顶点坐标．（1）化为顶点式，求出二次函数顶点坐标和对称轴；（2）利用（1）中所求进而画出函数图象．【详解】（1）∵y=2x∴对称轴为：直线x=1，顶点坐标为：1,-8；（2）令x=0，则y=-6，令y=0，则2x解得，x1所以，过1,-8，0,-6，-1,0，3,0的函数图象如图所示：【专训31】（2023上·福建厦门·九年级统考期中）已知二次函数y=x2+ax+b

(1)求出该二次函数的解析式；(2)用描点法在直角坐标系中画出该二次函数的图象．【答案】(1)抛物线解析式为y=(2)见解析【分析】本题考查求二次函数的解析式，画二次函数的图象．（1）待定系数法求解析式即可；（2）列表，描点，连线，画出二次函数的图象即可．正确的求出函数解析式，掌握五点法作图，是解题的关键．【详解】（1）解：由题意，得：b=-31+a+b=-4解得：b=-3a=-2∴y=x（2）列表如下：x⋯-10123⋯y⋯0-3-4-30⋯画出图象如下：

【专训32】（2023上·江苏盐城·九年级校考期中）已知二次函数y=x-1

x……y…(1)请在坐标系中画出二次函数y=x-1①列表②描点③连线(2)观察图像，回答下列问题：①直接写出方程x-12-4=0的解是②当y>0时，x的取值范围是【答案】(1)见解析(2)①x1=-1,x2=3【分析】本题考查了画二次函数图象，抛物线与x轴的交点问题；（1）运用描点法，描出关键点，画出经过各点的平滑曲线；（2）①运用图象法求解，通过抛物线与x轴的交点，结合函数图象，即可求解；②观察函数图象即可求解．【详解】（1）解：y=当x=-1时，y=0；当x=0时，y=-3；当x=1时，y=-4；当x=2时，y=-3；当x=3时，y=0．列表如下：x…-10123…y…0-3-4-30…描点连线，如图所示；

（2）①解：根据函数图象可得：方程x-12-4=0故答案为：x1②从图象看，当x满足x<-1或x>3时，函数值大于0，∴当y>0时，x的取值范围是x<-1或x>3故答案为：x<-1或x>3．【考试题型4】利用待定系数法求二次函数解析式【典例4】（2023上·河北廊坊·九年级校考期中）如图所示的抛物线的解析式为（

）A．y=-43xC．y=-49x【答案】C【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，由图象可知函数与坐标轴的交点坐标，设y=ax-3x+3，代入【详解】解：由图象可得函数与x轴的交点坐标为-3,0和3,0，可设y=ax-3∵函数与y轴的交点坐标为0,4，∴4=a0-3解得：a=-4∴y=-49x-3故选：C．【专训41】（2023上·北京西城·九年级北京十四中校考期中）初三数学课本上，用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+cx…-2-1012…y…3430-5…根据表格上的信息回答问题：一元二次方程axA．x1=2，x2=-2 BC．x1=2，x2=-4 D【答案】C【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，由表格中的数据可求出抛物线的解析式，则一元二次方程ax【详解】解：由题意可知点(-2,3)，(0,3)，(1,0)在二次函数y=ax2+bx+c则3=4a-2b+cc=3解得：a=-1b=-2所以一元二次方程ax2+bx+c=-5解得：x1=2，故选：C．【专训42】（2023上·广西防城港·九年级统考期中）已知某二次函数的图象经过点(2,-6)，顶点为(-1,4)，求此二次函数的解析式．【答案】y=-2【分析】本题主要考查用待定系数法求函数解析式，设解析式为顶点式再将点(2,-6)代入即可得到答案．【详解】解：可设所求二次函数解析式为y=a(x-1)把(2,-6)代入得a×(2-1)2-4=-6∴此二次函数解析式为y=-2(x-1)即y=-2x【专训43】（2023上·浙江杭州·九年级杭州绿城育华学校校考期中）已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点-3,0(1)求该二次函数的表达式；(2)求该二次函数的顶点坐标．【答案】(1)二次函数的表达式为y=-(2)该二次函数的顶点坐标为-1,4【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式以及二次函数的性质，正确求出函数解析式是解题关键．（1）将点-3,0、2,-5代入函数解析式，利用待定系数法即可求出二次函数的表达式．（2）将二次函数解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标．【详解】（1）解：将点-3,0、2,-5代入二次函数y=ax得：9a-3b+3=04a+2b+3=-5解得：a=-1b=-2∴二次函数的表达式为y=-x（2）解：∵y=-x∴该二次函数的顶点坐标为-1,4．【专训44】（2023上·山东青岛·九年级统考期中）根据下列条件，选取你认为合适的方法求出二次函数的解析式：(1)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象过(2,3)，(-2,-5)(2)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过一次函数y=32x+3的图象与【答案】(1)y=-(2)y=【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，熟知待定系数法是解题的关键．对于（1），用待定系数法即可解决问题．对于（2），先求出一次函数与坐标轴的交点坐标，再用待定系数法即可解决问题．【详解】（1）因为二次函数图象经过(2,3)和(-2,-5)，且以直线x=1为对称轴，所以4a+2b+c=34a-2b+c=-5解得a=-1b=2所以二次函数的解析式为y=-x（2）将y=0代入y=3-32x+3解得x=2，即一次函数y＝-32x+3的图象与x同理可得次函数y＝-32x+3的图象与y又二次函数图象经过点(1,1)，所以a+b+c=14a+2b+c=0解得a=1所以二次函数的解析式为y=1【专训45】（2023上·浙江温州·九年级校考期中）设二次函数y=ax2+bx+c（a≠0，b是实数）．已知函数值yx…0123…y…60-20…(1)求二次函数的表达式．(2)若点Mm,n是抛物线上一点，且0<m<3，则n的取值范围是【答案】(1)y=2(2)-2≤n<6【分析】本题主要考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键．（1）把x=0，y=6；x=1，y=0；x=2，y=-2代入二次函数y=ax2+bx+c，得到关于a，b，c的三元一次方程组，解方程组，求出（2）把点M的坐标代入二次函数的解析式，把n用m表示出来，根据m的取值范围，求出n的取值范围即可．【详解】（1）解：把x=0，y=6；x=1，y=0；x=2，y=-2c=6a+b+c=04a+2b+c=-2，解得：∴二次函数的表达式为：y=2x（2）解：把点Mm,n代入y=22m当m=3时，n=2×3当m=0时，n=2×0当m=2时,n=2×∴当0<m<3时，n的取值范围为：-2≤n<6，故答案为：-2≤n<6．【考试题型5】二次函数的平移变换问题【典例5】（2022上·九年级单元测试）抛物线y=-2x-12-1可由抛物线y=-2x+2A．右移3个单位长度，再下移4个单位长度B．右移3个单位长度，再上移4个单位长度C．左移3个单位长度，再下移4个单位长度D．左移3个单位长度，再上移4个单位长度【答案】A【分析】根据二次函数图象的平移规律，可得答案．【详解】解：抛物线y=-2x-12-1可由抛物线y=-2x+22+3右移故选：A．【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，掌握二次函数图象的平移规律：左加右减，上加下减是解题关键．【专训51】（2021·江苏徐州·统考中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数y=x2的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（A．y=x-22+1 B．y=x+22+1【答案】B【分析】先求出平移后抛物线的顶点坐标，进而即可得到答案．【详解】解：∵y=x2的顶点坐标为（0，∴将二次函数y=x2的图像向左平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的顶点坐标为（2，∴所得抛物线对应的函数表达式为y=x+2故选B【点睛】本题主要考查二次函数的平移规律，找出平移后二次函数图像的顶点坐标或掌握“左加右减，上加下减”，是解题的关键．【专训52】（2022·四川泸州·统考中考真题）抛物线y=-12xA．y=-12xC．y=-12x【答案】D【分析】通过了解平移过程，得到二次函数平移过程中不改变开口大小和开口方向，所以a不变，选出答案即可．【详解】解：抛物线y=-12x2+x+1经平移后，不改变开口大小和开口方向，所以a不变，而D故选：D．【点睛】本题考查了二次函数平移的知识点，上加下减，左加右减，熟练掌握方法是解题关键，还要掌握y=ax2+bx+c(a≠0)【专训53】（2023上·福建厦门·九年级校联考期中）将二次函数y=2x2的图像向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度后得到的新函数的对称轴是（A．直线x=-2 B．直线x=3 C．直线x=-3 D．直线x=2【答案】C【分析】本题主要考查二次函数图像的平移，熟练掌握“左加右减，上加下减”是解题的关键；所以由题意易得平移后的二次函数表达式为y=2x+3【详解】解：由题意知：平移后的二次函数表达式为y=2x+3∴新函数的对称轴为直线x=-3；故选：C．【考试题型6】二次函数的对称变换问题【典例6】（2020·广西玉林·统考中考真题）把二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y=-a(x-1)2+4a，若A．-4 B．0 C．2 D．6【答案】D【分析】先根据二次函数图形的变换规律可得变换后的函数解析式为y=-ax2-bx-c，再根据对称轴、与y轴的交点问题可求出b=-2a【详解】由二次函数图形的变换规律得：把二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象作关于x轴的对称变换，所得则y=-a(x-1)2+4a由对称轴得：x=-b2a当x=0时，由函数y=-a(x-1)2+4a得y=-a+4a=3a；由函数则-c=3a，即c=-3a将b=-2a，c=-3a代入m-1a+b+c≤0得：整理得：m-1∵a>0∴m-1≤5解得m≤6则m的最大值为6故选：D．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质（对称性、与y轴的交点）、一元一次不等式等知识点，依据二次函数的图象与性质求出b、c与a的关系等式是解题关键．【专训61】（2023上·湖北咸宁·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标中，对抛物线y=-2x2+2x在x轴上方的部分进行循环反复的轴对称或中心对称变换，若点A是该抛物线的顶点，则经过第2023次变换后所得的A

【答案】1【分析】本题考查了点的坐标变换规律，二次函数的顶点坐标，读懂题目信息，观察出每三次对称为一个循环组依次循环，用2023除以3，然后根据商和余数的情况确定出变换后的点A所在的象限是解决问题的关键．【详解】解：∵y=-2x∴抛物线y=-2x2+2x则，点A第一次关于x轴对称后在第四象限，第二次关于原点对称后在第二象限，第三次关于y轴对称后在第一象限，回到原始位置，所以每3次对称为一个循环组，∵2023÷3=674⋯1，∴经过第2023次变换后所得的A点位置第一次变换后的位置相同，在第四象限，坐标为12故答案为：12【专训62】（2023·广西玉林·统考一模）把二次函数：y=ax2+bx+c(a>0)的图象作关于y轴的对称变换，所得图象的解析式为：y=a(x+2)2+(a-1)2【答案】1【分析】由变换后解析式可得变换前解析式，从而可得顶点坐标，即可求出b与a的关系，将x=0分别代入y=ax2+bx+c与变换前解析式可得c【详解】解：∵变换后图象解析式为y=a(x+2)∴抛物线顶点坐标为-2,(a-1)∴原函数图象解析式为y=a(x-2)∴-b2a=2将x=0代入y=ax2+bx+c将x=0代入y=a(x+2)2+(a-1∴c=(a+1)∴b+c=-4a+(a+1)∴a=1时，b+c有最小值为0，故答案为：1．【点睛】本题考查二次函数图象与几何变换，二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数的性质．【专训63】（2023·湖南株洲·统考一模）把二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像作关于x轴的对称变换，所得图像的解析式为y=-a(x-1)2+2a，a+c=【答案】04【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征得出原二次函数的顶点为(1,-2a)，即可得出原二次函数为y=-a(x-1)2-2a=ax2-2ax-a，与原二次函数比较可得b=-2a,c=-a，可得a+c=a+-a【详解】解：∵把二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图像作关于∴原二次函数的顶点为(1,-2a)，∴原二次函数为y=ax-1∴b=-2a,c=-a，∴a+c=a+-a∵(m-1)a+b+c≤0，∴(m-1)a-2a-a≤0，∵a>0，∴m-1-2-1≤0即m≤4，∴m的最大值是4；故答案为：0；4．【点睛】本题主要考查了二次函数图像与系数的关系、作关于x轴对称的点的坐标特征、二次函数的图像与几何变换等知识点，掌握关于x轴对称的点的坐标特征是解题的关键．【专训64】（2023上·安徽黄山·九年级统考期中）定义：关于x轴对称且对称轴相同的两条抛物线叫作“同轴对称抛物线”．例如：y=x-12-2的“同轴对称抛物线”(1)抛物线y=-12x-12+32的顶点坐标为(2)如图，在平面直角坐标系中，第四象限的点B是抛物线y=ax2-4ax+1上一点，点B的横坐标为1，过点B作x轴的垂线，交抛物线y=ax2-4ax+1的“同轴对称抛物线”于点C，分别作点B、C关于抛物线y=ax2-4ax+1的对称轴对称的点B'、C'，连接BC

【答案】(1)1   ，   32；𝑦=12x-12−32(2)𝑎=23【分析】本题主要考查了二次函数的顶点式图像与性质，二次函数的图像变换，正方形的性质．熟练掌握二次函数的顶点式图像与性质是解题的关键．（1）根据顶点式的性质直接写出坐标即可，再由“同轴对称抛物线”定义得出答案．（2）写出点𝐵的坐标，再由对称轴求出点𝐵′，然后结合正方形的性质列出方程求解即可．【详解】（1）解：1  ，   32；𝑦=12x-12−32.（2）解：∵点B是抛物线𝑦=𝑎𝑥2−4𝑎𝑥+1上一点，点B、B'关于该抛物线的对称轴对称，∴点B'也在抛物线𝑦=𝑎𝑥2−4𝑎𝑥+1上，∵抛物线𝑦=𝑎𝑥2−4𝑎𝑥+1的对称轴为直线𝑥=−−4𝑎2𝑎=2，

且点B的横坐标为1，∴点B'的横坐标为3，

∴𝐵𝐵′=3−1=2，当四边形𝐵𝐶𝐶′𝐵′为正方形时，则𝐵𝐶=𝐵𝐵′=2，

由题意可知，B、C关于x轴对称且点B在第四象限，∴点B的纵坐标为−1∴点B的坐标为1  ,   −1.

把点B的坐标代入𝑦=𝑎𝑥2−4𝑎𝑥+1，解得𝑎=23【考试题型7】已知抛物线上对称的两点求对称轴【典例7】（2022上·河南安阳·九年级校考阶段练习）抛物线y=x+1x-3的对称轴是（A．x=-3 B．x=1 C．x=3 D．x=1【答案】B【分析】利用交点式，得出与x轴交点坐标，利用对称性求得对称轴即可．【详解】解：∵抛物线y=x+1x-3与x轴的交点坐标-1,0，∴对称轴为直线x=-1+3故选：B．【点睛】此题考查二次函数的性质，利用交点式求得交点坐标是解决问题的关键．【专训71】（2023上·河北唐山·九年级统考期中）若点(2,a)、(4,b)都在二次函数y=x-32+k的图象上，则aA．a>b B．a<b C．a=b D．无法确定【答案】C【分析】本题考查了二次函数的性质，求得对称轴为直线x=3，即可求解．【详解】解：∵y=x-32又点(2,a)、(4,b)关于x=3对称、∴a=b，故选：C．【专训72】（2023·山东济宁·校联考三模）某二次函数图象经过1,8，3,-1，5,8，那么该图象的对称轴的解析式为．【答案】x=3【分析】根据二次函数的对称性可知，点1,8和点5,8关于二次函数的对称轴对称，根据对称轴x=x【详解】解：∵点1,8和点5,8关于二次函数的对称轴对称，∴对称轴x=1+5故答案为：x=3．【点睛】此题考查二次函数的性质，利用二次函数的对称性求二次函数的对称轴，注意抓住图象上点的特征，选用适当的方法解答．【考试题型8】利用二次函数的对称性求函数值【典例8】（2022上·福建南平·九年级校考阶段练习）已知二次函数y=ax2+bx+c中，函数y与xx…-3-20…y…0-3-3…则一元二次方程ax2+bx+c=0【答案】x1=-3【分析】由抛物线经过点(-2,-3)，(0,-3)可得抛物线对称轴，根据抛物线对称性及抛物线经过(-3,0)求解．【详解】解：∵抛物线经过点(-2,-3)，(0,-3)，∴抛物线抛物线对称轴为直线x=-2+0又∵抛物线经过(-3,0)，对称轴为直线x=∴抛物线经过(1,0)，∴一元二次方程ax2+bx+c=0的根是x故答案为：x1=-3，【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数与方程的关系．【专训81】（2023上·广东惠州·九年级校考期中）数学课本上，用“描点法”画二次函数y=ax2+bx+c…

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-1012…y…61

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-2…根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时，【答案】1【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，关键是要牢记抛物线具有对称性．根据抛物线的图象具有对称性即可得出答案．【详解】由表中的数据可知抛物线的对称轴为直线x=1，∴x=3和x=-1的函数值相等，∵x=-1时，y=1，∴x=3时，y=1，故答案为：1．【考试题型9】利用二次函数的对称轴、最值求参数【典例9】（2020·上海奉贤·统考一模）抛物线y=x2+bx+2与y轴交于点A，如果点B(2,2)和点A关于该抛物线的对称轴对称，那么b【答案】2【分析】由点B(2,2)和点A关于该抛物线的对称轴对称，可知：抛物线的对称轴是：直线x=1，进而可得b的值.【详解】∵抛物线y=x2+bx+2与y∴点A的坐标是：（0，2），∵点B(2,2)和点A关于该抛物线的对称轴对称，∴抛物线的对称轴是：直线x=1，即：-b∴-b2×1故答案是：2.【点睛】本题主要考查二次函数的对称轴公式，理解二次函数图象的轴对称性，是解题的关键.【专训91】（2023上·浙江温州·九年级校考期中）已知抛物线y=x2-2mx-1≤m≤2经过点Ap,t和点BA．-3 B．-1 C．0 D．1【答案】A【分析】本题考查了二次函数的对称性和增减性，根据抛物线的对称轴以及对称轴公式确定p+1=m，即可得到p=m-1，由抛物线y=x2-2mx-1≤m≤2经过点Ap,t和点Bp+2,t得到【详解】解：∵抛物线y=x∴抛物线的对称轴为直线x=--2m∵抛物线y=x2-2mx-1≤m≤2经过点∴点Ap,t和点Bp+2,t关于对称轴对称，∴p+p+22=m，即∴p=m-1，∴t=m-1∵-1≤m≤2，∴m=2时，t有最小值为：-4+1=-3．故选：A．【专训92】（2023上·广东广州·九年级统考阶段练习）点Pm,n在以y轴为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图象上．则m+n的最小值等于（A．154 B．4 C．-154【答案】A【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数y=x2+ax+4的图象的对称轴为y轴，得到a=0，进而得到函数关系式为y=x2【详解】解：∵二次函数y=x2+ax+4的图象∴a=0，∴y=x∵点Pm,n∴n=m∴m+n=m∴当m=-12时，m+n有最小值为故选A．【专训93】（2023上·江苏镇江·九年级统考期中）已知二次函数y=x2+2x+k的最小值为5，则k=【答案】6【分析】本题主要考查了二次函数的最值问题，对于二次函数y=ax-h+ka≠0，当a>0时，则当x=h时，函数有最小值k，当a<0时，则当x=h【详解】解：∵二次函数解析式为y=x∴抛物线开口向上，对称轴为直线x=-1，∴当x=-1时，函数有最小值，最小值为y=k-1=5，∴k=6，故答案为：6．【专训94】（2023上·山西运城·九年级统考期末）抛物线y=-2x2+4x+n经过-1,m和a,m两点，则a【答案】3【分析】由抛物线的对称轴公式建立方程求解即可．【详解】解：∵抛物线y=-2x2+4x+n经过-1,m∴对称轴为：直线x=-4解得：a=3，故答案为：3【点睛】本题考查的是利用抛物线的对称轴公式求解，熟练的求解抛物线的对称轴是解本题的关键．【考试题型10】利用二次函数的增减性求参数的取值范围【典例10】（2023上·湖北荆州·九年级统考期中）已知二次函数y=-x-42-3，若y随x的增大而减小，则xA．x<-4 B．x<4 C．x>-4【答案】D【分析】本题考查二次函数的性质．根据题意，得到抛物线开口向下，对称轴为x=4，进而得到当x>4时，y随x的增大而减小，即可．掌握二次函数的增减性，是解题的关键．【详解】解：∵y=-x-42∴抛物线的开口向下，对称轴为x=4，∴当x>4时，y随x的增大而减小；故选D．【专训101】（2023上·河北保定·九年级统考期中）二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，当m<x<2时，y随xA．m≤-1 B．m>-1 C．0<m<2 D．-1≤m<2【答案】D【分析】本题考查了二次函数的增减性，根据函数图象得出x>-1时，y随x的增大而减小，结合m<x<2，即可解答．【详解】解：由图可知，当x>-1时，y随x的增大而减小，∵当m<x<2时，y随x的增大而减小，∴-1≤m<2，故选：D．【专训102】（2023上·安徽合肥·九年级合肥38中校考阶段练习）已知函数y=-12x2+x，当函数值y随xA．x<1 B．x>1 C．x<-12 D【答案】A【分析】根据二次函数的性质，得到函数的对称轴以及函数的开口方向，即可得到函数的增减性．【详解】解：∵-故函数开口向下，对称轴为x=-故当函数值y随x的增大而增大时，x的取值范围是x<1．故选：A．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，熟练掌握二次函数的性质，知道函数的开口方向以及对称轴是解题的关键．【专训103】（2023上·重庆江津·九年级校联考期中）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，根据图中提供的信息，可求得使y≥1成立的xA．-1≤x≤3 B．x≥3 C．x≤-1 D．x≤-1或x≥3【答案】D【分析】根据图象即可得出答案．【详解】解：由图可得，抛物线上纵坐标为1的两点坐标为-1，1，观察图象可知，当y≥1时，x≤-1或x≥3，故选：D．【点睛】本题考查了利用图象法解不等式，读懂函数图象，采用数形结合的思想是解此题的关键．【专训104】（2023上·河南新乡·九年级河南师大附中校考期中）如图，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=1，当y<0时，x

【答案】-1<x<3【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；因此此题可根据二次函数的对称性可得抛物线与x轴的另一个交点为3,0，然后问题可求解【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x=1，与x轴的一个交点为-1,0，∴抛物线与x轴的另一个交点为3,0，又∵抛物线开口向上，∴当y<0时，x的取值范围为-1<x<3；故答案为-1<x<3．【考试题型11】利用二次函数的图象特征求参数的值或取值范围【典例11】（2023上·湖北恩施·九年级校考期中）已知函数y=k-1x2-4x+4的图像与x轴只有一个交点，则A．k≤2且k≠1 B．k>2，且k≠1C．k=2 D．k=2或1【答案】D【分析】本题主要考查了一次函数与坐标轴的交点问题，二次函数与x轴的交点问题，一次函数与x轴只有一个交点，则k=1；二次函数与x轴只有一个交点，则对应的一元二次方程有两个相等的实数根，即Δ=-42【详解】解：当k-1=0，即k=1时，原函数解析式为y=-4x+4，此时该函数与x轴只有一个交点，符合题意；当当k-1≠0，即k≠1时，∵函数y=k-1x2∴Δ=∴k=2，综上所述，k的值为1或2，故选D．【专训111】（2023上·安徽合肥·九年级校考阶段练习）若抛物线y=2x-m-12+2m+4的顶点在第二象限，则mA．m>1 B．m<2 C．1<m<2 D．-2<m<-1【答案】D【分析】由解析式，顶点坐标（m+1，2m+4)【详解】解：y=2x-m-1由题意，m+1<02m+4>0，解得-2<m<-1故选：D【点睛】本题考查二次函数顶点式解析式，根据题意构建不等式组是解题的关键．【专训112】（2023下·江西南昌·九年级统考期末）如图，是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，则a

A．a>1 B．a>2 C．0<a<1 D．0<a<2【答案】C【分析】由图象可得：a>0、b<0，再结合函数图象经过-1,0,0,-1得到b=a-1，即a-1<0可得a<1，再结合【详解】解：由图像可得：抛物线y=ax2+bx+c∵抛物线y=ax2+bx+c∴-b2a>0∵抛物线y=ax2+bx+c分别与x轴、y∴.a-b+c=0,c=-1，∴b=a-1，∴a-1<0，解得：a<1，∴a的取值范围是0<a<1．故选C．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，掌握数形结合思想是解答本题的关键．【考试题型12】根据规定范围内二次函数的最值求参数的取值范围【典例12】（2022上·福建福州·九年级校考期中）已知函数y=ax2-2ax+3(a<0)，当0≤x≤m时，有最大值-a+3，最小值3，则mA．m≥1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．1≤m<3【答案】C【分析】根据函数表达式可求出对称轴，再根据函数图象开口向下可得函数性质，确定最值范围即可求解．【详解】解：∵y=ax∴对称轴为直线x=--2a当x=0时，y=3，当x=1时，y=-a+3，因此x=2时，y=3，当0≤x≤1时，y随x值的增大而增大，当1≤x≤2时，y随x值的增大而减小，∵0≤x≤m时，有最大值-a+3，最小值3，∴1≤m≤2，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，二次函数的最值问题，掌握性质及图象、运用数形结合思想是解题的关键．【专训121】（2022上·浙江丽水·九年级期末）已知y=2x-1，且0≤x≤1，令S=xy，则函数S的取值范围是（

）A．-18≤S≤0 B．0≤S≤1 C．-【答案】C【分析】先求出S与x的关系式，然后将二次函数化成顶点式，根据二次函数的最值即可解答．【详解】解：∵y=2x-1，∴S=xy=x2x-1∴当x=14时，S有最小值，等于∵0≤x≤1，∴当x=1时，S有最大值，等于1，∴-1故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，二次函数的最值，求出S与x的关系式，并将二次函数化成顶点式是解题的关键．【专训122】（2022上·浙江宁波·九年级统考期末）已知二次函数y=ax2-4ax+5a>0，当0≤x≤m时，y有最小值-4a+5和最大值5，则A．m≥2 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．2≤m≤4【答案】D【分析】根据抛物线的图象及性质可知函数最小值-4a+5，然后利用抛物线图象关于对称轴对称的性质判定即可．【详解】解：二次函数对称轴为x=--4a2a由题意得，二次函数经过点0，5，2，结合图象可知：①当0<m≤2时，最小值为x=m时y的值，最大值为5；②当2≤m≤4时，最小值为-4a+5，最大值为5；③当m≥4时，最小值为-4a+5，最大值为x=m时y的值；∴m的取值范围是2≤m≤4．故选：D．【点睛】本题考查了求二次函数最值的问题，解决本题的关键是根据顶点式求出对称轴和最大值．【专训123】（2022上·福建福州·九年级校考期中）已知函数y=ax2-2ax+3a<0，当0≤x≤m时，有最大值-a+3，最小值A．m≥1 B．0≤m≤2 C．1≤m≤2 D．1≤m≤3【答案】C【分析】根据抛物线的图象及性质可知函数最大值-a+3，然后利用抛物线图象关于对称轴对称的性质判定即可．【详解】解：∵y=ax2-2ax+3=a∴抛物线对称轴为直线x=1，开口向下，∴0在对称轴左侧，∵对称轴左侧函数图象为单调递减，∴在对称轴x=1时有最大值-a+3，∵0≤x≤m时，有最大值-a+3，最小值3，当x=0时，y=3，∴m的取值范围必须大于或等于1，∵抛物线的图象关于x=1∴m≤2．∴1≤m≤2．故选C．【点睛】本题考查了求二次函数最值的问题，解决本题的关键是根据顶点式求出对称轴和最大值．【专训124】（2022上·安徽·九年级校联考期中）已知二次函数y=3x2+6x-5，关于该函数在-2≤x≤2的取值范围内，下列说法正确的是（

A．有最大值-5，最小值-8 B．有最大值-5，最小值-11C．有最大值19，最小值-8 D．有最大值19，最小值-5【答案】C【分析】根据二次函数的对称轴和自变量的取值范围，确定最大值和最小值即可．【详解】解：y=3x∴在-2≤x≤2的取值范围内，当x=-1时，有最小值-8，当x=2时，有最大值为y=27-8=19．故选C．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，把函数解析式转化为顶点式形式是解题的关键．【专训125】（2023上·浙江绍兴·九年级校考阶段练习）已知函数y=ax2+2ax+1在-3≤x≤2上有最大值9，则常数a【答案】1或-8【分析】分两种情况：a>0和a<0分别求y的最大值即可．【详解】解：y=ax当a>0时，当x=2时，y有最大值，∴4a+4a+1=9，解得：a=1；当a<0时，当x=-1时，y∴a-2a+1=9，∴a=-8，综上所述：a的值为1或-8．故答案是：1或-8．【点睛】本题考查了二次函数的最值，熟练掌握二次函数的图象及性质，解题时，注意要分类讨论，以防漏解．【专训126】（2023·陕西西安·校考一模）已知二次函数y=mx2-2mx+2（m≠0）在-2≤x<2时有最小值A．-4或-12 B．4或-12 C．-4或12【答案】B【分析】先求出二次函数对称轴为直线x=1，再分m>0和m<0两种情况，利用二次函数的性质进行求解即可．【详解】解：∵二次函数y=mx∴对称轴为直线x=1，①当m>0，抛物线开口向上，x=1时，有最小值y=-m+2=-2，解得：m=4；②当m＜0，抛物线开口向下，∵对称轴为直线x=1，在-2≤x<2时有最小值∴x=-2时，有最小值y=9m-m+2=-2，解得：m=-1故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数图像的性质，掌握分类讨论的思想是解题的关键．【专训127】（（2022上·浙江金华·九年级校考期中）当-9≤x≤a时，二次函数y=-13x+32+5恰好有最大值2，则A．0 B．0和-6 C．-6 D．-7【答案】C【分析】根据抛物线解析式得到顶点坐标为-3，5，然后由抛物线的增减性得到当x=a时，二次函数y=-13x+32【详解】解：∵y=-1∴该抛物线开口向下，且顶点坐标是-3，∴当x<-3时，y随x的增大而增大，∴当x=a时，二次函数y=-13x+32+5即2=-1解得a1=-6，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的顶点式和增减性是解题的关键．【专训128】（2023上·山东威海·九年级校联考期中）已知y=x2-4x+3，当m≤x≤m+2时，函数y的最小值为54【答案】m=-32【分析】本题考查了二次函数的最值，求得对称轴，然后分三种情况讨论即可求得．【详解】解：∵二次函数y=x∴对称轴为直线x=2，当x=2时，取得最小值为-1，①当m+2<2时，即m<0时，x=m+2时，最小值是54∴m+2-22-1=m2-1=∴m=-32或m=3②当m>2时，当x=m时，最小值取54∴m-22-1=∴m=72或m=12综上所述，m=-32或【考试题型13】根据二次函数的性质求最值【典例13】（2023上·浙江金华·九年级校联考期中）二次函数y=-2x+6x+5的最大值是【答案】32【分析】本题主要考查二次函数的性质，去括号并将函数解析式配为顶点式即可求得答案．【详解】解：y==-2=-2=-2x+1∴当x=-1，取得最大值为32．故答案为：32．【专训131】（2023上·安徽合肥·九年级合肥市第四十八中学校考期中）点m,n在二次函数y=-x2+3图象上，m+nA．3 B．23 C．134 D【答案】C【分析】此题考查了求二次函数的最值，把m,n代入y=-x2+3得出n=-m【详解】解：把m,n代入y=-x2+3∴m+n=m+-∵-2<0，∴当m=12时，m+n取最大值，最大值为故选：C．【专训132】（2023上·江苏宿迁·九年级统考期末）已知非负数x，y，z满足x+y=3，z-3x=4，设s=-x2+y+z的最大值为a，最小值为b，则a-bA．6 B．5 C．4 D．10【答案】C【分析】用x表示出y、z并求出x的取值范围，再代入S整理成关于x的函数形式，然后根据二次函数的增减性求出a、b的值，再相减即可得解．【详解】∵x+y=3，z-3x=4，∴y=3-x，z=4+3x，∵y，z都是非负数，∴3-x≥0①解不等式①得，x≤3，解不等式②得，x≥-4∴-4又∵x是非负数，∴0≤x≤3，s=-∴对称轴为直线x=1，∴x=3时，最小值b=-3-1x=1时，最大值a=8，∴a-b=8-4=4．故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的最值问题，用x表示出y、z并求出x的取值范围是解题的关键，难点在于整理出s关于x的函数关系式．考点二二次函数图象与系数的关系二次函数图象与系数之间的关系：1）二次项系数a：决定抛物线的开口大小和方向①当a>0时，抛物线开口向上，a越大，开口越小，反之a的值越小，开口越大；②当a<0时，抛物线开口向下，a越小，开口越小，反之a的值越大，开口越大．【总结】QUOTEaa决定了抛物线开口的大小和方向，aQUOTEa的正负决定开口方向，|QUOTEaa|的大小决定开口的大小，|a|越大，抛物线的开口越小；|a|越小，抛物线的开口越大．2)一次项系数b:决定了抛物线的对称轴①在a>0的前提下，当b>0时，-b2a<0，即抛物线的对称轴在y当b=0时，-b2a=0当b<0时，-b2a>0，即抛物线对称轴在y②在a<0的前提下，当b>0时，-b2a>0，即抛物线的对称轴在y当b=0时，-b2a=0当b<0时，-b2a<0，即抛物线对称轴在y【总结】在QUOTEaa确定的前提下，QUOTEbb决定了抛物线对称轴的位置。3）常数项cQUOTEc①当c>0时，抛物线与y轴的交点在x轴上方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为正；②当c=0时，抛物线与y轴的交点为坐标原点，即抛物线与y轴交点的纵坐标为0；③当c<0时，抛物线与y轴的交点在x轴下方，即抛物线与y轴交点的纵坐标为负．【总结】QUOTEcc决定了抛物线与QUOTEyy轴交点的位置。【考试题型14】由二次函数图象确定各项系数符号【典例14】（2023下·四川绵阳·九年级统考期中）二次函数y=ax2+bx+c的图象不经过第二象限，则A．a>0，b<0，C．a<0，b<0，c>0【答案】D【分析】根据二次函数y=ax2+bx+c的图象不经过第二象限可画出大致图象，图象开口决定【详解】解：∵二次函数y=ax2+由图象即可判断出a<0，故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，根据二次函数y=ax【专训141】（2023上·浙江台州·九年级统考期末）二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是(A．a<0 B．b<0 C．c<0 D．abc>0【答案】B【分析】根据抛物线的开口方向，对称轴以及与y轴的交点判断a,b,c的符号即可求解．【详解】解：∵抛物线的开口向上，则a>0，对称轴在y轴的右侧，则x=-b2a与y轴的交于正半轴，则c>0，∴abc<0，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．【专训142】（2023上·山东济宁·九年级统考期末）如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点(-1,0)，对称轴为直线x=1A．a<0B．x=3是一元二次方程axC．c>0D．当x>1时，y随x的增大而增大【答案】D【分析】根据函数图象的开口向下，即可判断A，根据抛物线与x轴的交点以及对称轴即可得出另一个交点坐标，然后判断B选项，根据抛物线与y轴的交点在y轴正半轴即可判断C选项，根据函数图象的增减性以及对称轴判断D选项，即可求解．【详解】A、根据图象开口方向向下，则a<0，故本选项结论正确；B、∵抛物线与x轴的一个交点坐标是(-1,0)，对称轴是直线x=1，设另一交点为(x,0)，-1+x=2×1，解得：x=3，∴另一交点坐标是(3,0)，∴x=3是一元二次方程ax故本选项结论正确．C、根据图象，抛物线与y轴的交点在正半轴，则c>0，故本选项结论正确；D、当x>1时，y随x的增大而减小，故本选项结论错误；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．【专训143】（2022上·广西贺州·九年级校考期末）二次函数y=ax2+bx+c的图象A．a<0 B．b>0 C．c>0 D．b【答案】B【分析】由图象可知，a<0，-b2a<0，c>0，b【详解】解：由图象可知，a<0，-b2a<0，c>0∴b<0，∴A、C、D正确，故不符合要求；B错误，故符合要求；故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程．解题的关键在于从图象中获取正确的信息．【考试题型15】由各项系数符号确定二次函数图象【典例15】（2022·湖南株洲·统考中考真题）已知二次函数y=ax2+bx-ca≠0，其中b>0、c>0，则该函数的A． B．C． D．【答案】C【分析】利用排除法，由-c<0得出抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，排除A选项和D选项，根据B选项和C选项中对称轴x=-b2a>0，得出a<0，抛物线开口向下，排除B【详解】解：对于二次函数y=ax令x=0，则y=-c，∴抛物线与y轴的交点坐标为0,-c∵c>0，∴-c<0，∴抛物线与y轴的交点应该在y轴的负半轴上，∴可以排除A选项和D选项；B选项和C选项中，抛物线的对称轴x=-b∵b>0，∴a<0，∴抛物线开口向下，可以排除B选项，故选C．【点睛】本题考查二次函数的图象的性质，熟练掌握二次函数图象与三个系数之间的关系是解题的关键．【专训151】如图，若a＜0，b＞0，c＜0，则抛物线y=ax2+bx+c的大致图象为（）A． B． C． D．【答案】B【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】∵a＜0，∴抛物线的开口方向向下，故第三个选项错误；∵c＜0，∴抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，故第一个选项错误；∵a＜0、b＞0，对称轴为x=-b2a＞∴对称轴在y轴右侧，故第四个选项错误．故选B．【专训152】（2023上·安徽合肥·九年级合肥市五十中学西校校考期末）已知，ab>0，4a+2b+c=0，4a-2b+c>0，则下列结论成立的是（

）A．a>0，b2≥4ac B．a>0，C．a<0，b2<4ac D【答案】D【分析】设y=ax2+bx+c，由ab>0，4a+2b+c=0，4a-2b+c>0可得二次函数过(2,0)，(-2,t)t>0【详解】解：设y=ax∵4a+2b+c=0，4a-2b+c>0，∴二次函数过(2,0)，(-2,t)t>0，∵ab>0，∴二次函数对称轴x=-b二次函数的大致图象如下：

由图象可知a<∵二次函数与x轴有2个交点，∴Δ=即b2故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质．由题意确定二次函数经过的点和其对称轴的特点是解答本题的关键．【考试题型16】一次函数、二次函数图象综合判断【典例16】（2023上·辽宁朝阳·九年级校考期中）已知一次函数y=bax+c的图象如图所示，则二次函数y=ax2

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，由一次函数的图象判断出ba<0，c>0，再判断二次函数的图象【详解】由一次函数的图象可得：ba<0,c>0，所以二次函数y=ax2-bx+c图象的对称轴=--b故选：C．【专训161】（2023上·河南周口·九年级校考期中）已知一次函数y=cx+ba的图象如下，则函数y=ax2+bx+c

A．B．

C．

D．

【答案】B【分析】本题考查了二次函数图象与一次函数的图象，由一次函数的图象判断出c<0，ba【详解】解：由一次函数的图象可得：c<0，∴函数y=ax2+bx+c的图象与y∴排除A、C选项；函数y=ax2+bx+c的图象∴函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴与x∴只有B选项符合题意，故选：B．【专训162】（2023·广东广州·统考二模）已知二次函数y=ax²+bxa≠0的图象如图所示，则一次函数y=ax+ba≠0的

A．

B．

C．

D．

【答案】C【分析】本题考查了二次函数系数与图象的关系以及一次函数与二次函数的图象的综合判断，通过分析二次函数图象得到a,b的符号是解题关键．【详解】解：根据已知二次函数图象，抛物线开口向下，则可知a<0，由抛物线对称轴在y轴右侧，则对称轴为直线x=-b∴b>0，∴一次函数y=ax+b的图象经过第一、二、四象限，故应选：C【专训163】（2023上·湖北武汉·九年级统考期中）二次函数y=ax2+bx的图象所示，则一次函数y=ax+b的图象A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】由二次函数的图象得出a<0，b>0，从而即可判断一次函数y=ax+b的图象经过一、二、四象限，得到答案，本题考查了二次函数与一次函数的图象与系数的关系，根据二次函数的图象得出a<0，b>0，采用数形结合的方法是解此题的关键．【详解】解：∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线对称轴在y轴右边，∴-b∴b>0，∴一次函数y=ax+b的图象经过一、二、四象限，不经过第三象限，故选：C．【考试题型17】反比例函数、二次函数图象综合判断【典例17】（2023上·湖南邵阳·九年级统考期末）已知反比例函数y=kx的图像如图所示，则二次函数A．B．C． D．【答案】A【分析】根据反比例函数图像即可得到k>0，再根据二次函数的性质得到二次函数的大致图像即可得到答案；【详解】解：∵y=k∴k>0，∴y=kx∴对称轴x=-2故选A．【点睛】本题考查反比例函数图像性质与抛物线的图像性质，解题的关键是根据反比例函数图像得到k>0，从而得到抛物线的开口及对称轴与y轴的关系．【专训171】（2023上·山西朔州·九年级统考期末）在平面直角坐标系中，反比例函数y=kxk≠0的图象如图所示，则二次函数y=kx2A．仅经过第三、四象限 B．仅经过第一、二、四象限 C．经过第一、二、三、四象限 D．仅经过第一、二象限【答案】C【分析】由图可知，反比例函数位于二、四象限，则根据反比例函数的性质可知k<0，再结合二次函数的图象和性质即可作答．【详解】解：由图可知，反比例函数位于二、四象限，∴k<0，∴y=kx2+3，开口向下，与y∴经过一、二、三、四象限．故选：C．【点睛】本题主要考查了反比例函数的图象和性质以及二次函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数和二次函数的图象和性质是解题的关键．【专训172】（2023上·河北秦皇岛·九年级秦皇岛市第七中学校考期末）二次函数y=ax2-a与反比例函数y=axA． B． C． D．【答案】C【分析】根据二次函数与反比例函数图象的性质进行判断即可得解．【详解】当a>0时，-a<0时，二次函数y=ax2-a反比例函数y=axa≠0经过一、三象限，故排除A当a<0时，-a>0时，二次函数y=ax2-a反比例函数y=axa≠0故选C．【点睛】本题主要考查了二次函数与反比例函数图象的性质，熟练掌握相关性质与函数图象的关系是解决本题的关键．【考试题型18】根据二次函数图象判断式子符号【典例18】已知二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象如图所示，有以下4个结论：①abc>0；②a-b+c>0；③4a+2b+c>0；④bA．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据抛物线开口方向，对称轴的位置，与y轴的交点即可判断①；当x=-1时，y<0，即可判断②；当x=2时，y>0，即可判断③；根据抛物线与x轴有2个交点，即可判断④．【详解】解：①∵抛物线开口向下，∴a<0，∵-b∴2a+b=0，∴b>0，∵抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴c>0，∴abc<0，故错误；②观察函数图象，可知：当x=-1时，y<0，∴a-b+c<0，故错误．③∵抛物线的对称轴为x=1，抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴，∴当x=2时，y>0，∴4a+2b+c>0，故正确；④∵抛物线与x轴有2个交点，∴△=b故选：B．【点睛】此题主要考查了二次函数的图象与系数的关系，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线向上开口；当a<0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab>0)，对称轴在y轴左；当a与b异号时（即ab<0)，对称轴在y轴右；③常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于(0,c)．【专训181】（2022·四川绵阳·统考中考真题）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象关于直线x=1对称，与x轴交于A(x1,0)，B(x2,0)两点，若-2<x1<-1，则下列四个结论：正确结论的个数为（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据二次函数的对称性，即可判断①；由开口方向和对称轴即可判断②；根据抛物线与x轴的交点已经x=1时的函数的取值，即可判断③；根据抛物线的开口方向、对称轴，与y轴的交点以及a－b＋c＜0，即可判断④．【详解】∵对称轴为直线x=1，2<x1<1，∴3＜x2＜4，①正确，∵-b2a∴b=2а，∴3a＋2b=3a4a=a，∵a＞0，∴3a+2b<0，②错误；∵抛物线与x轴有两个交点，∴b24ac>0，根据题意可知x=1时，y<0，∴a－b＋c<0，∴a＋c<b，∵a＞0，∴b=2a<0，∴a＋c<0，∴b24ac>a+c，∴b2＞a＋c＋4ac，③正确；∵抛物线开口向上，与y轴的交点在x轴下方，∴a＞0，c<0，∴a>c，∵ab＋c<0，b=2a，∴3a+c<0，∴c<3a，∴b=–2a，∴b＞c，以④错误；故选B【点睛】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的对称性．【专训182】（2022上·上海闵行·九年级统考期末）二次函数y=ax`2+bx+ca≠0的图像如图所示，现有以下结论：（1）b>0：（2）abc<0；（3）a-b+c>0，（4）a+b+c>0；（5）b2A．2个 B．3个 C．4个 D．5个．【答案】C【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．【详解】解：（1）∵函数开口向下，∴a＜0，∵对称轴在y轴的右边，∴-b2a>0，∴b（2）∵a＜0，b＞0，c＞0，∴abc＜0，故命题正确；（3）∵当x=1时，y＜0，∴ab+c＜0，故命题错误；（4）∵当x=1时，y>0，∴a+b+c>0，故命题正确；（5）∵抛物线与x轴于两个交点，∴b24ac＞0，故命题正确；故选C．【点睛】本题考查了二次函数图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．【专训183】（2019上·广西南宁·九年级统考期中）已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，有以下结论：①abc＞0；②a－b＋c＜0；③2a＝b；④4a＋2b＋c＞0；⑤若点(－2，y1)和(－13，y2)在该图象上，则y1＞y2.其中正确的结论个数是(

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B【分析】根据二次函数的图象与性质即可判断．【详解】∵抛物线开口向下，∴a<0，∵抛物线与y轴交点在x轴上方，∴c>0，∵对称轴x=-b2a∴b>0，∴abc＜0，故①不正确；∵对称轴x=-b2a∴b=−2a，∴令x=−1时，此时y=a−b+c，由图象可知a−b+c<0，∴a+2a+c=3a+c<0，故②正确，③错误；∵抛物线的对称轴为x=1，∴−1与3关于x=1对称，0与2关于x=1对称，令x=2时，此时y=4a+2b+c>0，故④正确；当x<1时，y随着x的增大而增大，∴−2<−13∴y1<y2，故⑤错误；故选B.【点睛】本题考查二次函数图形与系数的关系，解题关键是熟练掌握二次函数的图象与性质.【专训184】如图为二次函数y=ax2+bx+c的图象，在下列说法中：①ac<0；②方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=3；③a+b+c>0；【答案】①②④【分析】①根据图象开口向上得到a＞0；由与y轴交点在负半轴得到c＜0，即ac＜0；②由抛物线与x轴的交点横坐标分别是−1，3，可以得到方程ax2+bx+c=0的根是x1=-1，x2=3；③当x＝1时，y＜0，可以得到a＋b＋c＜0；④由于对称轴是直线x＝1，所以得到x＞【详解】解：①∵开口向上，∴a＞0，∵与y轴交点在负半轴，故c＜0，即ac＜0，故正确；②∵抛物线与x轴的交点横坐标分别是−1，3，∴方程ax2+bx+c=0的根是x故正确；③当x＝1时，y＜0，∴a＋b＋c＜0，故错误；④∵抛物线与x轴的交点横坐标分别是−1，3，∴对称轴是直线x＝1，∴x＞1时，y随着x的增大而增大，故正确.故正确的有①②④．故答案为：①②④．【点睛】此题要考查了二次函数的性质，要掌握如何利用图象上的信息确定字母系数的范围，并记住特殊值的特殊用法，如x＝1，x＝−1时对应的y值．【专训185】（2023·上海徐汇·上海市第四中学校考一模）如图所示的抛物线y=x2-bx+b2【答案】3【分析】把原点坐标代入抛物线解析计算即可求出b的值，再跟进抛物线的对称轴在y轴的右边判断出b的正负情况，然后求解即可．【详解】解：有图可知，抛物线经过原点（0，将（0，0）代入02解得：b=±3，∵抛物线的对称轴在y轴的右边，∴--b∴b>0，∴b=3，故答案为：3．【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，准确识图判断出函数图像经过原点坐标是解题的关键．【提升练习】1．（2022·浙江金华·校联考三模）若二次函数y=2(x-1)2-1的图象如图所示，则坐标原点可能是（A．点A B．点B C．点C D．点D【答案】A【分析】根据顶点坐标，进行判断即可．【详解】解：∵y=2(x-1)∴顶点坐标为：1,-1，∴顶点坐标在第四象限，∴原点在函数顶点的左上方，由图可知，坐标原点只可能是点A；故选A．【点睛】本题考查二次函数的性质及二次函数的图象，确定二次函数图象的顶点坐标是解题的关键．2．（2021上·湖北孝感·九年级校联考阶段练习）若在同一直角坐标系中，对于抛物线y=2x2，y=x2-2A．开口方向相同 B．都有最低点 C．都经过原点 D．对称轴都是y轴【答案】D【分析】根据a的符号确定抛物线开口方向可判断A，根据抛物线的顶点可判断B与C，根据抛物线的对称轴可判断D．【详解】解：抛物线y=2x2，a=2＞0，开口向上，抛物线y=x2-2，a=2＞0，开口向上，y=-2x2+1，抛物线y=2x2开口向上有最低点（0，0），抛物线y=x2-2开口向上，有最低点（0，0），抛物线y=-2抛物线y=2x2的顶点是原点，y=x2-2抛物线y=2x2的对称轴为y轴，y=x2-2的对称轴为y轴，y=-2故选择D．【点睛】本题考查抛物线的性质，开口方向，顶点，对称轴，掌握抛物线的性质是解题关键．3．（2021上·北京·九年级北京一七一中校考阶段练习）已知二次函数y＝a（x﹣1）2﹣4，当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，则a的值是（）A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2【答案】C【分析】根据题意，可知二次函数的顶点坐标为(1,-4)，分类讨论即可，a<0时，开口朝下，最大值为-4，不符合题意，则a>0，进而根据当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，将x=4代入解析式即可求得a的值．【详解】依题意，可知二次函数的顶点坐标为(1,-4)，当a<0时，开口朝下，最大值为-4，不符合题意，当a>0时，对称轴为x=1，∵当﹣1≤x≤4时，y的最大值是5，当-1≤x≤1时，y随x的增大而减小,由二次函数的对称性可知当x=-1时，y的值和x=3时的值相等，当1≤x≤4时，y随x的增大而增大,∴x=4时，a4-12-4=5故选C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，掌握顶点式y=a(x-h)2+k4．（2019·湖北咸宁·统考中考真题）已知点A(-1,m),B(1,m),C(2,m-n)(n>0)在同一个函数的图象上，这个函数可能是（

）A．y＝x B．y=-2x C．【答案】D【分析】由点A(-1,m),B(1,m)的坐标特点，可知函数图象关于y轴对称，于是排除A、B选项；再根据B(1,m),C(2,m-n)的特点和二次函数的性质，可知抛物线的开口向下，即a<0，故【详解】A(-1,m),B(1,m)∴点A与点B关于y轴对称；由于y＝x，y＝-∵n∴m由B(1,m),C(2,m-n)可知，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，对于二次函数只有a<0时，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，∴D选项正确故选D．【点睛】考查正比例函数、反比例函数、二次函数的图象和性质，可以采用排除法，直接法得出答案．5（2023上·河南洛阳·九年级统考期末）抛物线y=ax2+bx+cA．开口方向不变 B．y随x的变化情况不变C．对称轴不变 D．与y轴的交点不变【答案】C【分析】根据关于x轴对称的特征，得到新抛物线的解析为y=-ax【详解】解：抛物线y=ax2+bx+ca≠0关于x轴对称后，抛物线的解析为A、开口方向改变，原说法错误，故该选项不符合题意；B、y随x的变化情况改变，原说法错误，故该选项不符合题意；C、对称轴都是x=-bD、与y轴的交点改变，原说法错误，故该选项不符合题意；故选：C．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次项系数决定抛物线的开口方向及大小是解题的关键，注意数形结合．6．（2020·广东东莞·统考二模）下列图象中，当ab>0时，函数y=ax2与y=ax+b的图象是（A．B．

C．

D．

【答案】D【分析】根据直线y=ax+b经过的象限得到a>0，b<0，与ab>0矛盾，则可对A进行判断；根据抛物线y=ax2开口向下得到a<0，而由直线y=ax+b经过第一、三象限得到a>0，由此可对B进行判断；根据抛物线y=ax2开口向上得到a>0，而由直线y=ax+b经过第二、四象限得到a<0，由此可对C进行判断；根据抛物线y=ax2开口向下得到a<0，则直线y=ax+b经过第二、四象限，并且b<0，得到直线与【详解】解：A、直线y=ax+b经过的象限得到a>0，b<0，与ab>0矛盾，该选项是错误的；B、抛物线y=ax2开口向下得到a<0，而由直线y=ax+b经过第一、三象限得到C、根据抛物线y=ax2开口向上得到a>0，而由直线y=ax+b经过第二、四象限得到D、根据抛物线y=ax2开口向下得到a<0，则直线y=ax+b经过第二、四象限，并且b<0，得到直线与y轴的交点在故选：D【点睛】本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+ca≠0的图象为抛物线，顶点式为y=ax-b2a2+4ac-b7．（2022·广东深圳·深圳市宝安中学（集团）校考三模）二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示，则一次函数y=-ax+bA．B．C．D．【答案】A【分析】根据二次函数的图像判断a、b、c的正负，再根据函数性质判断图像即可得到答案；【详解】解：由二次函数的图像可得，a>0，b>0，c<0，∴-a<0，根据-a<0，b>0