第3章勾股定理全章复习与检测卷（2个定理1个应用2种思想）

第3章勾股定理全章复习攻略与检测卷【目录】倍速学习三种方法【2个定理】1.勾股定理2.勾股定理逆定理【1个应用】勾股定理及逆定理的应用【2种思想】1.分类讨论思想2.方程思想【检测卷】【倍速学习三种方法】【2个定理】1.勾股定理1．勾股定理（1）勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方．如果直角三角形的两条直角边长分别是a，b，斜边长为c，那么a2+b2＝c2．（2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中．（3）勾股定理公式a2+b2＝c2的变形有：a＝，b＝及c＝．（4）由于a2+b2＝c2＞a2，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边．2．勾股定理的证明（1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理．（2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理．1．（2022春•尤溪县期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D，∠CBE＝45°，BE分别交AC，AD于点E、F，连接CF．（1）判断△BCF的形状，并说明理由；（2）若AF＝BC，求证：BF2+EF2＝AE2．【分析】（1）先根据等腰三角形三线合一的性质得BD＝5，由勾股定理计算可得AD的长，由等腰直角三角形性质得DF＝5，最后由线段的差可得结论；（2）如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△CHB≌△AEF（SAS），得AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，由等腰三角形三线合一的性质得EF＝FH，最后由勾股定理和等量代换可得结论．【解答】（1）解：△BCF为等腰直角三角形．理由：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∴AD垂直平分BC，∴BF＝CF，∴∠BCF＝∠CBF＝45°，∴∠CFB＝180°﹣45°﹣45°＝90°，∴△BCF为等腰直角三角形；（2）证明：在BF上取一点H，使BH＝EF，连接CH，在△CHB和△AEF中，，∴△CHB≌△AEF（SAS），∴AE＝CH，∠AEF＝∠BHC，∴∠CEF＝∠CHE，∴CE＝CH，∵BD＝CD，FD⊥BC，∴CF＝BF，∴∠CFD＝∠BFD＝45°，∴∠CFB＝90°，∴EF＝FH，Rt△CFH中，由勾股定理得：CF2+FH2＝CH2，∴BF2+EF2＝AE2．【点评】本题考查的是勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰三角形和等腰直角三角形的性质和判定，第二问有难度，正确作出辅助线是关键．2．（2022春•庐江县期中）将两个全等的直角三角形按如图所示摆放，使点A、E、D在同一条直线上．利用此图的面积表示式证明勾股定理．【分析】先推出△BEC是直角三角形，然后根据S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC，代入字母整理化简，即可证明结论成立．【解答】证明：由已知可得，Rt△BAE≌Rt△EDC，∴∠ABE＝∠DEC，∵∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠DEC+∠AEB＝90°，∴∠BEC＝90°，∴△BEC是直角三角形，∴S梯形ABCD＝S△ABE+S△BEC+S△DEC，∴＝，∴＝，∴a2+b2＝c2．【点评】本题考查勾股定理的证明，解答本题的关键是推出△BEC是直角三角形．2.勾股定理逆定理（1）勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a2+b2＝c2，那么这个三角形就是直角三角形．说明：①勾股定理的逆定理验证利用了三角形的全等．②勾股定理的逆定理将数转化为形，作用是判断一个三角形是不是直角三角形．必须满足较小两边平方的和等于最大边的平方才能做出判断．（2）运用勾股定理的逆定理解决问题的实质就是判断一个角是不是直角．然后进一步结合其他已知条件来解决问题．注意：要判断一个角是不是直角，先要构造出三角形，然后知道三条边的大小，用较小的两条边的平方和与最大的边的平方比较，如果相等，则三角形为直角三角形；否则不是．3．（2022春•瑞金市期中）（1）在Rt△ABC中∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，求BC的长．（2）在△ABC中，AB＝，AC＝2，BC＝3，判断△ABC是否是直角三角形．【分析】（1）根据勾股定理得出BC＝，再代入求出答案即可；（2）先分别求出两小边的平方和和最长边的平方，再看看是否相等即可．【解答】解：（1）由勾股定理得：BC＝＝＝3；（2）∵AB＝，AC＝2，BC＝3，∴AB2＝（）2＝13，AC2+BC2＝22+32＝4+9＝13，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．【点评】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，能灵活运用定理进行计算是解此题的关键，注意：如果一个三角形的两边a、b的平方和等于第三边c的平方，那么这个三角形是直角三角形．【1个应用】勾股定理及逆定理的应用1．勾股定理的应用（1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形．（2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用．（3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度．②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和．③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题．④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边．2．平面展开最短路径问题（1）平面展开﹣最短路径问题，先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．（2）关于数形结合的思想，勾股定理及其逆定理它们本身就是数和形的结合，所以我们在解决有关结合问题时的关键就是能从实际问题中抽象出数学模型．4．（2021秋•峡江县期末）如图，圆柱形容器的高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，求壁虎捕捉蚊子的最短距离．【分析】将容器侧面展开，建立A关于EC的对称点A′，根据两点之间线段最短可知A′B的长度即为所求．【解答】解：如图，将容器侧面展开，作A关于EC的对称点A′，连接A′B交EC于F，则A′B即为最短距离．∵高为120cm，底面周长为100cm，在容器内壁离容器底部40cm的点B处有一蚊子，此时一只壁虎正好在容器外壁，离容器上沿40cm与蚊子相对的点A处，∴A′D＝50cm，BD＝120cm，∴在直角△A′DB中，A′B＝＝＝130（cm）．故壁虎捕捉蚊子的最短距离为130cm．【点评】本题考查了平面展开﹣﹣﹣最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．同时也考查了同学们的创造性思维能力．5．（2022春•中山市期中）如图，学校要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面并多出一段（如图1），同学们首先测量了多出的这段绳子长度为1米，再将绳子拉直（如图2），测出绳子末端C到旗杆底部B的距离为5米，求旗杆的高度．【分析】因为旗杆、绳子、地面正好构成直角三角形，设旗杆的高度为x米，则绳子的长度为（x+1）米，根据勾股定理即可求得旗杆的高度．【解答】解：设旗杆的高度AB为x米，则绳子AC的长度为（x+1）米，在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：x2+52＝（x+1）2，解得，x＝12．答：旗杆的高度为12米．【点评】本题考查了勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．6.如图所示，一架云梯长25m，斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7m，这个梯子的顶端距地面有多高？如果梯子顶端下滑了4m，那么梯子的底端在水平方向上也滑动了4m吗？【分析】在Rt△ABC中，利用勾股定理可求出AB的长度，在Rt△DBE中，利用勾股定理可求出BE的长度，用其减去BC的长度即可得出结论．【解答】解：在Rt△AOB中，∵AB＝25m，OB＝7m，OA2＝AB2﹣OB2，∴OA＝＝＝24（m），∵AA′＝4m，∴OA′＝OA﹣AA′＝20m；在Rt△A′OB′中，∵OB′2＝A′B′2﹣OA′2，∴OB′＝＝15（m），∴BB′＝OB′﹣OB＝8（m）．故这个梯子的顶端距地面24m；梯子的底端在水平方向上不是滑动了4m，而是滑动了8m．【点评】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．7．（2022春•宁乡市期末）如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地的垂直高度DE＝1m，将它往前推送4m（水平距离BC＝4m）时，秋千的踏板离地的垂直高度BF＝3m，若秋千的绳索始终拉得很直，求绳索AD的长度．【分析】设秋千的绳索长为xm，根据题意可得AC＝（x﹣2）m，利用勾股定理可得x2＝42+（x﹣2）2．【解答】解：∵CE＝BF＝3m，DE＝1m，∴CD＝CE﹣DE＝3﹣1＝2（m），在Rt△ACB中，AC2+BC2＝AB2，BC＝4m，设秋千的绳索长为xm，则AC＝（x﹣2）m，故x2＝42+（x﹣2）2，解得：x＝5，答：绳索AD的长度是5m．【点评】此题主要考查了勾股定理的应用，关键是正确理解题意，表示出AC、AB的长，掌握直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方．8．（2022春•江城区期中）湖的两岸有A，B两棵景观树，数学兴趣小组设计实验测量两棵景观树之间的距离，他们在与AB垂直的BC方向上取点C，测得BC＝30米，AC＝40米．求：（1）两棵景观树之间的距离；（2）点B到直线AC的距离．【分析】（1）根据勾股定理计算即可；（2）根据面积相等即可求出点B到直线AC的距离．【解答】解：（1）在Rt△ABC，AB＝＝40（米），∴两棵景观树之间的距离为40米；（2）过点B作BD⊥AC于点D，∵S△ABC＝，∴，∴BD＝24（米），∴点B到直线AC的距离为24米．【点评】本题考查勾股定理的实际应用，解题关键是熟练应用勾股定理．9．（2022春•彭州市校级期中）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向AB，由点A飞向点B，已知点C为其中一个着火点，且点C与直线AB上两点A，B的距离分别为600m和800m，又AB＝1000m，飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响．（1）着火点C受洒水影响吗？为什么？（2）若飞机的速度为10m/s，要想扑灭着火点C估计需要13秒，请你通过计算判断着火点C能否被扑灭？【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，进而利用三角形面积得出CD的长，进而得出海港C是否受台风影响；（2）利用勾股定理得出ED以及EF的长，进而得出飞机影响C持续的时间，即可做出判断．【解答】解：（1）着火点C受洒水影响．理由：如图，过点C作CD⊥AB于D，由题意知AC＝600m，BC＝800m，AB＝1000m，∵AC2+BC2＝6002+8002＝10002，AB2＝10002，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∴S△ABC＝AC•BC＝CD•AB，∴600×800＝1000CD，∴CD＝480，∵飞机中心周围500m以内可以受到洒水影响，∴着火点C受洒水影响；（2）当EC＝FC＝500m时，飞机正好喷到着火点C，在Rt△CDE中，ED＝＝＝140（m），∴EF＝280m，∵飞机的速度为10m/s，∴280÷10＝28（秒），∵28秒＞13秒，∴着火点C能被扑灭，答：着火点C能被扑灭．【点评】本题考查的是勾股定理在实际生活中的运用，解答此类题目的关键是构造出直角三角形，再利用勾股定理解答．【2种思想】1.分类讨论思想10．（2022春•蜀山区校级期中）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，若点P从点A出发，以每秒2cm的速度沿折线A→C→B→A运动，设运动时间为t秒（t＞0）．（1）若点P在AC上，且满足PA＝PB时，求出此时t的值；（2）若点P恰好在∠BAC的角平分线上，求t的值．【分析】（1）连接PB，根据勾股定理得到即可得到结论．（2）过P作PE⊥AB，根据角平分线的性质和勾股定理，列方程进行解答即可．【解答】解：（1）连接PB，∵∠ACB＝90°，AB＝10cm，BC＝6cm，∴AC＝＝8（cm），∵CP2+BC2＝PB2，∵PA＝PB＝2tcm，∴（8﹣2t）2+62＝（2t）2，∴t＝；（2）当点P在∠BAC的平分线上时，如图，过点P作PE⊥AB于点E，此时BP＝（14﹣2t）cm，PE＝PC＝（2t﹣8）cm，BE＝10﹣8＝2（cm），在Rt△BEP中，PE2+BE2＝BP2，即：（2t﹣8）2+22＝（14﹣2t）2，解得：t＝，当t＝12时，点P与A重合，也符合条件，∴当t＝或12时，点P恰好在∠BAC的平分线上．【点评】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定，三角形的面积，难度适中．利用分类讨论的思想是解（2）题的关键．11．（2022秋•佛山校级期末）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10cm，AC＝6cm，动点P从点B出发沿射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．【分析】（1）直接根据勾股定理求出BC的长度；（2）当△ABP为直角三角形时，分两种情况：①当∠APB为直角时，②当∠BAP为直角时，分别求出此时的t值即可；（3）当△ABP为等腰三角形时，分三种情况：①当AB＝BP时；②当AB＝AP时；③当BP＝AP时，分别求出BP的长度，继而可求得t值．【解答】解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝102﹣62＝64，∴BC＝8（cm）；（2）由题意知BP＝2tcm，①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝8cm，即t＝4；②当∠BAP为直角时，BP＝2tcm，CP＝（2t﹣8）cm，AC＝6cm，在Rt△ACP中，AP2＝62+（2t﹣8）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，即：102+[62+（2t﹣8）2]＝（2t）2，解得：t＝，故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝；（3）①当AB＝BP时，t＝5；②当AB＝AP时，BP＝2BC＝16cm，t＝8；③当BP＝AP时，AP＝BP＝2tcm，CP＝|2t﹣8|cm，AC＝6cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以（2t）2＝62+（2t﹣8）2，解得：t＝，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．【点评】本题考查了勾股定理以及等腰三角形的知识，解答本题的关键是掌握勾股定理的应用，以及分情况讨论，注意不要漏解．2.方程思想12．（2023春·湖南永州·八年级校考阶段练习）如图，折叠长方形的一边使点D落在边的点F处，已知，，则EC的长为．

【答案】3【详解】解：设EC的长为，则，折叠后的图形是，，，，，，又，在中，根据勾股定理，得，，，，在中，根据勾股定理，得：，，即，化简，得，．即EC的长为，13．如图所示，折叠长方形一边AD，点D落在BC边的点F处，已知BC＝10厘米，AB＝8厘米，求BF与FC的长．【解答】解：∵△AEF是△AED沿直线AE折叠而成，AB＝8cm，BC＝10cm，∴AD＝AF＝10cm，设BF＝x，则FC＝10﹣x，在Rt△ABF中，AF2＝AB2+BF2，即102＝82+x2，解得x＝6，即BF＝6厘米．∴FC＝BC﹣BF＝10﹣6＝4cm．综上可得BF的长为6厘米、FC的长为4厘米．【检测卷】一、单选题1．（2023秋·江苏·八年级专题练习）下列各组数为勾股数的是（）A．3，4，5 B．5，10，12 C．，，1 D．8，15，16【答案】A【分析】能够成为直角三角形三条边长度的三个正整数，称为勾股数；据此进行逐一判断即可．【详解】解：A.，能构成直角三角形，故是勾股数，符合题意；B.，不能构成直角三角形，故不是勾股数，不符合题意；C.，不是正整数，故不是勾股数，不符合题意；D.，不能构成直角三角形，故不是勾股数，不符合题意．故选：A．【点睛】本题主要考查了勾股数的定义，理解定义是解题的关键．2．（2023春·江苏南通·八年级统考期末）勾股定理最早出现在《周解算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；…，这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：6，8，10；8，15，17；…若此类勾股数的勾为（，为正整数），则其弦是（结果用含的式子表示）（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意得为偶数，设其股是，则弦为，根据勾股定理列方程即可得到结论．【详解】解：为正整数，为偶数，设其股是，则弦为，根据勾股定理得，，解得，弦是，故选：C．【点睛】本题考查了勾股数，勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理．3．（2023秋·江苏·八年级专题练习）已知钓鱼杆的长为10米，露在水上的鱼线长为，某钓鱼者想看看鱼钩上的情况，把鱼竿转动到的位置，此时露在水面上的鱼线长度为8米，则的长为（）A．4米 B．3米 C．2米 D．1米【答案】C【分析】先根据勾股求出，再根据勾股定理求出，最后根据即可求解．【详解】解：在中，，∴，在中，，∴，∴；故选：C．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是掌握直角三角形两直角边的平方和等于斜边平方．4．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，，四边形是正方形，则正方形的面积是（）A．8 B．16 C．18 D．20【答案】D【分析】根据勾股定理求得，结合计算选择即可．【详解】解：在中，，，由勾股定理得：，∵四边形是正方形，∴．故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理，正方形的面积，熟练掌握勾股定理，正方形面积计算公式是解题的关键．5．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，，，点F在AC上，并且，点E为上的动点（点E不与点C重合），将沿直线翻折，使点C落在点P处，的长为，则边的长为（）A． B．3 C． D．4【答案】C【分析】根据折叠可得，再利用勾股定理即可求解．【详解】解：根据折叠可知，，在中，，，，，故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理及翻折的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键．6．（2023秋·江苏·八年级专题练习）一直角三角形的两条边长分别为5和12，则第三边的长的平方为（）A．169 B．49 C．169或49 D．169或119【答案】D【分析】根据直角三角形三边的关系确定第三边平方的值．【详解】解：设第三边为x，（1）若12是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理得：，∴；（2）若12是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理得：，∴；∴第三边的长为或．故选：D．【点睛】本题考查了直角三角形中三边的关系，解题的关键是根据勾股定理求解，注意有两种情况．7．（2023秋·江苏·八年级专题练习）在中，若，边上的高，那么的周长为（）A．32或33 B．42或33 C．32或42 D．33或31【答案】C【分析】本题应分两种情况进行讨论：（1）当为锐角三角形时，在和中，运用勾股定理可将和的长求出，两者相加即为的长，从而可将的周长求出；（2）当为钝角三角形时，在和中，运用勾股定理可将和的长求出，两者相减即为的长，从而可将的周长求出．【详解】解：此题分两种情况讨论：（1）如图1，当为锐角三角形时，

在中，，在中，，∴，∴的周长为；（2）如图2，当为钝角三角形时，

在中，，在中，，∴，∴的周长为．∴的周长为或．故选：C．【点睛】本题考查了勾股定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题关键，在解本题时应分两种情况进行讨论，易错点在于漏解．8．（2023秋·江苏泰州·八年级校考期末）已知中，，，，斜边边上的高的长度为（

）A． B．5 C． D．10【答案】A【分析】根据勾股定理求出，再根据，即可求解．【详解】解：∵，，，∴根据勾股定理可得：，∵，∴，即，解得：，故选：A．【点睛】本题主要考查了勾股定理，等面积法求三角形的高，解题的关键是求出斜边，用等面积法求解．9．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，以点为圆心，长为半径作弧，与交于点．则线段的长为（

）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】作于，得到，设，由，可得，最后由勾股定理进行计算即可得到线段的长．【详解】解：作于，，，设，，，，，，，故选：B．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理，解题的关键是通过作辅助线构造直角三角形．10．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，，垂直平分，分别交于D，E两点，若，则的长为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】连接，根据线段垂直平分线的性质求出，再根据勾股定理计算，得到答案．【详解】解：连接，∵垂直平分，∴，在中，，∴，故选：C．【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、勾股定理，线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．二、填空题11．（2023春·江苏扬州·八年级校联考阶段练习）如图，在中，，线段是边上的高，点、是上任意两点（不含端点、）．若，，则阴影部分的面积是．【答案】6【分析】利用等腰三角形的性质可得是的垂直平分线，从而可得，，然后利用证明，从而可得的面积的面积，再在中，利用勾股定理求出的长，从而求出的长，进而可求出的面积，最后根据阴影部分的面积的面积，进行计算即可解答．【详解】解：，，是的垂直平分线，，，，，的面积的面积，在中，，，，，的面积，阴影部分的面积的面积，故答案为：6．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键．12．（2023秋·江苏·八年级专题练习）《九章算术》提供了许多勾股数，如，等，其中一组勾股数中最大的数称为“弦数”．经研究，若是大于1的奇数，把它平方后拆成相邻的两个整数，则与这两个数组成勾股数；若是大于2的偶数，把它除以2后再平方，然后用这个平方数分别减1，加1，得到两个整数，则与这两个数组成勾股数．根据上面的规律，由8生成的勾股数的“弦数”是．【答案】17【分析】根据题意，按照步骤计算出由8生成的勾股数的“弦数”即可．【详解】8是大于2的偶数由8生成的勾股数的“弦数”是17故答案为：17．【点睛】本题主要考查勾股数的定义和计算，根据数字的变化规律准确计算出结果是解题的关键．13．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，平分，点A在射线上，于点B，若，，则点A到射线的距离为．

【答案】3【分析】先根据勾股定理求出，然后根据角平分线的性质求解即可．【详解】解：过A作于点C，

又平分，，∴，又，，∴，∴．故答案为：3．【点睛】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，掌握角平分线上一点到角的两边距离相等是解题的关键．14．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，长为的橡皮筋放置在轴上，固定两端A和，然后把中点沿垂直于轴的方向向上拉升到，则橡皮筋被拉长了．

【答案】2【分析】根据勾股定理求出，得出，求出拉伸长度即可．【详解】解：在中，∵，，∴由勾股定理，得，∴，∴拉伸长度，故答案为：2．【点睛】本题主要考查了勾股定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，求出．15．（2023春·江苏南通·八年级统考期中）已知三角形的三边长为6，8，10，则这个三角形是三角形．【答案】直角【分析】根据勾股定理的逆定理，进行计算即可解答．【详解】解：，，，这个三角形是直角三角形，故答案为：直角．【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．16．（2023秋·江苏盐城·八年级统考期末）如图所示的网格是正方形网格，点A、B、C、D、E是网格线交点，则的度数为度．【答案】【分析】如图，连接、，根据勾股定理的逆定理可得，从而知是等腰直角三角形，根据平行线的性质和三角形全等，可知：，即可得解．【详解】解：如图，连接、，设网格中正方形的边长为x，由勾股定理得：，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴.∵，∴，在和中，，∴≌，∴，∴.故答案为：45．【点睛】本题主要考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，全等三角形的性质和判定，等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．17．（2023秋·江苏·八年级专题练习）勾股定理最早出现在商高的《周髀算经》：“勾广三，股修四，经隅五”，观察下列各组勾股数：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；，我们发现，当一组勾股数的勾为（，m为正整数）时，它的股、经分别为和．若一组勾股数的勾为26，则经为．【答案】【分析】根据题干的公式直接进行计算即可得到答案．【详解】解：∵，∴，∴经为，故答案为：【点睛】本题考查勾股定理，解题的关键是读懂题意，利用题中的结论进行求解．18．（2023·江苏·八年级假期作业）如图，在中，，，，点，在斜边上，将边沿翻折，使点落在上的点处，再将边沿翻折，使点落在延长线上的点处，则线段的长为．【答案】/【详解】根据翻折的性质可知，根据等腰直角三角形的性质和三角形的面积即可求解．【分析】解：根据两次翻折可知：，，，，，，，，，．．在中，，，．故答案为：．【点睛】本题考查了翻折变换、等腰直角三角形、等面积法，勾股定理，解决本题的关键是熟练运用等面积法．三、解答题19．（2023秋·江苏·八年级专题练习）为了丰富少年儿童的业余生活，某社区要在如图中的所在的直线上建一图书室，本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处，于A，于B．已知，，，试问：图书室E应该建在距点A多少处，才能使它到两所学校的距离相等？【答案】【分析】设图书室E应建在距A点x千米处，才能使它到两所学校的距离相等，则千米；由勾股定理建立方程即可求解．【详解】解：设图书室E应建在距A点x千米处，才能使它到两所学校的距离相等，则千米；∵，，∴，，∵，∴，即，解得：，答：图书室E应建在距A点千米处，才能使它到两所学校的距离相等．【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理解直角三角形，建立方程解方程，是解决本题的关键．20．（2023秋·江苏淮安·八年级统考期末）笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个漂流点A，B，其中，由于某种原因，由C到B的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个漂流点H（A，H，B在同一直线上），并新修一条路，测得千米，千米，千米．(1)判断的形状，并说明理由；(2)求原路线的长．【答案】(1)是直角三角形，理由见解析(2)千米．【分析】（1）根据勾股定理的逆定理解答即可；（2）根据勾股定理列方程解答即可．【详解】（1）解：是直角三角形，理由是：在中，∵，，∴，∴是直角三角形且，∴，∴是直角三角形；（2）解：设，则，∴，即，解得，即千米．【点睛】本题考查勾股定理的应用，解决本题的关键是掌握勾股定理的逆定理和定理．21．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，在中，D是上一点，若，，，．(1)求证：是直角三角形；(2)求的面积．【答案】(1)见解析(2)240【分析】（1）利用勾股定理的逆定理即可求解．（2）由（1）得，进而可得，则利用勾股定理即可求得，利用三角形面积公式即可求解．【详解】（1）证明，，，，，，是直角三角形．（2）解：由（1）得，，，，，的面积为：，的面积为240．【点睛】本题考查了勾股定理，利用勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键．22．（2023秋·江苏·八年级专题练习）如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．(1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？(2)若A城受到这次台风影响，则A城遭受这次台风影响有多长时间？【答案】(1)要，理由见解析(2)【分析】（1）由A点向作垂线，垂足为C，根据勾股定理求得的长，与200比较即可得结论；（2）上分别取D、G，则是等腰三角形，由，则C是的中点，在中，解出的长，则可求长，在长的范围内都是受台风影响，再根据速度与距离的关系则可求时间．【详解】（1）解：由A点向作垂线，垂足为C，在中，，，则，因为，所以A城要受台风影响；（2）设上点D，，则还有一点G，有．∵，∴是等腰三角形，∵，∴是的垂直平分线，，在中，，，由勾股定理得，，则，遭受台风影响的时间是：（h）．【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用以及点到直线的距离，构造出直角三角形是解题关键．23．（2023·江苏·八年级假期作业）我们学习了勾股定理后，都知道“勾三、股四、弦五”．观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过．(1)请你根据上述的规律写出下一组勾股数：______；(2)若第一个数用字母n（n为奇数，且）表示，那么后两个数用含n的代数式分别表