第15课三角形的中位线（教师版）-2022-2023学年八年级数学下册《考点题型技巧》精讲与精练高分突破（浙教版）

第15课三角形的中位线目标导航目标导航学习目标1.了解三角形的中位线的概念.2.了解三角形的中位线的性质.3.探索三角形的中位线的性质的一些简单应用.知识精讲知识精讲知识点01三角形的中位线1.三角形的中位线的概念：连结三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。2.三角形的中位线的性质三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。能力拓展考点01三角形的中位线能力拓展【典例1】如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，AB的中点，点F是CB延长线上一点，且CF＝3BF，连接DB，EF．若∠ACB＝90°，AC＝12，DE＝4．（1）求证：DE＝BF；（2）求四边形DEFB的周长．【思路点拨】（1）根据三角形中位线定理得到DE∥BC，DE＝BC，根据题意得到BF＝BC，等量代换证明结论；（2）根据勾股定理求出DB，证明四边形DBFE为平行四边形，根据平行四边形的周长公式计算即可．【解析】（1）证明：∵点D，E分别是AC，AB的中点，∴DE为△ABC的中位线，∴DE∥BC，DE＝BC，∵CF＝3BF，∴BF＝BC，∴DE＝BF；（2）解：∵点D是AC的中点，AC＝12，∴CD＝6，∵DE＝4，∴BC＝8，由勾股定理得：DB＝＝＝10，∵DE＝BF，DE∥BC，∴四边形DBFE为平行四边形，∴四边形DEFB的周长＝2×（4+10）＝28．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、平行四边形的判定和性质，熟记三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键．【即学即练1】如图，D、E、F分别是△ABC三边中点，AH⊥BC于H．求证：（1）∠BDF＝∠BAC；（2）DF＝EH．【思路点拨】（1）根据三角形中位线定理得到DF∥AC，根据平行线的性质证明结论；（2）根据直角三角形的性质得到EH＝AC，等量代换证明结论．【解析】证明：（1）∵D、F分别是AB、BC边中点，∴DF是△ABC的中位线，∴DF∥AC，DF＝AC，∴∠BDF＝∠BAC；（2）∵AH⊥BC于H，E是AC的中点，∴EH＝AC，∴DF＝EH．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．分层提分分层提分题组A基础过关练1．在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，若DE＝3，则BC的值（）A．3 B．6 C．9 D．24【思路点拨】直接利用三角形中位线定理与性质进而得出答案．【解析】解：在△ABC中，D，E分别是AB，AC边的中点，∴DE是△ABC的中位线．∴DE＝BC．∵DE＝3，∴BC＝6．故选：B．【点睛】此题主要考查了三角形的中位线：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半．2．如图，在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，∠C＝45°，∠A＝50°，则∠ADE的度数为（）A．95° B．85° C．75° D．50°【思路点拨】本题通过DE为△ABC的中位线，可得到DE∥BC，则∠ADE＝∠B，通过三角形内角和，可得结果．【解析】解：∵∠C＝45°，∠A＝50°，∴∠B＝180°﹣45°﹣50°＝85°，∵点D，E分别是AB，AC的中点，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠B＝85°，故选：B．【点睛】本题考查中位线定理，通过中位线的性质，得到同位角相等，通过三角形内角和求出结果．3．如图，在△ABC中，点D、点E分别是AB，AC的中点，点F是DE上一点，∠AFC＝90°，BC＝10cm，AC＝6cm，则DF长为（）cm．A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】根据三角形中位线定理求出DE，根据直角三角形的性质求出FE，结合图形计算，得到答案．【解析】解：∵点D，点E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝5（cm），在Rt△AFC中，点E是AC的中点，∴FE＝AC＝3（cm），∴DF＝DE﹣EF＝2（cm），故选：B．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．4．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点N是BC边上一点，点M为AB边上的动点，点D、E分别为CN，MN的中点，则DE的最小值是（）A．2 B． C．3 D．【思路点拨】连接CM，当CM⊥AB时，DM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值，根据勾股定理求出AB，根据三角形的面积公式求出CM，根据三角形的中位线得出DE＝CM即可．【解析】解：连接CM，当CM⊥AB时，CM的值最小（垂线段最短），此时DE有最小值，理由是：∵∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，∴AB＝＝＝10，∴AC•BC＝，∴＝，∴CM＝，∵点D、E分别为CN，MN的中点，∴DE＝CM＝＝，即DE的最小值是，故选：B．【点睛】本题考查了垂线段最短，三角形的面积，三角形的中位线和勾股定理等知识点，熟练垂线段最短和三角形的中位线性质是解此题的关键．5．已知：三角形的各边分别为6cm，8cm，10cm，则连结各边中点所成三角形的周长为（）A．24cm B．18cm C．14cm D．12cm【思路点拨】根据三角形中位线定理分别求出连结各边中点所成三角形的边长，计算即可．【解析】解：如图，∵D，E，F分别是△ABC的三边的中点，∴DE＝AC＝4cm，DF＝BC＝3cm，EF＝AB＝5cm，∴△DEF的周长＝DE+DF+EF＝3+4+5＝12（cm），故选：D．【点睛】本题考查了三角形中位线定理，解决本题的关键是利用中点定义和中位线定理得到新三角形各边长与原三角形各边长的数量关系．6．如图，在△ABC中，D、E分别为AB、BC的中点，点F在DE上，且AF⊥BF，若AB＝5，AC＝8，则EF的长为（）A．1.5 B．2 C．2.5 D．3【思路点拨】利用三角形中位线定理得到DE＝BC．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到DF＝AB．所以由图中线段间的和差关系来求线段EF的长度即可．【解析】解：∵DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC＝4．∵AF⊥BF，D是AB的中点，∴DF＝AB＝2.5，∴EF＝DE﹣DF＝4﹣2.5＝1.5．故选：A．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理的应用，解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，题目比较好，难度适中．7．如图，在四边形ABCD中，点P是对角线BD的中点，点E、F分别是AB、CD的中点，AD＝BC，∠CBD＝30°，∠ADB＝100°，则∠PFE的度数是（）A．15° B．25° C．30° D．35°【思路点拨】根据三角形中位线定理得到PE＝AD，PE∥AD，PF＝BC，PF∥BC，根据等腰三角形的性质、三角形内角和定理计算，得到答案．【解析】解：∵点P是BD的中点，点E是AB的中点，∴PE是△ABD的中位线，∴PE＝AD，PE∥AD，∴∠EPD＝180°﹣∠ADB＝80°，同理可得，PF＝BC，PF∥BC，∴∠FPD＝∠CBD＝30°，∴∠EPF＝∠EPD+∠FPD＝110°，∵AD＝BC，∴PE＝PF，∴∠PFE＝×（180°﹣110°）＝35°，故选：D．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．8．如图，A，B两点被池塘隔开，在池塘外选取点O，连接OA，OB，分别取OA，OB的中点M，N，若测得MN＝30m，则A，B两点间的距离是60m．【思路点拨】根据三角形中位线定理解答即可．【解析】解：∵点M，N分别为OA，OB的中点，∴MN是△OAB的中位线，∴AB＝2MN＝2×30＝60（m），故答案为：60．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．9．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，D，E，F分别是边BC，CA，AB的中点，AB＝6，BC＝8，则四边形AEDF的周长是16．【思路点拨】利用勾股定理列式求出AC，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得DE＝AF＝AB，DF＝AE＝AC，然后根据四边形的周长的定义计算即可得解．【解析】解：∵∠B＝90°，AB＝6，BC＝8，∴AC＝＝＝10，∵D、E、F分别是边BC、CA、AB的中点，∴DE＝AF＝AB＝3，DF＝AE＝AC＝5，∴四边形AEDF的周长＝5+3+5+3＝16．故答案为：16．【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理，熟记定理是解题的关键．10．如图，在△ABC中，E，F分别是AB，AC的中点，若BF平分∠ABC，BC＝6，则BE的长为3．【思路点拨】根据三角形中位线定理得到EF∥BC，EF＝BC，根据平行线的性质得到∠EFB＝∠FBC，进而得出∠EFB＝∠ABF，得到BE＝EF＝3．【解析】解：∴E，F分别是AB，AC的中点，BC＝6，∴EF∥BC，EF＝BC＝×6＝3，∴∠EFB＝∠FBC，∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠FBC，∴∠EFB＝∠ABF，∴BE＝EF＝3，故答案为：3．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、平行线的性质，熟记三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．11．已知，如图，△ABC的中线BE，CF相交于点G，P，Q分别是BG，CG的中点．求证：（1）四边形EFPQ是平行四边形；（2）BG＝2GE，CG＝2GF．【思路点拨】（1）证明EF是△ABC的中位线，PQ是△BCG的中位线，由三角形中位线定理即可得出EF∥PQ，EF＝PQ，即可得出结论；（2）由平行四边形的性质得出对角线互相平分GE＝GP，GF＝GQ，即可得出结论．【解析】证明：（1）∵BE，CF是△ABC的中线，∴EF是△ABC的中位线，∴EF∥BC且EF＝BC，∵P，Q分别是BG，CG的中点，∴PQ是△BCG的中位线，BG＝2GP，CG＝2GQ，∴PQ∥BC且PQ＝BC，∴EF∥PQ且EF＝PQ，∴四边形EFPQ是平行四边形．（2）由（1）得：四边形EFPQ是平行四边形，∴GE＝GP，GF＝GQ，∵BG＝2GP，CG＝2GQ，∴BG＝2GE，CG＝2GF．【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、三角形的中位线定理；熟练掌握平行四边形的判定与性质，证明三角形中位线是解决问题的关键．12．如图，在△ABC中BC＞AC，点D在BC上，且DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，点E是AB的中点．求证：EF∥BC．【思路点拨】首先判定△ADC是等腰三角形，然后利用等腰三角形的性质得到点F是AD的中点，然后得到EF是△ABD的中位线，利用中位线的定理证得到平行即可．【解析】证明：∵DC＝AC，∠ACB的平分线CF交AD于F，∴F为AD的中点，∵点E是AB的中点，∴EF为△ABD的中位线，∴EF∥BC．【点睛】本题主要考查三角形中位线的定义和性质，掌握等腰三角形的判定和性质、三角形中位线的定义和性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键．题组B能力提升练13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D、E分别为CA、CB的中点，AF平分∠BAC，交DE于点F，若AC＝3，BC＝4，则EF的长为（）A．1 B． C．2 D．【思路点拨】根据勾股定理得到AB＝＝5，根据三角形中位线定理得到DE∥AB，DE＝AB＝，根据平行线的性质得到∠DFA＝∠FAB，根据角平分线的定义得到∠DAF＝∠BAF，求得∠DAF＝∠DFA，于是得到结论．【解析】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，∴AB＝＝5，∵D、E分别为CA、CB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥AB，DE＝AB＝，∴∠DFA＝∠FAB，∵AF平分∠BAC，∴∠DAF＝∠BAF，∴∠DAF＝∠DFA，∴DF＝AD＝AC＝＝，∴EF＝DE﹣DF＝1，故选：A．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、勾股定理、平行线的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．14．如图，在△ABC中，AB＝8，AC＝5，AD，AE分别是角平分线和中线，过点C作CF⊥AD于点F，连接EF，则线段EF的长为（）A． B．3 C．4 D．1【思路点拨】延长CF交AB于G，根据等腰三角形的判定和性质得到AG＝AC＝4，FG＝CF，进而求出BG，根据三角形中位线定理计算即可．【解析】解：延长CF交AB于G，∵AD为△ABC的角平分线，CG⊥AD，∴△ACG是等腰三角形，∴AG＝AC＝5，FG＝CF，∴BG＝AB﹣AG＝3．∵AE为△ABC的中线，∴EF是△BCG的中位线，∴EF＝BG＝，故选：A．【点睛】本题考查的是三角形的中位线定理、等腰三角形的判定与性质，正确作出辅助线是解题的关键．15．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝∠BAD＝90，AC，BD相交于点E，点G，H分别是AC，BD的中点，若∠GHE＝10°，则∠BEC＝80°．【思路点拨】连接AH和CH，根据直角三角形斜边上中线性质得出AH＝CH＝BD，根据等腰三角形性质求出HG⊥AC，求出∠HGE＝90°，即可得出答案．【解析】解：连接AH和CH，∵H为BD的中点，∠BAD＝∠BCD＝90°，∴AH＝CH＝BD，∵G为AC的中点，∴HG⊥AC，∴∠HGE＝90°，∵∠GHE＝10°，∴∠BEC＝90°﹣10°＝80°，故答案为：80°．【点睛】本题考查了直角三角形斜边上中线性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，能求出HG⊥AC是解此题的关键．16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是AB上一点，连接CD，∠ADC+∠DCB＝90°，AE平分∠CAB交CD于点E．（1）求证：AE垂直平分CD；（2）若AC＝6，BC＝8，点F为BC的中点，连接EF，求EF的长．【思路点拨】（1）首先根据题干信息证明出△ACD为等腰三角形，然后即可证明出AE垂直平分CD；（2）在△ABC中利用勾股定理求出AB，进而得到BD，再根据E为CD中点，F为BC中点，即可求出EF的长．【解析】（1）证明：因为∠ACB＝90°，所以∠ACD+∠DCB＝90°，因为∠ADC+∠DCB＝90°，所以∠ACD＝∠ADC，所以AC＝AD，即△ACD为等腰三角形，因为AE平分∠CAB，所以AE⊥CD，CE＝DE，所以AE垂直平分CD；（2）解：在Rt△ABC中，AC＝6，BC＝8，所以AB＝＝＝10，AD＝AC＝6，所以BD＝AB﹣AD＝4，因为点E为CD中点，点F为BC中点，所以EF为△CBD的中位线，所以EF＝BD＝2．【点睛】本题考查了三角形中位线定理以及线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．题组C培优拔尖练17．如图，在△ABC中，AE平分∠BAC，BE⊥AE于点E，点F是BC的中点，若AB＝10，AC＝6，则EF的长为（）A．2 B．3 C．4 D．5【思路点拨】根据角平分线的性质构造辅助线，再根据三角形中位线定理解答即可．【解析】解：延长AC，BE交于点M，∵AE平分∠CAB，AE⊥BE，∴∠AEB＝∠AEM＝90°，∠CAE＝∠BAE，∴AB＝AM＝10，BE＝EM，∵AC＝6，∴CM＝AM﹣AC＝10﹣6＝4，∵点F是BC的中点，BE＝EM，∴EF为△BCM中位线，∴EF＝CM＝2．故选：A．【点睛】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质与判定，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．18．如图，BE和CE分别为△ABC的内角平分线和外角平分线，BE⊥AC于点H，CF平分∠ACB交BE于点F，连接AE．则下列结论正确的个数为（）①∠ECF＝90°；②AE＝CE；③∠BFC＝90°+∠BAC；④∠BAC＝2∠BEC；⑤∠AEH＝∠BCF．A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【思路点拨】根据角平分线的定义以及平角的性质即可判断①正确；证明BE垂直平分线段AC即可判断②正确；利用角平分线的定义以及三角形内角和定理即可判断③正确；利用参数构建方程组解决问题即可判断④正确；利用等角的余角相等证明即可判断⑤正确．【解析】解：∵CF平分∠ACB，CE平分∠ACD，∴，∴，故①正确，∵BE平分∠ABC，BE⊥AC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BHA＝∠BHC＝90°，∴∠BAH+∠ABE＝90°，∠ACB+∠EBC＝90°，∴∠BAC＝∠BCA，∴AB＝BC，∵BE⊥AC，∴AH＝CH，∴EA＝EC，故②正确，∵∠BFC＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝＝＝，故③正确，设∠ACE＝∠ECD＝x，∠ABE＝∠EBC＝y，则有，可得∠BAC＝2∠BEC，故④正确，∵EA＝EC，BE⊥AC，∴∠AEB＝∠BEC，∵∠FCH+∠ACE＝90°，∠ACE+∠BEC＝90°，∴∠FCH＝∠BEC＝∠AEB，∵∠ACF＝∠BCF，∴∠AEH＝∠BCF，故⑤正确．故选：D．【点睛】本题考查了三角形外角的性质，直角三角形的性质，角平分线的定义以及垂直平分线的性质，熟知角平分线是将角分为两个相等部分以及垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解本题的关键．19．如图，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，AC＝6，BD＝8，点E、F分别是边AD、BC的中点，连接EF，则EF的长是5．【思路点拨】取AB的中点G，连接EG、FG，根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求出EG、FG，并求出EG⊥FG，然后利用勾股定理列式计算即可得解．【解析】解：如图，取AB的中点G，连接EG、FG，∵E、F分别是边AD、CB的中点，∴EG∥BD且EG＝BD＝×8＝4，FG∥AC且FG＝AC＝×6＝3，∵AC⊥BD，∴EG⊥FG，∴EF＝＝＝5．故答案为：5．【点睛】本题考查了三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，勾股定理的应用，作辅助线构造出直角三角形是解题的关键．20．如图，△ABC的周长为19，点D，E在边BC上，∠ABC的平分线垂直于AE，垂足为N，∠ACB的平分线垂直于AD，垂足为M，若BC＝7，求MN的长度．【思路点拨】证明△BNA≌△BNE，根据全等三角形的性质得到BA＝BE，AN＝NE，根据三角形的周长公式求出DE，根据三角形中位线定理计算即可．【解析】解：∵BN平分∠ABC，BN⊥AE，∴∠NBA＝∠NBE，∠BNA＝∠BNE＝90°，在△BNA和△BNE中，，∴△BNA≌△BNE（ASA），∴BA＝BE，AN＝