第四章《锐角三角函数》（提高卷）

第四章锐角三角函数（提高卷）一、选择题（每小题4分，共40分）1.tan60∘的值等于（A.1 B.2 C.3 D.2【答案】C【解析】根据记忆的特殊角的三角函数值即可得出答案．【解答】解：tan60∘=3．

2.在Rt△ABC中，∠C＝90∘，BC＝5，AC＝12，则sinA.512 B.125 C.5【答案】D【解析】直接利用勾股定理得出AB的长，再利用锐角三角函数得出答案．【解答】如图所示：

∵∠C＝90∘，BC＝5，AC＝12，

∴AB=52+122=13，

∴sinB=ACAB=12A.sinA=sinB B.cos【答案】D【解析】根据一个锐角的正弦等于它的余角的余弦解答．【解答】解：∵∠C=90∘，∴∠A+∠B=90∘，∴sinA=cosB．

4.如图，有一斜坡AB的长AB＝10米，坡角∠B＝A.10tan36∘ B.10cos【答案】C【解析】根据正弦的定义计算，得到答案．【解答】在Rt△ABC中，sinB=ACAB，∴AC＝AB5.sin58∘、cos58∘、cos28A.cos28∘<cos58∘<sin58∘ B.sin58∘<cos【解析】先把正弦化成余弦，然后根据锐角三角函数值的变化规律：锐角余弦值随着角度的增大而减小进行排列大小．【解答】sin58∘＝cos32∘．

∵58∘>32∘>28∘6.计算sin245∘A.2 B.1 C.52 D.【答案】A【解析】根据特殊角的三角函数值计算即可．【解答】解：原式=(22)2+32×3=12+32=2．

7.在△ABC中，若角A.45∘ B.60∘ C.75【答案】D【解析】根据非负数的性质得出cosA=32，tanB＝1，求出∠A【解答】由题意得，cosA=32，tanB＝1，则∠A＝30∘，∠B＝45∘，

则8.在Rt△ABC中，∠C＝90∘，若sinA=5A.512 B.813 C.2【答案】D【解析】根据同一锐角的正弦与余弦的平方和是1，即可求解．【解答】∵sin2A+cos2A＝1，即(513)2+cos2A＝1，

∴cos2A9.在△ABC中，若|cosA-12|+(1-A.45∘ B.60∘ C.75【答案】C【解析】根据非负数的性质可得出cosA及tanB的值，继而可得出A和B的度数，根据三角形的内角和定理可得出∠C【解答】解：由题意，得

cosA=12，tanB=1，

∴∠A=60∘，∠B=45∘，∴∠C=180∘-∠A-∠B=180∘-60∘-45∘=75∘．

10.如图，在直角坐标系中，P是第一象限内的点，其坐标是(3, m)，且【答案】A【解析】过点P作PE⊥x轴于点E，则可得OE=3，PE=m，在Rt△POE【解答】解：过点P作PE⊥x轴于点E，

则可得OE=3，PE=m，

在Rt△POE中，tanα=PEOE=43二、填空题（本题共计6小题，每题4分，共计24分）11、已知tan(α+15∘)=3【答案】15【解析】根据tan30∘=33可得α【解答】∵tan30∘=33，∴α+15∘＝30∘12、已知∠A是锐角，且tanA=3，则sin【答案】12【解析】先根据tanA=3，求出∠【解答】解：∵tanA=3，∴∠A=60∘，∴sinA2=sin30∘=12．

【答案】22【解析】如图，连接AB．证明△OAB是等腰直角三角形即可解决问题．【解答】如图，连接AB．

∵OA＝AB=10，OB＝25，

∴OB2＝OA2+AB2，

∴∠OAB＝90∘，

∴△AOB是等腰直角三角形，

14、已知|sinA-12|+(3【答案】90∘【解析】根据特殊角锐角三角函数值即可求出答案．【解答】解：由题意可知：sinA=12，tanB=3，

∴∠A=30∘，∠B=60∘，

∴∠A+∠B=90∘.

15【答案】32或233【解析】分两种情形分别画出图形求解即可．【解答】解：①如图1中，

在Rt△ABC中，∠A=90∘，CE是△ABC的中线，

设AB=EC=2a，则AE=EB=a，AC=3a，

∴tan∠ABC=ACAB=32．

②如图2中，

在Rt△ABC中，∠A=90∘，BE是△ABC的中线，

设EB=AC【答案】15(3-1)【解析】设甲船每小时行驶x海里，则AB＝2x海里，如图，作BD⊥AC于点D，在AC上取点E，使BE＝CE，根据题意可得，∠BAD＝30∘，∠C＝15∘，可得AD＝DE=3x，CE＝BE＝AB＝【解答】设甲船每小时行驶x海里，则AB＝2x海里，

如图，

作BD⊥AC于点D，在AC上取点E，使BE＝CE，

根据题意可知：

∠BAD＝30∘，∠C＝15∘，

∴∠BED＝30∘，

∴AD＝DE=3x，

CE＝BE＝AB＝2x，

∴AD+DE+CE＝60，

即3x+3x+2x＝60，17.计算：(1)18+|（2）(12)-解：(1)原式=32+2-2-2（2）原式=4+23-18、如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，BC=14，AD=12，sinB=45(1)求线段CD的长度；(2)求cos∠C解：(1)∵AD是BC上的高，

∴∠ADB=∠ADC=90∘.

∵sinB=45，AD=12，

∴AB=ADsinB(2)由(1)知，CD=5，AD=12，

∴AC=AD219、如图，在矩形ABCD中，AB=6，BC=10，将矩形ABCD沿BE折叠，点A落在A'处，若EA'的延长线恰好过点C，求sin解：由折叠知，A'E=AE，A'B=AB=6，∠BA'E=90∘，

∴∠BA'C=90∘.

在Rt△A'CB中，A'C=BC2-A'B2=8.

设AE=x20、如图，根据图中数据完成填空，再按要求答题：

sin2A1+sin2B1＝1；sin2A2+sin2（1）观察上述等式，猜想：在Rt△________中，∠________＝90∘，都有sin2________+sin（2）如图④，在Rt△ABC中，∠C＝90∘，∠A、∠B、∠C（3）已知：∠A+∠B＝90∘，且【解析】（1）由前面的结论，即可猜想出：在Rt△ABC中，∠C＝90∘，都有sin2A+sin2B＝1；

（2）在Rt△ABC中，∠C＝90∘．利用锐角三角函数的定义得出sinA=ac，sinB=bc，则sin【解答】由图可知：sin2A1+sin2B1＝(12)2+(32)2＝1；

sin2A2如图，在Rt△ABC中，∠C＝90∘．

∵sinA=ac，sinB=bc，

∴sin2A+sin2B=a2+∵sinA=513，sin2A+sin21、如图，小丽家门前有一条河，小丽想用所学的数学知识测量自己家门前小河的宽AB．他站在自家的阳台上（图中的点E），面朝垂直于河岸的方向站立，并确定了两岸的两个可观测点A、B，测得点A的俯角α＝30∘，点B的俯角β＝45∘，小丽家在三楼，阳台与观测点A、B所在的地平面的距离CE为6米，小明眼睛到阳台地面的距离DE约为1.6米，请根据相关测量信息，求河宽AB（3≈1.7，结果保留1位小数）．

【解析】由题意得：∠C＝90∘，CD＝DE+CE＝1.6+6＝7.6（米），∠A＝α＝30∘，∠BDC＝45∘，得出AC=3CD＝7.63，△【解答】∵CD⊥AC，

∴∠C＝90∘，

由题意得：CD＝DE+CE＝1.6+6＝7.6（米），∠A＝α＝30∘，∠BDC＝β＝45∘，

∴AC=3CD＝7.63，△BCD是等腰直角三角形，

∴22、如图，楼房BD的前方竖立着旗杆AC．小亮在B处观察旗杆顶端C的仰角为45∘，在D处观察旗杆顶端C的俯角为30∘，楼高BD为20米．

（1）求∠BCD的度数；（2）求旗杆AC【解析】（1）过点C作CE⊥BD于E，则DF // CE，AB // CE．利用平行线的性质求得相关角的度数．

（2）本题涉及到两个直角三角形△【解答】过点C作CE⊥BD于E，则DF // CE，AB // CE

∵DF // CE

∴∠ECD＝∠CDF＝30∘

在Rt△ECD中，∠ECD＝30∘

∵tan∠ECD=DECE

∴DE=CE⋅tan∠ECD=323、共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图A，B两地向C地新建AC，BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在A地北偏东45∘方向上，在B地北偏西68∘向上，AB的距离为7km，求新建管道的总长度．（结果精确到0.1km，sin22∘≈0.37，cos22∘【解析】过点C作CD⊥AB于点D【解答】如图，过点C作CD⊥AB于点D，

根据题意可知：

AB＝7，∠ACD＝45∘，∠CBD＝90∘-68∘＝22∘，

∴AD＝CD，

∴BD＝AB-AD＝7-CD，

在Rt△BCD中，

∵tan∠CBD=CDBD，

∴CD7-CD≈0.40，

∴CD＝2，

∴AD＝CD＝2，24、2019年12月17日，国产航母山东舰正式交付中国海军，中国海军建设迈上了一个新台阶．如图，在一次训练中，笔直的海岸线l上有A、B两个观测站，A在B的正东方向，AB＝(12+43)海里，山东舰在点P处，从A测得山东舰在北偏西60∘的方向，从B测得山东舰在北偏东45∘的方向．（1）求B、P两点之间的距离；（结果有根号的保留根号）（2）山东舰从点P处沿射线AP的方向航行，航行30分钟后到达点C处，此时，从B测得山东舰在北偏西15∘【解析】（1）过点P作PH⊥AB于点H．设PH＝x，先解Rt△PBH，用含x的代数式表示BH，再解Rt△PAH，用含x的代数式表示AH，然后根据BH+AH＝AB，列出关于x的方程，解方程即可；

（2）过点P作PM⊥BC于点M．先解Rt△BPM中，∠PMB＝90∘，∠PBM＝60∘，得出【解答】如图，过点P作PH⊥AB于点H．