2022年人教版八年级数学上册第十三章轴对称难点解析试卷（含答案详解版）

人教版八年级数学上册第十三章轴对称难点解析

考试时间：90分钟；命题人：数学教研组

考生注意：

1、本卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟

2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上

3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新

的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题30分）

一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）

1、在平面直角坐标系中，点（3,2）关于x轴对称的点的坐标为（）

A.（-3,2）B.（-2,3）C.（2,-3）D.（3,-2）

2、已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°,则底角的度数为（）

A.40°B.70°C.40°或140°D.70°或20°

3、如图，已知AB=AC=BD,那么N1与/2之间的关系是（）

A.Z1=2Z2B.2Z1+Z2=18O°

C.Zl+3Z2=180°D.3Z1-Z2=18O°

4、已知A4BC的周长是/,AB=l-2BC,则下列直线一定为的对称轴的是

A.AABC的边BC的中垂线B.ZA8C的平分线所在的直线

C.AABC的边AB上的中线所在的直线D.A4BC的边AC上的高所在的直线

5、如图是A,B,C三岛的平面图，C岛在A岛的北偏东35度方向，B岛在A岛的北偏东80度方向,

C岛在B岛的北偏西55度方向，则A,B,C三岛组成一个（）

A.等腰直角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.等边三角形

6、如图，在中，AB=AC,NC=65°,点。是8C边上任意一点，过点。作“7/4?交AC于点

E,则乙FEC的度数是（).

A.120°B.130"C.145°D.150°

7、如图，已知aABC,AB<BC,用尺规作图的方法在BC上取一点P,使得PA+PC=BC,则下列选项正

D.

8、如图，在Rt△/a'中，ZABC=9Q°,分别以点4和点8为圆心，大于的长为半径作弧相交

于点。和点反直线"交〃1于点凡交例于点G,连接BF,若BF=3,4G=2,则比=（）

D

A.5B.4GC.2后D.2m

9、北京2022年冬奥会会徽如图所示，组成会徽的四个图案中是轴对称图形的是（）

BEIOJINQG29023.

B.BE甲NGc.202^D.OQ^)

10、如图，在矩形ABC。中，AB=5,AD=3,动点尸满足3sm&=S矩物1Pco，则点尸到A、B两点距

离之和PA+P3的最小值为（）

A.>/29B.V34C.5/D.而

第n卷（非选择题70分）

二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）

1、如图，点尸（-2,1）与点Q（a,力关于直线/（y=-l）对称,则°+。=

2、如图，C为线段/£上一动点（不与点4,“重合），在"同侧分别作等边A46c和等边△切£,AD

与应'交于点。，助与6C交于点P,应'与切交于点0,连接做则下列结论：Q）AD=BE；

©PQ//AE-,@AP=BQ-,④DE=DP.其中正确的有_______.（填序号）

3、如图，在平面直角坐标系中，长方形0ABC的边0A在x轴上，0C在y轴上，0A=l,0C=2,对角线

AC的垂直平分线交AB于点E,交AC于点D.若y轴上有一点P（不与点C重合），能使4AEP是以为

AE为腰的等腰三角形，则点P的坐标为—.

4、ZAO3内部有一点P,0P=5,点夕关于。4的对称点为肱点—关于。B的对称点为M若

ZAOB=30。，则AMON的周长为.

5、如图，在矩形4及力中，AD=6,AB=4,N物〃的平分线交比于点反则庞=.

三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）

1、在AABC中，BE,如为A45C的角平分线，BE,CD交于点、F.

（1）求证：ZBFC=90°+^ZA；

（2）已知ZA=60。.

①如图1,若比）=4,BC=6.5,求您的长；

②如图2,若M=AC,求Z4EB的大小.

2、等腰三角形一腰上的中线把该三角形的周长分为13.5cm和11.5cm两部分，求这个等腰三角形

各边的长.莉莉的解答过程如下：

设在AABC中，AB=AC,BD是中线.

•中线将三角形的周长分为13.5cm和11.5cm,如图所示，AB-BC=13.5-11.5=2,:.AB=BC+2,：.

2（BC+2）+BC=13.5+11.5,解得BC=7,

AB=AC=BC+2=9,

，三角形三边的长为9cm,9cm,7cm.

请问莉莉的解法正确吗？如果不正确，请给出理由.

A

3、如图，已知NA0B=20°,点C是A0上一点，在射线0B上求作一点F,使得NCF0=40°.(尺规

作图，保留作图痕迹，并说明理由)

4、请仅用无刻度的直尺完成下列画图，不写画法，保留画图痕迹.

(1)如图①，四边形ABCD中，AB=AD,ZB=ZD,画出四边形ABCD的对称轴m；

(2)如图②，四边形ABCD中，AD〃BC,ZA=ZD,画出边BC的垂直平分线n.

图①图②

5、如图，△4比1与△麻都是等腰直角三角形，AOBC,Df^DF.边以的中点重合于点0,连接

BF,CD.

⑴如图①，当做1/6时，易证给切(不需证明)；

(2)当△颇绕点0旋转到如图②位置时，猜想即与切之间的数量关系，并证明；

(3)当与均为等边三角形时，其他条件不变，如图③，猜想以■与切之间的数量关系，直

接写出你的猜想，不需证明.

-参考答案-

一、单选题

1,I)

【解析】

【分析】

利用关于x轴对称的点坐标特征：横坐标不变，纵坐标互为相反数解答即可.

【详解】

点(3,2)关于x轴对称的点的坐标为(3,-2),

故选：D.

【考点】

本题主要考查了关于坐标轴对称的点的坐标特征，熟练掌握关于坐标轴对称的点的坐标特征是解答的

关键.

2、D

【解析】

【分析】

分两种情况讨论：①若/A<90°；②若/A>90°；先求出顶角NBAC,即可求出底角的度数.

【详解】

解：分两种情况讨论：

①若NA<90°,如图1所示：

VBD±AC,

.•.ZA+ZABD=90°,

VZABD=50°,

，NA=90°-50°=40°,

VAB=AC,

.♦.NABC=/C=g(180°-40°)=70°；

②若NA>90°,如图2所示：

同①可得：ZDAB=90°-50°=40°,

.•.ZBAC=180°-40°=140°,

VAB=AC,

/.ZABC=ZC=1(180°-140°)=20°；

综上所述：等腰三角形底角的度数为70°或20°，

故选：D.

【考点】

本题考查了等腰三角形的性质以及余角和邻补角的定义；注意分类讨论方法的运用，避免漏解.

3、D

【解析】

【分析】

根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得NB=180°-2Z1=ZC,根据三角形的外角性质可

得/C=/l-/2,进一步即得答案.

【详解】

解：VAB=AC=BD,

.\ZBAD=Z1,ZB=ZC,

.,.ZB=180°-2Z1=ZC,

VZC=Z1-Z2,

.*.180°-2Z1=Z1-Z2,

.•.3/1-N2=180°.

故选：D.

【考点】

本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理和三角形的外角性质等知识，属于基本题型，熟

练掌握上述知识是解题的关键.

4、C

【解析】

【分析】

首先判断出AA8C是等腰三角形，46是底边，然后根据等腰三角形的性质和对称轴的定义判断即可.

【详解】

解：'：l^AB+BC+AC,AB=l-2BC,

：.BC=AC,

...zVWC是等腰三角形，是底边，

，一定为AA3C的对称轴的是AA3C的边4S上的中线所在的直线，

故选：C.

【考点】

本题考查了等腰三角形的判定和性质以及对称轴的定义，判断出AA3C是等腰三角形，是底边是解

题的关键.

5、A

【解析】

【分析】

先根据方位角的定义分别可求出NC4)=35o,NBAQ=8()o,NC8E=55。，再根据角的和差、平行线的性

质可得N3AC=45。，ZAB£=1(X)°,从而可得Z4BC=45。，然后根据三角形的内角和定理可得

NC=90。，最后根据等腰直角三角形的定义即可得.

【详解】

由方位角的定义得：ZC4D=35。,ZBA。=80°,NCBE=55°

.1.ABAC=ZBAD-ACAD=80°-35°=45°

由题意得：AD//BE

ZABE=180°-ABAD=180°-80°=100°

ZABC=ZABE-ZCBE=l(X)°-55°=45°

:.ABAC=ZABC=45°

由三角形的内角和定理得：NC=180。-NB4C-48C=90。

.•.△MC是等腰直角三角形

即A,B,C三岛组成一个等腰直角三角形

故选：A.

【考点】

本题考查了方位角的定义、平行线的性质、三角形的内角和定理、等腰直角三角形的定义等知识点,

掌握理解方位角的概念是解题关键.

6、B

【解析】

【分析】

根据等腰三角形的性质可得/炉NC,进而可根据三角形的内角和定理求出N4的度数，然后根据平

行线的性质可得吩N4进一步即可求出结果.

【详解】

解：VAB=AC,ZC=65°,

比/俏65°,

：.ZA=180a-ZB-Z<=50°,

'：DF//AB,

：.ZDEC=ZA=50°,

限M30°.

故选：B.

【考点】

本题考查了等腰三角形的性质、平行线的性质和三角形的内角和定理等知识，属于常考题型，熟练掌

握上述基础知识是解题的关键.

7、B

【解析】

【详解】

解：,.•PB+PC=BC,PA+PC=BC,

.•.PA=PB,

根据线段垂直平分线定理的逆定理可得，点P在线段AB的垂直平分线上，

故可判断B选项正确.

故选B.

8、C

【解析】

【分析】

利用线段垂直平分线的性质得到FB=E4,AG=3G=2,再证明FC=FB=必=3,利用勾股定理即

可解决问题.

【详解】

解：由作图方法得GF垂直平分A3,

:.FB=FA,AG=BG=2,

：.ZFBA=ZA,

ZABC=90°,

/.ZA+NC=90。，NFBA+NFBC=90°,

ZC=ZFBC,

：.FC=FB,

・・・FB=FA=FC=3,

/.AC=6,AB=4,

BC=\IAC2-AB2=招-42=2石•

故选：c.

【考点】

本题考查了作图-基本作图：熟练掌握基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；

作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）方法是解题关键，同时

还考查了线段垂直平分线的性质.

9、D

【解析】

【分析】

根据轴对称图形的定义判断即可

【详解】

48,C都不是轴对称图形，故不符合题意；

D是轴对称图形，

故选D.

【考点】

本题考查了轴对称图形的定义，准确理解定义是解题的关键.

10、D

【解析】

【分析】

由3S^=S矩琢可得△为8的边上的高炉2,表明点尸在平行于16的直线旗上运动，且两平

行线间的距离为2；延长尸C到G,使陷龙，连接/G交切于点"则点尸与〃重合时，PA+PB最

小，在心△的中，由勾股定理即可求得/G的长，从而求得为+外的最小值.

【详解】

解：设△为6的46边上的高为方

•3S4PAB-S矩形ABC。

：.3x-AB.h=AB.AD

2

：.h=2

表明点〃在平行于力8的直线）上运动，且两平行线间的距离为2,如图所示

:・B"2

・・•四边形/aZ?为矩形

:.BOAX,ZABC=90°

心肝3-2=4

延长先到。使笋抬1,连接AG交EF于点、H

:・B户FG=2

•:EF"AB

：.ZEFG=ZABO90°

工跖是线段砌的垂直平分线

：.PG^PB

*：PA+P伊PA+PG2AG

・・・当点尸与点，重合时，为+如取得最小值AG

在厦4G9中，A庐5,於2方M,由勾股定理得：AG=^AB2+BG2=752+42=>/41

即为+小的最小值为"I

故选：D.

【考点】

本题是求两条线段和的最小值问题，考查了矩形的性质，勾股定理，线段垂直平分线的性质、两点之

间线段最短等知识，难点在于确定点产运动的路径，路径确定后就是典型的将军饮马问题.

二、填空题

1、-5

【解析】

【分析】

根据点n-2,1)与点QS,"关于直线/(y=-l)对称求得a,b的值，最后代入求解即可.

【详解】

解：•.•点P(-2,l)与点Q(4,6)关于直线/(y=-l)对称

，a=-2,审=T,解得b=-3

a+b=-2+(-3)=-5

故答案为-5.

【考点】

本题考查了关于y=-l对称点的性质，根据对称点的性质求得a、b的值是解答本题的关键.

2、①②③

【解析】

【分析】

根据等边三角形的三边都相等，三个角都是60°,可以证明△/⑺与△氏苏全等，根据全等三角形对

应边相等可得加=麻；所以①正确，对应角相等可得NOP=N刎；然后证明A力少与A以为全等，

根据全等三角形对应边相等可得公。0，从而得到△。〃是等边三角形，再根据等腰三角形的性质可

以找出相等的角，从而证明掰〃所以②正确；根据全等三角形对应边相等可以推出力々制，所

以③正确，根据③可推出〃—£0,再根据△〃底0的角度关系应学〃R

【详解】

解：'：等边4ABe和等边ACDE,

：.AC=BC,CD=CE,NACB=NECD=60°,

，180°-N£3180°-ZACB,

或NACD=NBCE,

在与△腔'中，

-AC=BC

<NACD=NBCE,

CD=CE

：.4AC哈4BCE（倒S）,

：.AD=BE,故①小题正确；

AACM4BCE（已证），

：.ZCAD=ACBE,

•.•/〃方=/以力=60°（已证），

：.ZBCQ=180°-60°X2=60°,

:.NACB=NBCQ=6G°,

在"夕与中,

ACAD=ZCBE

AC=BC

ZACB=ZBCQ

：."g(ASA),

：.AP=BQ,故③小题正确；PC=QC,

AA%是等边三角形，

:.NCPQ=6Q°,

：.4ACB=/CPQ,

J.PQ//AE,故②小题正确；

'：AD=BE,AP=BQ,

：.AD-AP=BE-BQ,

即DP=QE,

NDQE=NEC/NCEg600+ACEQ,N侬6=0°,

AZDQE丰ZCDE,故④小题错误.

综上所述，正确的是①②③.

故答案为：①②③.

【考点】

本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，以及平行线的判定，需要多次证明三角形

全等，综合性较强，但难度不是很大，是热点题目，仔细分析图形是解题的关键.

3、（0,玄，（0,-｝或吗）

【解析】

【分析】

设AE=m,根据勾股定理求出m的值，得到点E(l,。)，设点P坐标为(0,y),根据勾股定理列出

4

方程，即可得到答案.

【详解】

•.•对角线AC的垂直平分线交AB于点E,

.\AE=CE,

VOA=1,OC=2,

.\AB=OC=2,BC=OA=1,

.,.设AE=m,则BE=2-m,CE=m,

.,.在Rt庚CE中,BE2+BC2=CE2,即：(2-m)2+l2=m%

解得：

4

/•E(1>—),

4

设点P坐标为(0,y),

•••△AEP是以为AE为腰的等腰三角形，

53

当AP二AE,贝M『0)2+(0-y)2=(1-1)2+(0-1)2,解得：y=±;,

44

当EP=AE,贝U(l-0)，(：-y)J(1-1)2+(0-^)%解得：y=；,

442

.•.点P的坐标为(0,》，(0-1),(0,1),

故答案是：(0,-^-),(0,-1),(o,5).

【考点】

本题主要考查等腰三角形的定义，勾股定理，矩形的性质，垂直平分线的性质，掌握勾股定理，列出

方程，是解题的关键.

4、15

【解析】

【分析】

根据轴对称的性质可证/加生2/加斤60°；再利用〃生〃心例即可求出△MON的周长.

【详解】

解：根据题意可画出下图，

•.•以垂直平分R1/,如垂直平分加

/.ZWA=ZAOP,/NOF/BOP；〃后除Qg5cm.

...乙姒忙2/4妣60°.

.•.△MON为等边三角形。

△加W的周长=3X5=15.

故答案为：15.

【考点】

此题考查了轴对称的性质及相关图形的周长计算，根据轴对称的性质得出/眦22//妙60°是解题

关键.

5、2亚

【解析】

【分析】

由矩形的性质及角平分线的性质解得NBAE=45。，ZAEB=45°,即可证明是等腰直角三角形，

从而解得BE=AB=4,CE=2,最后在Rt^DCE中利用勾股定理解题即可.

【详解】

在矩形4?(力中，

AO〃BC,A5==4,AD=8C=6

NBAD=NB=90。

•••AE平分ZS4£)

/.NBAE=匕DAE=45°

.-.ZA£»=45°

「.△R四是等腰直角三角形

：.BE=AB=4

.\CE=6-4=2

..RgDCE中

DE=>lEC-+DC2=V22+42=2石

故答案为：26.

【考点】

本题考查矩形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌

握相关知识是解题关键.

三、解答题

1、(1)证明见解析；(2)2.5；(3)100°.

【解析】

【分析】

(1)由三角形内角和定理和角平分线得出NFBC+ZFCB=9(r-；ZA的度数，再由三角形内角和定理可

求出NB/P的度数，

(2)在BC上取一点G使BG=BD,构造△BEGMABF。(SAS),再证明AFEC万FGC(ASA),即可得

BC=BD+CE,由此求出答案；

(3)延长BA到P,使AP=FC,构造△BFCMACAP(SAS),得PC=BC,NP=NBCF=gzACB,再由三

角形内角和可求〃WC=40。，ZACB=8O°,进而可得ZAEB=180。-(乙48£+乙4)=100。.

【详解】

解：(1)-BE.CD分别是ZA8C与ZACB的角平分线，

NFBC+NFCB=g(180。-3=90。-gzA,

乙BFC=180°-(ZFBC+NFCB)=180°-(90°--ZA),

2

:.ZBFC=90°+-ZA,

2

(2)如解(2)图，在BC上取一点G使BG=BD,

解(2)图

由(1)得N8/C=90°+-ZA,

2

4c=60。,

/.ZBFC=120°,

，ZBFD=ZEFC=180O-ZBFC=60°,

在ABFG与/\BFD中,

BF=BF

<NFBG=/FBD,

BD=BG

:.△BFG-BFD(SAS)

・•.ZBFD=ZBFGf

：.ZBFD=ZBFG=60°,

J/CFG=120°-ZSFG=60°,

・・・ZCFG=ZCFE=6O0

在AFEC与AFGC中,

NCFE=/CFG

CF=CF,

ZECF=ZGCF

:.AFEC^FGC(ASA),

.\CE=CG,

・；BC=BG+CG,

..BC=BD+CE；

VBD=4,BC=6.5,

ACE=2.5

(3)如解(3)图，延长BA到P,使AP二FC,

vZa4C=60°,

・・・ZPAC=180°-ZBAC=120°,

在与△C4P中，

BF=AC

<ZBFC=ZCAP=120°,

CF=PA

：.ABFC=AC4P(SAS)

AZP=ZBCF,BC=PC,

：.NP=ZABC,

XVZP=/BCF='/ACB,

2

:.ZACB=2ZABC,

又:ZACB+ZABC+ZA=180°,

・・・3ZABC+60°=180°,

AZABC=40°,ZACfi=80°,

ZABE=-ZABC=20°,ZAEB=180°-(ZABE+ZA)=180°-(20°+60°)=100°

2

【考点】

本题考查的是角平分线的性质、全等三角形的判定与性质，根据题意作出辅助线，构造出全等三角形

是解答此题的关键.

2,不正确，见解析

【解析】

【分析】

根据AB和BC的大小关系分类讨论，然后根据三角形的周长差即可分别求出对应的AB和BC,从而得

出结论.

【详解】

解：莉莉的解法不正确，理由如下：

假设在中，AB=AC,BD是中线.

当时，

•/48-8（7=13.5-11.5=2,

二AB=BC+2

.,.2（BC+2）+8C=13.5+11.5.

解得BC=7,

.,.AB=AC=BC+2=9.

当45<3C时，

BC-AB=13.5-11.5=2,

BC=AB+2,

.•.2AB+AB+2=13.5+11.5.

解得=?23

综上，这个三角形三边的长分别为9cm,9cm,7cm或弓'51,『-即,可cm.

【考点】

这道题是用文字叙述的形式给出的，没有图形，也没有字母，因此，可以先根据文字叙述画出图形，

标注字母，利用图形减小题目难度，由于腰和底边不相等造成一腰上的中线把三角形的周长分成两个

不相等的部分，解题关键是既要考虑到腰比底边长，又要考虑到底边比腰长.

3、见解析

【解析】

【分析】

先作少的垂直平分线交阳于〃，再以C点为圆心，口为半径画弧交如于f，则以密CD=CF,

然后根据等腰三角形的性质可判断Z。；。=40°.

【详解】

解：如图，点F为所作.

理由如下：

•••点D为冗的垂直平分线与0B的交点，

：.DO=DC,

/DCO=4D0C=2O°,

ZCDF=ZDC(AZDOC=40°,

'：CF=CD,

：.ACFD=ACDF=^°,

即/序（?=40°.

【考点】

本题考查基本作图-作线段的垂直平分线、作图-作线段、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性

质、三角形的外角性质，熟练掌握基本作图的步骤和相关知识的性质，掌握转化的思想方法是解答的

关键.

4、⑴见解析；(2)见解析；

【解析】

【分析】

(1)连接AC,AC所在直线即为对称轴m.

(2)延长BA,CD交于一点，连接AC,BC交于一点,连接两点获得垂直平分线n.

【详解】

解：(1)如图①，直线机即为所求

(2)如图②，直线〃即为所求

mn

ABAC

酬

【考点】

本题考查了轴对称作图，根据全等关系可以确定点与点的对称关系，从而确定对称轴所在，即可画出

直线.

5、(1)见解析

(2)上券证明见解析

(3)BF=—CD

3

【解析】

【分析】

(1)