专题12平行四边形性质的其他应用(原卷版+解析)

专题12平行四边形性质的其他应用知识导航知识导航必备知识点1.平行四边形相邻的两边之和等于它的周长的一半。2.当平行线和角平分线同时出现时，构造等腰三角形。3.平行四边形的两条对角线把平行四边形分割成四个面积相等的三角形。4.若一条直线过平行四边形两条对角线交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积。平行四边形被它的两条对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于平行四边形的两邻边之差。两等底平行四边形面积的比等于它们高的比;两等高平行四边形面积的比等于它们底的比。题型精炼题型精炼一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，OABC的顶点A在x轴上，定点B的坐标为（8，4），若直线经过点D（2，0），且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线DE的表达式是（

）A．y=x-2 B．y=2x-4 C．y=x-1 D．y=3x-62．如图，在平行四边形中，A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别是ABCD的五等分点，点B1，B2和D1，D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为2，则平行四边形ABCD的面积为（

）A．4 B． C． D．303．如图，在中，的平分线交于点交的延长线于点于点，若，则的周长为（

）A． B． C． D．4．如图，已知△ABC的面积为12，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BF=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（

）A．2 B．3 C．4 D．55．如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线翻折得到，交于点，连接，若，，，则的长是（

）A．1 B． C． D．6．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是（

）A．10 B．14 C．20 D．227．如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若△CED的周长为6，则▱ABCD的周长为（）A．6 B．12 C．18 D．248．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝2，AF＝3，▱ABCD的周长为20，则▱ABCD的面积为（）A．24 B．16 C．8 D．129．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论①∠DCF＝∠BCD；②S△BEC＝2S△CEF；③∠DFE＝3∠AEF；④当∠AEF＝54°时，则∠B＝68°，中一定成立的是（）A．①③ B．②③④ C．①④ D．①③④10．如图，P是面积为S的内任意一点，的面积为，的面积为，则（

）A． B．C． D．的大小与P点位置有关11．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（

）A．对角线互相垂直 B．对角线相等C．对角线互相平分 D．对角相等二、填空题12．如图，平行四边形ABCD中，AB=cm，BC=2cm，∠ABC=45°，点P从点B出发，以1cm/s的速度沿折线BC→CD→DA运动，到达点A为止，设运动时间为t(s)，△ABP的面积为S(cm2)，则S与t的函数表达式为_______________.13．如图，在平面直角坐标系xOy中，B（3，0），△AOB是等边三角形，动点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿BO匀速运动，动点Q同时从点A出发以同样的速度沿OA延长线方向匀速运动，当点P到达点O时，点P，Q同时停止运动．过点P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．设运动时间为t秒，得出下面三个结论，①当t=1时，△OPQ为直角三角形；②当t=2时，以AQ，AE为边的平行四边形的第四个顶点在∠AOB的平分线上；③当t为任意值时，．所有正确结论的序号是________．14．平行四边形的面积等于，两对角线的交点为，过点的直线分别交平行四边形一组对边、于点、，则四边形的面积等于________．15．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（﹣2，5），B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1），在第一象限内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，那么点D的坐标是_____．16．平行四边形的对角线长分别是、，则它的边长的取值范围是__________．三、解答题17．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝，那么称点T是点A，B的三分点．例如：A（﹣1，5），B（7，7），当点T（x，y）满足x＝＝2，y＝＝4时，则点T（2，4）是点A，B的三分点．（1）已知点C（﹣1，8），D（1，2），E（4，﹣2），请说明其中一个点是另外两个点的三分点．（2）如图，点A为（3，0），点B（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点A，B的三分点．①试确定y与x的关系式．②若①中的函数图象交y轴于点M，直线l交y轴于点N，当以M，N，B，T为顶点的四边形是平行四边形时，求点B的坐标．③若直线AT与线段MN有交点，直接写出t的取值范围．18．问题探究：已知平行四边形的面积为，是所在直线上一点．如图：当点与重合时，________；如图，当点与与均不重合时，________；如图，当点在（或）的延长线时，________．拓展推广：如图，平行四边形的面积为，、分别为、延长线上两点，连接、、、，求出图中阴影部分的面积，并说明理由．实践应用：如图是一平行四边形绿地，、分别平行于、，它们相交于点，，，，，现进行绿地改造，在绿地内部作一个三角形区域（连接、、，图中阴影部分）种植不同的花草，求出三角形区域的面积．19．如图，□ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA=2∠BAE．（1）若∠D=105°，∠DAF=35°．求∠FAE的度数；（2）求证：AF=CD+CF．20．如图在小正方形的边长均为1的方格纸中，有线段AB，点A，B均在小正方形的顶点上．（1）在图1中画出平行四边形ABCD，且四边形ABCD的面积为6，点C，D均在小正方形的顶点上；（2）在图2中画一个△ABE，点E在小正方形的顶点上，且BE=BA,请直接写出EA的长．21．将平行四边形放在平面直角坐标系中，对角线交于坐标原点，，请根据要求画出图形，并求出平行四边形的面积和周长.22．如图，小刚和小华共同承包一块平行四边形田地ABCD，在这块地里有一口井P，现要拉一条直线将这块田地进行平均划分，且让小刚和小华都能公平使用这口井，请你只能使用不带刻度的直尺在图中画出这条直线.（保留作图痕迹，不写作法）专题12平行四边形性质的其他应用知识导航知识导航必备知识点1.平行四边形相邻的两边之和等于它的周长的一半。2.当平行线和角平分线同时出现时，构造等腰三角形。3.平行四边形的两条对角线把平行四边形分割成四个面积相等的三角形。4.若一条直线过平行四边形两条对角线交点，则该直线平分平行四边形的周长和面积。平行四边形被它的两条对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形的周长之差等于平行四边形的两邻边之差。两等底平行四边形面积的比等于它们高的比;两等高平行四边形面积的比等于它们底的比。题型精炼题型精炼一、单选题1．如图，在平面直角坐标系中，OABC的顶点A在x轴上，定点B的坐标为（8，4），若直线经过点D（2，0），且将平行四边形OABC分割成面积相等的两部分，则直线DE的表达式是（

）A．y=x-2 B．y=2x-4 C．y=x-1 D．y=3x-6【答案】A【解析】【分析】过平行四边形的对称中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分，先求出平行四边形对称中心的坐标，再利用待定系数法求一次函数解析式解答即可．【详解】解：∵点B的坐标为（8，4），∴平行四边形的对称中心坐标为（4，2），设直线DE的函数解析式为y=kx+b，则，解得，∴直线DE的解析式为y=x-2．故选：A．【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，平行四边形的性质，熟练掌握过平行四边形的中心的直线把平行四边形分成面积相等的两部分是解题的关键．2．如图，在平行四边形中，A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分别是ABCD的五等分点，点B1，B2和D1，D2分别是BC和DA的三等分点，已知四边形A4B2C4D2的面积为2，则平行四边形ABCD的面积为（

）A．4 B． C． D．30【答案】C【解析】【详解】设平行四边形ABCD的面积是S，设AB=5a，BC=3b．AB边上的高是3x，BC边上的高是5y．则S=5a•3x=3b•5y．即ax=by=，△AA4D2与△B2CC4全等，B2C=BC=b，B2C边上的高是，则△AA4D2与△B2CC4的面积是2by=，同理△D2C4D与△A4BB2的面积是，则四边形A4B2C4D2的面积是S－＝，即＝2，∴S＝；故选C．3．如图，在中，的平分线交于点交的延长线于点于点，若，则的周长为（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】先根据平行四边形的性质说明△ABE是等腰三角形、求得BE、EC，再结合BG⊥AE，运用勾股定理求得AG，进一步求得AE和△ABE的周长，然后再说明△ABE∽△FCE且相似比为，最后根据相似三角形的周长之比等于相似比列方程求解即可．【详解】解：∵∴AD∥BC，AB//DF∴∠DAE=∠BEA∵∠DAE=∠BAE∴∠BAE=∠BEA∴BE=AB=10,即EC=BC-BE=5∵BG⊥AE∴AG=EG=AE∵在Rt△ABG中，AB=10,BG=8∴∴AE=2AG=12∴△ABE的周长为AB+BE+AE=10+10+12=32∵AB∥DF∴△ABE∽△FCE且相似比为∴,解得=16．故答案为A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识点，掌握相似三角形的周长之比等于相似比是解答本题的关键．4．如图，已知△ABC的面积为12，点D在线段AC上，点F在线段BC的延长线上，且BF=4CF，四边形DCFE是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【解析】【分析】想办法证明S阴＝S△ADE＋S△DEC＝S△AEC，再由EF∥AC，可得S△AEC＝S△ACF解决问题.【详解】连接AF、EC．∵BC＝4CF，S△ABC＝12，∴S△ACF＝×12＝4，∵四边形CDEF是平行四边形，∴DE∥CF，EF∥AC，∴S△DEB＝S△DEC，∴S阴＝S△ADE＋S△DEC＝S△AEC，∵EF∥AC，∴S△AEC＝S△ACF＝4，∴S阴＝4．故选C．【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积、等高模型等知识，解题的关键是熟练掌握等高模型解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．5．如图，在平行四边形中，将沿着所在的直线翻折得到，交于点，连接，若，，，则的长是（

）A．1 B． C． D．【答案】B【解析】【分析】利用平行四边形的性质、翻折不变性可得△AEC为等腰直角三角形，根据已知条件可得CE得长，进而得出ED的长，再根据勾股定理可得出；【详解】解：∵四边形是平行四边形∴AB=CD∠B=∠ADC=60°，∠ACB＝∠CAD由翻折可知：BA＝AB′＝DC，∠ACB＝∠ACB′=45°，∴△AEC为等腰直角三角形∴AE=CE∴Rt△AEB′≌Rt△CDE∴EB′=DE∵在等腰Rt△AEC中，∴∵在Rt△DEC中，，∠ADC=60°∴∠DCE=30°∴DE=1在等腰Rt△DEB′中，EB′=DE=1∴=故选：B【点睛】本题考查翻折变换、等腰三角形的性质、勾股定理、平行四边形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．6．如图，▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC+BD=16，CD=6，则△ABO的周长是（

）A．10 B．14 C．20 D．22【答案】B【解析】【分析】直接利用平行四边形的性质得出AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，再利用已知求出AO+BO的长，进而得出答案．【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴AO=CO，BO=DO，DC=AB=6，∵AC+BD=16，∴AO+BO=8，∴△ABO的周长是：14．故选B．【点睛】平行四边形的性质掌握要熟练，找到等值代换即可求解．7．如图，在▱ABCD中，对角线AC的垂直平分线分别交AD、BC于点E、F，连接CE，若△CED的周长为6，则▱ABCD的周长为（）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】B【解析】【详解】∵四边形ABCD是平行四边形，∴DC=AB，AD=BC，∵AC的垂直平分线交AD于点E，∴AE=CE，∴△CDE的周长=DE+CE+DC=DE+AE+DC=AD+DC=6，∴▱ABCD的周长=2×6=12，故选B．8．如图，在▱ABCD中，AE⊥BC于E，AF⊥CD于F，若AE＝2，AF＝3，▱ABCD的周长为20，则▱ABCD的面积为（）A．24 B．16 C．8 D．12【答案】D【解析】【分析】设BC=x，根据平行四边形的周长表示出CD，然后根据平行四边形的面积列式求出x，再根据平行四边形的面积公式列式进行计算即可得解．【详解】解：设BC＝x，∵▱ABCD的周长为20，∴CD＝10﹣x，∵▱ABCD的面积＝BC•AE＝CD•AF，∴2x＝3（10﹣x），解得x＝6，∴▱ABCD的面积＝BC•AE＝2×6＝12．故选D．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，主要利用了平行四边形的周长与面积的求解，根据面积的表示出列式求出平行四边形的一条边的长度是解题的关键．9．如图，在平行四边形ABCD中，AD＝2AB，F是AD的中点，作CE⊥AB，垂足E在线段AB上，连接EF、CF，则下列结论①∠DCF＝∠BCD；②S△BEC＝2S△CEF；③∠DFE＝3∠AEF；④当∠AEF＝54°时，则∠B＝68°，中一定成立的是（）A．①③ B．②③④ C．①④ D．①③④【答案】A【解析】【分析】分别利用平行四边形的性质以及全等三角形的判定与性质逐一进行判断即可得.【详解】①∵F是AD的中点，∴AF＝FD，∵在▱ABCD中，AD＝2AB，∴AF＝FD＝CD，∴∠DFC＝∠DCF，∵AD∥BC，∴∠DFC＝∠FCB，∴∠DCF＝∠BCF，∴∠DCF＝∠BCD，故①正确；②∵EF＝FM，∴S△EFC＝S△CFM，∵MC＞BE，∴S△BEC＜2S△EFC，故②错误；③设∠FEC＝x，则∠FCE＝x，∴∠DCF＝∠DFC＝90°﹣x，∴∠EFC＝180°﹣2x，∴∠EFD＝90°﹣x+180°﹣2x＝270°﹣3x，∵∠AEF＝90°﹣x，∴∠DFE＝3∠AEF，故③正确；④延长EF，交CD延长线于M，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠A＝∠MDF，∵F为AD中点，∴AF＝FD，在△AEF和△DFM中，，∴△AEF≌△DMF（ASA），∴FE＝MF，∠AEF＝∠M，∵CE⊥AB，∴∠AEC＝90°，∴∠AEC＝∠ECD＝90°，∵∠AEF＝54°，∴∠CEF＝36°＝∠ECF，∴∠DCF＝54°．∴∠BCD＝2∠DCF＝108°，∴∠B＝72°，故④错误，故选A．【点睛】本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题关键．10．如图，P是面积为S的内任意一点，的面积为，的面积为，则（

）A． B．C． D．的大小与P点位置有关【答案】C【解析】【分析】过点P作AD的垂线PF，交AD于F，再延长FP交BC于点E，表示出S1+S2，得到即可．【详解】解：如图，过点P作AD的垂线PF，交AD于F，再延长FP交BC于点E，根据平行四边形的性质可知PE⊥BC，AD=BC，∴S1=AD×PF，S2=BC×PE，∴S1+S2=AD×PF+BC×PE=AD×（PE+PE）=AD×EF=S，故选C．【点睛】本题考查了三角形的面积和平行四边形的性质，解题的关键是作出平行四边形过点P的高．11．菱形具有而平行四边形不一定具有的性质是（

）A．对角线互相垂直 B．对角线相等C．对角线互相平分 D．对角相等【答案】A【解析】【分析】根据菱形的性质和平行四边形的性质逐一判断即可．【详解】解：A.菱形的对角线互相垂直，而平行四边形的对角线不一定垂直，故本选项符合题意；B.菱形和平行四边形的对角线都不一定相等，故本选项不符合题意；C.菱形和平行四边形的对角线都互相平分，故本选项不符合题意；D.菱形和平行四边形的对角都相等，故本选项不符合题意．故选A．【点睛】此题考查的是菱形的性质和平行四边形的性质，掌握菱形的性质和平行四边形的性质是解决此题的关键．二、填空题12．如图，平行四边形ABCD中，AB=cm，BC=2cm，∠ABC=45°，点P从点B出发，以1cm/s的速度沿折线BC→CD→DA运动，到达点A为止，设运动时间为t(s)，△ABP的面积为S(cm2)，则S与t的函数表达式为_______________.【答案】S=【解析】【分析】分三种情况进行讨论：点P在BC上，点P在CD上，点P在AD上，分别依据三角形的面积计算公式，即可得到S与t的函数关系式．【详解】解：（1）当点P在BC上运动时，即0≤t≤2时，过点A作AH⊥BC于H，∵AB=,∠B=45°，∴AH=BH=1，S=BP·AH=t·1=t；（2）当点P在CD上运动时，即2<t≤2+时，S=S四边形ABCD=1；（3）当点P在DA上运动时，即2+<t≤4+时，S=AP·AH=(4+－t)；故答案为：S=.【点睛】本题考查了三角形的面积以及动点函数的图象问题，解决本题的关键是进行分类讨论．13．如图，在平面直角坐标系xOy中，B（3，0），△AOB是等边三角形，动点P从点B出发以每秒1个单位长度的速度沿BO匀速运动，动点Q同时从点A出发以同样的速度沿OA延长线方向匀速运动，当点P到达点O时，点P，Q同时停止运动．过点P作PE⊥AB于E，连接PQ交AB于D．设运动时间为t秒，得出下面三个结论，①当t=1时，△OPQ为直角三角形；②当t=2时，以AQ，AE为边的平行四边形的第四个顶点在∠AOB的平分线上；③当t为任意值时，．所有正确结论的序号是________．【答案】①③【解析】【分析】由题意根据等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定和性质进行综合分析判断即可.【详解】解：①如图1中，取OQ的中点H，连接PH．∵t=1，∴AQ=PB=1，∵B（3，0），∴OB=3，∵△AOB是等边三角形，∴OA=OB=AB=3，∴OQ=4，∵，∴OH=OP=2，∵∠HOP=60°，∴△HOP是等边三角形，∴PH=OH=HQ，∴，∴△OPQ是直角三角形．故①正确，②当t=2时，如图2中，由题意PB=AQ=2，∵PE⊥AB，∴∠PEB=90°，∵∠PBE=60°，∴，∴AE=AB-BE=3-1=2，∴AE=AQ=2，∵四边形AEMQ是平行四边形，AQ=AE，∴四边形AEMQ是菱形，∵∠QAE=120°，∴∠MAE=∠MAQ=60°，∴△MAE是等边三角形，∴MA=ME＜BM，∴点M不在AB的垂直平分线上，∴点M不在∠AOB的角平分线上，故②错误，③如图3中，作PM∥OA交AB于M．∵PM∥OA，∴∠BMP=∠BAO=60°，∠BPM=∠AOB=60°，∴△PMB是等边三角形，∴PB=PM=AQ，∵PE⊥BM，∴EM=BM，∵∠AQD=∠MPD，∠ADQ=∠MQP，AQ=PM，∴△ADQ≌△MDP（AAS），∴AD=DM，∴，故③正确.故答案为：①③．【点睛】本题考查等边三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定，平行四边形的性质，菱形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题.14．平行四边形的面积等于，两对角线的交点为，过点的直线分别交平行四边形一组对边、于点、，则四边形的面积等于________．【答案】【解析】【分析】根据“过平行四边形对角线的交点的直线将平行四边形等分为两部分”解答即可．【详解】如图平行四边形ABCD，∵四边形ABCD是平行四边形，∴OD=OB，OA=OC，则可得：△DF0≌△BEO，△ADO≌△CBO，△CF0≌△AEO，∴直线l将四边形ABCD的面积平分．∵平行四边形ABCD的面积等于10cm2，∴四边形AEFD的面积等于5cm2，故答案为5cm2【点睛】本题考查了中心对称，全等三角形的判定与性质，解答本题的关键在于举例说明，利用全等的知识解决．15．如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别是A（﹣2，5），B（﹣3，﹣1），C（1，﹣1），在第一象限内找一点D，使四边形ABCD是平行四边形，那么点D的坐标是_____．【答案】（2，5）．【解析】【分析】连接AB，BC，运用平行四边形性质，可知AD∥BC，所以点D的纵坐标是5，再跟BC间的距离即可推导出点D的纵坐标．【详解】解：由平行四边形的性质，可知D点的纵坐标一定是5；又由C点相对于B点横坐标移动了1﹣（﹣3）＝4，故可得点D横坐标为﹣2+4＝2，即顶点D的坐标（2，5）．故答案为（2，5）．【点睛】本题主要是对平行四边形的性质与点的坐标的表示等知识的直接考查，同时考查了数形结合思想，题目的条件既有数又有形，解决问题的方法也要既依托数也依托形，体现了数形的紧密结合，但本题对学生能力的要求不高.16．平行四边形的对角线长分别是、，则它的边长的取值范围是__________．【答案】【解析】【分析】根据平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．得两条对角线的一半分别是5，8；再根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．进行求解．【详解】根据平行四边形的性质，得对角线的一半分别是5和8.再根据三角形的三边关系，得.故答案为.【点睛】本题考查了三角形的三边关系，掌握任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边是解题的关键.三、解答题17．定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x＝，y＝，那么称点T是点A，B的三分点．例如：A（﹣1，5），B（7，7），当点T（x，y）满足x＝＝2，y＝＝4时，则点T（2，4）是点A，B的三分点．（1）已知点C（﹣1，8），D（1，2），E（4，﹣2），请说明其中一个点是另外两个点的三分点．（2）如图，点A为（3，0），点B（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点A，B的三分点．①试确定y与x的关系式．②若①中的函数图象交y轴于点M，直线l交y轴于点N，当以M，N，B，T为顶点的四边形是平行四边形时，求点B的坐标．③若直线AT与线段MN有交点，直接写出t的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）①y＝2x﹣1；②点B的坐标（，6）或（﹣，）；③﹣3≤t≤1【解析】【分析】（1）由“三分点”的定义可求解；（2）①由“三分点”定义可得：，消去t即可求解；②先求出点M，点N的坐标，分两种情况：MN为一边或MN为对角线，利用平行四边形的性质可求解；（3）利用特殊位置，分别求出AT过点M和过点N时，t的值，即可求解．【详解】（1）∵，，∴点D（1，2）是点C，点E的三分点；（2）①∵点A为（3，0），点B（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点A，B的三分点，∴，∴y＝2x﹣1；②∵y＝2x﹣1图象交y轴于点M，直线l交y轴于点N，∴点M（0，﹣1），点N（0，3），当四边形MTBN是平行四边形时，∴BT∥MN，∵B（t，2t+3），T（，），∴t＝，∴t＝，∴点B的坐标（，6）；当四边形MTNB是平行四边形时，设BT与MN交于点P，则点P为BT与MN的中点，∴点P（0，1），∵B（t，2t+3），T（，），∴t+＝0，∴t＝﹣，∴点B（﹣，），综上所述：点B的坐标为（，6）或（﹣，）；（3）当直线AT过点M时，∵点A（3，0），点M（0，﹣1），∴直线AM解析式为y＝x﹣1，∵点T是直线AM上，∴＝×﹣1∴t＝﹣3，当直线AT过点N时，∵点A（3，0），点M（0，3），∴直线AN解析式为y＝﹣x+3，∵点T是直线AN上，∴＝﹣+3，∴t＝1，∵直线AT与线段MN有交点，∴﹣3≤t≤1．【点睛】本题新定义考题，题目中给出一个新的概念，严格利用新的概念进行求解；但是，新定义问题实质上是课程内知识点的综合应用，比如本题考查了消元法，平行四边形的性质和一次函数，本类题目一定要注意分类讨论，利用合适条件确定边界条件是解题的关键．18．问题探究：已知平行四边形的面积为，是所在直线上一点．如图：当点与重合时，________；如图，当点与与均不重合时，________；如图，当点在（或）的延长线时，________．拓展推广：如图，平行四边形的面积为，、分别为、延长线上两点，连接、、、，求出图中阴影部分的面积，并说明理由．实践应用：如图是一平行四边形绿地，、分别平行于、，它们相交于点，，，，，现进行绿地改造，在绿地内部作一个三角形区域（连接、、，图中阴影部分）种植不同的花草，求出三角形区域的面积．【答案】（1）；（2）；（3）；拓展推广：阴影部分的面积；实践应用：三角形区域的面积．【解析】【分析】(1)平行四边形的面积等于底乘以高，设平行四边形ABCD的高为h，△DCM边CD的高也为h，由题S平行四边形ABCD=CD×h，S△DCM=CD×h=S平行四边形ABCD=50；(2)由（1）同理可得S△DCM

=50；(3)由（1）同理可得S△DCM=50；拓展推广：由（1）的结论可得S△ADF=a，S△ABE=a，由此即可得阴影部分的面积；应用，由推广的结论，有，，，由此即可求出三角形区域的面积.【详解】设平行四边形ABCD的边CD上的高为h，则△DCM边CD的高也为h，∵S平行四边形ABCD=CD×h，则平行四边形的面积，；与同理可得；与同理可得；拓展推广：根据的结论，，，∴阴影部分的面积；实践应用：根据前面信息，，，，∴三角形区域的面积．【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等底同高的三角形的面积等知识，弄懂题意，结合图形、熟练运用相关知识是解题的关键.19．如图，□ABCD中，E是BC边的中点，连接AE，F为CD边上一点，且满足∠DFA=2∠BAE．（1）若∠D=105°，∠DAF=35°．求∠FAE的度数；（2）求证：AF=CD+CF．【答案】（