专题04分式(精讲精练)(原卷版+解析)

第04讲分式（精讲）了解分式和最简分式的概念能利用分式的基本性质进行约分和通分能进行简单的分式四则运算★简单；★★易错；★★★中等；★★★★难；★★★★★压轴TOC\o"1-1"\h\u考点1：分式的有关概念 3考点2：分式的基本性质 8考点3：分式的运算 13考点4：分式的化简求值 20课堂总结：思维导图 24分层训练：课堂知识巩固 25考点1：分式的有关概念（1）分式：形如(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子.（2）无意义的条件：当B＝0时，分式无意义；（3）有意义的条件：当B≠0时，分式有意义；（4）值为零的条件：当A＝0，B≠0时，分式＝0.｛分式的概念★｝代数式，，，中，分式的个数为A．1个 B．2个 C．3个 D．4个｛分式有意义的情况★｝若分式有意义，则的取值范围是A． B． C．且 D．｛分式有意义的情况★｝根据下列表格信息，可能为012无意义A． B． C． D．｛分式有意义的情况★｝当时，代数式有意义．｛分式求值★｝若分式值为整数，则满足条件的整数的值为．｛分式求值★｝已知分式的值为负数，则的取值范围为．｛分式求值★｝已知为整数，且分式的值为正整数，则可取的值有．｛分式的概念★｝在代数式、、、、、中，分式有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个｛分式有意义的情况★｝使分式有意义的字母的取值范围是A． B． C． D．且｛分式有意义的情况★｝使分式的值为零的的值是．．｛分式求值★｝若，则的值是．｛分式求值★｝若代数式的值为整数，则所有满足条件的整数的和是．｛分式求值★｝当整数时，也是整数．（2021•贵港）若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是A． B． C． D．（2021•桂林）若分式的值等于0，则的值是A．2 B． C．3 D．（2021•百色）当时，分式的值是A． B． C．3 D．15（2021•福建）已知非零实数，满足，则的值等于．考点2：分式的基本性质（1）基本性质：(C≠0)．（2）由基本性质可推理出变号法则为：；.｛分式的基本性质★｝如果把分式中的和的值都变为原来的2倍，那么分式的值A．不变B．缩小为原来的C．变为原来的2倍 D．变为原来的4倍｛分式的基本性质★｝若将分式中的，都扩大10倍，则分式的值A．扩大为原来的10倍 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．不改变｛分式的基本性质★｝下列各式从左到右的变形中，不正确的是A． B． C． D．｛分式的基本性质★｝如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值A．不变 B．缩小3倍 C．扩大3倍 D．扩大6倍｛分式的基本性质★｝如果把分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍｛分式的基本性质★｝下列等式成立的是A．B． C． D．｛分式的基本性质★｝如果把分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（）A．缩小到原来的 B．不变 C．扩大到原来的2倍 D．扩大到原来的4倍｛分式的基本性质★｝下列计算错误的是A． B． C． D．（2021•奉化区）若把，的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是A． B． C． D．（2020•河北）若，则下列分式化简正确的是A． B． C． D．（2021•奉化区）不改变分式的值，将分式的分子、分母的各项系数都化为整数，且分子与分母首项都不含“”号：．考点3：分式的运算（1）最简分式：分子和分母没有公因式的分式.（2）约分(可化简分式)：把分式的分子和分母中的公因式约去，即；（3）通分(可化为同分母)：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，即（4）最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．（5）分式的加减(1)同分母：分母不变，分子相加减.即eq\f(a,c)±eq\f(b,c)＝eq\f(a±b,c)；(2)异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减.即eq\f(a,b)±eq\f(c,d)＝eq\f(ad±bc,bd).（6）分式的乘除(1)乘法：eq\f(a,b)·eq\f(c,d)＝eq\f(ac,bd)；(2)除法：＝；(3)乘方：＝(n为正整数).｛约分★｝下列约分正确的是A． B． C． D．｛最简分式★｝下列分式是最简分式的是A． B． C． D．｛新定义-最简分式★｝如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，属于“和谐分式”的是A． B． C． D．｛最简分式★｝（2021秋•娄星区校级期中）下列说法正确的是A．形如的式子叫分式 B．分式不是最简分式 C．分式与的最简公分母是 D．当时，分式的值不存在｛最简公分母★｝分式，与的最简公分母是A． B． C． D．｛通分★｝把与通分得，．｛分式乘除★｝化简的结果是A． B． C． D．｛最简分式★｝下列分式属于最简分式的是A． B． C． D．｛约分★｝下列说法正确的是A．若分式的值为0，则 B．是分式 C．与的最简公分母是 D．｛通分★｝与通分后的结果是；．｛分式乘除★｝计算：；．｛分式乘除★｝化简的结果是A． B． C． D．（滨州·中考真题）下列分式中，最简分式是A．B．C． D．（2020•随州）的计算结果为A． B． C． D．（2021•大庆）已知，则分式与的大小关系是A． B． C． D．不能确定（2021•济宁）计算的结果是A． B． C． D．考点4：分式的化简求值（1）仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解后约分.（2）含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的．失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式化简到最简分式或整式的形式，再代入求值.代入数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到整体代入.｛分式的化简求值★｝先化简，再从中选一个合适的整数作为的值代入求值．｛分式的化简求值★｝先化简，再求值：，其中．｛分式的化简求值★｝先化简，再求值：，再从不等式组的整数解中选取一个适当的数代入求值．｛分式的化简求值★｝先化简，然后在的解集中选择一个合适的整数代入求值．｛分式的化简求值★｝先化简，再求值：，其中．｛分式的化简求值★｝①化简：．②先化简：，请在，0，1，2，3当中选一个合适的数代入求值．（2021•聊城）先化简，再求值：，其中．（2021•宜昌）先化简，再求值：，从1，2，3这三个数中选择一个你认为适合的代入求值．（2020•福建）先化简，再求值：，其中．课堂总结：思维导图分层训练：课堂知识巩固1．代数式，，，，，中，属于分式的有A．2个 B．3个 C．4个 D．5个2．若分式有意义，则的取值范围是A． B． C． D．且3．如果，那么代数式的值为A．1 B．2 C．3 D．44．下列运算正确的是A． B． C． D．5．计算的结果正确的是A． B． C． D．6．根据分式的基本性质，分式可变形为A． B． C． D．7．计算的结果为A．1 B．3 C． D．8．如果，那么代数式的值是A．2 B． C． D．9．若，则的值为A． B．3 C．5 D．710．当分式时，的值为．11．已知，则的值是．12．若，则．13．已知，，则．14．代数式有意义，则的取值范围是．15．若，且，则的值是．16．化简的结果是．17．若，则．18．分式的值为0，则．19．先化简，再求值：，其中．20．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：（1）接力中，自己负责的一步出现错误的是．只有乙．甲和丁．乙和丙．乙和丁（2）请你书写正确的化简过程，并在“1，0，2，”中选择一个合适的数求值．21．先化简，再求值：，从，0，2中取一个合适的数作为的值代入求值．22．先化简，再求值：，其中．1．可以表示为A． B． C． D．2．若代数式的化简结果为，则整式为A． B． C． D．3．下列运算中，正确的是A． B． C． D．4．照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片（像到镜头的距离．已知，，则A． B． C． D．5．已知这是一道分式化简题，其中一部分被墨水污染了，若只知道该题化简的结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是A． B． C． D．6．已知，则的值为A． B． C． D．37．若，且，则的值为．8．先化简，再求值：，其中．9．计算：．10．先化简，再求值：，其中．11．化简并求值：，在中取合适的值代入．1．试卷上一个正确的式子★被小颖同学不小心滴上墨汁．被墨汁遮住部分的代数式为A． B． C． D．2．如图是一道分式化简正确的解题过程，则下列说法正确的是A． B． C．△△△表示“”号 D．3．计算的结果是A． B． C． D．4．如果，那么代数式的值是A． B． C． D．5．只把分式中的，同时扩大为原来的3倍后，分式的值也不会变，则此时的值可以是下列中的A．2 B． C． D．6．已知，则的值为A． B． C． D．37．如图，一个瓶身为圆柱体的玻璃瓶内装有高厘米的墨水，将瓶盖盖好后倒置，墨水水面高为厘米，则瓶内的墨水的体积约占玻璃瓶容积的A． B． C． D．8．已知，则分式的值是A．3 B． C．7 D．9．已知：实数、满足，，则的值为．10．阅读理解：符号称为二阶行列式，规定它的运算法则为：，例如．问：若，则．第04讲分式（精讲）了解分式和最简分式的概念能利用分式的基本性质进行约分和通分能进行简单的分式四则运算★简单；★★易错；★★★中等；★★★★难；★★★★★压轴TOC\o"1-1"\h\u考点1：分式的有关概念 3考点2：分式的基本性质 8考点3：分式的运算 13考点4：分式的化简求值 20课堂总结：思维导图 24分层训练：课堂知识巩固 25考点1：分式的有关概念（1）分式：形如(A，B是整式，且B中含有字母，B≠0)的式子.（2）无意义的条件：当B＝0时，分式无意义；（3）有意义的条件：当B≠0时，分式有意义；（4）值为零的条件：当A＝0，B≠0时，分式＝0.｛分式的概念★｝代数式，，，中，分式的个数为A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】根据分式的定义进行解答即可．【解答】解：代数式，，，中，分式有，，，共有3个．故选：．【点评】本题考查了分式的定义．解题的关键是掌握分式的定义：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式．｛分式有意义的情况★｝若分式有意义，则的取值范围是A． B． C．且 D．【分析】根据分式有意义的条件即可得出答案．【解答】解：，，故选：．【点评】本题考查了分式有意义的条件，解题的关键是掌握分式有意义的条件是分母不等于0．｛分式有意义的情况★｝根据下列表格信息，可能为012无意义A． B． C． D．【分析】根据分式有意义的条件、分式的值为0的条件解答．【解答】解：当时，分式无意义，排除，两个选项，时，，代入，时，只有分式，故选：．【点评】本题考查的是分式有意义的条件、分式的值为0的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．｛分式有意义的情况★｝当且时，代数式有意义．【分析】根据分式有意义的条件和负整数指数幂即可得出答案．【解答】解：，，，，，，故答案为：且．【点评】本题考查了分式有意义的条件和负整数指数幂，掌握是解题的关键．｛分式求值★｝若分式值为整数，则满足条件的整数的值为0或2．【分析】本题考查分式的值，得出分母求解即可．【解答】解：因为分式有意义，所以，即，当分式值为整数时，有，解得或，故答案为：0或2．【点评】本题考查分式的意义，分式的值，理解分式的值的意义是解决问题的关键．｛分式求值★｝已知分式的值为负数，则的取值范围为．【分析】易得分母恒为正数，因为整个分式的值为负数，那么分子应为负数．【解答】解：分式的值为负数，且恒为正数，，．故答案为：．【点评】考查了分式的值．解答此类题应掌握的知识点为：非负数加1的结果恒为正数；分式为负，分式的分子和分母符号相反．｛分式求值★｝已知为整数，且分式的值为正整数，则可取的值有2，6，．【分析】根据为整数，分式的值为正整数，讨论可取的值即可，注意分母不能为0．【解答】解：，为整数，且分式的值为正整数，或，或5或，或6或，满足条件的可取的有2，6，．故答案为：2，6，．【点评】本题主要考查分式的性质，注意分母含有字母时分母不能为0的情况，还考查了分类讨论思想，注意不要漏解．｛分式的概念★｝在代数式、、、、、中，分式有A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．【解答】解：、、、的分母中均不含有字母，因此它们是整式，而不是分式．、中分母中含有字母，因此是分式．故选：．【点评】本题主要考查分式的定义，注意不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．｛分式有意义的情况★｝使分式有意义的字母的取值范围是A． B． C． D．且【分析】根据分式有意义的条件即可作出判断．【解答】解：根据题意得，则．故选：．【点评】本题考查了分式有意义的条件：掌握分式的分母不等于0是解决此题关键．｛分式有意义的情况★｝使分式的值为零的的值是．．【分析】根据分式值为零的条件可得，且，解可得答案．【解答】解：根据题意知：，且，解得．故答案是：．【点评】此题主要考查了分式值为零的条件：是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．｛分式求值★｝若，则的值是．【分析】先根据题意求出与的值，然后代入原式即可求出答案．【解答】解：由题意可知：，，原式，故答案为：．【点评】本题考查分式的值，解题的关键是求出与的值，本题属于基础题型．｛分式求值★｝若代数式的值为整数，则所有满足条件的整数的和是2．【分析】先将分式变形，再根据代数式的值为整数，为整数，可得，进而可得结论．【解答】解：，代数式的值为整数，为整数，，解得或，则所有满足条件的整数的和是2．故答案为：2．【点评】本题考查了分式的值，解决本题的关键是掌握分式有意义的条件．｛分式求值★｝当整数0或2时，也是整数．【分析】根据是整数可知或，进一步求出整数即可．【解答】解：是整数，或，解得，或或或，又为整数，或，故答案为：0或2．【点评】本题考查分式的值，理解分式的值为整数的意义是解决问题的关键．（2021•贵港）若分式在实数范围内有意义，则的取值范围是A． B． C． D．【分析】根据分式成立的条件列不等式求解．【解答】解：根据分式成立的条件，可得：，，故选：．【点评】本题考查分式有意义的条件，理解分式成立的条件是分母不能为零是解题关键．（2021•桂林）若分式的值等于0，则的值是A．2 B． C．3 D．【分析】分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．【解答】解：分式的值等于0，，解得，故选：．【点评】本题主要考查了分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．注意：“分母不为零”这个条件不能少．（2021•百色）当时，分式的值是A． B． C．3 D．15【分析】根据平方差公式以及完全平方公式即可求出答案．【解答】解：原式，当时，原式．故选：．【点评】本题考查分式的值，解题的关键是熟练运用平方差公式、完全平方公式以及分式的基本性质，本题属于基础题型．（2021•福建）已知非零实数，满足，则的值等于4．【分析】由得：，整体代入到代数式中求值即可．【解答】解：由得：，，原式．故答案为：4．【点评】本题考查了求分式的值，对条件进行化简，得到，把看作整体，代入到代数式求值是解题的关键．考点2：分式的基本性质（1）基本性质：(C≠0)．（2）由基本性质可推理出变号法则为：；.｛分式的基本性质★｝如果把分式中的和的值都变为原来的2倍，那么分式的值A．不变B．缩小为原来的C．变为原来的2倍 D．变为原来的4倍【分析】根据分式的基本性质解决此题．【解答】解：，把分式中的和的值都变为原来的2倍，则分式的值变为原来的2倍．故选：．【点评】本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键．｛分式的基本性质★｝若将分式中的，都扩大10倍，则分式的值A．扩大为原来的10倍 B．缩小为原来的 C．缩小为原来的 D．不改变【分析】根据分式的基本性质解决此题．【解答】解：分式中的，都扩大10倍后得，分式的值不变．故选：．【点评】本题主要考查分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解决本题的关键．｛分式的基本性质★｝下列各式从左到右的变形中，不正确的是A． B． C． D．【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．【解答】解：、根据分式的基本性质可知：分式本身和分母都乘以，从左到右的变形正确，故此选项不符合题意；、根据分式的基本性质可知：分子和分母都乘以，从左到右的变形正确，故此选项不符合题意；、根据分式的基本性质可知：分式本身和分母都乘以，结果多一个负号，即从左到右的变形错误，故此选项符合题意；、根据分式的基本性质可知：分式本身和分母都乘以，从左到右的变形正确，故此选项不符合题意；故选：．【点评】此题主要考查了分式的基本性质，解题的关键是熟练掌握分式的基本性质．｛分式的基本性质★｝如果把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值A．不变 B．缩小3倍 C．扩大3倍 D．扩大6倍【分析】先根据题意得出算式，再根据分式的基本性质进行化简即可．【解答】解：根据题意，得，当，其中一个不为0时分式的值扩大3倍．故选：．【点评】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键．｛分式的基本性质★｝如果把分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值A．不变 B．缩小为原来的 C．扩大为原来的2倍 D．扩大为原来的4倍【分析】先根据题意列出算式，再根据分式的基本性质进行化简即可．【解答】解：，所以如果把分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值不变，故选：．【点评】本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的基本性质进行化简是解此题的关键．｛分式的基本性质★｝下列等式成立的是A．B． C． D．【分析】分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．依据分式的基本性质进行判断即可．【解答】解：，故原等式不成立，不合题意；，故原等式不成立，不合题意；，原等式成立，符合题意；，故原等式不成立，不合题意；故选：．【点评】本题主要考查了分式的基本性质，即分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．｛分式的基本性质★｝如果把分式中的和都扩大为原来的2倍，那么分式的值（）A．缩小到原来的 B．不变 C．扩大到原来的2倍 D．扩大到原来的4倍【分析】将分式中的，全部换成，，进行计算即可．【解答】解：当，都扩大为原来的2倍时，，分式的值不变，故选：．【点评】本题考查了分式的基本性质，考核学生的计算能力，熟记分式的基本性质是解题的关键．｛分式的基本性质★｝下列计算错误的是A． B． C． D．【分析】各式计算得到结果，即可作出判断．【解答】解：、原式，不符合题意；、原式，符合题意；、原式，不符合题意；、原式，不符合题意．故选：．【点评】此题考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解本题的关键．（2021•奉化区）若把，的值同时扩大为原来的2倍，则下列分式的值保持不变的是A． B． C． D．【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．【解答】解：、，分式的值不能保持不变，故此选项不符合题意；、，分式的值保持不变，故此选项符合题意；、，分式的值不能保持不变，故此选项不符合题意；、，分式的值不能保持不变，故此选项不符合题意．故选：．【点评】本题考查了分式，解题的关键是正确理解分式的基本性质，本题属于基础题型．（2020•河北）若，则下列分式化简正确的是A． B． C． D．【分析】根据，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：，，故选项错误；，故选项错误；，故选项错误；，故选项正确；故选：．【点评】本题考查分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．（2021•奉化区）不改变分式的值，将分式的分子、分母的各项系数都化为整数，且分子与分母首项都不含“”号：．【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变，可得答案．【解答】解：分子分母都乘以，得，故答案为：．【点评】此题考查了分式的基本性质，关键是熟悉分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零整式，分式的值不变的知识点．考点3：分式的运算（1）最简分式：分子和分母没有公因式的分式.（2）约分(可化简分式)：把分式的分子和分母中的公因式约去，即；（3）通分(可化为同分母)：根据分式的基本性质，把异分母的分式化为同分母的分式，即（4）最简公分母的定义：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母．一般方法：①如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里．②如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．（5）分式的加减(1)同分母：分母不变，分子相加减.即eq\f(a,c)±eq\f(b,c)＝eq\f(a±b,c)；(2)异分母：先通分，变为同分母的分式，再加减.即eq\f(a,b)±eq\f(c,d)＝eq\f(ad±bc,bd).（6）分式的乘除(1)乘法：eq\f(a,b)·eq\f(c,d)＝eq\f(ac,bd)；(2)除法：＝；(3)乘方：＝(n为正整数).｛约分★｝下列约分正确的是A． B． C． D．【分析】约去公因式可对进行判断；利用最简分式的定义可对、进行判断；约去公因式可对进行判断．【解答】解：、原式，所以选项不符合题意；、为最简分式，所以选项不符合题意；、为最简分式，所以选项不符合题意；、原式，所以选项符合题意．故选：．【点评】本题考查了约分：首先将分子、分母转化为乘积的形式，再找出分子、分母的最大公因式并约去，注意不要忽视数字系数的约分．｛最简分式★｝下列分式是最简分式的是A． B． C． D．【分析】利用最简分式定义：分子分母没有公因式的分式，判断即可．【解答】解：、原分式的分子分母中不含有公因式，故此选项符合题意；、原式，故此选项不符合题意；、原式，故此选项不符合题意；、原式，故此选项不符合题意；故选：．【点评】此题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解本题的关键．｛新定义-最简分式★｝如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式是最简分式，那么我们称这个分式为“和谐分式”．下列分式中，属于“和谐分式”的是A． B． C． D．【分析】根据“和谐分式”的概念进行判断．【解答】解：、是最简分式，且分母可以利用平方差公式进行因式分解，故此分式是“和谐分式”，此选项符合题意；、是最简分式，但分子分母均不能因式分解，故此分式不是“和谐分式”，故此选项不符合题意；、，原分式不是最简分式，故原分式不是“和谐分式”，故此选项不符合题意；、，原分式不是最简分式，故原分式不是“和谐分式”，故此选项不符合题意；故选：．【点评】本题属于新定义题目，考查最简分式，分式的约分，掌握利用平方差公式进行因式分解是解题关键．｛最简分式★｝（2021秋•娄星区校级期中）下列说法正确的是A．形如的式子叫分式 B．分式不是最简分式 C．分式与的最简公分母是 D．当时，分式的值不存在【分析】根据分式的定义，最简分式的意义，最简公分母的意义和分式有意义的条件逐个判断即可．【解答】解：．当中不含有字母时，不是分式，故本选项不符合题意；．分式是最简分式，故本选项不符合题意；．分式与的最简公分母是，故本选项不符合题意；．当时，，即分式的值不存在，故本选项符合题意；故选：．【点评】本题考查了分式的定义，最简分式的定义，最简公分母的意义和分式有意义的条件等知识点，能熟记分式的定义、最简分式的定义、最简公分母的意义和分式有意义的条件是解此题的关键．｛最简公分母★｝分式，与的最简公分母是A． B． C． D．【分析】找出两分式的最简公分母即可．【解答】解：分式，与的最简公分母是．故选：．【点评】此题考查了最简公分母，熟练掌握找最简公分母的方法是解本题的关键．｛通分★｝把与通分得，．【分析】直接利用通分得关键方法：①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积，进而得出答案．【解答】解：把与通分得：；．故答案为：；．【点评】此题主要考查了通分，正确找出最简公分母是解题关键．｛分式乘除★｝化简的结果是A． B． C． D．【分析】把分式的分子、分母因式分解，再根据分式的除法法则计算即可．【解答】解：原式，故选：．【点评】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的除法法则是解题的关键．｛最简分式★｝下列分式属于最简分式的是A． B． C． D．【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．【解答】解：、，不是最简分式，故本选项不符合题意；、，不是最简分式，故本选项不符合题意；、，是最简分式，故本选项符合题意；、，不是最简分式，故本选项不符合题意；故选：．【点评】本题考查了分式的基本性质和最简分式，能熟记分式的化简过程是解此题的关键，首先要把分子分母分解因式，然后进行约分．｛约分★｝下列说法正确的是A．若分式的值为0，则 B．是分式 C．与的最简公分母是 D．【分析】根据分式的值为零的条件，分式的定义，最简公分母的确定方法以及分式的性质进行判断．【解答】解：、若分式的值为0，则且，所以，不符合题意；、的分母中含有字母，是分式，符合题意；、与的最简公分母是，不符合题意；、当时，该等式不成立，不符合题意．故选：．【点评】本题主要考查了最简公分母，分式的定义，分式的值为零的条件．注意：分式的分母不等于零．｛通分★｝与通分后的结果是；．【分析】首先找出两个分式的最简公分母是，由此根据分式的基本性质化为同分母分式即可．【解答】解：；．故答案为：；．【点评】此题主要考查分式的通分，关键是找出最简公分母．｛分式乘除★｝计算：；．【分析】根据分式的乘除法和整式的除法计算即可．【解答】解：；；故答案为：；．【点评】本题考查了分式的乘除法和整式的除法，掌握是解题的关键．｛分式乘除★｝化简的结果是A． B． C． D．【分析】根据分式的乘除运算法则即可求出答案．【解答】解：原式，故选：．【点评】本题考查分式的运算，解题的关键是熟练运用分式的乘除运算法则，本题属于基础题型．（滨州·中考真题）下列分式中，最简分式是A．B．C． D．【分析】利用最简分式的定义判断即可．【解答】解：、原式为最简分式，符合题意；、原式，不合题意；、原式，不合题意；、原式，不合题意，故选：．【点评】此题考查了最简分式，最简分式为分式的分子分母没有公因式，即不能约分的分式．（2020•随州）的计算结果为A． B． C． D．【分析】根据分式的乘除法的运算顺序进行计算即可求解．【解答】解：原式．故选：．【点评】本题考查了分式的乘除法，解决本题的关键是掌握分式的乘除法的运算过程．（2021•大庆）已知，则分式与的大小关系是A． B． C． D．不能确定【分析】利用作差法，与0比较大小，从而得到与的大小．【解答】解：，，，，，，，，故选：．【点评】本题考查了分式的加减，利用作差法比较大小是解题的关键．（2021•济宁）计算的结果是A． B． C． D．【分析】根据分式的混合运算法则进行计算，先算乘除，后算加减，如果有小括号先算小括号里面的．【解答】解：原式，故选：．【点评】本题考查分式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．考点4：分式的化简求值（1）仅含有乘除运算：首先观察分子、分母能否分解因式，若能，就要先分解后约分.（2）含有括号的运算：注意运算顺序和运算律的合理应用.一般先算乘方，再算乘除，最后算加减，若有括号，先算括号里面的．失分点警示：分式化简求值问题，要先将分式化简到最简分式或整式的形式，再代入求值.代入数值时注意要使原分式有意义.有时也需运用到整体代入.｛分式的化简求值★｝先化简，再从中选一个合适的整数作为的值代入求值．【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定的值，把的值代入计算即可．【解答】解：原式，中的整数有，，0，1，2，和和2，，原式．【点评】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．｛分式的化简求值★｝先化简，再求值：，其中．【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把已知数据代入计算即可．【解答】解：原式，当时，原式．【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．｛分式的化简求值★｝先化简，再求值：，再从不等式组的整数解中选取一个适当的数代入求值．【分析】根据分式的加减运算法则、乘除运算法则进行化简，然后将的值代入化简后的式子即可求出答案．【解答】解：原式，解得，整数解为，0，1，2，3，要使原式有意义，，2，当时，原式．【点评】本题考查分式的混合运算，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则、乘除运算法则，本题属于基础题型．｛分式的化简求值★｝先化简，然后在的解集中选择一个合适的整数代入求值．【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后求出的解集，再从不等式组的解集中选取一个使得原分式有意义的整数代入化简后的式子即可．【解答】解：，由得，，，，，，当时，原式．【点评】本题考查分式的化简求值、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确分式的除法和减法的运算法则．｛分式的化简求值★｝先化简，再求值：，其中．【分析】先对分子分母因式分解，再通分，将除法变为乘法，约分后代入求值即可．【解答】解：原式，将代入式中得，原式．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．｛分式的化简求值★｝①化简：．②先化简：，请在，0，1，2，3当中选一个合适的数代入求值．【分析】（1）根据分式的混合运算法则计算；（2）根据分式的混合运算法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定的值，代入计算即可．【解答】解：（1）原式；（2）原式，当，0时，分式无意义，当时，原式．【点评】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．（2021•聊城）先化简，再求值：，其中．【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．【解答】解：原式，当时，原式．【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．（2021•宜昌）先化简，再求值：，从1，2，3这三个数中选择一个你认为适合的代入求值．【分析】根据分式的除法和减法可以化简题目中的式子，然后从1，2，3这三个数中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子即可解答本题．【解答】解：，，，，或3，当时，原式．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．（2020•福建）先化简，再求值：，其中．【分析】先把括号内通分，再计算括号内的减法运算和把除法运算化为乘法运算，然后把分母因式分解后进行约分得到原式，再把的值代入计算即可．【解答】解：原式，当时，原式．【点评】本题考查了分式的化简求值：先把分式的分子或分母因式分解，再进行通分或约分，得到最简分式或整式，然后把满足条件的字母的值代入计算得到对应的分式的值．课堂总结：思维导图分层训练：课堂知识巩固1．代数式，，，，，中，属于分式的有A．2个 B．3个 C．4个 D．5个【分析】根据分式的定义：一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式叫做分式判断即可．【解答】解：分式有：，，，整式有：，，，分式有3个，故选：．【点评】本题考查了分式的定义，掌握一般地，如果，表示两个整式，并且中含有字母，那么式子叫做分式是解题的关键，注意是数字．2．若分式有意义，则的取值范围是A． B． C． D．且【分析】根据分式的分母不为0列出不等式，计算即可．【解答】解：由题意得：，解得：，故选：．【点评】本题考查的是分式有意义的条件，掌握分式的分母不为0是解题的关键．3．如果，那么代数式的值为A．1 B．2 C．3 D．4【分析】先将所求式子化简，再由已知得，整体代入即可．【解答】解：，，，原式．故选：．【点评】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式基本性质将所求式子化简及整体思想的应用．4．下列运算正确的是A． B． C． D．【分析】根据异分母分式加减法运算法则进行计算，判断，根据分式的基本性质判断，根据分式乘除法运算法则进行计算，判断和．【解答】解：、原式，故此选项不符合题意；、原式，故此选项符合题意；、原式，故此选项不符合题意；、，故此选项不符合题意；故选：．【点评】本题考查分式的混合运算，理解分式的基本性质，掌握分式混合运算的运算顺序和计算法则是解题关键．5．计算的结果正确的是A． B． C． D．【分析】根据分式的乘法法则解决此题．【解答】解：．故选：．【点评】本题主要考查分式的基本性质、分式的乘法，熟练掌握分式的基本性质、分式的乘法法则是解决本题的关键．6．根据分式的基本性质，分式可变形为A． B． C． D．【分析】先把分式的分母提取，再根据分式的基本性质进行变形即可．【解答】解：，故选：．【点评】本题考查了分式的基本性质，能正确根据分式的基本性质进行变形是解此题的关键．7．计算的结果为A．1 B．3 C． D．【分析】根据同分母的分式减法法则求出即可．【解答】解：，故选：．【点评】本题考查了分式的加减，注意：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．8．如果，那么代数式的值是A．2 B． C． D．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分得到最简结果，把已知等式代入计算即可求出值．【解答】解：原式，当时，原式．故选：．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．9．若，则的值为A． B．3 C．5 D．7【分析】法1：已知等式整理得到关系式，计算即可求出值；法2：已知等式左边通分并利用同分母分式的加法法则运算，整理后得到，原式变形后代入计算即可求出值．【解答】解：法，，则；法2：已知等式变形得：，即，整理得：，即，则．故选：．【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．10．当分式时，的值为．【分析】依据分式的值为零的条件进行计算即可．分式值为零的条件是分子等于零且分母不等于零．【解答】解：当分式时，，解得，，即的值为，故答案为：．【点评】本题主要考查了分式的值为零的条件的运用，解题时注意：“分母不为零”这个条件不能少．11．已知，则的值是．【分析】先根据完全平方公式得出，代入后求出，再开平方即可．【解答】解：，，，故答案为：．【点评】本题考查了完全平方公式和分式的化简与求值，能正确根据完全平方公式进行变形是解此题的关键．12．若，则2．【分析】根据，可以得到，然后将所求式子变形，即可求得所求式子的值．【解答】解：，，，，故答案为：2．【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法．13．已知，，则6．【分析】根据配方法以及分式的运算法则即可求出答案．【解答】解：原式，当，时，原式，故答案为：6．【点评】本题考查分式，解题的关键是熟练运用分式的运算法则，本题属于基础题型．14．代数式有意义，则的取值范围是．【分析】由分式的分母不等于零和二次根式的被开方数是非负数得到．【解答】解：由题意，得，解得．故答案是：．【点评】考查了分式有意义的条件和二次根式有意义的条件，注意，二次根式在分母上，所以不能取到0．15．若，且，则的值是．【分析】已知等式变形后，代入原式计算即可得到结果．【解答】解：由，得到，则原式，故答案为：【点评】此题考查了分式的值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．16．化简的结果是．【分析】把原式的第一项的分母分解因式后，找出两分母的最简公分母，通分后利用同分母分式的减法法则：分母不变只把分子相减，去括号后合并，约分后即可得到最后结果．【解答】解：．故答案为：．【点评】此题考查了分式的加减运算，分式的加减运算主要是通分，通分的关键是找各分母的最简公分母，找最简公分母的方法是系数取最小公倍数，相同字母取最高次幂，只在一个分母中出现的字母作为最简公分母的因式，学生做题时注意结果必须为最简分式．17．若，则．【分析】由，得，代入所求的式子化简即可．【解答】解：由，得，．故答案为：．【点评】解题关键是用到了整体代入的思想．18．分式的值为0，则3．【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子；（2）分母．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．【解答】解：因为分式值为0，所以有，．故答案为3．【点评】此题考查的是对分式的值为0的条件的理解，该类型的题易忽略分母不为0这个条件．19．先化简，再求值：，其中．【分析】根据分式的混合运算法则把原式化简，把的值代入计算即可．【解答】解：原式，当时，原式．【点评】本题考查的是分式的化简求值，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．20．老师设计了接力游戏，用合作的方式完成分式化简，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示：（1）接力中，自己负责的一步出现错误的是．只有乙．甲和丁．乙和丙．乙和丁（2）请你书写正确的化简过程，并在“1，0，2，”中选择一个合适的数求值．【分析】（1）根据分式的加减运算以及乘除运算法则逐步分析即可；（2）先根据分式的加减运算以及乘除运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案．【解答】解：（1）乙在计算时，把变换成没有添加符号，丁在计算时，正确的结果应该是，自己负责的一步出现错误的是乙和丙，故选：；（2）正确的化简过程如下：，当时，．【点评】本题主要考查分式的乘除法，熟练掌握分式的加减运算以及乘除运算法则时解答此题的关键．21．先化简，再求值：，从，0，2中取一个合适的数作为的值代入求值．【分析】先算括号里，再算括号外，然后把的值代入进行计算即可解答．【解答】解：，当时，原式．【点评】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握因式分解是解题的关键．22．先化简，再求值：，其中．【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把的值代入计算即可求出值．【解答】解：原式，当时，原式．【点评】此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．1．可以表示为A． B． C． D．【分析】利用负整数指数幂的运算法则计算即可．【解答】解：．故选：．【点评】本题考查了负整数指数幂的运算法则和有理数的乘方运算法则，关键要掌握负整数指数幂的运算法则和有理数的乘方运算法则．2．若代数式的化简结果为，则整式为A． B． C． D．【分析】由题意得：，然后进行计算即可解答．【解答】解：由题意得：，故选：．【点评】本题考查了分式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．3．下列运算中，正确的是A． B． C． D．【分析】根据分式的加减法，乘除法法则进行计算，逐一判断即可解答．【解答】解：、，故不符合题意；、，故不符合题意；、，故不符合题意；、，故符合题意；故选：．【点评】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的加减法，乘除法法则是解题的关键．4．照相机成像应用了一个重要原理，用公式表示，其中表示照相机镜头的焦距，表示物体到镜头的距离，表示胶片（像到镜头的距离．已知，，则A． B． C． D．【分析】利用分式的基本性质，把等式恒等变形，用含、的代数式表示．【解答】解：，，，，．故选：．【点评】考查分式的加、减法运算，关键是异分母通分，掌握通分法则．5．已知这是一道分式化简题，其中一部分被墨水污染了，若只知道该题化简的结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是A． B． C． D．【分析】根据分式的乘除法法则计算，判断即可．【解答】解：、，不是整式，符合题意；、，是整式，不符合题意；、，是整式，不符合题意；、，是整式，不符合题意；故选：．【点评】本题考查的是分式的乘除法，掌握分式的乘除法法则是解题的关键．6．已知，则的值为A． B． C． D．3【分析】将分式变形后整体代换．【解答】解：，原式．故选：．【点评】本题考查求分式的值，将分子变形后整体代换是求解本题的关键．7．若，且，则的值为．【分析】先根据分式的基本性质通分，再根据分式的加法法则进行计算，再根据完全平方公式进行变形，最后代入求出答案即可．【解答】解：，且，，故答案为：．【点评】本题考查了分