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文档简介
陕西省旬阳中学2025届数学高二上期末质量跟踪监视试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚,将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出,确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁,不要折暴、不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.由直线上的点向圆引切线,则切线长的最小值为()A. B.C.4 D.22.(2017新课标全国卷Ⅲ文科)已知椭圆C:的左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直线相切,则C的离心率为A. B.C. D.3.元朝著名的数学家朱世杰在《四元玉鉴》中有一首诗:“我有一壶酒,携着游春走.遇店添一倍,逢友饮一斗.”基于此情景,设计了如图所示的程序框图,若输入的,输出的,则判断框中可以填()A. B.C. D.4.若,则()A.1 B.2C.4 D.85.如果在一实验中,测得的四组数值分别是,则y与x之间的回归直线方程是()A. B.C. D.6.若点在椭圆的外部,则的取值范围为()A. B.C. D.7.已知等比数列满足,则()A.168 B.210C.672 D.10508.已知i是虚数单位,复数z=,则复数z的虚部为()A.i B.-iC.1 D.-19.过抛物线的焦点的直线交抛物线于不同的两点,则的值为A.2 B.1C. D.410.若双曲线的离心率为3,则的最小值为()A. B.1C. D.211.已知函数在定义域内单调递减,则实数的取值范围是()A. B.C. D.12.若直线与直线垂直,则()A6 B.4C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知抛物线的焦点F恰好是椭圆的右焦点,且两条曲线交点的连线过点F,则该椭圆的离心率为____________14.椭圆C:的左、右焦点分别为,,点A在椭圆上,,直线交椭圆于点B,,则椭圆的离心率为______15.如图,在棱长都为的平行六面体中,,,两两夹角均为,则________;请选择该平行六面体的三个顶点,使得经过这三个顶点的平面与直线垂直.这三个顶点可以是________16.已知直线(为常数)和圆,给出下列四个结论:①当变化时,直线恒过定点;②直线与圆可能无公共点;③若直线与圆有两个不同交点,,则线段的长的最小值为;④对任意实数,圆上都不存在关于直线对称的两个点.其中正确的结论是______.(写出所有正确结论的序号)三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知是等差数列,是各项都为正数的等比数列,,再从①;②;③这三个条件中选择___________,___________两个作为已知.(1)求数列的通项公式;(2)求数列的前项和.18.(12分)如图,点О是正四棱锥的底面中心,四边形PQDO矩形,(1)点B到平面APQ的距离:(2)设E为棱PC上的点,且,若直线DE与平面APQ所成角的正弦值为,试求实数的值19.(12分)已知,是函数的两个极值点.(1)求的解析式;(2)记,,若函数有三个零点,求的取值范围.20.(12分)为了在夏季降温和冬季供暖时减少能源损耗,房屋的屋顶和外墙需要建造隔热层.某幢建筑物要建造可使用20年的隔热层,每厘米厚的隔热层建造成本为6万元.该建筑物每年的能源消耗费用C(单位:万元)与隔热层厚度x(单位:cm)满足关系:C(x)=若不建隔热层,每年能源消耗费用为8万元.设f(x)为隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和(Ⅰ)求k的值及f(x)的表达式(Ⅱ)隔热层修建多厚时,总费用f(x)达到最小,并求最小值21.(12分)直线经过点,且与圆相交与两点,截得的弦长为,求的方程.22.(10分)如图,在长方体中,,点E在棱上运动(1)证明:;(2)当E为棱的中点时,求直线与平面所成角的正弦值;(3)等于何值时,二面角的大小为?
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】切点与圆心的连线垂直于切线,切线长转化为直线上点与圆心连线和半径的关系,利用点到直线的距离公式求出圆心与直线上点距离的最小值,结合勾股定理即可得出结果.【详解】设为直线上任意一点,,切线长的最小值为:,故选:D.2、A【解析】以线段为直径的圆的圆心为坐标原点,半径为,圆的方程为,直线与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半径,即,整理可得,即即,从而,则椭圆的离心率,故选A.【名师点睛】解决椭圆和双曲线的离心率的求值及取值范围问题,其关键就是确立一个关于的方程或不等式,再根据的关系消掉得到的关系式,而建立关于的方程或不等式,要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.3、D【解析】根据程序框图的算法功能,模拟程序运行即可推理判断作答.【详解】由程序框图知,直到型循环结构,先执行循环体,条件不满足,继续执行循环体,条件满足跳出循环体,则有:当第一次执行循环体时,,,条件不满足,继续执行循环体;当第二次执行循环体时,,,条件不满足,继续执行循环体;当第三次执行循环体时,,,条件不满足,继续执行循环体;当第四次执行循环体时,,,条件不满足,继续执行循环体;当第五次执行循环体时,,,条件满足,跳出循环体,输出,于是得判断框中的条件为:,所以判断框中可以填:.故选:D4、D【解析】由题意结合导数的运算可得,再由导数的概念即可得解.【详解】由题意,所以,所以.故选:D.5、B【解析】根据已知数据求样本中心点,由样本中心点在回归直线上,将其代入各选项的回归方程验证即可.【详解】由题设,,因为回归直线方程过样本点中心,A:,排除;B:,满足;C:,排除;D:,排除.故选:B6、B【解析】根据题中条件,得到,求解,即可得出结果.【详解】因为点在椭圆的外部,所以,即,解得或.故选:B.7、C【解析】根据等比数列的性质求得,再根据,即可求得结果.【详解】等比数列满足,设等比数列的公比为q,所以,解得,故,故选:C8、C【解析】先通过复数的除法运算求出z,进而求出虚部.【详解】由题意,,则z的虚部为1.故选:C.9、D【解析】本题首先可以通过直线交抛物线于不同的两点确定直线的斜率存在,然后设出直线方程并与抛物线方程联立,求出以及的值,然后通过抛物线的定义将化简,最后得出结果【详解】因为直线交抛物线于不同的两点,所以直线的斜率存在,设过抛物线的焦点的直线方程为,由可得,,因为抛物线的准线方程为,所以根据抛物线的定义可知,,所以,综上所述,故选D【点睛】本题考查了抛物线的相关性质,主要考查了抛物线的定义、过抛物线焦点的直线与抛物线相交的相关性质,考查了计算能力,是中档题10、D【解析】由双曲线的离心率为3和,求得,化简,结合基本不等式,即可求解.【详解】由题意,双曲线的离心率为3,即,即,又由,可得,所以,当且仅当,即时,“”成立.故选:D【点睛】使用基本不等式解答问题的策略:1、利用基本不等式求最值时,要注意三点:一是各项为正;二是寻求定值;三是考虑等号成立的条件;2、若多次使用基本不等式时,容易忽视等号的条件的一致性,导致错解;3、巧用“拆”“拼”“凑”:在使用基本不等式时,要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧,使其满足基本不等式中的“正、定、等”的条件.11、D【解析】由题意转化为,恒成立,参变分离后转化为,求函数的最大值,即可求解.【详解】函数的定义域是,,若函数在定义域内单调递减,即在恒成立,所以,恒成立,即设,,当时,函数取得最大值1,所以.故选:D12、A【解析】由两条直线垂直的条件可得答案.【详解】由题意可知,即故选:A.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】设两条曲线交点为根据椭圆和抛物线对称性知,不妨点A在第一象限,由A在抛物线上得,A在椭圆上得.则由条件得:.解得(舍去)14、(也可以)【解析】可以利用条件三角形为等腰直角三角形,设出边长,找到边长与之间等量关系,然后把等量关系带入到勾股定理表达的等式中,即可求解离心率.【详解】由题意知三角形为等腰直角三角形,设,则,解得,,在三角形中,由勾股定理得,所以,故答案为:(也可以)15、①.②.点或点(填出其中一组即可)【解析】(1)以向量,,为基底分别表达出向量和,展开即可解决;(2)由上一问可知,用上一问同样的方法可以证明出,这样就证明了平面与直线垂直.【详解】(1)令,,,则,则有,故(2)令,,,则,则有,故故,即又由(1)之,,故直线垂直于平面同理可证直线垂直于平面故答案为:0;点或点16、③④【解析】由可判断①;根据直线过的定点在圆内可判断②;当直线与过圆心的直径垂直时,求出线段的长度可判断③;把圆心代入直线的方程可判断④.【详解】对于①,,当变化时,直线恒过定点,故错误;对于②,因为,所以在圆的内部,所以直线与圆总有公共点,故错误;对于③,当直线与过圆心的直径垂直时,线段的长度的最小,此时,故正确;对于④,把圆心代入直线,得对任意实数,圆上都不存在关于直线对称的两个点,故正确.故答案为:③④.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、答案见解析【解析】(1)根据题设条件可得关于基本量的方程组,求解后可得的通项公式.(2)利用公式法可求数列的前项和.【详解】解:选择条件①和条件②(1)设等差数列的公差为,∴解得:,.∴,.(2)设等比数列的公比为,,∴解得,.设数列的前项和为,∴.选择条件①和条件③:(1)设等差数列的公差为,∴解得:,.∴.(2),设等比数列的公比为,.∴,解得,.设数列的前项和为,∴.选择条件②和条件③:(1)设等比数列的公比为,,∴,解得,,.设等差数列的公差为,∴,又,故.∴.(2)设数列的前项和为,由(1)可知.【点睛】方法点睛:等差数列或等比数列的处理有两类基本方法:(1)利用基本量即把数学问题转化为关于基本量的方程或方程组,再运用基本量解决与数列相关的问题;(2)利用数列的性质求解即通过观察下标的特征和数列和式的特征选择合适的数列性质处理数学问题18、(1)(2)或【解析】(1)以三棱锥等体积法求点到面距离,思路简单快捷.(2)由直线DE与平面APQ所成角的正弦值为,可以列关于的方程,解之即可.【小问1详解】点О是正四棱锥底面中心,点О是BD的中点,四边形PQDO矩形,,两点到平面APQ的距离相等.正四棱锥中,平面,平面,,,设点B到平面APQ的距离为d,则,即解之得,即点B到平面APQ的距离为【小问2详解】取PC中点N,连接BN、ON、DN,则.平面平面正四棱锥中,,直线平面平面,平面平面,平面平面平面中,点E到直线ON的距离即为点E到平面的距离.中,,点P到直线ON的距离为△中,,设点E到平面的距离为d,则有,则则有,整理得,解之得或19、(1);(2)【解析】(1)根据极值点的定义,可知方程的两个解即为,,代入即得结果;(2)根据题意,将方程转化为,则函数与直线在区间,上有三个交点,进而求解的取值范围【详解】解:(1)因为,所以根据极值点定义,方程的两个根即为,,,代入,,可得,解之可得,,故有;(2)根据题意,,,,根据题意,可得方程在区间,内有三个实数根,即函数与直线在区间,内有三个交点,又因为,则令,解得;令,解得或,所以函数在,上单调递减,在上单调递增;又因为,,,,函数图象如下所示:若使函数与直线有三个交点,则需使,即20、,因此.,当隔热层修建厚时,总费用达到最小值70万元【解析】解:(Ⅰ)设隔热层厚度为,由题设,每年能源消耗费用为.再由,得,因此.而建造费用为最后得隔热层建造费用与20年的能源消耗费用之和为(Ⅱ),令,即.解得,(舍去)当时,,当时,,故是的最小值点,对应的最小值为当隔热层修建厚时,总费用达到最小值为70万元21、或【解析】直线截圆得的弦长为,结合圆的半径为5,利用勾股定理可得圆心到直线的距离,再利用点到直线的距离公式列方程求出直线斜率,由点斜式可得结果.【详解】设直线的方程为,即,因为圆的半径为5,截得的弦长为所以圆心到直线的距离,即或,∴所求直线的方程为或.【点睛】本题主要考查点到直线距离公式以及圆的弦长的求法,求圆的弦长有两种方法:一是利用弦长公式,结合韦达定理求解;二是利用半弦长,弦心距,圆半径构成直角三角形,利用勾股定理求解.22、(1)证明见解析;(2);(3).【解析】(1)连接、,长方体、线面垂直的性质有、,再根据线面垂直的判定、性质即可证结论.(2)连接,由已知条件及勾股定理可得、,即可求、,等体积法求到面的距离,又直线与面所成角
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