江西省南昌市新建一中2025届高二上数学期末监测试题含解析

江西省南昌市新建一中2025届高二上数学期末监测试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知点A、是抛物线：上的两点，且线段过抛物线的焦点，若的中点到轴的距离为3，则（）A.3 B.4C.6 D.82．已知，则下列说法中一定正确的是（）A. B.C. D.3．已知椭圆C：的左右焦点为F1,F2离心率为，过F2的直线l交C与A,B两点，若△AF1B的周长为，则C的方程为A. B.C. D.4．动点到两定点，的距离和是，则动点的轨迹为（）A.椭圆 B.双曲线C.线段 D.不能确定5．在某次海军演习中，已知甲驱逐舰在航母的南偏东15°方向且与航母的距离为12海里，乙护卫舰在甲驱逐舰的正西方向，若测得乙护卫舰在航母的南偏西45°方向，则甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为（）A.海里 B.海里C.海里 D.海里6．函数的定义域是，，对任意，，则不等式的解集为（）A. B.C.或 D.或7．已知等比数列的前n项和为，且满足公比0＜q＜1，＜0，则下列说法不正确的是（）A.一定单调递减 B.一定单调递增C.式子-≥0恒成立 D.可能满足=，且k≠18．已知定义在区间上的函数，，若以上两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，则m的值为（）A.2 B.5C.1 D.09．若直线：与直线：平行，则a的值是（）A.1 B.C.或6 D.或710．已知，，，则下列判断正确的是（）A. B.C. D.11．在正方体中，P，Q两点分别从点B和点出发，以相同的速度在棱BA和上运动至点A和点，在运动过程中，直线PQ与平面ABCD所成角的变化范围为A. B.C. D.12．已知抛物线的准线方程为，则此抛物线的标准方程为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．经过、两点的直线斜率为______.14．若点为圆的弦的中点，则弦所在直线方程为________.15．已知数列满足，则__________.16．如图，正方体中，点E，F，G分别是，AB，的中点，则直线与GF所成角的大小是______（用反三角函数表示）三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列满足（1）证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和18．（12分）已知抛物线的焦点为F，其中P为E的准线上一点，O是坐标原点，且（1）求抛物线E的方程；（2）过的直线与E交于C，D两点，在x轴上是否存在定点，使得x轴平分？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由19．（12分）已知椭圆：的长轴长为6，离心率为，长轴的左，右顶点分别为A，B（1）求椭圆的方程；（2）已知过点的直线交椭圆于M、N两个不同的点，直线AM，AN分别交轴于点S、T，记，（为坐标原点），当直线的倾斜角为锐角时，求的取值范围20．（12分）如图，三棱柱中，底面边长和侧棱长都等于1，（1）设，，，用向量表示，并求出的长度；（2）求异面直线与所成角的余弦值21．（12分）已知椭圆的一个顶点恰好是抛物线的焦点，椭圆C的离心率为.（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；（Ⅱ）从椭圆C在第一象限内的部分上取横坐标为2的点P，若椭圆C上有两个点A，B使得的平分线垂直于坐标轴，且点B与点A的横坐标之差为，求直线AP的方程.22．（10分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上，直线与交于，两点（1）求椭圆的方程及焦点坐标；（2）若线段的垂直平分线经过点，求的取值范围

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、D【解析】直接根据抛物线焦点弦长公式以及中点坐标公式求结果【详解】设，，则的中点到轴的距离为，则故选：D2、B【解析】AD选项，举出反例即可；BC选项，利用不等式的基本性质进行判断.【详解】当，时，满足，此时，故A错误；因，所以，，，B正确；因为，所以，，故，C错误；当，时，满足，，，所以，D错误.故选：B3、A【解析】若△AF1B的周长为4,由椭圆的定义可知,,,,，所以方程为，故选A.考点：椭圆方程及性质4、A【解析】根据椭圆的定义，即可得答案.【详解】由题意可得，根据椭圆定义可得，P点的轨迹为椭圆，故选：A5、A【解析】利用正弦定理可求解.【详解】设甲驱逐舰、乙护卫舰、航母所在位置分别为A，B，C，则，，.在△ABC中，由正弦定理得，即，解得，即甲驱逐舰与乙护卫舰的距离为海里故选：A6、A【解析】构造函数，结合已知条件可得恒成立，可得为上的减函数，再由，从而将不等式转换为，根据单调性即可求解.【详解】构造函数，因为，所以为上的增函数又因为，所以原不等式转化为，即，解得.所以原不等式的解集为，故选：A.7、D【解析】根据等比数列的通项公式，前n项和的意义，可逐项分析求解.【详解】因为等比数列的前n项和为，且满足公比0＜q＜1，＜0，所以当时，由可得，故数列为增函数，故B正确；由0＜q＜1，＜0知，所以，故一定单调递减，故A正确；因为当时，，，所以，即-，当时，，综上，故C正确；若=，且k≠1，则，即，因为，故，故矛盾，所以D不正确.故选：D8、C【解析】设两曲线与公共点为，分别求得函数的导数，根据两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，列出等式，求得公共点的坐标，代入函数，即可求解.【详解】根据题意，设两曲线与公共点为，其中，由，可得，则切线的斜率为，由，可得，则切线斜率为，因为两函数的图像有公共点，且在公共点处切线相同，所以，解得或（舍去），又由，即公共点的坐标为，将点代入，可得.故选：C.9、D【解析】根据直线平行的充要条件即可求出【详解】依题意可知，显然，所以由可得，，解得或7故选：D10、A【解析】根据对数函数的单调性，以及根式的运算，确定的大小关系，则问题得解.【详解】因为，即；又，故.故选：A.11、C【解析】先过点作于点，连接，根据题意，得到即为直线与平面所成的角，设正方体棱长为，设，推出，进而可求出结果.【详解】过点作于点，连接，因为四棱柱为正方体，所以易得平面，因此即为直线与平面所成的角，设正方体棱长为，设，则，，因为两点分别从点和点出发，以相同的速度在棱和上运动至点和点，所以，因此，所以，因为，所以，则，因此.故选：C.【点睛】本题主要考查求线面角的取值范围，熟记线面角的定义即可，属于常考题型.12、D【解析】由已知设抛物线方程为，由题意可得，求出，从而可得抛物线的方程【详解】因为抛物线的准线方程为，所以设抛物线方程为，则，得，所以抛物线方程为，故选：D，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】利用斜率公式可求得结果.【详解】由斜率公式可知，直线的斜率为.故答案为：.14、【解析】因为为圆的弦的中点，所以圆心坐标为，，所在直线方程为，化简为，故答案为.考点：1、两直线垂直斜率的关系；2、点斜式求直线方程.15、【解析】由题，用累乘法求得通项公式：，则，通过裂项求和即可得出结果.【详解】由题，所以累乘法求通项公式：，所以，经验证时，符合.所以，则.故答案为：16、【解析】连接，由得出直线与GF所成角，再由余弦定理得出直线与GF所成角的大小.【详解】连接，因为，所以直线与GF所成角为.设，则，，，又异面直线的夹角范围为，所以直线与GF所成角的大小是.故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）证明见解析，；（2）.【解析】（1）由得是公差为2的等差数列，再由可得答案.（2）,分为奇数、偶数，分组求和即可求解.【小问1详解】由，得，故是公差为2的等差数列，故，由，故，于是.【小问2详解】依题意，，当为偶数时，故，当为奇数时，，综上，.18、（1）（2）存在；【解析】（1）设，利用向量坐标运算求出p即可；（2）设直线MC，MD的斜率分别为，，利用坐标计算恒成立，即可求解.【小问1详解】抛物线的焦点为，设，则，因为，所以，得所以抛物线E的方程为【小问2详解】假设在x轴上存在定点，使得x轴平分设直线的方程为，设点，，联立，可得∵恒成立，∴，设直线MC，MD的斜率分别为，，则由定点，使得x轴平分，则，所以把根与系数的关系代入可得，得故存在满足题意．综上所述，在x轴上存在定点，使得x轴平分19、（1）（2）【解析】（1）根据椭圆的长轴和离心率，可求得，进而得椭圆方程；（2）先判断直线斜率为正，然后设出直线方程，和椭圆方程联立，整理得根与系数的关系，利用直线方程求出点S、T的坐标，再根据确定的表达式，将根与系数的关系式代入化简，求得结果.【小问1详解】由题意可得：解得：，所以椭圆的方程：【小问2详解】当直线l的倾斜角为锐角时，设，设直线，由得，从而，又，得，所以，又直线的方程是：，令，解得，所以点S为；直线的方程是：，同理点T为·所以，因为，所以，所以∵，∴，综上，所以的范围是20、（1）；（2）【解析】（1）根据向量加减法运算法则可得，根据计算可得的长度；（2）根据空间向量的夹角公式计算可得结果.【小问1详解】，因为，同理可得，所以【小问2详解】因为，所以，因为，所以所以异面直线与所成角的余弦值为21、（Ⅰ）；（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）由题意可得关于参数的方程，解之即可得到结果；（Ⅱ）设直线AP的斜率为k，联立方程结合韦达定理可得A点坐标，同理可得B点坐标，结合横坐标之差为，可得直线方程.【详解】（Ⅰ）由抛物线方程可得焦点为，则椭圆C的一个顶点为，即.由，解得.∴椭圆C的标准方程是；（Ⅱ）由题可知点，设直线AP的斜率为k，由题意知，直线BP的斜率为，设，，直线AP的方程为，即.联立方程组消去y得.∵P，A为直线AP与椭圆C的交点，∴，即.把换成，得.∴，解得，当时，直线BP的方程为，经验证与椭圆C相切，不符合题意；当时，直线BP的方程为，符合题意.∴直线AP得方程为.【点睛】关键点点睛：两条直线关于直线对称，两直线的倾斜角互补，斜率互为相反数.22、（1），（2）【解析】（1）由题意，列出关于a，b，c的方程组求解即可得答案；（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），线段MN的中点（x0，y0），则，作差可得①，又线段MN的垂直平分线过点A（0，1），则②，联立直线MN与椭圆的方程，可得﹣t2+1+4k2＞0（*），③，由①②③及（*）式联立即可求解【小问1详解】解