2022年人教版七年级上册数学第三章一元一次方程单元教案

第三章一元一次方程

3.1从算式到方程

3.1.1一元一次方程

◊教学目标◊

【知识与技能】

1.了解一元一次方程及相关概念，会识别一元一次方程；

2.能找出实际问题中的相等关系，并能列出一元一次方程，体会方程思想.

【过程与方法】

通过现实生活中的例子，体会方程的意义，理解一元一次方程的概念，并会进行简单的辨别.

【情感'态度与价值观】

培养学生独立思考的学习习惯.

◊教学重难点◊

【教学重点】

掌握一元一次方程的特征，能辨别一元一次方程.

【教学难点】

初步学会找实际问题中的等量关系，设出未知数，列出方程.

◊教学过程◊

一、情境导入

一辆客车和一辆卡车同时从A地出发沿同一公路向8地行驶，客车的行驶速度是70km/h,

卡车的速度是60km/h,客车比卡车早1h经过B地5,3两地间的路程是多少？

你会用算术方法解决这个问题吗？

二'合作探究

探究点1列方程表示实际问题中的数量关系

一典例1根据下列问题，设未知数并列出方程：

⑴用一根长24cm的铁丝围成一个正方形，正方形的边长是多少？

⑵一台计算机已使用1700h,预计每月再使用150h,经过多少月这台计算机的使用时间达到规

定的检修时间2450h?

⑶某校女生占全体学生数的52%,比男生多80人，这个学校有多少学生？

［解析］(1)设正方形的边长为尤cm.

列方程为4x-24.

⑵设x月后这台计算机的使用时间达到2450h,那么在x月里这台计算机使用了150xh.

列方程为1700+150A-=2450.

⑶设这个学校的学生数为x,那么女生数为0.52%,男生数为(l-0.52)x.

列方程为0.52r-(l-0.52)x=80.

归纳总结

常见的找等量关系的方法：

①从变化的关系中寻求不变的量(如周长不变),从而找到等量关系;②利用“各个分量之和等于

总量”(如已使用时间+预计使用时间=检修时间)这一等量关系列方程；

③用不同的方式表示同一个量(如男生人数有两种表示方法),由此得到等量关系.

探究点2方程的解,解方程

\一典例2⑴你能猜想出1700+150k2450的解吗?怎样验证你的结论？

(2)x=1000和x=2000中哪一个是方程0.52x-(l-0.52)x=80的解？

［解析］(1)猜想入=5.验证:当x=5时,1700+150x5=2450,所以猜想正确.

(2)x=2000是方程0.52x-(l-0.52)x=80的解.

三'板书设计

一元一次方程

一元一

'定义

次方程(本质特征

、列方程解决实际问题的步骤

◊教学反思◊

通过本节课的学习让学生体会到从算式到方程是数学的进步，渗透化未知为已知的重

要数学思想;使学生体会到数学与日常生活密切相关，认识到许多实际问题可以用数学方法解决,

从而激发学生学习数学的热情.

3.1.2等式的性质

◊教学目标^

【知识与技能】

1.利用等式的性质对等式进行变形；

2.会用等式的性质解简单的一元一次方程.

【过程与方法】

经历探索等式性质的过程，培养学生的动手能力.

【情感'态度与价值观】

通过具体的实践操作与合作探究培养学生实事求是的态度.

◊教学重难点◊

【教学重点】

利用等式的性质对等式进行变形.

【教学难点】

应用等式的性质解方程.

◊教学过程◊

一、情境导入

小明和王力在玩跷跷板，当他们位于跷跷板两端的时候,恰好处于平衡的位置.这时，李强和

小丽也来了，如果他们二人的体重相等，他们这时也分别坐在跷跷板的两端，这时候跷跷板是否

仍然平衡？

二'合作探究

探究点利用等式的性质解方程

\一典例利用等式的性质解下列方程：

(l)x+7=26;

(2)-5x=20;

⑶-*5=4.

［解析］(1)两边减7,得%+7-7=26-7.

于是x=19.

⑵两边除以-5,得瞪=§.

于是x=-4.

(3)两边加5,得-$-5+5=4+5.

化简，得一29.

两边乘-3,得x=-27.

变式训缄⑴如果a=b,且士=3贝！Jc应满足的条件是.

(2)下列等式是根据等式的哪条性质及怎样变形的？

①如果2x+7=10,那么2x=10-7;

②如果5JC=4X+7,那么5x-4x=7;

③如果-3户18,那么x=-6.

［答案］⑴存0

(2)①等式性质1,两边减去7.

②等式性质1,两边减去4x.

③等式性质2,两边除以-3.

三、板书设计

等式的性质

'等式的性质1

等式的性质■等式的性质2

、应用等式的性质解方程

◊教学反思◊

通过本节课的学习，使学生掌握类比、猜想、验证等研究问题的方法，培养学生善于动

手、善于观察、善于思考的学习习惯.利用学生的好奇心设疑、解疑,组织有趣的教学活动，学生

积极参与，大胆猜想，使学生在自主探索和合作交流中理解和掌握本节课的内容.

3.2解一元一次方程（一）——合并同类项与移项

第1课时利用合并同类项解一元一次方程

◊教学目标◊

【知识与技能】

1.用合并同类项解一元一次方程；

2.体会解方程的实质是将方程转化为的形式.

【过程与方法】

通过探索合并同类项法则,积累数学探究活动的经验.

【情感、态度与价值观】

让学生感受数学活动的创造性，激发学生的学习兴趣.

◊教学重难点◊

【教学重点】

会用合并同类项解一元一次方程.

【教学难点】

体会解方程的实质是将方程转化为“x=a”的形式.

◊教学过程◊

一、情境导入

约公元820年,中亚细亚数学家阿尔・花拉子米写了一本代数书，重点论述怎样解方程.这本

书的拉丁译本为《对消与还原》."对消''与“还原”是什么意思呢？

二'合作探究

探究点1列一元一次方程解决实际问题

\一典例1某校三年共购买计算机140台，去年购买数量是前年的2倍,今年购买数量又是去

年的2倍.前年这个学校购买了多少台计算机？

［解析］设前年购买计算机x台，则去年购买计算机2%台，今年购买计算机4x台.根据问题中的

相等关系，列得方程X+2X+4A=140.把含有x的项合并同类项，得7x=140.系数化为1,得户20.

答:前年这个学校购买了20台计算机.

探究点2利用合并同类项解“以+&r=c”类型的一元一次方程

s一典例2解下列方程：

(1)2X-|JC=6-8;

(2)7x-2.5x+3x-1.5x=-15x4-6x3.

［解析］⑴合并同类项，得-#-2.

系数化为1,得产4.

(2)合并同类项，得6x=-78.

系数化为1,得x=-13.

归纳总结

解形如“奴+法=。”的一元一次方程有两步:①合并同类项;②系数化为1.

探究点3用一元一次方程解决数列规律问题

一典例3有一列数，按一定规律排列成1,-3,9,-27,81,-243,….其中某三个相邻数的和是

-1701,这三个数各是多少？

［解析］设所求三个数分别是光,-3x,9x.

由三个数的和是-1701,得x-3x+9广-1701.

合并同类项，得7户-1701.

系数化为1,得x=-243.

所以-3%=729,9x=-2187.

答:这三个数是-243,729,-2187.

三'板书设计

利用合并同类项解一元一次方程

1.用合并同类项的方法解简单的一元一次方程.

解方程的步骤：

(1)合并同类项；

(2)系数化为1(等式的性质2).

2.找等量关系列一元一次方程.

列方程解应用题的步骤：

(1)设未知数；

(2)分析题意找出等量关系；

(3)根据等量关系列方程；

(4)解方程并作答.

◊教学反思◊

通过本节课的学习，学生能熟练运用合并同类项解简单的一元一次方程,对方程的概念

也有更加清晰的认识.教学中应采用引导发现的方法，课堂训练中鼓励学生自己动手，体现学生

在课堂上的主体地位.整个教学过程中充分调动学生学习积极性,培养学生合作学习、主动探究

的习惯.

第2课时利用移项解一元一次方程

◊教学目标^

【知识与技能】

1.理解移项法解一元一次方程的理论依据，会解形如“奴+氏cx+，的方程；

2.能熟练运用移项法解方程，体会解方程中蕴涵的化归思想.

【过程与方法】

通过具体问题的数量关系形成方程模型,使学生养成利用方程的观点认识世界的意识和能

力.

【情感、态度与价值观】

培养学生实事求是的态度以及善于质疑和独立思考的学习习惯.

◊教学重难点◊

【教学重点】

1.移项的法则；

2.能熟练运用移项法解一元一次方程.

【教学难点】

体会解方程中蕴涵的化归思想.

◊教学过程◊

一、情境导入

同学们，我的年龄的3倍减去11的数是100,你们猜猜老师今年多大了?你们能用方程求得

我的年龄吗？

二'合作探究

探究点1列一元一次方程解决分配问题

典例1把一些图书分给某班学生阅读，如果每人分3本，则剩余20本;如果每人分4本，

则还缺25本.这个班有多少学生？

［解析］设这个班有x名学生.

列方程，得3x+20=4x-25.

移项，得3x-4x=-25-20.

合并同类项，得-x=-45.

系数化为1,得户45.

答:这个班有45名学生.

归纳总结

1.用方程解决分配问题时，注意变化中的不变量,寻找隐含的相等关系，从本题列方程的过程,

可以发现:“表示同一个量的两个不同式子相等

2.移项的依据是等式的性质1.

探究点2用“移项”法解"以+"=cx+L类型的一元一次方程

一典例2解方程:(l)3x+7=32-2x;

(2)x-3=-x+l.

［解析］⑴移项，得3x+2x=32-7.

合并同类项，得5户25.

系数化为1,得x=5.

⑵移项，得尤-|41+3.

合并同类项，得-24.

系数化为1,得x=-8.

探究点3一元一次方程的初步应用

＞一典例3某制药厂制造一批药品，如用旧工艺，则废水排量要比环保限制的最大量还多200

t;如用新工艺，则废水排量比环保限制的最大量少100t.新、旧工艺的废水排量之比为2：5,两种

工艺的废水排量各是多少？

［解析］设新、旧工艺的废水量分别为2xt和5xt.

根据废水排量与环保限制最大量之间的关系，得5x-200=2x+100.

移项，得5^-2x=100+200.

合并同类项，得3户300.

系数化为1,得产100.

所以2x=200,5x=500.

答:新、旧艺产生的废水排量分别为200t和500t.

三'板书设计

利用移项解一元一次方程

1.移项的定义

2.移项法则的依据:等式的性质1

3.应用

◊教学反思◊

通过本节课的学习，学生领悟移项的概念并会利用移项的方法来解一元一次方程.学生

在移项过程中，大致会遇到以下几种比较常见的情况:①含未知数的项不知道如何处理;②移项

没有变号;③没移动的项也改变了符号.

3.3解一元一次方程(二)——去括号与去分母

第1课时利用去括号解一元一次方程

◊教学目标◊

【知识与技能】

1.掌握去括号法则，并能熟练运用去括号解一元一次方程；

2.掌握去括号解方程的一般步骤，能熟练地解含括号的一元一次方程；

3.会运用方程解决实际问题.

【过程与方法】

经历一元一次方程解法的探究过程，理解等式性质在解方程中的作用，并总结出解一元一次

方程的步骤.

【情感'态度与价值观】

通过列方程解决实际问题，建立方程思想.

◊教学重难点◊

【教学重点】

去括号法则.

【教学难点】

针对实际问题列方程，并用去括号法则解一元一次方程.

◊教学过程◊

一、情境导入

前面我们已经学会了运用移项、合并同类项的方法解一元一次方程，对于像2(x-3)+3(x-l)=5

这样的方程又该怎么办呢?今天我们来学习含有括号的一元一次方程的解法.

二'合作探究

探究点1解含括号的一元一次方程

＞一典例1解方程：

(1)5(x+8)-5=6(2x-7);

(2)6-2(x+l)=3x.

［解析］(1)去括号，得5x+40-5=12r-42.

移项，得5x-12x=-42-40+5.

合并同类项，得-7户-77.

系数化为1,得户11.

(2)去括号，得6-2x-2=3x.

移项、合并同类项，得-5i=-4.

系数化为1,得户―

探究点2利用去括号解一元一次方程的简单应用

一典例2汽船从甲地顺水开往乙地,所用时间比从乙地逆水开往甲地少1.5小时，已知此船

在静水中的速度为18千米4寸，水流速度为2千米而，求甲、乙两地间的距离.

［解析］设逆水航行的时间为x小时，则顺水航行的时间为小时.

列方程为(18+2)(x-1.5)=(18-2)x,

去括号，得20x-20xl.5=16x,

移项、合并同类项，得4430,

系数化为1,得x=7.5,

(18-2)x7.5=120(千米).

答:甲、乙两地间的距离为120千米.

三'板书设计

利用去括号解一元一次方程

1.去括号法则

2.去括号解一元一次方程的步骤

3.应用

◊教学反思◊

解含有括号的一元一次方程既是本章的重点内容也是今后学习其他方程、不等式及函

数的基础.前面学生已学习了合并同类项、移项以及整式的计算中的去括号等内容，会解

类型的一元一次方程，本节通过去括号为解方程起承上启下作用，但去括号时，学生

容易弄错.利用强化训练让学生感受利用方程解决实际问题.

第2课时利用去分母解一元一次方程

◊教学目标^

【知识与技能】

掌握去分母解一元一次方程;会运用方程解决实际问题.

【过程与方法】

经历一元一次方程解法的探究过程，理解等式性质在解方程中的作用，并总结出解一元一次

方程的步骤.

【情感'态度与价值观】

通过列方程解决实际问题，建立方程思想;通过去分母解方程,了解数学中的“化归”思想.

◊教学重难点◊

【教学重点】

利用去分母解一元一次方程.

【教学难点】

利用去分母解一元一次方程的简单应用.

◊教学过程◊

一、情境导入

英国伦敦博物馆保存着一部极其珍贵的文物——纸草书.经破译，上面都是一些方程，共85

个问题.其中有如下一道著名的求未知数的问题:一个数,它的三分之二，它的一半，它的七分之一,

它的全部,加起来总共是三十三，这个数是多少？

⑴如何列方程?分哪些步骤？

(2)怎样解这个方程?如何将这个方程转化为x=a的形式？

二'合作探究

探究点1解含分母的一元一次方程

』典例।解方程:⑴*=2+等；

x—12x—l

⑵3x+?=3-甘.

［解析］(1)去分母(方程两边同时乘4),得(2%+1)-4=8+(2㈤.

去括号，得2x+2-4=8+2-x.

移项，得2x+x=8+2-2+4.

合并同类项，得3412.

系数化为1,得44.

(2)去分母(方程两边同时乘6),得18x+3(x-l)=18-2(2x-l).

去括号，得18x+3x-3=18-4x+2.

移项，得18x+3x+4x=18+2+3.

合并同类项，得25x=23.

系数化为1,得广

探究点2去分母解一元一次方程的简单应用

s一典例2当x等于什么数时升学的值与7-等的值相等？

［解析］令*/3=7-等.

去分母得15x-5(x-l)=105-3(x+3).

去括号，得15x-5x+5=105-3x-9.

移项，得15x-5x+3x=105-9-5.

合并同类项，得13户91.

系数化为1,得户7.

所以当47时占m的值与7-?的值相等.

【误区警示】解方程中去分母时须注意：

(1)确定各分母的最小公倍数；

(2)不要漏乘没有分母的项；

(3)分数线有括号作用，去掉分母后，若分子是多项式，要加括号,视多项式为一整体.

三、板书设计

利用去分母解一元一次方程

解一元一次

'去分母

去括号

方程的步骤＜

移项，合并同类项

、系数化为1

◊教学反思◊

通过本节课的学习,发现学生还存在以下问题:①部分学生不会找各分母的最小公倍数,

这点要适当指导;②用各分母的最小公倍数乘以方程两边的项时,漏乘不含分母的项;③当减式

中分子是多项式且分母恰好为各分母的最小公倍数时，去分母后，分子没有作为一个整体加上括

号,容易弄错符号.因此，教学设计中应加强针对性练习，对学生的易错点和疑点进行详细剖析.

3.4实际问题与一元一次方程

第1课时产品配套问题与工程问题

◊教学目标◊

【知识与技能】

1.解决与工作效率有关的实际问题；

2.从实际问题中抽象出数学模型，并体会其中蕴藏的等量关系.

【过程与方法】

采用启发探究式的方法,使学生体会一元一次方程与实际生活的密切联系，培养运用一元一

次方程分析和解决实际问题的能力.

【情感'态度与价值观】

经历从生活中发现数学和应用数学知识解决实际问题的过程,激发学生学习数学的兴趣和

应用数学的意识.

◊教学重难点◊

【教学重点】

从题中找“配套问题''和“工程问题”的等量关系.

【教学难点】

在与工作效率有关的工程问题中建立等量关系，并根据题意列出方程.

◊教学过程◊

一、情境导入

工作总量、效率、时间三者之间有何关系？

二'合作探究

探究点1产品配套问题

一典例1某车间有22名工人，每人每天可以生产1200个螺钉或2000个螺母.1个螺钉需要

配2个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套,应安排生产螺钉和螺母的工人各多少名？

［解析］设应安排x名工人生产螺钉,(22.)名工人生产螺母.

依题意，得2000(22-x)=2xl200x,

解得410,

所以22-x=12.

答:应安排10名工人生产螺钉,12名工人生产螺母.

探究点2工程问题

一典例2整理一批图书，由一个人做要40h完成.现计划由一部分人先做4h,然后增加2人

与他们一起做8h,完成这项工作.假设这些人的工作效率相同,具体应先安排多少人工作？

［解析］设安排x人先做4h.

依题意，得等+喑占，

4040

解得42.

答:应安排2人先做4h.

【技巧点拨】本题中计算工作量的基本公式:工作量=人均效率x人数x时间，解决工程问

题一般用“各部分工作量的和=工作总量''这一等量关系.

三'板书设计

产品配套问题与工程问题

1.配套问题:找出等量关系

2.工程问题：

(1)工程总量=效率x时间.

(2)各部分的工程和=工作总量=1.

◊教学反思◊

通过本节课的学习，学生们认识到数学知识与我们的实际生活息息相关.通过例题教学,

为学生提供了探索空间，通过猜测、验证、质疑、讨论、解疑等一系列活动，充分调动学生学习

的积极性.让学生在实践中获得解决问题的方法，得到学习的乐趣.

第2课时销售问题

◊教学目标^

【知识与技能】

1.会分析盈亏中的数量关系，并能正确列出方程；

2.熟悉销售问题中主要的数量关系，探索销售中的利润问题、打折问题等.

【过程与方法】

采用启发探究式的方法,使学生体会一元一次方程与实际生活的密切联系，培养运用一元一

次方程分析和解决实际问题的能力.

【情感、态度与价值观】

经历从生活中发现数学和应用数学知识解决实际问题的过程,激发学生学习数学的兴趣和

应用数学的意识.

◊教学重难点◊

【教学重点】

理解商品销售中的进价、售价、标价、成本、折扣、利润等数量之间的关系.

【教学难点】

分析数量关系，找出可以作为列方程依据的相等关系.

◊教学过程◊

一、情境导入

一件衣服，按进价加价50%销售，后因季节原因,又降价50%销售，此时卖一件衣服商家是亏

还是盈，还是不亏不盈?你能猜想出商家在这次销售中的盈亏吗?为什么？

二'合作探究

探究点1销售中的盈亏问题

一典例1某商店在某一时间内以每件60元的价格卖出两件衣服,其中一件盈利25%,另一

件亏损25%,卖这两件衣服总的是盈利还是亏损，或是不盈不亏？

［解析］设盈利25%的那件衣服的进价是x元，它的商品利润就是0.25x元.根据进价与利润的和

等于售价，列出方程x+0.25460.

由此得448.

类似地，可以设另一件衣服的进价为y元，它的商品利润是-0.25），元，列出方程W）.25），=60.

由此得y=80.

两件衣服的进价是x+产128元,而两件衣服的售价是60+60=120元，进价大于售价,由此可知卖这

两件衣服总共亏损8元.

探究点2有关打折销售问题

一典例2某商店对一种商品调价，按原价的八折出售，打折后的利润率是20%,已知该商品

的原价是63元，求该商品的进价.

［解析］设商品的进价为x元.

依题意，列出方程（1+20%）X=63X80%,

解得x=42.

答:商品的进价为42元.

【技巧点拨】一般情况下，销售问题中的等量关系是:售价-进价=利润.本题用的等量关系是:标价

乂等（即售价）-进价=进价x利润率（即利润）.

三'板书设计

销售问题

（利润=售价-进价

销售问题〈

利润

利润率=x100%

商品进价

◊教学反思◊

本节课从和我们生活息息相关的利润问题入手，让学生在具体情境中感受到数学在实

际生活中的应用，从而激发他们学习数学的兴趣.审清题意，找出等量关系是解决问题的关键.另

外，商品经济问题的题型很多，让学生触类旁通,达到举一反三，灵活的运用有关的公式解决实际

问题，提高学生的解题能力.

第3课时球赛积分问题与图表信息问题

◊教学目标^

【知识与技能】

理解并掌握运用一元一次方程解决球赛积分问题与图表信息问题的解题思路和方法.

【过程与方法】

经历探索球赛积分中数量关系和图表中的信息的过程,进一步体会方程是解决实际问题的

数学模型.

【情感'态度与价值观】

培养学生分析问题、解决问题的能力，激发学生学习数学的兴趣和应用数学的意识.

◊教学重难点◊

【教学重点】

探索球赛积分中的数量关系和图表中的信息.

【教学难点】

掌握从图表中获取信息的方法，把实际问题转化为数学问题.

◊教学过程◊

一、情境导入

我们都喜欢打篮球，你们知道篮球比赛胜一场积多少分,负一场积多少分吗？

二'合作探究

探究点利用一元一次方程解决球赛积分问题和图表信息问题

一典例某次篮球联赛积分榜：

队名比赛场次胜场负场积分

前进1410424

东方1410424

光明149523

蓝天149523

雄鹰147721

远大147721

卫星1441018

钢铁1401414

⑴用式子表示总积分与胜、负场数之间的数量关系；

⑵某队的胜场总积分能等于它的负场总积分吗？

［解析］(1)观察积分榜,从最下面一行数据可以看出，负一场积1分.

设胜一场积x分.从第一行得方程10x+lx4=24.由此得A-2.

用积分榜中其他行可以验证，得出结论:负一场积1分，胜一场积2分.

如果一个队胜场，则负(14-〃。场，胜场积分为27律,负场积分为14-〃?,总积分为

2m+(14-/72)=777+14.

⑵设一个队胜了X场,则负了(14㈤场如果这个队的胜场总积分等于负场总积分，则得方程

2x=14-x.由此得x=—.

3

因为比赛场次不能为分数,所以胜场总积分不可能等于负场总积分.

三'板书设计

球赛积分问题与图表信息问题

1.球类比赛中的积分问题；

2.图表中隐含的信息；

3.解方程检验的意义.

◊教学反思◊

本节课主要是借球赛积分问题与图表信息问题学习数学知识的应用.由于本节问题的

背景和表达都比较贴近实际，其中有些数量关系比较隐蔽，所以在探究过程中正确建立方程是难

点，教师要恰当的引导，让学生弄清问题背景，分析清楚有关数量关系，找出可作为方程依据的主

要相等关系,但教师不要代替学生的思考，要鼓励学生自主探究.

第4课时方案问题

◊教学目标^

【知识与技能】

初步理解分段讨论问题,体会分类思想和方程思想.

【过程与方法】

体验建立方程模型解决问题的一般过程，体会分类思想和方程思想，增强应用意识和应用能

力.

【情感'态度与价值观】

通过借助表格对具体问题的分析、思考，培养学生善于分析问题、有效解决问题的良好的

学习习惯.

◊教学重难点◊

【教学重点】

探究方案问题转化成数学方程的思想方法.

【教学难点】

在分段计费和方案选择中，能理解并准确地列方程并求解.

◊教学过程◊

一、情境导入

有四位同学到营业厅办理电话计费业务，营业员向他们出示了两种移动电话计费方式（如

表）:

月使用主叫限定主叫超时费

被叫

费/元时间/min/（元仞也”）

方式1581500.25免费

方式2883500.19免费

如果他们四人的平均每月通话时间为80min、200min>280min和360min.