四川省泸州市天立国际学校2025届数学高三第一学期期末复习检测试题含解析

四川省泸州市天立国际学校2025届数学高三第一学期期末复习检测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知平面向量，，满足：，，则的最小值为()A．5 B．6 C．7 D．82．一个组合体的三视图如图所示（图中网格小正方形的边长为1），则该几何体的体积是（）A． B． C． D．3．的内角的对边分别为，若，则内角（）A． B． C． D．4．在中，，，，则边上的高为（）A． B．2 C． D．5．某学校调查了200名学生每周的自习时间（单位：小时），制成了如图所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是17.5，30]，样本数据分组为17.5，20），20，22.5），22.5,25），25，27.5），27.5，30）.根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是（）A．56 B．60 C．140 D．1206．已知函数的图象如图所示，则可以为（）A． B． C． D．7．已知直线：（）与抛物线：交于（坐标原点），两点，直线：与抛物线交于，两点.若，则实数的值为（）A． B． C． D．8．函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，并且函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，则实数的值为（）A． B． C．2 D．9．设不等式组表示的平面区域为，若从圆：的内部随机选取一点，则取自的概率为（）A． B． C． D．10．已知双曲线：的左右焦点分别为，，为双曲线上一点，为双曲线C渐近线上一点，，均位于第一象限，且，，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．11．达芬奇的经典之作《蒙娜丽莎》举世闻名.如图，画中女子神秘的微笑，，数百年来让无数观赏者人迷.某业余爱好者对《蒙娜丽莎》的缩小影像作品进行了粗略测绘，将画中女子的嘴唇近似看作一个圆弧，在嘴角处作圆弧的切线，两条切线交于点，测得如下数据：（其中）.根据测量得到的结果推算：将《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角大约等于（）A． B． C． D．12．如图，在中，，是上一点，若，则实数的值为（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．如图，为测量出高，选择和另一座山的山顶为测量观测点，从点测得点的仰角，点的仰角以及；从点测得．已知山高，则山高__________．14．已知内角的对边分别为外接圆的面积为，则的面积为_________.15．已知，是互相垂直的单位向量，若与λ的夹角为60°，则实数λ的值是__．16．（5分）在长方体中，已知棱长，体对角线，两异面直线与所成的角为，则该长方体的表面积是____________．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）在最新公布的湖南新高考方案中，“”模式要求学生在语数外3门全国统考科目之外，在历史和物理2门科目中必选且只选1门，再从化学、生物、地理、政治4门科目中任选2门，后三科的高考成绩按新的规则转换后计入高考总分.相应地，高校在招生时可对特定专业设置具体的选修科目要求.双超中学高一年级有学生1200人，现从中随机抽取40人进行选科情况调查，用数字1~6分别依次代表历史、物理、化学、生物、地理、政治6科，得到如下的统计表：序号选科情况序号选科情况序号选科情况序号选科情况11341123621156312352235122342223532236323513145232453323541451413524235341355156152362525635156624516236261563623672561715627134371568235182362823538134923519145292463923510236202353015640245（1）双超中学规定：每个选修班最多编排50人且尽量满额编班，每位老师执教2个选修班（当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时，允许这门科目的1位老师只教1个班）.已知双超中学高一年级现有化学、生物科目教师每科各8人，用样本估计总体，则化学、生物两科的教师人数是否需要调整？如果需要调整，各需增加或减少多少人？（2）请创建列联表，运用独立性检验的知识进行分析，探究是否有的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关.附：0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828（3）某高校在其热门人文专业的招生简章中明确要求，仅允许选修了历史科目，且在政治和地理2门中至少选修了1门的考生报名.现从双超中学高一新生中随机抽取3人，设具备高校专业报名资格的人数为，用样本的频率估计概率，求的分布列与期望.18．（12分）在中，内角，，所对的边分别是，，，，，．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．19．（12分）在平面四边形中，已知，.（1）若，求的面积；（2）若求的长.20．（12分）已知函数，，且．（1）当时，求函数的减区间；（2）求证：方程有两个不相等的实数根；（3）若方程的两个实数根是，试比较，与的大小，并说明理由．21．（12分）设函数，（1）当，，求不等式的解集；（2）已知，，的最小值为1，求证：.22．（10分）设函数.（1）时，求的单调区间；（2）当时，设的最小值为，若恒成立，求实数t的取值范围.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

建立平面直角坐标系，将已知条件转化为所设未知量的关系式，再将的最小值转化为用该关系式表达的算式，利用基本不等式求得最小值.【详解】建立平面直角坐标系如下图所示，设，，且，由于，所以..所以，即..当且仅当时取得最小值，此时由得，当时，有最小值为，即，，解得.所以当且仅当时有最小值为.故选：B【点睛】本小题主要考查向量的位置关系、向量的模，考查基本不等式的运用，考查数形结合的数学思想方法，属于难题.2、C【解析】

根据组合几何体的三视图还原出几何体，几何体是圆柱中挖去一个三棱柱，从而解得几何体的体积.【详解】由几何体的三视图可得，几何体的结构是在一个底面半径为1的圆、高为2的圆柱中挖去一个底面腰长为的等腰直角三角形、高为2的棱柱，故此几何体的体积为圆柱的体积减去三棱柱的体积，即，故选C.【点睛】本题考查了几何体的三视图问题、组合几何体的体积问题，解题的关键是要能由三视图还原出组合几何体，然后根据几何体的结构求出其体积.3、C【解析】

由正弦定理化边为角，由三角函数恒等变换可得．【详解】∵，由正弦定理可得，∴，三角形中，∴，∴．故选：C．【点睛】本题考查正弦定理，考查两角和的正弦公式和诱导公式，掌握正弦定理的边角互化是解题关键．4、C【解析】

结合正弦定理、三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，求得边长，由此求得边上的高.【详解】过作，交的延长线于.由于，所以为钝角，且，所以.在三角形中，由正弦定理得，即，所以.在中有，即边上的高为.故选：C【点睛】本小题主要考查正弦定理解三角形，考查三角形的内角和定理、两角和的正弦公式，属于中档题.5、C【解析】

试题分析：由题意得，自习时间不少于小时的频率为，故自习时间不少于小时的频率为，故选C.考点：频率分布直方图及其应用．6、A【解析】

根据图象可知，函数为奇函数，以及函数在上单调递增，且有一个零点，即可对选项逐个验证即可得出．【详解】首先对4个选项进行奇偶性判断，可知，为偶函数，不符合题意，排除B；其次，在剩下的3个选项,对其在上的零点个数进行判断,在上无零点,不符合题意，排除D；然后,对剩下的2个选项,进行单调性判断,在上单调递减,不符合题意，排除C.故选：A．【点睛】本题主要考查图象的识别和函数性质的判断，意在考查学生的直观想象能力和逻辑推理能力，属于容易题．7、D【解析】

设，，联立直线与抛物线方程，消去、列出韦达定理，再由直线与抛物线的交点求出点坐标，最后根据，得到方程，即可求出参数的值；【详解】解：设，，由，得，∵，解得或，∴，.又由，得，∴或，∴，∵，∴，又∵，∴代入解得.故选：D【点睛】本题考查直线与抛物线的综合应用，弦长公式的应用，属于中档题.8、C【解析】由函数的图象向右平移个单位得到，函数在区间上单调递增，在区间上单调递减，可得时，取得最大值，即，，，当时，解得，故选C.点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”的规律求解出，根据函数在区间上单调递增，在区间上单调递减可得时，取得最大值，求解可得实数的值.9、B【解析】

画出不等式组表示的可行域，求得阴影部分扇形对应的圆心角，根据几何概型概率计算公式，计算出所求概率.【详解】作出中在圆内部的区域，如图所示，因为直线，的倾斜角分别为，，所以由图可得取自的概率为.故选：B【点睛】本小题主要考查几何概型的计算，考查线性可行域的画法，属于基础题.10、D【解析】由双曲线的方程的左右焦点分别为，为双曲线上的一点，为双曲线的渐近线上的一点，且都位于第一象限，且，可知为的三等分点，且,点在直线上，并且，则，，设，则，解得，即，代入双曲线的方程可得，解得，故选D．点睛：本题考查了双曲线的几何性质，离心率的求法，考查了转化思想以及运算能力，双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，转化为的齐次式，然后转化为关于的方程(不等式)，解方程(不等式)，即可得(的取值范围)．11、A【解析】

由已知，设．可得．于是可得，进而得出结论．【详解】解：依题意，设．则．，．设《蒙娜丽莎》中女子的嘴唇视作的圆弧对应的圆心角为．则，．故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形的边角关系、三角函数的单调性、切线的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．12、C【解析】

由题意，可根据向量运算法则得到（1﹣m），从而由向量分解的唯一性得出关于t的方程，求出t的值.【详解】由题意及图，，又，，所以，∴（1﹣m），又t，所以，解得m，t，故选C．【点睛】本题考查平面向量基本定理，根据分解的唯一性得到所求参数的方程是解答本题的关键，本题属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、1【解析】试题分析：在中，,，在中，由正弦定理可得即解得,在中，．故答案为1．考点：正弦定理的应用．14、【解析】

由外接圆面积，求出外接圆半径，然后由正弦定理可求得三角形的内角，从而有，于是可得三角形边长，可得面积．【详解】设外接圆半径为，则，由正弦定理，得，∴，，．故答案为：．【点睛】本题考查正弦定理，利用正弦定理求出三角形的内角，然后可得边长，从而得面积，掌握正弦定理是解题关键．15、【解析】

根据平面向量的数量积运算与单位向量的定义，列出方程解方程即可求出λ的值．【详解】解：由题意，设（1，0），（0，1），则（，﹣1），λ（1，λ）；又夹角为60°，∴（）•（λ）λ＝2cos60°，即λ，解得λ．【点睛】本题考查了单位向量和平面向量数量积的运算问题，是中档题．16、10【解析】

作出长方体如图所示，由于，则就是异面直线与所成的角，且，在等腰直角三角形中，由，得，又，则，从而长方体的表面积为．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）不需调整（2）列联表见解析；有的把握判断学生“选择化学科目”与“选择物理科目”有关（3）详见解析【解析】

（1）可估计高一年级选修相应科目的人数分别为120，2，推理得对应开设选修班的数目分别为15，1．推理知生物科目需要减少4名教师，化学科目不需要调整．（2）根据列联表计算观测值，根据临界值表可得结论．（3）经统计，样本中选修了历史科目且在政治和地理2门中至少选修了一门的人数为12，频率为．用频率估计概率，则，根据二项分布概率公式可得分布列和数学期望．【详解】（1）经统计可知，样本40人中，选修化学、生物的人数分别为24，11，则可估计高一年级选修相应科目的人数分别为120，2．根据每个选修班最多编排50人，且尽量满额编班，得对应开设选修班的数目分别为15，1．现有化学、生物科目教师每科各8人，根据每位教师执教2个选修班，当且仅当一门科目的选课班级总数为奇数时，允许这门科目的一位教师执教一个班的条件，知生物科目需要减少4名教师，化学科目不需要调整．（2）根据表格中的数据进行统计后，制作列联表如下：选物理不选物理合计选化学19524不选化学61016合计251540则，有的把握判断学生”选择化学科目”与“选择物理科目”有关．（3）经统计，样本中选修了历史科目且在政治和地理2门中至少选修了一门的人数为12，频率为．用频率估计概率，则，分布列如下：01230.3430.4410.1890.021数学期望为．【点睛】本题主要考查了离散型随机变量的期望与方差，考查独立性检验，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力．18、（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）根据正弦定理先求得边c，然后由余弦定理可求得边b；（Ⅱ）结合二倍角公式及和差公式，即可求得本题答案.【详解】（Ⅰ）因为，由正弦定理可得，，又，所以，所以根据余弦定理得，，解得，；（Ⅱ）因为，所以，，，则．【点睛】本题主要考查利用正余弦定理解三角形，以及利用二倍角公式及和差公式求值，属基础题.19、（1）；（2）.【解析】

（1）在三角形中，利用余弦定理列方程，解方程求得的长，进而由三角形的面积公式求得三角形的面积.（2）利用诱导公式求得，进而求得，利用两角差的正弦公式，求得，在三角形中利用正弦定理求得，在三角形中利用余弦定理求得的长.【详解】（1）在中，，解得，.（2）在中，，..【点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理解三角形，考查三角形的面积公式，属于中档题.20、（1）（2）详见解析（3）【解析】

试题分析：（1）当时，，由得减区间；（2）因为，所以，因为所以，方程有两个不相等的实数根；（3）因为，，所以试